最优投资组合的计算
多种投入要素的最优组合-管理经济学
多种投入要素的最优组合-管理经济学引言管理经济学是研究企业和组织中资源的有效配置和管理的学科。
在管理经济学中，一个重要的问题是如何找到多种投入要素的最优组合。
通过确定最优组合，企业可以最大程度地提高生产效率，并在有限的资源下获得最大的利润。
投入要素的意义在管理经济学中，投入要素指的是用于生产或提供产品和服务的各种资源，例如劳动力、资本、原材料等。
这些投入要素在企业中起到至关重要的作用，因为它们直接影响到生产力和成本。
劳动力是一种重要的投入要素，它包括企业员工的数量和素质。
企业需要根据生产需求来确定合理的员工数量，同时提供必要的培训和发展机会，以提高员工的素质和技能。
资本是企业的重要投入要素，它包括设备、设施和资金。
企业需要投入适量的资本来购买设备和设施，并在生产过程中使用它们。
此外，企业还需要适当的资金来支持日常运营和扩大业务。
原材料是企业生产过程中必需的投入要素。
企业需要定期采购原材料，并确保其质量达到生产标准。
合理的原材料采购策略可以帮助企业降低生产成本，并确保生产过程的顺利进行。
最优组合的概念在管理经济学中，最优组合指的是在给定的生产要素和生产函数下，使得企业获得最大利润或最大产品产出的投入要素组合。
最优组合可以通过最大化效用、最小化成本或最大化产出来实现。
在找到最优组合时，企业需要考虑多种因素，如生产函数、要素价格、技术水平等。
这些因素的变动都会对最优组合产生影响。
最优组合的计算方法以下是几种常用的方法来计算多种投入要素的最优组合：边际生产力相等法边际生产力相等法是一种通过比较各个要素的边际生产力来确定最优组合的方法。
边际生产力指的是增加一单位要素所带来的产出增加量。
通过对比各个要素的边际生产力，企业可以确定最优的投入要素比例。
等边际成本法等边际成本法是一种通过比较各个要素的边际成本来确定最优组合的方法。
边际成本指的是增加一单位要素所需的成本增加量。
通过对比各个要素的边际成本，企业可以确定最优的投入要素比例。
数理金融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形
数理⾦融学作业1最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形最优投资组合的计算（1）：不存在⽆风险资产情形1.(1)什么是最⼩⽅差资产组合？（2）写出标准的最⼩⽅差资产组合的数学模型。
（即不存在⽆风险资产时期望收益率为p r 的模型）（3）求解该模型，即求权重表达式及最⼩⽅差表达式（4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的协⽅差矩阵为230350001轾犏犏=犏犏臌，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w =求由这两种证券组成的均值-⽅差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最⼩⽅差，并画出有效前沿图。
2.解：(1)最⼩⽅差资产组合是指对确定的期望收益率⽔平有最⼩的⽅差之资产组合。
(2)对⼀定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最⼩的数学模型为：211min 22..()11TpT p p T w w s t E X w r ws m ==壮??（3）应⽤标准的拉格朗⽇乘数法求解：令其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满⾜的⼀阶条件为：121210;0;110;TT p T Lw w Lr w Lw l m l m l l ?=-=-???=-???得最优解：*112(1)w l m l -=? ?。
令111,11,TTT a b m m m m ---===邋1211,T c ac b -=D =-?则12,.p p r c ba rb l l --==DD最⼩⽅差资产组合⽅差为：2**21()Tp p c b ww r c cs ==-+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1 11w c-= ?，最优组合⽅差为：*21p cs =。
（4）由题意知，230350001轾犏犏=犏犏臌，所以，1530350001-轾-犏犏=-犏犏臌?，()(1,2,0.5)T E X m == 1151 1.25,10.5,42T T a b m m m --\======邋129112,4T c ac b -==D =-=?。
最优投资组合公式
最优投资组合公式摘要：一、最优投资组合公式简介1.投资组合的定义2.最优投资组合的追求目标3.马科维茨投资组合理论的提出二、马科维茨投资组合理论的核心思想1.投资风险的度量2.投资收益的度量3.风险与收益的平衡三、马科维茨投资组合理论的数学模型1.投资组合的构成2.收益率的期望值和方差3.投资组合的选择与优化四、最优投资组合公式的应用1.投资者风险偏好的分析2.投资组合的调整与优化3.我国投资市场的实践与启示正文：一、最优投资组合公式简介投资组合是指将多种资产按照一定比例组合起来进行投资的方式。
最优投资组合的目标是在保证投资者满意的风险水平的前提下，实现投资收益的最大化。
自20 世纪50 年代以来，美国经济学家马科维茨提出了马科维茨投资组合理论，为投资者提供了一种有效的方法来追求最优投资组合。
二、马科维茨投资组合理论的核心思想马科维茨投资组合理论的核心思想是在风险和收益之间找到平衡。
该理论认为，投资风险可以通过资产收益率的方差来度量，投资收益可以通过资产收益率的期望值来度量。
投资者应根据自身的风险偏好，在各种资产中选择合适的投资组合，以实现投资收益的最大化。
三、马科维茨投资组合理论的数学模型马科维茨投资组合理论采用数学模型来描述投资组合的选择过程。
假设投资者持有n 种资产，每种资产的权重为w_i，收益率分别为r_i。
则投资组合的期望收益率为：E(R) = Σ[w_i * r_i]投资组合的方差为：Var(R) = Σ[w_i^2 * r_i^2]在给定风险偏好的条件下，投资者需要最大化期望收益率，同时最小化方差。
可以通过求解优化问题来得到最优投资组合：Maximize: E(R) = Σ[w_i * r_i]Subject to: Σ[w_i^2] = 1根据上述数学模型，可以计算出最优投资组合的权重分配，从而帮助投资者在风险和收益之间找到平衡。
四、最优投资组合公式的应用马科维茨投资组合理论及其公式在投资领域得到了广泛应用。
最优投资组合公式
最优投资组合公式在投资领域中，最优投资组合是指在给定的投资标的和风险偏好条件下，能够最大化投资者预期收益或最小化风险的投资组合。
最优投资组合公式是一种数学模型，它通过计算各种资产的权重来确定最佳的投资组合。
最常用的最优投资组合模型是马科维茨组合理论，由于这个理论的重要性，它被广泛应用于投资管理和资产配置领域。
马科维茨组合理论是由美国经济学家哈里·马科维茨在20世纪50年代提出的，该理论认为，投资组合的风险与各种资产之间的相关性有关，而不仅仅是单个资产的风险。
其基本公式如下：E(Rp) = ∑(i=1)^(N) wi * E(Ri)其中，E(Rp)表示投资组合的预期收益，N表示投资标的的数量，wi表示第i个资产在投资组合中的权重，E(Ri)表示第i个资产的预期收益。
此外，马科维茨组合理论还引入了投资组合的方差来衡量风险，方差公式如下：Var(Rp) = ∑(i=1)^(N) ∑(j=1)^(N) wi * wj * σij其中，Var(Rp)表示投资组合的方差，σij表示第i个资产和第j个资产之间的协方差。
为了达到最优投资组合，投资者需要在预期收益和风险之间做出权衡。
马科维茨通过引入风险厌恶系数（λ）来控制风险和收益的权衡关系，从而得到最优投资组合。
最优投资组合可以通过求解以下公式得到：min λ * Var(Rp) - E(Rp)约束条件如下：∑(i=1)^(N) wi = 1wi ≥ 0该优化问题需要使用数学优化算法进行求解，例如线性规划、二次规划或有效前沿算法等。
在实际应用中，投资者可以通过历史数据或专业机构提供的数据来估计资产的预期收益和风险。
通过不断调整投资组合的权重，投资者可以根据自身的风险偏好和投资目标来选择最优投资组合。
需要注意的是，最优投资组合公式仅是一个数学模型，其结果可能受到多种因素影响，包括资产预期收益和风险的准确性、相关性的变化、投资者的风险偏好以及投资时段等。
最优投资组合的计算
最优投资组合的计算案例:设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-r ，标准差分别为%301=σ,%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6％,求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：min （1221222221212σσσx x x x ++）,S 。
T 。
---=--++P f r r x x r x r x )1(212211。
令L=（1221222221212σσσx x x x ++）+[λ--Pr ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件： =∂∂λL --P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得26825.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.0212211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算).说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
最优投资组合公式
最优投资组合公式
投资是为了获取回报而进行的行为，每个投资者都希望通过找到最优的投资组
合来最大化他们的回报。
在金融领域，有许多方法和公式可用于寻找最优投资组合。
其中一个常用的最优投资组合公式是马科维茨模型。
马科维茨模型是由美国经
济学家哈里·马科维茨于20世纪50年代提出的。
该模型基于投资组合理论的核心
思想是通过合理分配不同资产之间的权重来最大化投资回报并降低风险。
马科维茨模型中的最优投资组合可以通过以下公式计算得出：
E(Rp) = w1 * E(R1) + w2 * E(R2) + ... + wn * E(Rn)
其中，E(Rp)代表整个投资组合的预期收益率，E(Ri)代表第i个资产的预期收
益率，wi代表第i个资产在投资组合中的权重。
通过调整不同资产的权重，投资者可以找到最优投资组合，以获得最大的预期收益率。
此外，马科维茨模型还考虑了投资组合的风险。
通过计算投资组合的方差或标
准差，投资者可以评估投资组合的风险水平，并根据自己的风险偏好选择合适的投资组合。
不过，需要注意的是，马科维茨模型是基于一些假设和前提条件，例如假设资
产收益率服从正态分布，且过去的收益率可以用来预测未来的收益率。
在实际应用中，投资者需要根据自己的情况和市场状况对模型进行适当的调整和修正。
总结来说，最优投资组合公式是通过权衡不同资产的预期收益率和风险来寻找
最佳的投资组合。
马科维茨模型是一种常用的方法，但在实际应用中需要谨慎处理，并结合实际情况进行调整。
通过合理分配资产权重，投资者可以优化投资组合，以实现预期的回报目标。
实验五：运用Excel规划求解进行最优投资组合的求解
实验报告证券投资学院名称专业班级提交日期评阅人____________评阅分数____________实验五：运用Excel规划求解进行最优投资组合的求解【实验目的】1、理解资产组合收益率和风险的计算方法，熟练掌握收益率与风险的计算程序；2、进一步理解最优投资组合模型，并据此构建多项资产的最优投资组合；【实验条件】1、个人计算机一台，预装Windows操作系统和浏览器；2、计算机通过局域网形式接入互联网；3、matlab或者Excel软件。
【知识准备】理论知识：课本第三章收益与风险，第四章投资组合模型，第五章CAPM实验参考资料：《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第三章，第四章，第五章【实验项目容】请打开参考《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第四章相关章节（4.3）完成以下实验A．打开“实验五组合优化.xls”，翻到“用规划求解计算最优组合”子数据表；B．调用规划求解功能进行求解。
点击“工具”在下拉菜单点击“规划求解”，如没有此选项说明需要加载规划求解后才能使用，如何加载见实验补充文档“EXCEL规划求解功能的安装”。
C．D．在规划求解选项卡里面选择“选项”，再选择“非负”再运行一次，比较两次返回的投资比例值的正负。
在实验报告中记录两次得到的最优投资组合，并说明投资比例是负值说明什么？E．（选做）借助连续调用规划求解的VBA过程生成有效组合以及资本市场线。
参考实验参考电子书《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第四章P83F．对比可卖空和不可卖空的有效前沿图试对比说明其不同？【实验项目步骤与结果】A.B．使用规划求解C．投资比例为负值说明该证券风险远远大于其收益率，已经不适合投资。
F．对比可卖空和不可卖空的有效前沿图试对比说明其不同？通过可卖空和不可卖空有效前沿图的对比可以看到，在相同风险的时候可卖空的情况下期望回报要比不可卖空的情况要高，并且随着风险的增加可卖空曲线的期望回报增加程度明显比不可卖空曲线要大。
投资学之最优投资组合与有效边界
MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
7
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
则有：E(rP ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 P
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov(rD , rE )
有效组合 E
F C
B 可行组合，但非有效
D A
0.40
0.60
0.80
组合标准差
1.00
1.20
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集 合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
EP(rP
) wD
wD D
E
(rD )
wE E
wE
E
(rE
)
(1) ( 2)
wD wE 1
( 3)
则有：
2 P
(wD D
wE E )2
即： P wD D wE E
令wD D - wE E 0
wD
E D E
, wE
1 wD
D D E
结论： 1时组合P的风险可降至零 10
情况三
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
11
组合的机会集与有效集
4最优投资组合与有效边界
投资组合优化的五种形式 1C=F+P 2P=D+E 3C=F+D+E 4P=S1+S2+…+Sn 5C=F+ 4P=S1+S2+…+Sn
excel求最优投资组合步骤
excel求最优投资组合步骤《在Excel中计算股票投资的最优投资组合的详细步骤》。
在投资领域，找到最优投资组合就像是为自己的财富找一个最佳的“成长配方”。
Excel这个强大的工具就能帮咱们来搞定这件事儿。
下面我就来给你讲讲在Excel中求股票投资最优投资组合的具体步骤哈。
一、准备数据。
咱得先把相关的数据准备好。
比如说，你打算投资三只股票，分别是股票A、股票B和股票C。
你需要收集这三只股票过去一段时间（比如过去一年）的收益率数据。
假设我们有以下这样一组简单的数据（实际操作中数据会更多更详细哦）：时间股票A收益率（%）股票B收益率（%）股票C收益率（%）。
1月 5 3 2。
2月 4 6 4。
3月 3 4 5。
把这些数据整齐地输入到Excel工作表中，一个股票的收益率数据占一列，每个月的数据占一行。
这样，我们的数据基础就打好啦。
为啥要准备这些数据呢？因为只有知道了这些股票过去的表现，我们才能根据它们的情况去分析怎么组合投资会更好呀。
二、计算预期收益率。
接下来，咱们要计算每只股票的预期收益率。
预期收益率就是我们根据过去的数据，预估这只股票未来可能带来的收益。
在Excel中，我们可以使用AVERAGE函数来计算。
比如说，要计算股票A的预期收益率，就在一个空白单元格中输入“=AVERAGE(B2:B4)”（这里假设股票A的收益率数据在B2到B4单元格），然后按下回车键，Excel就会自动算出股票A的平均收益率，也就是它的预期收益率啦。
同样的方法，算出股票B和股票C的预期收益率。
举个例子哈，如果算出来股票A的预期收益率是4%，股票B是4.3%，股票C是3.7%，这就说明从过去的数据看，股票B的预期收益相对会高一点。
三、计算协方差矩阵。
协方差矩阵能帮我们了解这些股票之间的相关性。
简单说，就是看看它们的走势是不是会相互影响。
在Excel中，我们可以使用“数据分析”工具来计算协方差矩阵。
如果你的Excel界面没有“数据分析”选项，需要先在Excel选项中加载“分析工具库”哦。
《最优投资组合理论》课件
资本资产定价模型（CAPM）
总结词
资本资产定价模型（CAPM）是一种用于评估风险和预期收益之间关系的投资组合理论 。
详细描述
CAPM认为资产的预期收益由两部分组成：无风险收益和市场风险溢价的线性组合。它 为投资者提供了评估风险和预期收益之间关系的方法，并帮助投资者理解市场对风险资
产的需求和供给。
套利定价理论（APT）
05 最优投资组合的实证分析
数据来源与预处理
数据来源
主要来自各大证券交易所、金融数据 库以及公开市场数据。
数据预处理
清洗数据、处理缺失值、异常值和重 复数据，确保数据准确性和完整性。
模型参数选择与调整
参数选择
根据投资目标和风险偏好，选择合适的 模型参数，如预期收益率、风险系数等 。
VS
参数调整
通过机器学习算法对市场数据进行实时分析，提高交易决策的准确 性和效率，降低交易成本。
研究动态最优投资组合策略
01
研究不同市场环境下的动态最优投资组合策 略
根据市场环境的变化，动态调整投资组合的配置比例究
根据投资者的风险偏好和收益目标，研究如何动态调整投 资组合以更好地满足投资者需求。
根据市场变化和投资组合表现，适时调整 模型参数，以实现最优投资组合。
模型评估与结果分析
模型评估
通过回测、蒙特卡洛模拟等方法评估模型的 有效性和稳健性。
结果分析
分析投资组合的实际表现与预期目标的差异 ，总结经验教训，优化投资策略。
06 最优投资组合理论的未来 研究方向
考虑市场非完全有效性的影响
投资者情绪对投资组合的影响
随着计算机技术的发展，现代投资组 合理论开始广泛应用，通过复杂的数 学模型和算法来优化投资组合。
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最优投资组合的计算
案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=-r ，%302=-
r ，标准差分别为%301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%，求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2
005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。
求解：
第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。
随意指定一个期望收益率%14=-P r ，考虑达到-P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）：
min(1221222221212σσσx x x x ++),
S.T.---=--++P f r r x x r x r x )1(212211.
令L=(1221222221212σσσx x x x ++)+[
λ--P r ])1(212211f r x x r x r x ------， 由一阶条件：
=∂∂λL --
P r 0)1(212211=------f r x x r x r x 0)(2211222111
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 0)(2221212222
=--+=∂∂-f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得268
25.8,268521==x x 。
风险证券A 、B 的组合结构为62.0,38.02
12211=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。
如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=-
P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。
说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。
风险资产最优组合的收益率和标准差为：
()()()%
06.3206.062.038.024.062.03.038.02%
2.26
3.062.02.038.022221221222221212211=⨯⨯⨯+⨯+⨯=++==⨯+⨯=+=σσσσx x x x R E x R E x R E r r 第二步，构造投资者的最优投资组合（设y 为风险资产组合投资占比例，（1-y ）为无风险资产投资占比例）：
1.设目标函数()2005.0P P A R E MaxU σ-=
约束条件为S.T ：
()()()y
y y
y y r y Rr yE R E r P f P 3206.0202.006.006.0)1(262.0122==+=-+=-+=σσ
2.将约束条件代入目标函数，得： ()2
3206.04005.0202.006.0y y U ⨯⨯-+= 3.将目标函数对y 求一阶导数，并令其等于零得
0.202-0.020*2*0.32062y=0
Y=0.49
4.三种资产组合的收益率=0.06+0.202*0.49=1
5.9%
三种资产组合的标准差为0.3206*0.49=15.7%
5.无风险资产占比51%，风险资产1占比为0.38*0.49=18.62%，风险资产2占比为0.62*0.49=30.38%。