人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案

人教版七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷及答案

一、压轴题

1．如图1，已知面积为12的长方形ABCD ，一边AB 在数轴上。点A 表示的数为—2，点B 表示的数为1，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 运动时间为t （t>0）秒.

（1）长方形的边AD 长为 单位长度；

（2）当三角形ADP 面积为3时，求P 点在数轴上表示的数是多少；

（3）如图2，若动点Q 以每秒3个单位长度的速度，从点A 沿数轴向右匀速运动，与P 点出发时间相同。那么当三角形BDQ ，三角形BPC 两者面积之差为1

2

时，直接写出运动时间t 的值. 2．综合试一试

（1）下列整数可写成三个非0整数的立方和：45=_____；2=______．

（2）对于有理数a ，b ，规定一种运算：2a b a ab ?=-．如2121121?=-?=-，则计算()()532-??-=????______． （3）a 是不为1的有理数，我们把

11a

-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1

112=--，1-的差倒数是

()11

112

=--．已知12a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3

a 的差倒数，……，以此类推，122500a a a ++???+=______．

（4）10位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得9.4分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是_____分． （5）在数1.2.3...2019前添加“+”，“-”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是______

（6）早上8点钟，甲、乙、丙三人从东往西直行，乙在甲前400米，丙在乙前400米，

甲、乙、丙三人速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，问：______分钟后甲和乙、丙的距离相等.

3．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）出数轴上点B表示的数；点P表示的数（用含t的代数式表示）

（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？

（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？

（4）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．

4．已知多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b．

（1）设a与b分别对应数轴上的点A、点B，请直接写出a＝，b＝，并在数轴上确定点A、点B的位置；

（2）在（1）的条件下，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向B运动，运动时间为t 秒：

①若PA﹣PB＝6，求t的值，并写出此时点P所表示的数；

②若点P从点A出发，到达点B后再以相同的速度返回点A，在返回过程中，求当OP＝3时，t为何值？

5．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足（a-1）2+|ab+3|=0，

c=-2a+b．

（1）分别求a，b，c的值；

（2）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动，设运动时间为t秒．

i）是否存在一个常数k，使得3BC-k?AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

ii）若点C以每秒3个单位长度的速度向右与点A，B同时运动，何时点C为线段AB的三等分点？请说明理由．

6．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P 到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3．

问题解决：

(1)点M ，N 都在数轴上，点M 表示的数是1，且点N 到点M 的d 追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N 表示的数是_____(用含a 的代数式表示)；

(2)如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A ，B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒3个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 表示的数是b ，设运动时间为t(t>0)．

①当b=4时，问t 为何值时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]=2； ②若0

7．已知∠AOB 和∠AOC 是同一个平面内的两个角,OD 是∠BOC 的平分线. (1)若∠AOB=50°,∠AOC=70°,如图(1),图(2),求∠AOD 的度数；

(2)若∠AOB=m 度,∠AOC=n 度,其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜ 且m n ＜，求∠AOD 的度数(结果用含m n 、的代数式表示)，请画出图形，直接写出答案．

8．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=20，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒．

（1）写出数轴上点B 表示的数______；点P 表示的数______（用含t 的代数式表示） （2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问多少秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2？

（3）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上Q ？

（4）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．

9．已知：如图数轴上两点A 、B 所对应的数分别为-3、1，点P 在数轴上从点A 出发以每秒钟2个单位长度的速度向右运动，点Q 在数轴上从点B 出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P 的运动时间为t 秒．

（1）若点P 和点Q 同时出发，求点P 和点Q 相遇时的位置所对应的数；

（2）若点P 比点Q 迟1秒钟出发，问点P 出发几秒后，点P 和点Q 刚好相距1个单位长度；

（3）在（2）的条件下，当点P 和点Q 刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C ，使其到点A 、点P 和点Q 这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C 所对应的数，若不存在，试说明理由．

10．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC =30°，将一直角三角尺（∠M =30°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．

(1)若将图1中的三角尺绕点O 以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t 秒，当OM 恰好平分∠BOC 时，如图2． ①求t 值；

②试说明此时ON 平分∠AOC ；

(2)将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转，设∠AON =α，∠COM =β，当ON 在∠AOC 内部时，试求α与β的数量关系；

(3)若将图1中的三角尺绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC 也绕点O 以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC 第一次平分∠MON ?请说明理由．

11．从特殊到一般，类比等数学思想方法，在数学探究性学习中经常用到，如下是一个具体案例，请完善整个探究过程。

已知：点C 在直线AB 上，AC a =，BC b =，且a b ，点M 是AB 的中点，请按照

下面步骤探究线段MC 的长度。 （1）特值尝试

若10a =，6b =，且点C 在线段AB 上，求线段MC 的长度. （2）周密思考：

若10a =，6b =，则线段MC 的长度只能是（1）中的结果吗？请说明理由. （3）问题解决

类比（1）、（2）的解答思路，试探究线段MC 的长度（用含a 、b 的代数式表示）. 12．如图，在数轴上从左往右依次有四个点,,,A B C D ，其中点,,A B C 表示的数分别是

0,3,10，且2CD AB =.

(1)点D 表示的数是 ；（直接写出结果）

(2)线段AB 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t （秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.

①求t的值;

②线段AB上是否存在一点P，满足

3

BD PA PC

-=?若存在，求出点P表示的数x；若不存在，请说明理由.

13．阅读下列材料，并解决有关问题：

我们知道，

(0)

0(0)

(0)

x x

x x

x x

>

?

?

==

?

?-<

?

，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，例如化简式子|1||2|

x x

++-时，可令10

x+=和20

x-=，分别求得1

x=-，2

x=（称1-、2分别为|1|

x+与|2|

x-的零点值）．在有理数范围内，零点值1

x=-和2

x=可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：

（1）1

x<-；（2）1

-≤2

x<；（3）x≥2．从而化简代数式|1||2|

x x

++-可分为以下3种情况：

（1）当1

x<-时，原式()()

1221

x x x

=-+--=-+；

（2）当1-≤2

x<时，原式()()

123

x x

=+--=；

（3）当x≥2时，原式()()

1221

x x x

=++-=-

综上所述：原式

21(1)

3(12)

21(2)

x x

x

x x

-+<-

?

?

=-≤<

?

?-≥

?

通过以上阅读，请你类比解决以下问题：

（1）填空：|2|

x+与|4|

x-的零点值分别为；

（2）化简式子324

x x

-++．

14．问题一：如图1，已知A，C两点之间的距离为16 cm，甲，乙两点分别从相距3cm的A，B两点同时出发到C点，若甲的速度为8 cm/s，乙的速度为6 cm/s，设乙运动时间为x（s），甲乙两点之间距离为y（cm）．

(1)当甲追上乙时，x = ．

(2)请用含x的代数式表示y．

当甲追上乙前，y= ；

当甲追上乙后，甲到达C之前，y= ；

当甲到达C之后，乙到达C之前，y= ．

问题二：如图2，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表

上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB=30°．

(1)分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm；时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm．

(2)若从4：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合．

15．如图，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．

（1）若AC=4cm，求DE的长；

（2）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB=α，过点O画射线OC，使∠AOB:∠BOC=3:1若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试探究∠DOE与∠AOB的数量关系．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）4；（2）－3.5或－0.5；（3）t的值为11

16

、

13

16

、

13

8

或

11

8

．

【解析】

【分析】

（1）先求出AB的长，由长方形ABCD的面积为12，即可求出AD的长；

（2）由三角形ADP面积为3，求出AP的长，然后分两种情况讨论：①点P在点A的左

边；②点P 在点A 的右边．

（3） 分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ = 3-3t ．由|S △BDQ －S △BPC |=1

2

，解方程即可；②若Q 在B 的右边，则BQ = 3t －3．由|S △BDQ －S △BPC |=1

2

，解方程即可． 【详解】

（1）AB =1－（－2）=3．

∵长方形ABCD 的面积为12，∴AB ×AD =12，∴AD =12÷3=4． 故答案为：4．

（2）三角形ADP 面积为：12AP ?AD =1

2

AP ×4=3， 解得：AP =1.5，

点P 在点A 的左边：-2-1.5=-3.5，P 点在数轴上表示-3.5； 点P 在点A 的右边：-2+1.5=-0.5，P 点在数轴上表示-0.5． 综上所述：P 点在数轴上表示-3.5或-0.5．

（3）分两种情况讨论：①若Q 在B 的左边，则BQ =AB －AQ =3-3t ．

S △BDQ =

12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -，S △BPC =12BP ?AD =1

42

t ?=2t ， 1(66)22

t t --=，680.5t -=±，解得：t =1316或11

16；

②若Q 在B 的右边，则BQ =AQ －AB =3t －3．

S △BDQ =12BQ ?AD =1(33)42t -?=66t -，S △BPC =12BP ?AD =1

42

t ?=2t ，

1(66)22

t t --=，460.5t -=±，解得：t =138或118．

综上所述：t 的值为1116、1316、138或11

8

．

【点睛】

本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式． 2．（1）23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3；（2）100；（3）2503

2

；（4）9.38；（5）0；（6）24或40 【解析】 【分析】

（1）把45分解为2、-3、4三个整数的立方和，2分解为7、-5、-6三个整数的立方和即可的答案；（2）按照新运算法则，根据有理数混合运算法则计算即可得答案；（3）根据差倒数的定义计算出前几项的值，得出规律，计算即可得答案；（4）根据精确到十分位得9.4分可知平均分在9.35到9.44之间，可求出总分的取值范围，根据裁判打分是整数即可求出8个裁判给出的总分，再计算出平均分，精确到百分位即可；（5）由1+2-3=0，连续

4个自然数通过加减运算可得0，列式计算即可得答案；（6）根据题意得要使甲和乙、甲和丙的距离相等就可以得出甲在乙、丙之间，设x 分钟后甲和乙、甲和丙的距离相等，就有甲走的路程-乙走的路程-400=丙走的路程+800-甲走的路程建立方程求出其解，就可以得出结论．当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等，求出乙追上丙的时间即可.综上即可的答案. 【详解】

（1）45=23+(-3)3+43，2=73+(-5)3+(-6)3， 故答案为23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3 （2）∵2a b a ab ?=-，

∴()()532-??-=????(-5)?[32

-3×(-2)]

=(-5)?15 =(-5)2-(-5)×15 =100. （3）∵a 1=2， ∴a 2=1

112

=--， a 3=

11(1)--=1

2

，

41

2

112

a =

=-

a 5=-1 ……

∴从a 1开始，每3个数一循环， ∵2500÷3=833……1， ∴a 2500=a 1=2，

∴122500a a a ++???+=833×(2-1+

1

2)+2=25032

. （4）∵10个裁判打分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分， ∴平均分为中间8个分数的平均分， ∵平均分精确到十分位的为9.4， ∴平均分在9.35至9.44之间， 9.35×8=74.8，9.44×8=75.52，

∴8个裁判所给的总分在74.8至75.52之间， ∵打分都是整数， ∴总分也是整数， ∴总分为75，

∴平均分为75÷8=9.375， ∴精确到百分位是9.38.

故答案为9.38

（5）2019÷4=504……3，

∵1+2-3=0，4-5-6+7=0，8-9-10+11=0，……

∴(1+2-3)+(4-5-6+7)+……+(2016-2017-2018+2019)=0

∴所得结果可能的最小非负数是0，

故答案为0

（6）设x分钟后甲和乙、丙的距离相等，

∵乙在甲前400米，丙在乙前400米，速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，

∴120x-400-100x=90x+800-120x

解得：x=24.

∵当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等，

∴400÷(100-90)=40(分钟)

∴24分钟或40分钟时甲和乙、丙的距离相等.

故答案为24或40.

【点睛】

本题考查数字类的变化规律、有理数的混合运算、近似数及一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是解题关键.

3．（1）﹣14，8﹣5t；（2）2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（3）点P运动11秒时追上点Q；（4）线段MN的长度不发生变化，其值为11，见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；（2）设t秒时P、Q 之间的距离恰好等于2．分①点P、Q相遇之前和②点P、Q相遇之后两种情况求t值即可；（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．

【详解】

（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，

∴点B表示的数是8﹣22=﹣14，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t＞0）秒，

∴点P表示的数是8﹣5t．

故答案为：﹣14，8﹣5t；

（2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：

①点P、Q相遇之前，

由题意得3t+2+5t=22，解得t=2.5；

②点P、Q相遇之后，

由题意得3t﹣2+5t=22，解得t=3．

答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；（3）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，

则AC=5x，BC=3x，

∵AC﹣BC=AB，

∴5x﹣3x=22，

解得：x=11，

∴点P运动11秒时追上点Q；

（4）线段MN的长度不发生变化，都等于11；理由如下：

①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP=1

2

AP+

1

2

BP=

1

2

（AP+BP）=

1

2

AB=

1

2

×22=11；

②当点P运动到点B的左侧时：

MN=MP﹣NP=1

2

AP﹣

1

2

BP=

1

2

（AP﹣BP）=

1

2

AB=11，

∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．

【点睛】

本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．

4．（1）﹣4，6；（2）①4；②1319

,

22

或

【解析】

【分析】

（1）根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a，b的值，然后在数轴上表示即可；（2）①根据PA﹣PB＝6列出关于t的方程，解方程求出t的值，进而得到点P所表示的数；②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：（Ⅰ）P在原点右边；（Ⅱ）P在原点左边．分别求出点P运动的路程，再除以速度即可．

【详解】

（1）∵多项式3x6﹣2x2﹣4的常数项为a，次数为b，

∴a＝﹣4，b＝6．

如图所示：

故答案为﹣4，6；

（2）①∵PA＝2t，AB＝6﹣（﹣4）＝10，

∴PB＝AB﹣PA＝10﹣2t．

∵PA﹣PB＝6，

∴2t﹣（10﹣2t）＝6，解得t＝4，

此时点P所表示的数为﹣4+2t＝﹣4+2×4＝4；

②在返回过程中，当OP＝3时，分两种情况：

（Ⅰ）如果P在原点右边，那么AB+BP＝10+（6﹣3）＝13，t＝13

2

；

（Ⅱ）如果P在原点左边，那么AB+BP＝10+（6+3）＝19，t＝19

2

．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，数轴以及多项式的有关定义，理解题意利用数形结合是解题的关键．

5．（1）1，-3，-5（2）i）存在常数m，m=6这个不变化的值为26，ii）11.5s

【解析】

【分析】

（1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可；

（2）i）根据3BC-k?AB求得k的值即可；

ii）当AC=1

3

AB时，满足条件．

【详解】

（1）∵a、b满足（a-1）2+|ab+3|=0，

∴a-1=0且ab+3=0．

解得a=1，b=-3．

∴c=-2a+b=-5．

故a，b，c的值分别为1，-3，-5．

（2）i）假设存在常数k，使得3BC-k?AB不随运动时间t的改变而改变．则依题意得：AB=5+t，2BC=4+6t．

所以m?AB-2BC=m（5+t）-（4+6t）=5m+mt-4-6t与t的值无关，即m-6=0，解得m=6，

所以存在常数m，m=6这个不变化的值为26．

ii）AC=1

3 AB，

AB=5+t，AC=-5+3t-（1+2t）=t-6，

t-6=1

3

（5+t），解得t=11.5s．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

6．(1)1＋a或1－a；(2)1

2

或

5

2

；(3)1≤b≤7.

【解析】

【分析】

(1)根据d 追随值的定义，分点N 在点M 左侧和点N 在点M 右侧两种情况，直接写出答案即可；

(2)①分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况，类比行程问题中的追及问题，根据“追及时间=追及路程÷速度差”计算即可；② 【详解】

解：(1)点N 在点M 右侧时，点N 表示的数是1+a ； 点N 在点M 左侧时，点N 表示的数是1-a ； (2)①b=4时，AB 相距3个单位， 当点A 在点B 左侧时，t=(3-2)÷(3-1)=12， 当点A 在点B 右侧时，t=(3+2)÷(3-1)=

52

； ②当点B 在点A 左侧或重合时，即d ≤1时，随着时间的增大，d 追随值会越来越大， ∵0

当点B 在点A 右侧时，即d>1时，在AB 重合之前，随着时间的增大，d 追随值会越来越小，

∵点A 到点B 的d 追随值d[AB]≤6，∴d ≤7 ∴1

综合两种情况，d 的取值范围是1≤d ≤7. 故答案为(1)1＋a 或1－a ；(2)①12或5

2

；②1≤b≤7. 【点睛】

本题考查了数轴上两点之间的距离和动点问题. 7．（1）图1中∠AOD=60°；图2中∠AOD=10°； （2）图1中∠AOD=n m 2+；图2中∠AOD=n m

2

-. 【解析】 【分析】

（1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=20°，则∠BOD=10°，根据∠AOD=∠AOB+∠BOD 即得解；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°，则∠BOD=60°，根据∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB 即可得解；

（2）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ，则∠BOD=n m

2

﹣，故∠AOD=∠AOB+∠BOD=

n m 2+；图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ，则∠BOD=n m

2

+，故

∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m

2

-. 【详解】

解：（1）图1中∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=70°﹣50°=20°， ∵OD 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD=

1

2

∠BOC=10°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+10°=60°； 图2中∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°， ∵OD 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD=

1

2

∠BOC=60°， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=60°﹣50°=10°；

（2）根据题意可知∠AOB=m 度，∠AOC=n 度，其中090090180m n m n ＜＜，＜＜，＜+且m n ＜，

如图1中，

∠BOC=∠AOC ﹣∠AOB=n ﹣m ， ∵OD 是∠BOC 的平分线，

∴∠BOD=

12∠BOC=n m

2

﹣， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=n m

2

+；

如图2中，

∠BOC=∠AOC+∠AOB=m+n ， ∵OD 是∠BOC 的平分线，

∴∠BOD=

12∠BOC=n m 2

+， ∴∠AOD=∠BOD ﹣∠AOB=n m

2

-.

【点睛】

本题主要考查角平分线，解此题的关键在于根据题意进行分类讨论，所有情况都要考虑，切勿遗漏.

8．（1）-12,8-5t；（2）9

4

或

11

4

；（3）10；（4）MN的长度不变，值为10.

【解析】

【分析】

(1)根据已知可得B点表示的数为8﹣20；点P表示的数为8﹣5t；

(2)运动时间为t秒，分点P、Q相遇前相距2，相遇后相距2两种情况列方程进行求解即可；

(3)设点P运动x秒时追上Q，根据P、Q之间相距20，列方程求解即可；

(4)分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．

【详解】

(1)∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=20，

∴点B表示的数是8﹣20=﹣12，

∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒，

∴点P表示的数是8﹣5t，

故答案为﹣12，8﹣5t；

(2)若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2；

分两种情况：

①点P、Q相遇之前，

由题意得3t+2+5t=20，解得t=9

4；

②点P、Q相遇之后，

由题意得3t﹣2+5t=20，解得t=11 4，

答：若点P、Q同时出发，9

4

或

11

4

秒时P、Q之间的距离恰好等于2；

(3)如图，设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，

则AC=5x，BC=3x，

∵AC﹣BC=AB，

∴5x﹣3x=20，

解得：x=10，

∴点P运动10秒时追上点Q；

(4)线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：

①当点P在点A、B两点之间运动时：

MN=MP+NP=

12AP+12BP=12(AP+BP)=1

2

AB=10， ②当点P 运动到点B 的左侧时：

MN=MP ﹣NP=

12AP ﹣12BP=12(AP ﹣BP)=1

2

AB=10， ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为10． 【点睛】

本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 9．（1）13-；（2）P 出发23秒或4

3

秒；(3)见解析. 【解析】 【分析】

(1)由题意可知运动t 秒时P 点表示的数为-3+2t ，Q 点表示的数为1-t ，若P 、Q 相遇，则P 、Q 两点表示的数相等，由此可得关于t 的方程，解方程即可求得答案；

(2)由点P 比点Q 迟1秒钟出发，则点Q 运动了(t+1)秒，分相遇前相距1个单位长度与相遇后相距1个单位长度两种情况分别求解即可得；

(3)设点C 表示的数为a ，根据两点间的距离进行求解即可得. 【详解】

(1)由题意可知运动t 秒时P 点表示的数为-5+t ，Q 点表示的数为10-2t ； 若P ，Q 两点相遇，则有 -3+2t=1-t ， 解得：t=

4

3

， ∴413233

-+?

=-， ∴点P 和点Q 相遇时的位置所对应的数为1

3

-； (2)∵点P 比点Q 迟1秒钟出发，∴点Q 运动了(t+1)秒， 若点P 和点Q 在相遇前相距1个单位长度， 则()2t 1t 141+?+=-， 解得：2t 3

=

； 若点P 和点Q 在相遇后相距1个单位长度， 则2t+1×(t+1) =4+1，

解得：

4

t

3 =，

综合上述，当P出发2

3

秒或

4

3

秒时，P和点Q相距1个单位长度；

(3)①若点P和点Q在相遇前相距1个单位长度，

此时点P表示的数为-3+2×2

3

=-

5

3

，Q点表示的数为1-(1+

2

3

)=-

2

3

，

设此时数轴上存在-个点C，点C表示的数为a，由题意得

AC+PC+QC=|a+3|+|a+5

3

|+|a+

2

3

|，

要使|a+3|+|a+5

3

|+|a+

2

3

|最小，

当点C与P重合时，即a=-5

3

时，点C到点A、点P和点Q这三点的距离和最小；

②若点P和点Q在相遇后相距1个单位长度，

此时点P表示的数为-3+2×4

3

=-

1

3

，Q点表示的数为1-(1+

4

3

)=-

4

3

，

此时满足条件的点C即为Q点，所表示的数为

4

3 -，

综上所述，点C所表示的数分别为-5

3

和-

4

3

.

【点睛】

本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离，从中找到等量关系列出方程是解题的关键.本题也考查了分类讨论思想. 10．（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=5时，射线OC第一次平分∠MON.【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；

（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；

（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MON列方程求解即可．

【详解】

（1）①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，

∴∠COM=∠BOM=75°．

∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；

②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC．

（2）∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，

∴β=α+60°；

（3）设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，

∴30°+8t=5t+45°，∴t=5．

即t=5时，射线OC第一次平分∠MON．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．

11．（1）2（2）8或2；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据线段之间的和差关系求解即可；

（2）由于B点的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论；

（3）由（1）（2）可知MC=1

2

(a+b)或

1

2

(a-b）.

【详解】

解：解：（1）∵AC=10，BC=6，∴AB=AC+BC=16，

∵点M是AB的中点，

∴AM=1

2

AB

∴MC=AC-AM=10-8=2．

（2）线段MC的长度不只是（1）中的结果，

由于点B的位置不能确定，故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况：

①当B点在线段AC上时，

∵AC=10，BC=6，

∴AB=AC-BC=4，

∵点M是AB的中点，

∴AM=1

2

AB=2，

∴MC=AC-AM=10-2=8．

②当B点在线段AC的延长线上，

此时MC=AC-AM=10-8=2．

（3）由（1）（2）可知MC=AC-AM=AC-1

2

AB

因为当B 点在线段AC 的上，AB=AC-BC ，

故MC=AC-12 (AC-BC)=1 2 AC+12 BC=1

2

(a+b) 当B 点在线段AC 的延长线上，AB=AC+BC ，

故MC=AC-12（AC+BC ）=12 AC-12 BC=1

2

(a-b ）

【点睛】

主要考察两点之间的距离，但是要注意题目中的点不确定性，需要分情况讨论. 12．（1）16；（2）①t 的值为3或143秒；②存在，P 表示的数为31

4

. 【解析】 【分析】

（1）由数轴可知，AB=3,则CD=6,所以D 表示的数为16，

（2）①当运动时间是t 秒时，在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t, C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t ，分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可；②分情况讨论当t=3秒, t=14

3

秒时，满足3BD PA PC -=的点P , 注意P 为线段AB 上的点对x 的值的限制. 【详解】 （1）16

（2）①在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t,C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t.

当BC ＝2，点B 在点C 的右边时， 由题意得：32-10-2BC t t =+=（）， 解得：t ＝3，

当AD=2，点A 在点D 的左边时， 由题意得：16--22AD t t ==， 解得：t ＝

143

． 综上，t 的值为3或143

秒 ②存在，理由如下:

当t=3时，A 点表示的数为6，B 点表示的数为9，C 点表示的数为7，D 点表示的数为13. 则13-94-6|-7|BD PA x PC x ====，，，

-3BD PA PC =，

()4--6|-7|x x ∴=，

解得：314x =或112

， 又

P 点在线段AB 上，则69x ≤≤

314x ∴=

. 当143t =时，A 点表示的数为

283，B 点表示的数为373，C 点表示的数为16

3

，D 点表示的数为

343

. 则37343816-1-|-|3333BD PA x PC x =

===，，， -3BD PA PC =，

∴ 2816

1--

|-|33

x x ??= ??

?， 解得：7912x =或

17

6

， 又

283733x ≤≤， x ∴无解

综上，P 表示的数为31

4

.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t 秒时点A 、B 、C 、D 所表示的数,(2)根据3BD PA PC -=列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程．

13．(1) 2x =-和4x = ;(2) 35(4)11(43)35(3)x x x x x x --<-??

+-≤

【解析】 【分析】

（1）令x +2=0和x -4=0,求出x 的值即可得出|x +2|和|x -4|的零点值,

（2）零点值x =3和x =-4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:x ＜-4、-4≤x ＜3和x ≥3．分该三种情况找出324x x -++的值即可． 【详解】

解：（1）2x =-和4x =,

（2）由30x -=得3,x =由40x +=得4x =-,

①当4x <-时,原式()()32435x x x =---+=--, ②当4-≤3x <时,原式()()32411x x x =--++=+, ③当x ≥3时,原式()()32435x x x =-++=+,

综上所述：原式()35(4)11(43)353x x x x x x ?--<-?

=+-≤

,

【点睛】

本题主要考查了绝对值化简方法,解决本题的关键是要熟练掌握绝对值化简方法. 14．问题一、(1)32；（2）3-2x ；2x -3；13-6x ；问题一、（1）35；120；24011

. 【解析】 【分析】

问题一根据等量关系，路程=速度?时间，路程差=路程1-路程2，即可列出方程求解。 【详解】

问题一：(1)当甲追上乙时，甲的路程=乙的路程+3 所以，863x x =+

23x =

3

2

x =

故答案为

32

. (2) 当甲追上乙前，路程差=乙所行的路程+3-甲所行的路程； 所以，63832y x x x =+-=-.

当甲追上乙后，甲到达C 之前，路程差=甲所行的路程-3-乙所行的路程； 所以，83623y x x x =--=-.

当甲到达C 之后，乙到达C 之前，路程差=总路程-3-乙所行的路程； 所以，1636136y x x =--=-.

问题二：（1）由题意AB 为钟表外围的一部分，且∠AOB=30° 可知，钟表外围的长度为31236cm ?= 分针OD 的速度为336605cm

min

÷=

时针OE 的速度为136020

cm

min ÷=

故OD 每分钟转动35

cm ，OE 每分钟转动

1

20

cm . （2）4点时时针与分针的路程差为4312cm ?= 设x 分钟后分针与时针第一次重合。 由题意得，3112520

x x =+ 解得，240

11

x =

.