西北工业大学矩阵论PPT课件

矩阵论讲稿

讲稿编者：张凯院

使用教材：《矩阵论》（第2版）

西北工业大学出版社

程云鹏等编

辅助教材：《矩阵论导教导学导考》

《矩阵论典型题解析及自测试题》

西北工业大学出版社

张凯院等编

课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时

第三章8学时第六章8学时

第一章 线性空间与线性变换

§1.1 线性空间 一、集合与映射

1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S =

性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立

)21S S =2121,S S S a S a ⊆∈⇒∈∀即 1212,S S S b S b ⊆∈⇒∈∀即

交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+

例1 R}0{2221111∈

==j i a a a a A S R}0

{221211

2∈

==j i a a a a

A S ，21S S ≠ R},00{22112211

21∈

==a a a a A S S I R},0{211222211211

21∈=

==j i a a a a a a a A S S U R}{2221

1211

21∈

==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．

例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等．

Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的

.)(,2b a S b =∈σ记作 称σ为由到的映射；称为的象， 1S 2S b a a 2为b 的象源．

变换：当1S S =时，称映射σ为上的变换． 1S 例2 )2(R})({≥∈==×n a a A S j i n

n j i ．

映射1σ：A A det )(1=σ (R)→S 变换2σ：n I A A )det ()(2=σ ()S S → 二、线性空间及其性质

1．线性空间：集合V 非空，给定数域K ，若在V 中

(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即

V y x V y x ∈+∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足

(1) 结合律：)()()(V z z y x z y x ∈∀++=++

(2) 交换律：x y y x +=+ (3) 有零元：)(,V x x

x V ∈∀=+∈∃θθ使得

(4) 有负元：θ=−+∈−∃∈∀)(,)(,x x V x V x 使得.

(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即

V kx K k V x ∈∈∀∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足

(5) 数对元素分配律：)()(V y ky kx y x k ∈∀+=+ (6) 元素对数分配律：)()(K l lx kx x l k ∈∀+=+

(7) 数因子结合律：)()()(K l x

kl lx k ∈∀=

(8) 有单位数：单位数x x K =∈1,使得1. 则称V 为K 上的线性空间．

例3 R =K 时，n R —向量空间； n m ×R —矩阵空间

][t P n —多项式空间；—函数空间

],[b a C

C =K 时，—复向量空间； C —复矩阵空间

n C n m ×例4 集合}{是正实数m m =+R ，数域}{R 是实数k k =．

加法： mn n m n m =⊕∈+,R ,数乘： k m m k k m =⊗∈∈+R,,R 验证+R 是R 上的线性空间．

证 加法封闭，且(1)～(2)成立． (3) 1=⇒=⇒=⊕θθθm m m m

(4) m m m m m 1)(1)()(m =−⇒=−⇒=−⊕θ 数乘封闭，(5)～(8)成立．故+

R 是R 上的线性空间．

例5 集合R}),({212∈==i ξξξαR ，数域R ．设R ),,(21∈=k ηηβ．

运算方式1 加法： ),(2211ηξηξβα++=+

数乘： ),(21ξξαk k k =

运算方式2 加法： ),(112211ηξηξηξβα+++=⊕

数乘： ))1(2

1

,(2121ξξξα−+

=k k k k k o 可以验证与都是)(R 2⋅+)(R 2o ⊕R 上的线性空间．

[注] 在R 中, )(2o ⊕)0,0(=θ, ． ),(2121ξξξα+−−=−Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．

证 设与2θ都是V 的零元素, 则212211θθθθθθ=+=+=

1θ设与都是的负元素, 则由1x 2x x θ=+1x x 及θ=+2x x 可得

212111)()(x x x x x x x x ++=++=+=θ 22221)(x x x x x x =+=+=++=θθ

例6 在线性空间V 中，下列结论成立．

θ=x 0：θ=⇒=+=+x x x x x 01)01(01

θθ=k ：θθθθ=⇒=+=+k kx x k k )(kx

)()1(x x −=−：()()(]1)1[()]([)1()1x x x x x x x x −=−++−=−++−=−

2．减法运算：线性空间V 中，)(y x y x −+=−．

3．线性组合：K c V x x i i ∈∈若存在,,, 使m m x c x c x ++=L 11, 则称

x 是的线性组合，或者可由线性表示．

m x x ,,1L x m x x ,,1L 4．线性相关：若有不全为零，使得m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称

m x x ,,1L 线性相关．

5．线性无关：仅当全为零时，才有m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称

m x x ,,1L 线性无关．

[注] 在R 中, )(2o ⊕)1,1(1=α, )2,2(2=α线性无关；

)1,1(1=α, )3,2(2=α线性相关．（自证）

三、基与坐标

1．基与维数：线性空间V 中，若元素组满足 n x x ,,1L (1) 线性无关；

n x x ,,1L (2) V x ∈∀都可由线性表示．

n x x ,,1L 称为n x x ,,1L V 的一个基, 为n V 的维数, 记作n V =dim ，或者V . n 例7 矩阵空间n m ×R 中, 易见

(1) ),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==线性无关；

(2) ．

∑∑==×==m

i n

j j i j i n m j i E a a A 11)(故),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==是n m ×R 的一个基, .

mn n m =×dimR