“一动一静”碰撞模型及解题技巧(经典)

s 2

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s 1

v 0

v

“一动一静”碰撞模型及解题技巧(经典）

一、“一动一静”完全非弹性碰撞模型 建立模型

在光滑水平面上，质量为

的物体以初速度

去碰撞静止的物体

，碰后两物体粘在

一起具有共同的速度，这种碰撞称为“一动一静”完全非弹性碰撞，此时系统动能损失最大。 （1）基本特征

碰后两物体速度相等，由动量守恒定律得：

（2）功能关系

系统内力做功，实现系统动能与其它形式能量的转化。当两物体速度相等时，系统动能损失最大，即：

()2212112

1

21v m m v m E k +-=∆

二、 应用

（1）滑动摩擦力做功，系统动能转化为内能

例1. 在光滑水平面上，有一静止的质量为M 的木块，一颗初动量为的子弹mv 0，水平射入木块，并深入木块d ，且冲击过程阻力(f )恒定。 解析：()m v m m v 1112=+

()22121

21v m M mv E +-= 得：21)

(2v M m mM E +=

例2.如图所示，质量为M 的长木板静止在光滑水平面上，质量为m 的小物块以水平速度v0从长木板左端开始运动，为使小物块不从长木板右端滑落，长木板至少多长

分析：小物块不从长木板上滑落的临界情况是，当小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度，符合“一动一静”完全非弹性碰撞模型，系统损失的动能转化为系统产生的内能，结合摩擦生热公式可解出长木板的长度。

解：小物块不从长木板上滑落的临界情况是小物块滑至长木板右端时，二者刚好具有共同速度。据动量守恒定律：

()v

m M mv +=0

据能量的转化与守恒：

2

2

0)(2

12

1

v m M mv mgL +-=μ

联立解得：

)(220

m M g Mv L +=

μ 即为长木板的最小长度

例3.光滑水平面上静止一长木板A ，A 的两端各有一竖直挡板。另有一木块B （可视为质点）以的初速度v1=5m/s 向右运动，如图所示。若A 与B 之间的动摩擦因数μ=，且A 与B 的质量相等，求B 在A 上滑行的总路程（假设B 与挡板碰撞时无机械能损失）。

解析：B 在A 上来回滑动并与两挡板发生碰撞，由于滑动摩擦力的作用，B 最终必停在A 上并与A 以共同的速度运动。A 与B 之间的相互作用即为“一动一静”完全非弹性碰撞。

解：设A 与B 的质量均为m ，系统动量守恒，有

mv mv 12=

能量的转化与守恒：μmgs mv mv =-121

22122

·

解以上两式得：s v g m ==⨯⨯=122

45400510125μ..()

（2）重力做功，系统动能转化为重力势能

例4. 在光滑水平面上静止一质量为M 的斜面体，现有一质量为m 的小球以水平速度

滑上斜面，如图2所示。若斜面足够长且光滑，

求小球能在斜面上滑行的最大高度。

分析：小球滑上斜面后，只要小球水平方向的分速度大于斜面体的速度，小球将继续上滑，高度将继续增加，重力势能也继续增大。当二者的速度相等时，小球上升到最大高度，重力势能最大，系统动能的损失也最大。小球和斜面体之间的相互作用也可等效为“一动一静”完全非弹性碰撞，则

()()2

2112

121v

m M mv mgh v

M m mv m +-=+= 解以上两式得：

二、“一动一静”完全弹性碰撞模型

两小球弹性碰撞理论推导

设两个小球发生弹性碰撞

根据动量守恒定律，

112211

22m v m v m v m v ''+=+ （1） 根据弹性碰撞过程机械能守恒，

222

211221122

11112222

m v m v m v m v ''+=+ （2） 由（1）式移项，得

1111

2222m v m v m v m v ''-=- （3） 由（3）式，得

()()111

222m v v m v v ''-=- （4） 由（2）式移项，得

2222

1111

222211112222

m v m v m v m v ''-=- （5） 由（5）式，整理得

()()()()111

1122222m v v v v m v v v v ''''-+=-+ （6） 将（4）式代入（6）式左边，整理得

11

22v v v v ''+=+ （7） 由（1）和（7）式，解得

122

11212122m m m v v v m m m m -'=+++ （8）

211

2

212121

2m m m v v v m m m m -'=+++ （9）

例如：在光滑水平面上，质量为m1的物体以初速度v0去碰撞静止的物体m2，碰后的m1

速度是v1，m2的速度是v2，碰撞过程无机械能损失………… 求解：据动量守恒定律：

2

21101v m v m v m +=

据能量守恒定律得：22

2211201212121v m v m v m +=

得：0

212

11v m m m m v +-=

例5. 在光滑水平面上静止一质量为M 的斜面体，现有一质量为m 的小球以水平速度v 1滑上斜面，如图2所示。若斜面足够长且光滑，求小球和斜面体最后的速度。

例5答案：0m v M m M v +-=球，0m

2v M

m v +=斜

例6.如图所示，光滑水平面上，质量为2m 的小球B 连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m 的小球A 以初速度v 0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过一段时间，A 与弹簧分离，设小球A 、B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内。求

（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E ． （2）弹簧恢复原长时两球速度分别是多少方向如何

例6. 解：(1)当A 球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B 球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A 、B 速度相同时，弹簧的势能最大． 设A 、B 的共同速度为v ，弹簧的最大势能为E ，则： A 、B 系统动量守恒，有v m m mv )2(0+=

由机械能守恒：E v m m mv ++=220)2(2

1

21

联立两式得 2

03

1mv E =

(2) V1=﹣31VO V2=3

2

VO

练习：

1、在光滑水平面上，有一固定在绝缘底座上的平行板电容器，电容器右极板开有小孔，电容器连同底座总质量为M 。现有一质量为m ，带电量为的点电荷（不

计重力）以初速度

从小孔水平射入电容器，如图4所示。若电荷

m

2m

A B v 0

211

22v

m m m v +=