第2章滑模变结构控制基础
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滑模变结构控制的基本原理精品PPT课件
里亚普诺夫函数的必要条件
v x 1 ,.x .n . ,s x 1 ,.x .n .2,
在s=0附近v是一个非增函数，因此满足条件式
，
则定lim义d函ss数2 式0
x0 dt
是系统里的一个里亚
普诺夫函数。系v x 统1 ,本.身x .n就. 稳,s定x 1 ,于.条x .n件.2s,=0。
5.3 菲力普夫理论
ds lim x 0 dt
ds lim x 0 dt
ds lim x 0 dt
ds lim x 0 dt
ds lim x 0 dt
ds lim x 0 dt
ds 0 lim
x 0 dt ds
0 lim x 0 dt ds
0 lim x 0 dt
0 lim ds x 0 dt ds
两者的性质是不同的，其不同之处在于：系统的运动点到达
直线 q(x)x2 a1x10附近时，是穿越此直线而过的； 而运动点到达直线 q(x)x2c1x0附近时，是从直线两边 趋向此直线的。直线 q(x)x2c1x0具有一种“强迫”或
者“吸引”运动点沿此直线运动的能力。
5.2.1 滑动模态
在系统
dxf(x) xRn dt
ete2t et2e2t
b
0
1
5.1.1 开关控制
v =常数 2r 或 2r-m 因此
2 e t e 2 t
xt 2 e t 2 e 2 t
e t e 2 t x 10 e t 2 e 2 t x20
0.5et 0.5e2t
et e2t
v
或
x 1 x t 2 t2 x 1 0 2 x 1 0 x 2 0 x 2 1 0 e tv e x t 1 0 2 x 1 x 2 0 0 2 0 x 2 .5 0 v e 2 v te 0 2 t .5 v
课件：龙门吊车重物防摆的滑模变结构控制方案---20070311
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5 仿真实验
（3）准滑模伪变结构控制系统的仿真研究 这里采用“柔化sgn(s) 函数法”，即用一连续函U数(s)
U (s) s s sgn(s) s s
来代替不连续函数 sgn(s) ，如下图所示：
这种降低抖振的方法，也被称为“继电函数连续化的 准滑模伪变结构控制”，由于将继电函数连续化，所以系 统不再存在结构变化，故称之“伪变结构”。
Variable-step的ODE45算法。仿真结果如下图所示：
由上图可以看出，当系统仿真到1s左右时，速度非常慢，仿 真停滞不前。
Page17
5 仿真实验
（1）具有“不连续控制率”的系统仿真方法研究
结果分析：这是由于系统存在不连续模块sgn，当系统于 1s左右到达滑模面(s=0)时，sign模块向系统发出过零通知。 而当采用变步长求解器时，Simulink能够检测到过零。所以， 当Simulink检测到过零时，便自动缩小步长，可是在下一仿 真步长里，系统继续过零。因为滑模面在1s处不能正常归零， 所以sgn模块就反复过零，同时一直向求解器发出过零通知。 求解器便相应的一直不停的缩小步长，这样由于仿真步长太 小，系统便在不连续处形成了过多的点，超出了系统可用的 内存和资源，使得系统进展缓慢，仿真停滞不前。
x3
cos
x3
mx2 x32 sin x3
Dx1
f1
mx22 x3 2mx2 x2 x3 mx1x2 cos x3 mgx2 sin x3 x3 0
忽略空气阻尼的影响，可将上面的方程组转换成如下 形式，以便于滑模变结构控制器的设计：
x1
1 m0
(
f1
Dx1
f2
sin
x3 )
x2
5 仿真实验
（3）准滑模伪变结构控制系统的仿真研究 这里采用“柔化sgn(s) 函数法”，即用一连续函U数(s)
U (s) s s sgn(s) s s
来代替不连续函数 sgn(s) ，如下图所示：
这种降低抖振的方法，也被称为“继电函数连续化的 准滑模伪变结构控制”，由于将继电函数连续化，所以系 统不再存在结构变化，故称之“伪变结构”。
Variable-step的ODE45算法。仿真结果如下图所示：
由上图可以看出，当系统仿真到1s左右时，速度非常慢，仿 真停滞不前。
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5 仿真实验
（1）具有“不连续控制率”的系统仿真方法研究
结果分析：这是由于系统存在不连续模块sgn，当系统于 1s左右到达滑模面(s=0)时，sign模块向系统发出过零通知。 而当采用变步长求解器时，Simulink能够检测到过零。所以， 当Simulink检测到过零时，便自动缩小步长，可是在下一仿 真步长里，系统继续过零。因为滑模面在1s处不能正常归零， 所以sgn模块就反复过零，同时一直向求解器发出过零通知。 求解器便相应的一直不停的缩小步长，这样由于仿真步长太 小，系统便在不连续处形成了过多的点，超出了系统可用的 内存和资源，使得系统进展缓慢，仿真停滞不前。
x3
cos
x3
mx2 x32 sin x3
Dx1
f1
mx22 x3 2mx2 x2 x3 mx1x2 cos x3 mgx2 sin x3 x3 0
忽略空气阻尼的影响，可将上面的方程组转换成如下 形式，以便于滑模变结构控制器的设计：
x1
1 m0
(
f1
Dx1
f2
sin
x3 )
x2
直线永磁同步电动机伺服系统的滑模变结构控制
素 ，Ｉ 制则 不 能 满 足 。所 以现 代 控 制 算 法 更 多 ＰＤ控 地应 用 于伺 服 系统 ， 例如 滑模变 结构 控制 、 自适 应控
１直线 永磁 同步电动机运 动力学模 型
直线永磁 同步电动机 ｄ ｑ ， 轴数学模型 ：
ｄｉ ｄ
ｄ ＝
制等。文献［ ］ ５ 采用 自适应控制 ， 降低 电机参数 可
控 制器 ， 出的结果 根 据 换相 规 律 生 成 Ｐ 得 ＷＭ 波 ， 驱 ｊ
动电 压型逆变器功率开关管的导通和关断来控制流 藩 过绕组的电流。伺服系统主要包括滑模变结构速度 篡 控制器、 三相电压型逆变器、 ３ ２ 矢量变换模块、 缝 ／ 矢
由式 （ ） ７ 可得 ， ｃ Ｏ时 ， 态 ｅ按 为 时 间常 当 ＞ 状
数 以指数 变化 并趋 近 于零 ， 状态 渐近 稳定 。
２２滑模 控制 器设 计 。
１ 示。 所
度与实际速度比 较的差值经过速度控制器得到参考 篇 参考电流和实际电流比 较的差值再经过电流 ； 譬 滑模变结构控制采用等效控 制法 ， 结构 图如 图 电流，
法 鲁棒 性较 强 ， 足 之处 是适 用 于 建 立精 确 数 学 模 不
型的控 制 系统 ， 如果伺 服控 制系 统要求 高速 度 、 精 高
‘
果表明该控制方法能有效削弱输 出速度的抖 动性 ， 对 直线永 磁 同步 电动机伺 服 系统控 制技 术研 究有 参 考 价值 。
度、 高效率并且具有参数 不确定、 高度非线性等 因
定义状态变量 ｅ 一 ， 为速度 给定值 ， 为 ＝
动 子实 际速 度值 ， 据式 （ ） 可 以得 到状 态 误 差方 根 ３，
程：
＝ 一 ｅ 一 ＋ ＋
１直线 永磁 同步电动机运 动力学模 型
直线永磁 同步电动机 ｄ ｑ ， 轴数学模型 ：
ｄｉ ｄ
ｄ ＝
制等。文献［ ］ ５ 采用 自适应控制 ， 降低 电机参数 可
控 制器 ， 出的结果 根 据 换相 规 律 生 成 Ｐ 得 ＷＭ 波 ， 驱 ｊ
动电 压型逆变器功率开关管的导通和关断来控制流 藩 过绕组的电流。伺服系统主要包括滑模变结构速度 篡 控制器、 三相电压型逆变器、 ３ ２ 矢量变换模块、 缝 ／ 矢
由式 （ ） ７ 可得 ， ｃ Ｏ时 ， 态 ｅ按 为 时 间常 当 ＞ 状
数 以指数 变化 并趋 近 于零 ， 状态 渐近 稳定 。
２２滑模 控制 器设 计 。
１ 示。 所
度与实际速度比 较的差值经过速度控制器得到参考 篇 参考电流和实际电流比 较的差值再经过电流 ； 譬 滑模变结构控制采用等效控 制法 ， 结构 图如 图 电流，
法 鲁棒 性较 强 ， 足 之处 是适 用 于 建 立精 确 数 学 模 不
型的控 制 系统 ， 如果伺 服控 制系 统要求 高速 度 、 精 高
‘
果表明该控制方法能有效削弱输 出速度的抖 动性 ， 对 直线永 磁 同步 电动机伺 服 系统控 制技 术研 究有 参 考 价值 。
度、 高效率并且具有参数 不确定、 高度非线性等 因
定义状态变量 ｅ 一 ， 为速度 给定值 ， 为 ＝
动 子实 际速 度值 ， 据式 （ ） 可 以得 到状 态 误 差方 根 ３，
程：
＝ 一 ｅ 一 ＋ ＋
滑模变结构控制基本理论课件
图6 控制器u(t)局部轨迹
8
滑模变结构控制基本理论
例2 滑模观测器设计
系统模型如下同例1，但增加了一项故障项 fa (t)
x1 x2
x2
25x2
为状态变量，u为输入，y为输出，
fa (t)为未知非线性函数，代表故障。
设计任务：利用可测输入u和可测输出y对状态变量 x2 进行观测，对
滑模变结构控制基本理论
图9 故障及其重构值
图10 故障及其重构值局部图
滑模变结构控制基本理论
请大家指正
(CB)1[CAx ( sgn(s) ks)]
即 s 0, s 0,
u (t) (CB)1[CAx ks] u (t) (CB)1[CAx ks]
取
A
0 0
1 25
,
B
0 133
,C
c1
c2 15
1, 5, k 10
s Cx c1x1 x2 c1x1 x1
ui (x) ≠ ui (x)
(1) 存在滑动模态；
(2) 满足到达条件：即在切换面以外的相轨迹将于有限时间内到达
切换面；
(3) 滑模运动渐近稳定并具有良好的动态品质。
3
滑模变结构控制基本理论
滑模面设计:
滑模面的选取影响到变结构控制的性能， 线性结构的滑模面使系统处于滑动模态时， 稳定性分析简洁，参数设计容易，工程实现方便。
到达滑模面后： s 0,
c1x1 x1 0
x1(t) x1(0)ec1t
因为，c1 15 ,0所以上式收敛到零，且仅与c1有关，而与对象参数无关[不变性]。
6
滑模变结构控制基本理论
图1 滑模面运动相轨迹
图2 X1运动轨迹
滑模变结构控制理论及其在机器人中的应用研究共3篇
滑模变结构控制理论及其在机器人中的应用研究共3篇滑模变结构控制理论及其在机器人中的应用研究1滑模变结构控制（Sliding Mode Control，SMC）是一种非线性控制方法，具有高精度、强适应性、鲁棒性好等优点，因此被广泛应用于机器人控制领域。
其基本思想是构造一个滑模面，使系统状态到达该面后就会保持在该面上运动，在保证系统稳定性的同时达到控制目的。
本文将阐述滑模变结构控制的理论基础以及在机器人控制中的应用研究。
一、滑模变结构控制的理论基础1. 滑模面滑模面是滑模控制的核心概念，它是一个虚拟平面，将控制系统的状态分为两个区域：滑模面上和滑模面下。
在滑模面上，系统状态变化很小，具有惯性；而在滑模面下，系统状态变化很大，具有灵敏性。
在滑模控制中，系统状态必须追踪滑模面运动，并保持在滑模面上，进而实现控制目的。
2. 滑模控制定律滑模控制定律是滑模变结构控制的核心之一，主要由滑模控制器和滑模面组成。
滑模控制器将系统状态误差与滑模面上的虚拟控制输入之间做差，生成实际控制输入。
而滑模面则是根据控制目的和系统性质，通过手动选择滑模面的形状和大小来合理地设计。
例如，对于已知模型的系统，可使用小扰动理论来设计滑模面；而对于未知模型的系统，可使用自适应滑模控制来自动调节滑模面。
总体来说，滑模控制定律是一种强鲁棒控制方法，在快速响应、鲁棒性和适应性等方面都表现出色。
3. 滑模变结构控制滑模变结构控制是将滑模控制定律与变结构控制相结合形成的一种新型控制方法。
在滑模变结构控制中，滑模面被用来描述整个系统状态，而滑模控制定律则用来保证系统状态追踪滑模面的过程中，系统特征不会发生大的变化。
换句话说，滑模控制定律的目的是在系统状态到达滑模面后，控制系统能够迅速且平稳地滑过该面，进而保持在滑模面上稳定运动。
二、滑模变结构控制在机器人中的应用研究滑模变结构控制广泛应用于机器人控制领域，例如：机器臂控制、移动机器人控制、人形机器人控制等。
滑模变结构控制基本理论课件
04
CATALOGUE
滑模变结构控制的实现与仿真
滑模控制器的MATLAB/Simulink实现
控制器设计
根据滑模变结构控制原理，利用 MATLAB/Simulink进行控制器设计，
包括滑模面函数、控制律等。
控制器参数调整
根据仿真结果，调整控制器参数，优 化控制性能。
模型建立
根据被控对象模型，在Simulink中建 立相应的仿真模型。
基于模拟退火算法的滑模控制器优化
模拟退火算法是一种基于物理退火原 理的优化算法，通过模拟金属退火过 程，寻找最优解。
模拟退火算法具有全局搜索能力强、 能够处理离散和连续问题等优点，适 用于滑模变结构控制的优化问题。
在滑模控制器优化中，模拟退火算法 可以用于优化滑模面的设计、滑模控 制器的参数等，提高滑模控制器的性 能和鲁棒性。
滑模控制器稳定性的分析方法
滑模控制器稳定性的分析方法包括基于 Lyapunov函数的方法、基于Razumikhin函数的 方法等。
滑模控制器稳定性的判定准则
滑模控制器稳定性的判定准则包括Lyapunov稳 定性定理、Razumikhin稳定性定理等。
03
CATALOGUE
滑模变结构控制的优化方法
基于遗传算法的滑模控制器优化
1
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟基因突变、交叉和选择等过程，寻找最 优解。
2
在滑模控制器优化中，遗传算法可以用于优化滑 模面的设计、滑模控制器的参数等，提高滑模控 制器的性能和鲁棒性。
3
遗传算法具有全局搜索能力强、能够处理多变量 和非线性问题等优点，适用于滑模变结构控制的 优化问题。
案例分析
通过具体案例分析，深入了解滑模控制器在 实际应用中的优势和不足。
滑模变结构控制基础
2.1.3 系统结构定义 系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型，
称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它 有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
可编辑ppt
4
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.4 滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快
速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统 在线辨识、物理实现简单。
s(x)>0
A
B
C
s(x)<0
s(x)=0
可编辑ppt
10
2.3.1 右端不连续微分方程
若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状 态点趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此 时，称在切换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模 态”区域。系统在滑动模态区域中的运动就叫做“滑动 模态运动”。按照滑动模态区域上的点都必须是止点这 一要求，当状态点到达切换面附近时，必有：
所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为 了突出变结构这个特点，本书统称为滑模变结构控制。
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3
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.2 滑动模态定义
人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系 统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为 滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源 于此。
2.1.5 滑模控制缺点 当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模
态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点， 从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
可编辑ppt
5
2.2 滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代：
前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控 制的概念，研究对象：二阶线性系统。
称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它 有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
可编辑ppt
4
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.4 滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快
速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统 在线辨识、物理实现简单。
s(x)>0
A
B
C
s(x)<0
s(x)=0
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10
2.3.1 右端不连续微分方程
若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状 态点趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此 时，称在切换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模 态”区域。系统在滑动模态区域中的运动就叫做“滑动 模态运动”。按照滑动模态区域上的点都必须是止点这 一要求，当状态点到达切换面附近时，必有：
所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为 了突出变结构这个特点，本书统称为滑模变结构控制。
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3
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.2 滑动模态定义
人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系 统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为 滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源 于此。
2.1.5 滑模控制缺点 当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模
态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点， 从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
可编辑ppt
5
2.2 滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代：
前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控 制的概念，研究对象：二阶线性系统。
滑模变结构控制基础
滑模控制优点
当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
滑模控制缺点
2.1 滑模变结构控制简介
01
02
03
20世纪60年代：
20世纪50年代：
1977年：
2.2 滑模变结构控制发展历史
1
2
在切换面上的运动点有3种情况。 (1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图中点A所示。 (2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起点，如图中点B所示。 (3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点C所示。
（）
（）
（）
为了尽快使大家有关于滑模变结构控制系统的概貌，下面简述一个二阶系统例子。
二阶系统用相平面方法进行研究，可以获得系统的全部的动力学特性。继电系统，以及更一般的分区线性化方法，实际上已蕴含着变结构控制的概念。
特别有吸引力的是系统的结构可以有一个或两个本身是不稳定的，但通过适当切换，组成一个滑模变结构系统，可以赋予它良好的动态特性（第一章介绍的例子）。二阶系统的分区线性化相平面方法、继电系统的滑动运动等促成了滑模变结构控制理论的产生。
滑动模态定义
系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型，称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
系统结构定义
2.1 滑模变结构控制简介
滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。
当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
滑模控制缺点
2.1 滑模变结构控制简介
01
02
03
20世纪60年代：
20世纪50年代：
1977年：
2.2 滑模变结构控制发展历史
1
2
在切换面上的运动点有3种情况。 (1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图中点A所示。 (2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起点，如图中点B所示。 (3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点C所示。
（）
（）
（）
为了尽快使大家有关于滑模变结构控制系统的概貌，下面简述一个二阶系统例子。
二阶系统用相平面方法进行研究，可以获得系统的全部的动力学特性。继电系统，以及更一般的分区线性化方法，实际上已蕴含着变结构控制的概念。
特别有吸引力的是系统的结构可以有一个或两个本身是不稳定的，但通过适当切换，组成一个滑模变结构系统，可以赋予它良好的动态特性（第一章介绍的例子）。二阶系统的分区线性化相平面方法、继电系统的滑动运动等促成了滑模变结构控制理论的产生。
滑动模态定义
系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型，称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
系统结构定义
2.1 滑模变结构控制简介
滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。
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第2章 滑模变结构控制基础
2.1 滑模变结构控制简介 2.2 滑模变结构控制发展历史 2.3 滑模变结构控制基本原理
2.4 滑模变结构控制抖振问题
2.5 滑模变结构控制系统设计 2.6 滑模变结构控制应用
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.1 变结构控制（VSC）概念 本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控 制作用的不连续性。与其他控制策略的不同之处：系统 的“结构”并不固定，而是在动态过程中，根据系统当
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
图2.3.1
2.3.1 右端不连续微分方程
在切换面上的运动点有3种情况。
(1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点 穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图2.3.1中点 A所示。 (2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起 点，如图2.3.1中点B所示。 (3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图2.3.1 中点C所示。
（2.3.4）
满足上述到达条件，状态点将向切换面趋近，切换面为 止点区。
2.3.2 滑模变结构控制的定义
有一控制系统状态方程为
x f ( x, u, t ) x n u
需要确定切换函数
s( x )
s
（2.3.5）
（2.3.6）
求解控制作用
u ( x ) , u ( x ),
s0 lim s 0 lim s 0 s 0
（2.3.2）
式（2.3.2）称为局部到达条件。
2.3.1 右端不连续微分方程
对对局部到达条件扩展可得全局到达条件：
ss 0
相应地，构造李雅普诺夫型到达条件：
1 2 V s 2 V 0
（2.3.3）
研究对象：高阶线性单输入单输出系统。主要讨 论高阶线性系统在线性切换函数下控制受限与不受限 及二次型切换函数的情况。 1977年：
Utkin发表一篇有关变结构控制方面的综述论文， 系统提出变结构控制VSC和滑模控制SMC的方法。
2.2 滑模变结构控制发展历史 此后
各国学者开始研究多维滑模变结构控制系统，由规范空 间扩展到了更一般的状态空间中。
2.3.1 右端不连续微分方程
微分方程在 s( x ) 0上没有定义，因此需确定其上系 统微分方程：
x f ( x , u0 ) s( x )=0
（2.3.2）
独立变量变为n-1个，滑模面上方程较原方程阶数降低。
我们称 s( x ) 0为不连续面、滑模面、切换面。它将 状态空间分为两部分，如图2.3.1所示。
f ( x, u ) f ( x, u ), s( x ) 0 （2.3.1） f ( x, u ) f ( x , u ) f ( x , u ), s( x ) 0 s( x ) 其中：s( x) s( x1 , x2 ,..., xn ) 是状态的 函数，称为切换函数。 f ( x, u ) 满足可微分，即 存在。 微分方程的右端 不连续， f ( x, u ) 结构变化得到体现，即根据条件 的正负改变结构 x) f ( x, u) ds(为另一种系统结构。 x 为一种系统结构， （ dt 从而满足一定的控制要求。
我国学者贡献： 高为炳院士等首先提出趋近律的概念，首次提出了自由 递阶的概念。
滑模控制对系统的参数摄动和外部干扰的不变性是以控制 量的高频抖振为代价。
2.3 滑模变结构控制基本原理
2.3.1 右端不连续微分方程 一般地，具有右端不连续微分方程的系统可以描述为
x f ( x, u )
x n u
前的状态有目的地不断变化。
结构的变化都能滑
模控制，而滑模控制是变结构控制中最主流的设计方法。
所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为 了突出变结构这个特点，本书统称为滑模变结构控制。
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.2 滑动模态定义 人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系 统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为
滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源
于此。 2.1.3 系统结构定义 系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型， 称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它 有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.4 滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快 速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
2.3.1 右端不连续微分方程
若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状 态点趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此 时，称在切换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模 态”区域。系统在滑动模态区域中的运动就叫做“滑动 模态运动”。按照滑动模态区域上的点都必须是止点这 一要求，当状态点到达切换面附近时，必有：
在线辨识、物理实现简单。
2.1.5 滑模控制缺点
当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模
态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点， 从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
2.2 滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代： 前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控 制的概念，研究对象：二阶线性系统。 20世纪60年代：
s( x ) 0 s( x ) 0
（2.3.7）
滑模变结构控制三要素：
(1)满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都将在有限 时间内到达切换面； (2) 滑动模态存在性； (3) 保证滑动模态运动的渐近稳定性并具有良好的动态品质。
2.3.3 二阶滑模变结构控制实例 为了尽快使大家有关于滑模变结构控制系统的概貌， 下面简述一个二阶系统例子。
2.1 滑模变结构控制简介 2.2 滑模变结构控制发展历史 2.3 滑模变结构控制基本原理
2.4 滑模变结构控制抖振问题
2.5 滑模变结构控制系统设计 2.6 滑模变结构控制应用
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.1 变结构控制（VSC）概念 本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控 制作用的不连续性。与其他控制策略的不同之处：系统 的“结构”并不固定，而是在动态过程中，根据系统当
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
图2.3.1
2.3.1 右端不连续微分方程
在切换面上的运动点有3种情况。
(1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点 穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图2.3.1中点 A所示。 (2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起 点，如图2.3.1中点B所示。 (3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图2.3.1 中点C所示。
（2.3.4）
满足上述到达条件，状态点将向切换面趋近，切换面为 止点区。
2.3.2 滑模变结构控制的定义
有一控制系统状态方程为
x f ( x, u, t ) x n u
需要确定切换函数
s( x )
s
（2.3.5）
（2.3.6）
求解控制作用
u ( x ) , u ( x ),
s0 lim s 0 lim s 0 s 0
（2.3.2）
式（2.3.2）称为局部到达条件。
2.3.1 右端不连续微分方程
对对局部到达条件扩展可得全局到达条件：
ss 0
相应地，构造李雅普诺夫型到达条件：
1 2 V s 2 V 0
（2.3.3）
研究对象：高阶线性单输入单输出系统。主要讨 论高阶线性系统在线性切换函数下控制受限与不受限 及二次型切换函数的情况。 1977年：
Utkin发表一篇有关变结构控制方面的综述论文， 系统提出变结构控制VSC和滑模控制SMC的方法。
2.2 滑模变结构控制发展历史 此后
各国学者开始研究多维滑模变结构控制系统，由规范空 间扩展到了更一般的状态空间中。
2.3.1 右端不连续微分方程
微分方程在 s( x ) 0上没有定义，因此需确定其上系 统微分方程：
x f ( x , u0 ) s( x )=0
（2.3.2）
独立变量变为n-1个，滑模面上方程较原方程阶数降低。
我们称 s( x ) 0为不连续面、滑模面、切换面。它将 状态空间分为两部分，如图2.3.1所示。
f ( x, u ) f ( x, u ), s( x ) 0 （2.3.1） f ( x, u ) f ( x , u ) f ( x , u ), s( x ) 0 s( x ) 其中：s( x) s( x1 , x2 ,..., xn ) 是状态的 函数，称为切换函数。 f ( x, u ) 满足可微分，即 存在。 微分方程的右端 不连续， f ( x, u ) 结构变化得到体现，即根据条件 的正负改变结构 x) f ( x, u) ds(为另一种系统结构。 x 为一种系统结构， （ dt 从而满足一定的控制要求。
我国学者贡献： 高为炳院士等首先提出趋近律的概念，首次提出了自由 递阶的概念。
滑模控制对系统的参数摄动和外部干扰的不变性是以控制 量的高频抖振为代价。
2.3 滑模变结构控制基本原理
2.3.1 右端不连续微分方程 一般地，具有右端不连续微分方程的系统可以描述为
x f ( x, u )
x n u
前的状态有目的地不断变化。
结构的变化都能滑
模控制，而滑模控制是变结构控制中最主流的设计方法。
所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为 了突出变结构这个特点，本书统称为滑模变结构控制。
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.2 滑动模态定义 人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系 统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为
滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源
于此。 2.1.3 系统结构定义 系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型， 称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它 有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.4 滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快 速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
2.3.1 右端不连续微分方程
若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状 态点趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此 时，称在切换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模 态”区域。系统在滑动模态区域中的运动就叫做“滑动 模态运动”。按照滑动模态区域上的点都必须是止点这 一要求，当状态点到达切换面附近时，必有：
在线辨识、物理实现简单。
2.1.5 滑模控制缺点
当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模
态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点， 从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
2.2 滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代： 前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控 制的概念，研究对象：二阶线性系统。 20世纪60年代：
s( x ) 0 s( x ) 0
（2.3.7）
滑模变结构控制三要素：
(1)满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都将在有限 时间内到达切换面； (2) 滑动模态存在性； (3) 保证滑动模态运动的渐近稳定性并具有良好的动态品质。
2.3.3 二阶滑模变结构控制实例 为了尽快使大家有关于滑模变结构控制系统的概貌， 下面简述一个二阶系统例子。