几何图形变化过程
探究几何图形变化过程中性质的变化规律
数学不仅是思维科学，也是实验科学，要求通过实验操作、观察猜想等推理，得到数学结论．近年来，河北省常以此来考查学生的数学实践能力和创新能力，这种实验操作形式也成为进行科学研究的最基本形式．所以在中考中会一直占据重要位置．
我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变化，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”，主要思考方向有：
1．化归到基本图形的“变换性质”；
2．沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性；
3．善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”；
4．善于在情景比较中把握知识或方法的共同点．
专题精讲
题型一 化归到基本图形的变换性质
例1（(2011湖南岳阳)如图①．将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，得到△ABD和△ECF．固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在—起．
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合)，FE交DA于点G(G点不与D点重合)．
求证：2BHGDBF
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合)，
且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE。交FE于点G，连接DG。
探究：FDDG_________．请予证明．
分析：此题的背景虽然是由菱形产生，但归结到底只是相似基本图形的其中一种。 如图，只要图中带
的三个角相等，那么就会出现相似三角形。
解：（1）当点A在△CEF内部时如图
∵△ABD和△CEF是菱形纸片沿对角线剪开得到的
∴△ABD≌△CEF
∴∠B=∠D=∠CFE=∠E
∵∠DFC=∠CFE+∠GFD=∠B+∠BHF
∠CFE=∠B
∴∠BHF=∠DFG
∴∠BHF∽∠DFG即BD·DG=BF·DF
∵BF=DF ∴BH·DG=BF
(当点A在△CEF外部时，同理可证，只证明一种情况给满分)
（2）FD+DG=DB或FD+DG=EF
证明：∵AG∥CE
∴∠FAG=∠C ∠FGA=∠E
又∵∠BAD=∠C
∴∠BAD－∠FAD=∠FAG－∠FAD
即∠BAF=∠DAG
又∵∠FGA=∠E ∠E=∠CFE
∴∠FGA=∠CFE ∴ AF=AG ∵AB=AD
所以△ABF≌△ADG
∴BF=DG BD=BF+FD=DG+FD
即FD+DG=DB或FD+DG=EF
对应训练
（10山东临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．
答案
(1) △ABC为等腰直角三角形。 如图1，在矩形ABED中，∵点C是边DE的中点， 且AB=2AD，∴AD=DC=CE=EB，D=E=90， ∴Rt△ADCRt△BEC。∴AC=BC，1=2=45，∴ACB=90，∴△ABC为等腰直角三角形。
(2) DE=ADBE；
如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵1CAD=90，12=90， ∴CAD=2。又∵AC=CB，ADC=CEB=90，∴Rt△ADCRt△CEB。∴DC=BE，CE=AD，∴DCCE=BEAD，即DE=ADBE。
(3) DE=BEAD。
如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，∵1CAD=90，12=90，∴CAD=2，又∵ADC=CEB=90，AC=CB，
∴Rt△ADCRt△CEB，∴DC=BE，CE=AD，∴DCCE=BEAD，即DE=BEAD。
题型二 借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一性和差异性来获得解法
例2 （2011浙江嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由． 图1 图2
图3
1
A B C D E
图1 2 M N
A B C
D E
图2 1 2 A B C
D E
M N
图3 1 2
分析 考察三个图形的统一性：向外作等腰直角三角形，从而得到边等角互余等条件，因此结论仍然成立．
【答案】（1）四边形EFGH是正方形．
(2) ①∠HAE=90°＋a．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；
∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．
②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=22AB，DG=22CD，
在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，
∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．
③四边形EFGH是正方形．
由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，
∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，
又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
对应训练
（09河北）在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
答案
（1） 证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，又∵点N与点G重合，点M与点C重合，∴FB = BM = MG =
MD = DH，
∠FBM =∠MDH = 90°．∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH．
∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM．
（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
且MB=CD=DH．∴四边形BCDM是平行四边形．∴ ABCDHEFG（图2） EBFGDHAC（图3） （图1） ABCDHEFG14-1 A H
C(M) D E B F G(N)
G
14-2 A H
C
D
E B F N
M
A H C
D
E 14-3 B F G
M N
图2 A H
C
D
E B F G N
M P
∠CBM =∠CDM．
又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH， 且∠MFB =∠HMD．
∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．∴△FMH是等腰直角三角形．
（3）是．
题型三 善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”
例3（09牡丹江）已知RtABC△中，90ACBCCD，∠，为AB边的中点，90EDF°，
EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS△△△．
当EDF绕D点旋转到DEAC和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEFS△、CEFS△、ABCS△又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
分析 图2、图3可借助与图1的关系来获得结论，也就是善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”．分别过点D作DM⊥AC交AC于M，DN⊥BC交BC于N，得图4和图5，在图4和图5中，易得△MDE≌△NDG．
解：图2成立；图3不成立． 证明图2：过点D作DMACDNBC， 则90DMEDNFMDN°再证MDENDFDMDN，有DMEDNF△≌△
DMEDNFSS△△DEFCEFDMCNDECFSSSS△△四边形四边形
由信息可知12ABCDMCNSS△四边形 12DEFCEFABCSSS△△△
图3不成立，DEFCEFABCSSS△△△、、的关系是：12DEFCEFABCSSS△△△
对应训练：
（09山东）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
解：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点，
∴ CG=12FD．同理，在Rt△DEF中， EG=12FD．
∴ CG=EG．
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．
在△DMG与△FNG中， A
E
C F B D
图1 图3 A
D
F
E C B A
D
B C E
图2 F
图4 A
D
B C E M
N F
F B A D
学前儿童数学教育活动指导 第七单元 学前儿童几何图形的发展与教育
第七单元 学前儿童几何图形的发展与教育。
（1）学前儿童认识几何图形的发展
一、图形的基本概念及分类
1.几何图形的概念
几何图形是对客观物体形状的抽象和概括，具有普遍性和典型性。
2.几何图形的分类
几何图形是指点、线、面及它们的几何，包括平面图形和立体图形。
学前儿童对平面图形的学习主要包括：圆形、正方形、三角形、长方形、椭圆形和梯形等。
学前儿童对立体图形的学习包括：球体、圆柱体、长方体、正方体、圆锥体等。
二、学前儿童认识几何图形的一般特点
1.认识各种几何图形的顺序
学前儿童在认识几何图形时表现出明显的顺序性，遵循先平面图形后立体图形的顺序。
学前儿童认识平面图形的一般顺序为：圆形、正方形、三角形、长方形、半圆形、椭圆形、梯形、菱形等。 学前儿童认识立体图形的一般顺序为：球体、立方体、圆柱体、长方体、圆锥体等。
学前儿童认识立体图形时易与平面图形混淆。
2.几何图形感知与词的联系
学前儿童从初步感知几何图形的外部特征到能够用相应的词语对其命名和表达，需要经历一个发展过程。相关学者认为这一发展需要经过配对、指认、命名的过程。
配对（匹配）是指找出与给定的范例图形相同的几何图形，学前儿童不必知道这些图形的名称，只要找出相对应的图形即可。比如教师提供圆形的样例，问幼儿“你能找出和它一样的图形吗？”，孩子能从多种图形中把圆形找出来即可。
指认是指学前儿童根据教师说出的几何图形的名称，指出相对应的几何图形，即不用自主说出几何图形的名称，但是当出现这个几何图形的名称时，学前儿童知道所指的是哪个几何图形。
命名是指学前儿童自主说出给定几何图形的名称。
学前儿童辨认几何图形的难易程度：配对（匹配）最容易，指认次之，命名最难。
1.3～4岁（小班）学前儿童认识几何图形的特点 能够正确认识和区分圆形、正方形、三角形，并且能够按照这些几何图形找出实际生活中与之相对应的物品，对其他平面图形具备一定的匹配能力，能够根据成人给出的例子找出相匹配的图形。
初中数学图与图形的变换精讲
图形与图形的变换
1．图形的初步认识
①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根
据三视图描述基本几何体或实物原型．
②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．
③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．
④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．
⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相
等、对顶角相等．
⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅
有一条直线垂直于已知直线．
⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．
⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直
线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称
①认识轴对称．
②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．
③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．
④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．
⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关
性质．
⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转
①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；
掌握选用平移进行图案设计．
②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成
的角彼此相等的性质．
③了解平行四边形、圆是中心对称图形．
④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．
⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．
⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说
中考数学压轴题专题十动态几何问题
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
1 中考数学压轴题专题十 动态几何问题
试题特点
用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．
方式趋势
动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．
热点解析
一、点的运动
【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象
交于点A，且与x轴交于点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点
P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向
点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移
过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点
P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点
P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【思路】 (1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．
(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2024年高考数学总复习：立体几何中的动态问题
第1页共5页2024年高考数学总复习：立体几何中的动态问题
[解题策略]
立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转．就
所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离．立体几何动
态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中
也时有出现．在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，
动中求静，往往能以静制动、克难致胜．
1．去掉枝蔓见本质——大道至简
在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的
点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题
的关键．
例1如图1，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD－A
1B
1C
1D
1的棱长为2.点A是直线l
上的动点，点B
1在平面α内，则点O到线段CD
1中点P的距离的最大值为________．
图1
答案
2＋2
解析从图形分化出4个点O，A，B
1，P，其中△AOB
1为直角三角形，固定AOB
1，点P的
轨迹是在与AB
1垂直的平面上且以AB
1的中点Q为圆心的圆，
从而OP≤OQ＋QP＝1
2AB
1＋2＝2＋2，
当且仅当OQ⊥AB
1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB
1与平面α成45°角．
2．极端位置巧分析——穷妙极巧
在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊
之要害，往往能直取答案．
例2在正四面体A－BCD中，E为棱BC的中点，F为直线BD上的动点，则平面AEF与
平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是________．
答案2
3，1
解析本例可用极端位置法来加以分析．
中班数学公开课教案《图形变变变》含反思
中班数学公开课教案《图形变变变》含反思
教学目标
1. 通过本课学习，让学生能够认识和分类几何图形，了解图形的特点和性质。
2. 让学生掌握各种二维图形的变化规律，进一步提高学生的逻辑思维和数学能力。
3. 培养学生的观察力、创造力，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
教学内容
课程概述
在这节中班数学公开课中，我们将通过教师的讲解、PPT展示、互动讨论、绘画等多种教学方式来帮助学生了解和掌握几何图形的分类和变化规律。并通过实际的练习和游戏等活动来培养学生的观察力、创造力和数学思维能力。
课程内容
1. 几何图形的分类和命名
– 点、线、面的定义和认识
– 通过几何图形的性质和特点来分类和命名图形
2. 图形的变化规律
– 平移、旋转、翻转、对称等几何变换的介绍和认识
– 练习不同变换方式对图形造成的影响和变化规律
3. 游戏活动
– 童话大世界：以幻想的形式让学生操作图形实现任务挑战
– 图形摆钟：让学生根据指引，摆放出一个完整的图形钟 教学过程
第一部分 几何图形的分类和命名
1. 教师向学生介绍点、线、面的定义，让学生能够清楚地认识和区分几何图形的基本元素。
2. 教师通过对不同几何图形的性质和特征进行介绍和讨论，让学生了解各类几何图形的特点和命名方法，并结合实际的教学案例进行展示。
3. 通过课堂互动讨论，让学生能够自主地发现和总结几何图形的命名方式和特征，巩固和提高学生对几何图形的认识。
第二部分 图形的变化规律
1. 教师向学生介绍平移、旋转、翻转、对称等几何变换的定义和规律，并通过PPT、图示等形式进行展示和说明，让学生了解这些变换方式对几何图形的影响和变化规律。
2. 让学生进行实际操作，绘制不同的图形并进行不同的变换，让学生能够亲身体验和感受几何图形的变化过程和规律。
3. 针对不同的图形和变换规律，让学生进行练习和提示，加深对图形变化规律的理解和掌握。
第三部分 游戏活动
1. 童话大世界：让学生以玩游戏的形式，在幻想的世界中操作图形，实现任务挑战，锻炼学生的想象力和创造力。
2020年江苏省中考数学试题分类汇编(8)——图形的变化(含答案)
第 1 页 共 29 页 2020年江苏省中考数学试题分类（8）——图形的变化
一．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
1．（2020•无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC=√3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=√32，则线段DE的长度（ ）
A．√63 B．√73 C．√32 D．2√75
2．（2020•南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求𝐴𝐴𝐴𝐴的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
3．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=√33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
二．平移的性质（共1小题）
4．（2020•镇江）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于 ． 第 2 页 共 29 页 三．旋转的性质（共1小题）
5．（2020•苏州）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．20° C．24° D．28°
四．旋转对称图形（共1小题）
6．（2020•镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转 °后能与原来的图案互相重合．
五．中心对称图形（共1小题）
中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)
专题七 几何图形动点运动问题
【考题研究】
几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．
【解题攻略】
几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．
【解题类型及其思路】
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 ,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
解题类型：
几何动点运动问题常见有两种常见类型：
(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；
(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题
【典例指引】
类型一 【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】
平面几何的相似变换
平面几何的相似变换
相似变换是平面几何中一种重要的变换方式，它能够保持图形的形状和内部角度不变，只改变图形的大小和位置。在本文中，我们将探讨相似变换的定义、性质以及在实际应用中的重要性。
一、相似变换的定义与性质
相似变换是指通过等比例变换将一个图形变为另一个相似的图形的过程。具体而言，对于平面上的两个图形A和B，如果存在一个正实数k使得图形B可以通过对图形A的所有点进行平移、旋转和等比例缩放，那么我们说图形A和B是相似的，而这个变换过程就是相似变换。
相似变换具有以下性质：
1. 相似变换保持图形的形状和内部角度不变，只改变图形的大小和位置。
2. 相似变换可以创建无限个相似图形，只需要改变比例因子即可。
3. 相似变换是可逆的，即如果图形A和B相似，那么图形B也与图形A相似。
4. 相似变换是传递的，即如果图形A和B相似，图形B和图形C相似，那么图形A和图形C也相似。
二、相似变换的实际应用
相似变换在实际应用中有着广泛的用途，具体包括以下几个方面： 1. 测量与测绘
在测量与测绘领域中，相似变换可以通过测量几何图形的边长和角度，生成与原图形相似但大小不同的图形。这在地图制作、工程设计等领域具有很大的实用价值。
2. 设计与建模
相似变换在设计与建模中也有着重要的应用。例如，建筑师可以通过相似变换将一幅平面设计图按照比例缩放，从而得到真实建筑的具体尺寸。此外，在三维建模中，相似变换也可以用来生成不同大小的模型。
3. 图像处理与计算机视觉
在图像处理与计算机视觉领域，相似变换可以通过改变像素点的位置、旋转角度和缩放比例，实现图像的放大、缩小和旋转等功能。这在数字摄影、视频处理和图像识别等领域被广泛应用。
4. 几何推理与证明
相似变换在几何推理与证明过程中也扮演着重要的角色。通过观察图形的相似性质，我们可以推导出一些几何定理，并且可以运用这些定理来解决实际问题。
总结：
相似变换作为平面几何中重要的变换方式，不仅具有丰富的数学性质，还在实际应用中发挥着重要的作用。通过相似变换，我们可以在测绘、建模、图像处理以及几何推理等领域处理和解决各种实际问题。因此，深入理解相似变换的定义和性质，并熟练应用它们，对于我们的数学学习和实际工作具有重要意义。
演变过程从立体几何到空间几何的发展
演变过程从立体几何到空间几何的发展
立体几何和空间几何是数学中重要的分支，它们主要研究物体在三维空间中的形状、尺寸、位置和图形之间的关系。本文将从历史的角度出发，探讨立体几何如何演变为现代的空间几何，并分析这一演变对数学和其他学科的影响。
古希腊时期，立体几何的发展可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯学派。这一学派非常关注已知线段长度和他们之间的比例，通过勾股定理等方法研究尺寸测量和图形构造。然而，这些早期的立体几何研究主要集中在平面内进行，对于三维空间的研究还比较有限。
直到欧几里德的《几何原本》出版，立体几何才开始迈向空间几何的发展。欧几里德的几何体系不仅完善了早期的理论，还引入了一系列公理和定理，令立体几何的推理更加严谨。他将直线、平面、点等基本概念引入到三维空间中，并以此为基础，深入研究立体的性质和关系。欧几里德的几何体系成为了后世几何学的基石，直到近代仍然被广泛使用。
然而，随着科学技术的进步，对立体几何更深入的研究需求日益增长。在17世纪，笛卡尔为了解决几何和代数的联系问题，引入了坐标系的概念，将几何图形转化为代数表达式。这一创新为空间几何的发展打开了新的大门。通过笛卡尔坐标系，数学家们可以将曲线、曲面和立体图形表达为数学方程，从而更加方便地进行研究和计算。这一方法奠定了空间几何的基础，为后来的数学和物理学领域的发展奠定了重要的基础。 随着科学技术的不断进步，立体几何向空间几何的演变变得越来越明显。在20世纪，爱因斯坦的相对论理论和量子力学的发展大大拓展了对空间结构和属性的研究。相对论主要研究了时空的弯曲和扭曲，量子力学则研究了微观粒子在空间中的位置和运动。这些新的物理理论和数学方法使得空间几何的研究更加复杂和深入，推动了空间几何的发展。
除了对数学的影响外，空间几何的发展还对其他学科产生了重要的影响。在物理学中，空间几何的研究为解释物体的运动、力学模型的建立等提供了基础。在工程学和建筑学中，空间几何的应用使得建筑师和工程师能够更好地理解和设计建筑物的结构和形状。在计算机科学中，空间几何的算法和模型被广泛应用于计算机图形学、虚拟现实和三维模拟等领域。
图形的平移与旋转
图形的平移与旋转（1）
知识概述
1、生活中的平移．
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
2、简单的平移作图．
二、重点知识归纳及讲解
1、图形的平移是日常生活中比较常见的几何图形变换形式，属全等变化的一种情况．平移不改变图形的大小和形状，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
2、对于简单的平移作图，要注意选好一个“基本图形”，把基本图形中的每一个点都沿着相同的方向平行移动相同的距离，再连结相应线段，就可得到平移后的图形．
三、难点知识剖析
1、如图（1），将△ABC在图中平移，（平移时△ABC的三个顶点一定落在图中两线交点上），最多能平移几次？
分析：
抓住将三角形ABC平移，就是将顶点A、B、C向同一方向平移相同的单位．
解答：
能平移三次，具体做法见图（2）．
将△ABC先向下移一个单位得到△AˊBˊCˊ，再沿AˊCˊ向左上方平移到△A"B"C"处，然后向下平移到△位置．
2、如图，经过平移，四边形的顶点A移到了点E，作出平移后的四边形EFGH．
分析： 根据平移的对应线为平行且相等的性质作图．
解答：
分别过B、C、D三点向右方作AE的平行线，并依次截取BH=AE，CG=AE，DF=AE，再连接成四边形EFGH，即为平移后的四边形．
一、选择题
1、如图，A、B、C、D是视力表中一行图案，可以通过平移图形①得到的是（ ）
A．
B． C． D．
2、下列各商标图案是利用平移来设计的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、在图中，由△ABC平移而得到的三角形共有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4、下面A、B、C、D四个图案，那么平移图案（1），得到图案（ ）
A．
B．