几何图形变化过程

探究几何图形变化过程中性质的变化规律

数学不仅是思维科学，也是实验科学，要求通过实验操作、观察猜想等推理，得到数学结论．近年来，河北省常以此来考查学生的数学实践能力和创新能力，这种实验操作形式也成为进行科学研究的最基本形式．所以在中考中会一直占据重要位置．

我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变化，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”，主要思考方向有：

1．化归到基本图形的“变换性质”；

2．沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性； 3．善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”； 4．善于在情景比较中把握知识或方法的共同点． 专题精讲

题型一 化归到基本图形的变换性质

例1（(2011湖南岳阳)如图①．将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，得到△ABD 和△ECF ．固定△ABD ，并把△ABD 与△ECF 叠放在—起．

（1）操作：如图②，将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交BA 于点H(H 点不与B 点重合)，FE 交DA 于点G(G 点不与D 点重合)． 求证：2BH GD BF ?=

（2）操作：如图③，△ECF 的顶点F 在△ABD 的BD 边上滑动(F 点不与B 、D 点重合)， 且CF 始终经过点A ，过点A 作AG ∥CE 。交FE 于点G ，连接DG 。 探究：FD DG +=_________．请予证明．

分析：此题的背景虽然是由菱形产生，但归结到底只是相似基本图形的其中一种。 的三个角相等，那么就会出现相似三角形。

解：（1）当点A 在△CEF 内部时如图

∵△ABD 和△CEF 是菱形纸片沿对角线剪开得到的

∴△ABD ≌△CEF ∴∠B=∠D=∠CFE=∠E

∵∠DFC=∠CFE+∠GFD=∠B+∠BHF ∠CFE=∠B ∴∠BHF=∠DFG

∴∠BHF ∽∠DFG 即BD ·DG=BF ·DF ∵BF=DF ∴B H ·DG=BF

(当点A 在△CEF 外部时，同理可证，只证明一种情况给满分) （2）FD+DG=DB 或FD+DG=EF 证明：∵AG ∥CE

∴∠FAG=∠C ∠FGA=∠E

∴∠BA D －∠FAD=∠FA G －∠FAD 即∠BAF=∠DAG

又∵∠FGA=∠E ∠E=∠CFE

∴∠FGA=∠CFE ∴ AF=AG ∵AB=AD 所以△ABF ≌△ADG

∴BF=DG BD=BF+FD=DG+FD 即FD+DG=DB 或FD+DG=EF

对应训练

（10山东临沂）如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB = 2AD ．

（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；

（2）保持图1中ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．

答案 (1) △ABC 为等腰直角三角形。 如图1，在矩形ABED 中，∵点C 是边DE 的中点， 且AB =2AD ，∴

AD =DC =CE =EB ，∠D =∠E =90?， ∴Rt △ADC ?Rt △BEC 。∴AC =BC ，∠1=∠2=45?，∴∠ACB =90?，∴△ABC 为等腰直角三角形。 (2) DE =AD +BE ；

如图2，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，∵∠1+∠CAD =90?，∠1+∠2=90?， ∴∠CAD =∠2。又∵AC =CB ，∠ADC =∠CEB =90?，∴Rt △ADC ?Rt △CEB 。∴DC =BE ，CE =AD ，∴DC +CE =BE +AD ，即DE =AD +BE 。 (3) DE =BE -AD 。

如图3，Rt △ADC 和Rt △CEB 中，∵∠1+∠CAD =90?，∠1+∠2=90?，∴∠CAD =∠2，又∵∠ADC =∠CEB =90?，AC =CB ，

∴Rt △ADC ?Rt △CEB ，∴DC =BE ，CE =AD ，∴DC -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD 。

题型二 借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一性和差异性来获得解法

例2 （2011浙江嘉兴）以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．

（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为

矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），

① 试用含α的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ；

③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．

图1

图2

图3 1 A B C D E 图1 2 M N A B C D E 图2 1 2 A B C D E

M N 图3 1 2

分析 考察三个图形的统一性：向外作等腰直角三角形，从而得到边等角互余等条件，因此结论仍然成立． 【答案】（1）四边形EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a ．

在□ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a ； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－a ）＝90°＋a ．

②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴

AE=

2

AB ，

DG=

2

CD ，

在□ABCD 中，AB=CD ，∴AE=DG ，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD ＋∠ADC ＋∠CDG ＝90°＋a ＝∠HAE ． ∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD ，∴△HAE ≌△HDG ，∴HE=HG ． ③四边形EFGH 是正方形．

由②同理可得：GH=GF ，FG=FE ，∵HE=HG （已证），∴GH=GF =FG=FE ， ∴四边形EFGH 是菱形；∵△HAE ≌△HDG （已证），∴∠DHG=∠AHE ， 又∵∠AHD=∠AHG ＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG ＋∠AHE ＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形． 对应训练

（09河北）在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．

（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，

点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ； （2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图

14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；

（3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等

腰直角三角形吗？（不必说明理由）

答案

（1） 证明：∵四边形BCGF 和CDHN 都是正方形，又∵点N

与点G 重合，点M 与点C 重合，∴FB = BM = MG = MD = DH ，

∠FBM =∠MDH = 90°．∴△FBM ≌ △MDH ．∴FM = MH ． ∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM ⊥HM ． （2）证明：连接MB 、MD ，如图2，设FM 与AC 交于点P ． ∵B 、D 、M 分别是AC 、CE 、AE 的中点，∴MD ∥BC ，且A B

C

D

H

E

G

（图2）

E B

F

G

D H

A

C

（图3）

（图1）

A B

C

D

H E

G

14-1

A

H

C (M )

D

E

B F

G (N )

G 14-2

A

H

C D

E B

F

N

M

A

H

C D B

F

G N

H

B

F

G N P

∠CBM =∠CDM ．

又∵∠FBP =∠HDC ，∴∠FBM =∠MDH ．∴△FBM ≌ △MDH ．∴FM = MH ， 且∠MFB =∠HMD ． ∴∠FMH =∠FMD －∠HMD =∠APM －∠MFB =∠FBP = 90°．∴△FMH 是等腰直角三角形． （3）是．

题型三 善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”

例3（09牡丹江）已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==?，∠，为

AB 边的中点，90EDF ∠=°，

EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1

2DEF CEF ABC S S S +=

△△△．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

分析 图2、图3可借助与图1的关系来获得结论，也就是善于在一般中构造“特殊”和运用“特殊”．分别过点D 作DM ⊥AC 交AC 于M ，DN ⊥BC 交BC 于N ，得图4和图5，在图4和图5中，易得△MDE ≌△NDG ． 解：图2成立；图3不成立． 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥， 则90DME DNF

MDN ∠=∠=∠=°

再证MDE NDF DM DN ∠=∠=，有DME DNF △≌△

DME DNF S S ∴=△△DEF CEF DMCN DECF S S S S ∴==+△△四边形四边形

由信息可知12ABC DMCN S S =△四边形 1

2

DEF CEF ABC S S S ∴+=△△△

图3不成立，DEF CEF ABC S S S △△△、、的关系是：1

2

DEF CEF ABC S S S -=△△△ 对应训练：

（09山东）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

（1）求证：EG =CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的

结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

解：（

中， ∵G

∴ CG =2Rt △DEF 中， ∴ CG =EG ． （2

）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．

连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ， A

E C

F

B

D

图1 图3 A

D

F

E

C B

A

D

B

C

E 图2

F

图4

A

D

B

C

E M N F

F B D

第23题图① D

第23题图②

B

D

C N 图 ②（一）

∵ ∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ，∴ △DMG ≌△FNG ．∴ MG =NG

在矩形AENM 中，AM =EN ． 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵ AM =EN ， MG =NG ，∴ △AMG ≌△ENG ．∴ AG =EG ． ∴ EG =CG ．

（3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ． 其他的结论还有:EG ⊥CG ．

题型四 善于在情景比较中把握知识或方法的共同点

例4 （2011山东） 如图1，将三角板放在正方形

ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的

顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G

（1）求证：EF EG =；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中

的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将（2）中的“正方形

ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EF

EG

的值．

分析：在变换的过程中，由于直角顶点不变，所以互余的角始终存在，两三角形始终相似。 答案（1）证明：∵9090GEB BEF DEF BEF ∠+∠=∠+∠=°，°，

∴.DEF

GEB ∠=∠

又∵ED BE =，∴Rt Rt FED GEB △≌△. ∴.EF EG =

（2）成立.

证明：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为H I 、， 则90EH

EI HEI =∠=，°. ∵9090GEH HEF IEF HEF ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴.IEF GEH ∠=∠

∴Rt Rt FEI GEH △≌△. ∴.EF EG =

（3）解：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为M N 、，则90MEN ∠=°， .EM AB EN AD ∥，∥ ∴

.EM CE EN

AB CA AD == ∴

.EM AD a

EN AB b

== ∴9090GME MEF FEN MEF ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴.MEN GEM ∠=∠

∴Rt Rt FEN GEM △∽△. EF EN b

A

D

E

F

G B

E （A ）

D

F

C

G

Ｂ

G （B ）

A

D

F C

Ｅ

图1

图2 图

3

（2011浙江义乌）如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不

重合)，连结BP . 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A 1B 1P ,连结AA 1，射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F .

（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BE F 与△AEP 始终存在 ▲ 关系（填“相似”

或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP =β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若

存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α=60°时，点E 、F 与点B 重合. 已知AB =4，设DP =x ，△A 1BB 1的面

积为S ，求S 关于x 的函数关系式. 解: （1） 相似

由题意得：∠APA 1=∠BPB 1=α AP = A 1P BP =B 1P

则 ∠PAA 1 =∠PBB 1 =2

902180α

α-=-

∵∠PBB 1 =∠EBF ∴∠PAE =∠EBF

又∵∠BEF =∠AEP

∴△BE F ∽△AEP （2）存在，理由如下：

易得：△BE F ∽△AEP

若要使得△BEF ≌△AEP ，只需要满足BE =AE 即可 ∴∠BAE =∠ABE

∵∠BAC =60° ∴∠BAE =

30229060

-=??? ??

--αα

∵∠ABE =β ∠BAE =∠ABE ∴β

α

=- 302

即α=2β+60°

（3）连结BD ，交A 1B 1于点G ，

过点A 1作A 1H ⊥AC 于点H .

∵∠B 1 A 1P =∠A 1PA =60° ∴A 1B 1∥AC

由题意得：AP= A 1 P ∠A =60° ∴△PAA 1是等边三角形

∴A 1H=)2(2

3x +

在Rt △ABD 中，BD =32

∴BG =x x 2

3

3)2(2332-=+-

∴x x S

BB A 3322334211

1-=????

??-??=

? （0≤x ＜2） 考前大阅兵

1．（10玉溪） 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

P

B 1

D H 图1

图2

图3

P

1

D

1

P 1

△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D ，得∠BPD=∠B －∠D ．将点P 移到AB 、CD 内部，如图b ，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，如图c ，则∠BPD ﹑∠B ﹑∠D

﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）；

（3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数． 答案

解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.延长BP 交CD 于点E,

∵AB ∥CD. ∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D. （2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. （3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.

∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°∴∠A+∠B+∠C+∠D ∠E+∠F=360°.

2.（2011山东潍坊）已知正方形ABCD 的边长为a ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，P 是射线AB 上任意一点，过P 点分别做直线AC 、BD 的垂线PE 、PF ，垂足为E 、F . （1）如图1，当P 点在线段AB 上时，求PE +PF 的值； （2）如图2，当P 点在线段AB 的延长线上时，求P E －PF 的值

.

【解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .

∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD .∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF . 又∵∠PBF =45°，∴PF =BF .∴PE +PF =OF +FB =OB

=cos 452

a ?=.

（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .

∵PF ⊥BD ，∴PF //AC ，同理PE //BD .∴四边形PFOE 为矩形，故PE =OF . 又∵∠PBF =45°，∴PF =BF .∴PE －PF =OF －BF = OB

=cos 452

a a ?=

.

图c

图d

图a

O

图b

4．（2010 嵊州市）已知：在四边形ABCD 中，A D ∥BC ，∠BAC ＝∠D ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且

∠AEF ＝∠ACD ，试探究AE 与EF 之间的数量关系．

（1）如图1，若AB ＝BC ＝AC ，则AE 与EF 之间的数量关系是什么；

（2）如图2，若AB ＝BC ，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB ＝kBC ，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明．

答案（1）AE ＝EF

（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE ＝EF （过点E 作EH ∥AB ，可证△AEH ≌△FEC ） （3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE ＝kEF

巩固提高

1．（10河北）在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O,∠1=∠2=45°， （1）如图1，若AO=OB,请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；

（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO=OB ，求证：AC=BD ，AC ⊥BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO

解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；

（2）证明：如图 4，过点 B 作 B E ∥CA 交 D O 于 E ，∴∠ACO = ∠BEO ．

又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ， ∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ．

又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45° ∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长 A C 交 D B 的延长线于 F ，如图 4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°． ∴AC ⊥BD ．

图 4

（3）如图 5，过点 B 作 B E ∥CA 交 D O 于 E ，∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．∴AO BO AC BE =又∵OB = kAO ， 由（2）的方法易得 BE = BD ．∴K AC BD =

2.（2011河北）

如图，四边形ABCD 是正方形，点E K ，分别在BC AB ，上，点G

在

BA 的延长线上，且

CE BK AG ==．

（1）求证：DE DG =①；DE DG ⊥②；

（2）尺规作图：以线段DE DG ，为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK

（4）当

1

CE CB n =时，请直接．．

写出ABCD DEFG

S S 正方形正方形的值．

解：（1）证明：四边形

ABCD 是正方形，

90DC DA DCE DAG ∴

=∠=∠=?，． 又CE AG DCE DAG =∴，△≌△． EDC GDA DE DG ∴∠=∠=，

又90ADE EDC ∠+∠=?，90ADE GDA ∴∠+∠=?． DE DG ∴

⊥．

（2）如图．

（3）四边形CEFK 为平行四边形． 证明：设CK DE ，相交于M 点．

ABCD DEFG 四边形和四边形都是正方形，

AB CD AB CD EF DG EF DG ∴==∥，，，∥； BK AG KG AB CD =∴==，，∴四边形CKGD 为平行四边形． CK DG EF CK DG ∴==，∥．

90KME CDE DEF ∴∠=∠=∠=?．、180KME DEF ∴∠+∠=?． CK EF ∴∥，∴四边形CEFK 为平行四边形．

（注：由CK DG EF DG CK EF ∥，∥得∥也可）

（4）2

21

ABCD DEFG S n S n =

+正方形正方形．