平行四边形经典证明题例题讲解

经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案）

1．如图，E F 、是平行四边形

ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，

求证：AF CE =．

【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，

ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥，

BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF =

2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，

，

求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、

解法一: ∵

∴ 又∵

∴

∴∥即得是平行四边形

∴ ∴四边形

的周长

解法二:

连接

∵

∴

又∵ ∴≌

∴ ∴四边形的周长

解法三:

连接

∵

∴

又∵ ∴

∴∥即是平行四边形

∴ ∴四边形的周长

3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．

【关键词】多边形的内角和

【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．

根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．

3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 3

6AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D

AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △3

6AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 3

6AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=D

C

A

B

E F

A

D

C

B

A

D C

B

A

D C

B

解得，70=x ．

∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．

4．（如图，

E F ，是四边形ABCD

的对角线

AC

上两点，

AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．

【关键词】平行四边形的性质,判定 【答案】证明：（1）

DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，

AFD CEB ∴△≌△(SAS)．

（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．

∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形

ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，

且

AE EF ⊥，2BE =. （1）求EC ∶CF 的值；

（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由； （3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请

给予证明；若不存在，请说明理由．

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解：（1）

AE EF ⊥

2390∴∠+∠=°

四边形ABCD 为正方形

90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=° 12∠=∠

90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，

DAM ABE ∴△≌△ DM AE ∴= AE EP = DM PE ∴=

∴四边形DMEP 是平行四边形．

解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形

证明：在

AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．

90AD BA DAM ABE =∠=∠=，° Rt Rt DAM ABE ∴△≌△ 14DM AE ∴=∠=∠， 1590∠+∠=° 4590∴∠+∠=° AE DM ∴⊥ AE EP ⊥ DM EP ∴⊥

A

B

D

E

F

C

A D

C

B

E

B

C

E

D

A F P

F

∴四边形DMEP 为平行四边形

6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。 证明：四边形DECF 是平行四边形。

【关键词】平行四边形的判定

【答案】∵D.E 、F 分别为AB.BC.CA 的中点， ∴DF ∥BC ，DE ∥AC ，

∴四边形DECF 是平行四边形. 7．（2009年包头）已知二次函数

2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，

(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式； （2）在直线x

m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）

； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．

【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线

解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪

++=⎨⎪=-⎩

，

，

解得132a b c =-==-，，．

232y x x ∴=-+-．

（2）当EDB AOC △∽△时，

得

AO CO ED BD =或AO CO

BD ED =

， ∵122AO CO BD m ===-，，， 当AO CO ED BD =时，得122

ED m =-， ∴2

2

m ED -=，

B C

E D

A F

P

5

4

1

M

y

x

O

y

x

O

B

A

D

C

(x =m )

(F 2)F 1 E 1 (E 2)