五年级奥数盈亏问题
五年级奥数盈亏问题 Prepared on 22 November 2020
奥数盈亏问题讲座及练习答案
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。
例如：
把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块，；如果每人分4块，8块，小朋友有多少人饼干有多少块
这种一盈一亏的情况，就是这们通常说的标准的盈亏问题。
标准盈亏问题的基本数量关系式：
（盈+亏）÷两次分配之差＝参与分配对象总数；
每次分得的数量×份数＋盈＝总数量；
每次分得的数量×份数－亏＝总数量
还有一些非标准盈亏问题，如：
1、两盈：
两次分配都有余。数量关系式为：
（大盈－小盈）÷两次分配差＝参与分配对象总数
2、两亏：
两次分配都不够。数量关系式为：
（大亏－小亏）÷两次分配差＝参与分配对象总数
例1：
（一盈一亏问题）
一个植树小组，如果每人植5棵，还剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人一共有多少棵树
分析：
由题意可知，植树的人数和棵数是不会变化的，只是两次分配的方案不一样，结果就差了18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵，这是因为两种分配方案每人植树棵数相差7-5＝2（棵），所以根据一盈一亏解答此题就非常简单了。
人数：（14＋4）÷（7－5）＝2（人）
棵数：5×9＋14＝59（棵）
答：这个植树小组一共有9人，一共有59棵树。
【巩固练习1】：幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。幼儿园有多少个小朋友一共有多少个积木解:小朋友分积木，每人2个则剩20个，每人3个则少40个，因此这是一亏一盈问题，两种分积木的方案最后相差20+40=60个，两种方案中每人分得的积木数相差3-2=1个，所以
小朋友的个数为：60÷1=60人，积木数为：60×2+20=140个或60×3-40=140个综合算式为：
幼儿园有多少个小朋友
（20+40）÷（3-2）=60÷1=60（个）
一共有多少个积木
60×2+20=120+20=140个或60×3-40=180-40=140（个）
答：幼儿园有60个小朋友，一共有140个积木.
例2：（两亏问题）
学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖
7支，则缺7支。三好学生有多少人铅笔有多少支
分析：这是两亏问题，由题意可知，三好学生人数和铅笔支数是不变的。根据两亏关系可知，人数：（45－7）÷（9－7）＝19（人）
铅笔：9×19－45＝126（支）
答：三好学生有19人，铅笔有126 支。
【巩固练习2】：将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵，求花瓶的只数和月季花的朵数
解：将月季花插入一些花瓶中，如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵，因此这是两亏问题，两次插花的方案中，一次少15朵，一次少1朵，则两次少的朵数相差15-1=14朵，一次每瓶插6朵，一次每瓶插8朵，两次每瓶相差2朵，因此花瓶数为14÷2=7个，花的朵数为7×8-15=41朵，或7×6-1=41朵
综合算式为：
花瓶的个数为：
（15－1）÷（8－2）＝14÷2=7（个）
花的朵数为：
7×8-15=56-15=41（朵）或7×6-1=42-1=41（朵）
答：花瓶有7只，月季花有41朵
例3：（两盈问题）有一些少先队员到山上种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员
有多少棵树（根据两盈问题请自己分析解答）
解：少先队员种树，如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种，所以这是两盈问题。两个方案中所剩棵数相差24-6=18棵，
每人所种棵数相差19-16=3棵，所以种树人数为18÷3=6人，树的总棵数为6×19+6=114+6=120棵，或6×16+24=96+24=120棵
综合算式为：
种树人数为：（24－6）÷（19－16）＝18÷3=6（个）
花的朵数为： 6×19+6=114+6=120（棵）或6×16+24=96+24=120（棵）
答：有6名少先队员，120棵树.
例4：（盈亏转化）
学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间住宿学生有多少人
分析：“把每个房间住14人，则空出4个房间”转化为“每个房间住14人，则少14×4=56（人）后，就得到标准盈亏问题，这样就好解答了。
房间数：（34＋14×4）÷（14－12）=45（间）
人数：12×45＋34=574 （人）
答：学生宿舍有45间，学生有574人。
我也能行
1、某班安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。问有宿舍多少间学生多少人
解：如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。此为一亏一盈问题：
宿舍间数学生人数
（16+10）÷（8-6）13×6+16 或13×8-10
＝26÷2 =78+16 =104-10 =13（间）=94（人）
=94（人）
答：有宿舍13间学生94人.
2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学王老师一共有多少张图画纸
解：如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张，说明这是两亏问题：
（32-2）÷（5-3）15×5-32 或15×3-2
＝30÷2 =75-32 =45-2
=15（人）=43（张）
=43（张）
答：美术兴趣小组有15名同学，王老师一共有43张图画纸.
3、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一个说
每人背50发还多200发。求有多少敌人有多少发子弹
解：每人背45发还多260发；每人背50发还多200发，说明这是两盈问题，所以：
敌人人数为子弹颗数为
（260-200）÷（50-45）12×45+260或12×50+200
＝60÷5 =540+260 =600+200
=12（人）=800（颗）=800（颗）
答：有12个敌人。有800发子弹。
4、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；
如果每个人分8支还多3支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完
解：如果每人分5支则多12支；如果每个人分8支还多3支，说明这是两盈问题。所以：
学生人数为：彩笔支数为：
（12-3）÷（8-5）3×5+12或3×8+3
＝9÷3 =15+12
=24+3
=3（人）=27（支）=27（支）每人分多少支刚好把彩笔分完：27÷3=9（支）
答：每人分9支刚好把彩色笔分完.
5、某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7
人，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间住宿学生有多少人
解：每一间宿舍住6人，则多出34人，每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，多出4间宿舍，每间住7人，实际上是多出28人，则这是两盈问题,所以
宿舍间数为：学生人数为：
（34-28）÷（7-6）6×6+34或6×7+28
＝6÷1 =36+34 =42+28
=6（间）=70 （人）=70（人）
答：宿舍有6间，住宿学生有70人
6、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9人，则空出2个房间。问学生宿舍有多少间住宿学生有多少人
解：每个房间住6人，则少2间宿舍，也就是多6×2=12人；如果每个房间住9人，则空出2个房间，也就是少6×2=12人，所以这是一亏一盈问题，所以
宿舍间数为：学生人数为：
（12+12）÷（9-6）8×6+12或8×9–12
＝24÷3 =48+12 =72+12
=8（间）=60（人）
=60（人）
答：宿舍有8间，住宿学生有60人
7、小强从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走
60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强从家到学校的路程是米（选自北京市第四届“迎春杯”刊赛）
解：每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，也就是说还要走50×3=150米才能走到学校
每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。也就是说在提前的2分钟里可以多走60×2=120米，所以此题是一盈（120米）一亏（150米），则：
走到学校的时间为家到学校的路程为
（150+120）÷（60-50）50×27+150或60×27–120 =270÷10 =1350+150 =1620–120
=27（分）=1500（米）=1500（米）
答：小强从家到学校的路程是1500米.
8、买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友。如果每人分5个苹果，那么还剩余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果。这批苹果的个数是_____。选自小学数学奥林匹克预赛A卷
解：如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果。也就是说少了8 × 5=40个苹果，则此题为一盈一亏问题，所以
小朋友的人数为：苹果的个数为
（32+40）÷（8-5）24×5+32 或
24×8–40
=72÷3 =120+32 =192–40
=24（个）=152（个）=152（个）
答：这批苹果的个数是152个
五年级奥数练习：盈亏问题
（大盈-小盈）÷两次分配的个数差＝分配对象数
（大亏-小亏）÷两次分配的个数差＝分配对象数
（盈+亏）÷两次分配的个数差＝分配对象数
1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩17块；如果每人搬7块，则少10块砖．这个班少先队有几个人要搬的砖共有多少块
2、
3、学校为新生分配宿舍．如果每个房间住3人，则多出22人；如果每个房间多住5人，则空1个房间．问宿舍有多少间新生有多少人
4、
5、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个全家共有多少人
答案
1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩17块；如果每人搬7块，则少10块砖．这个班少先队有几个人要搬的砖共有多少块解：总差为17+10=27（块）；
分配之差为7-4=3（块）；
所以有少先队员27÷3=9（人）
共有砖：4×9+17=53（块）．
答：这个班少先队有9个人，要搬的砖共有53块。
考点：盈亏问题，一盈一亏
2、学校为新生分配宿舍．如果每个房间住3人，则多出22人；如果每个房间多住5人，则空1个房间．问宿舍有多少间新生有多少人
解：第一次盈22人，第二次多出一个房间则是亏3+5=8（人）；
总差为22+8=30(人)；
两次分配之差为5人，
所以宿舍有30÷5=6(间)，
新生共有3×6+22=40(人)．
答：宿舍有6间，新生有40人。
考点：盈亏问题
注意点：空出一个房间，则是少了8人入住，则是亏8人
3、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个全家共有多少人
解：其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个"转化为"全家每人都分2个，多出4+2×（4-2）=8个；一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个"转化为"全家每人都分4个，
缺少12-（6-4）=10个；
由盈亏问题基本公式可知：全家的人数有（8+10）÷（4-2）=9(人)
买来橘子2×9+8=26(个)
考点：盈亏问题
注意点：把每个对象分配的数量转换成一致的