椭圆综合题中定值定点范围问题总结
椭 圆
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）
2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
3.联立方程组；
4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5.根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）
?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?= ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”
?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0；
③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”
（如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，
关键是积累“转化”的经验；
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型：
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题
1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012
x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，
离心率为
2
2
，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；
3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22
:
155
3
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7
(,0)3
M -， 求证：MA MB ?为定值.
4、 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:13
x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于
点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22
m k +的最小值；（Ⅱ）若2
OG OD =?OE ，
求证：直线l 过定点；
椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆:21C x y +=交于相异两点A 、B ，
且3AP PB =，求m 的取值范围．
（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.
6、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ?=． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275
NA NB -
?-≤≤，求 直线l 的斜率的取值范围.
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
7、已知点Q 为椭圆E ：22
1182
x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ?
的取值范围．
8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.（1）求椭圆的方程.
（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的 取值范围.
9. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E . （I ）求曲线E 的方程；
（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两
点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=， 求λ的取值范围.
10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为
)0,2(H .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.
椭圆中的最值问题
一、常见基本题型：
（1）利用基本不等式求最值，
12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为
2
2
，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。 （2）利用函数求最值，
13.如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||2||DM DP =．当点P 在圆2
2
1
x y +=上运动时。 （I ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点2
2
(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。
14、已知椭圆2
2:14
x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.
椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围； （4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。 一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。 推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -， 2 2 01)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(2202 0a x b y -=，将其代入 2 0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a c PF += 01||。所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a c PF +=+?= max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。c a a a a c PF -=+-?= )(||min 1。当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。 1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12 22 =+y x 不同的点A 、B 关于直线2 1 + =mx y 对称。 （1）求实数m 的取值范围； （2）求AOB ?面积的最大值（O 为坐标原点）。 解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为y =联立?? ???+-==+b x m y y x 1122 2，消y 去，得012)121(222=-+- +b x m b x m 。 因为直线b x m y +-=1与椭圆 12 22 =+y x 有两个不同的交点， 所以04 222 2 >+ +-=?m b 。-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2 4221+= +m mb x x ，
浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0， 解得k <0或0 圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点： （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点． 第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 椭圆中的“定” 四、与椭圆的顶点有关 22. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点() 0,m M 的动直线与椭圆相交与不同的两点 C B ,（都不与点A 重合） ，记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则 ()() a m a a m b k k +-=2221. 23. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点()(),0N a n n ≠的动直线与椭圆相交与不同的两点C B ,（都不与点A 重合），记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则n a k k 21121=+. 24. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P （非短轴端点）与短轴两端 点21B B 、的连线，交x 轴于点M 和 N ，O 为原点，则2a ON OM =?. 25. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P （非长轴端点）与长轴两端点21A A 、的连 线，交y 轴于点Q 和R ，O 为原点，则 2b OR OQ =?. 26.（1） 12,A A 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左右顶点，直线l 与椭圆交于,C D 两点，并 与x 轴交于点P ，直线1AC 与直线2A D 交于 点Q ，当点P 异于12,A A 两点时， 2OP OQ a =. 27.已知点A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，点C B ,在椭圆上，直线AC AB ,的斜率为21,k k （1）若q k k =21（不等于零的常数），则直线BC 过定点()2222,0a b a q b a q ??+ ? ?-?? ，此定点的另一个表达式是22,02e a e ?? ?-?? （e 是离心率）. （2）若q k k =+2 111（不等于零的常数），则直线BC 过定点??? ? ?? q a a 2,. （3）若12k k q +=（不等于零的常数），则直线 BC 过定点22,b a aq ??- ?? ? . 椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点,取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的 最大值时,P 点的坐标是.P （0，3)或（０,-3） 例２、已知椭圆方程122 22=+b y a x (222,0c b a b a +=>>）ｐ为椭圆上一点,2 1,F F 是椭圆的二焦点,求||||21PF PF 的取值范围。 分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=,)|(|a x ≤ 当a x ±=时,min 21||||PF PF ＝222b c a =-，当0=x 时,2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ ２、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点，最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点,Ｐ为椭圆上一动点, 则||||2PF PA -的最大值是，此时P 点坐标为。||||2PF PA -的最小值是，此时P 点坐标为。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 例４、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则 ||||1PF PA +的最小值是，此时P 点坐标为。||||1PF PA +的最大值是,此时Ｐ点坐 标为。 分析:||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当Ｐ是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当Ｐ是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。 ４、椭圆上的点Ｐ到定点A 的距离与它到椭圆的一个焦点F 的距离的e 1倍的和||1 ||PF e PA +的最小值(e 为椭圆的离心率）,可通过 e d PF =| |转化为d PA +||(d 为P 到相应准线的距离）最小值,取得最小值的点是Ａ到准线的垂线与椭圆的交点。 例5、已知定点)3,2(-A ,点F 为椭圆112 162 2=+y x 的右焦点,点M 在该椭圆上 移动，求||2||MF AM +的最小值,并求此时M 点的坐标． 例6、已知点椭圆19 252 2=+y x 及点)0,3(),2,2(-B A ,),(y x P 为椭圆上一个动点， 则||5||3PB PA +的最小值是。 ５、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。 例7、过椭圆122 22=+b y a x (222,0c b a b a +=>>)的中心的直线交椭圆于B A ,两 点,右焦点)0,(2c F ,则2ABF ?的最大面积是． 例8、已知F 是椭圆22525922=+y x 的一个焦点,PQ 是过原点的一条弦，求PQF ?面积的最大值。 ６、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。 解析几何中的定点和定值问题(同名5575) 解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两 个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 例2．已知椭圆C ：22 2 21(0)x y a b a b +=>>3，以原点为 圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20 x y -=相切．⑴求椭 圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同 A B y O x 焦距为2，短轴长为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2 4x y =的焦点，离心率5 e =过椭圆的右焦点F 作与坐 标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。（I ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥u u u r u u u r u u u r ， 求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存 在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。 二、 定值问题 在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所 圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值； 椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转 椭圆中的“定” 五、一般结论 30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 上一定点，过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、，直线21,l l 的斜率分别为21,k k . （1）若2221a b k k =?，直线PQ 的斜率为定值0 0x y -.反之亦然. （2）若021=+k k ，直线PQ 的斜率为定值0 202x a y b .反之亦然. 31.椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之积为定值()122≠m m a b ，则直线BC 必定过定点()()??? ??-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之和为定值()02≠n n a b ，则直线BC 必定过定点?? ? ??---0000,y x an b y bn a x N . 33.（1）一条经过点()0,m M 的直线l 与椭 圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 交于B A ,两点，作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B '过定点2,0a T m ?? ??? . （2）一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 交于,P R 两点， 设点20,b Q m ?? ??? ，则PQM RQM ∠=∠. 34.（1）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的 切线，切点为B A ,，则直线AB 必过椭圆的左（右）焦点，反之，当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时，过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线. （2）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为A ，则以NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即090NFA ∠=. 35.过点()00,P x y 作直线交12222=+b y a x C ：()0>>b a 于,A B 两点，点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上，若A P Q B A Q P B =，则点Q 在定直线00221x x y y a b +=上. 36.已知()00,P x y 是椭圆 22 22:1x y E a b +=外一点，过点P 作椭圆的切线，切点为,A B ，再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ，交AB 于点Q ，令111,,s t u PM PN PQ ===，则 寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B 椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”?12120x x y y +>等； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数 2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2. 与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1．定义法 例1。P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值 和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+ 37 ，最小值是 41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， 则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。 解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2 =(x-a)2 +y 2 =(x-a)2 +1-x 212 =2)2(2 1 a x -+1-a 2 由椭圆方 椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的三定(定点、定值、定线)问题近几年高考题中考察频率降低，但在模考题中依然是热点，这类问题中直线、圆、椭圆、向量共存，考察运算能力和数学思想运用常见题型． 例1已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P 1(1，1)，P 2(0,1)，P 3? ????－1，32，P 4? ????1，32四点中恰有三点在椭圆C 上． (1) 求C 的方程； (2) 设直线l 不经过点P 2且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点? ????1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 思维变式题组训练 1. 已知椭圆E ：x 2 a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为M (0,1)，两条过M 的动弦MA ，MB 满足MA ⊥MB .对于给定的实数a (a >1)，动直线AB 是否经过一定点？如果是，求出定点坐标(用a 表示)；反之，请说明理由． 2. 如图所示，已知椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12 ，右准线方程是直线l ：x ＝4，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B (点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方)． (1) 求椭圆的标准方程； (2) ① 求证：分别以PA ，PB 为直径的两圆都恒过定点C ； 椭圆中的最值问题 邢志平 本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。 1. 几何化方向 画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。 例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。 解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。 因为， 所以。 由椭圆第二定义，知， 即， 所以， 这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。 过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以 P点坐标为。 例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆 上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。 解如图1，连结PF 1、PF 2 及F 1 R、F 2 Q，所以得到△PRF 1 及△PQF 2 ，根据题意可知， 圆心恰好为椭圆的两个焦点。 在三角形中 |PR|<|PF 1|+|F 1 R|， |RQ|<|PF 2|+|F 2 Q|， 所以， 即。 当P、F 1、R与P、F 2 、Q都共线时， ， 所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。 在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。 2. 代数化方向 先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。 例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。 解在椭圆上取一点P（x，y），。 当P点在短轴顶点时，|y|最大为b， 所以。 又， 所以。 先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。 例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0， ）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。 分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。 解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为 一．解答题（共30小题） 1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为 4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上 位于直线PQ两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值； ②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由． 2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程； （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2， 且过点．（1）求椭圆E的方程； （2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是 椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M． （ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值； （ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标． 4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中． （1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围； （2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使． （i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2． 6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点． （Ⅰ）求椭圆标准方程； （Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2| 为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由． （Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B， 圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值. 一、主要知识及主要方法： 1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算 证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线） 上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征 选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动 点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆 2214 2x y +=上的两个动点,P Q 及定点M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题
圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
椭圆中定点定值问题(与顶点有关)
椭圆中的常见最值问题.
解析几何中的定点和定值问题(同名5575)
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆中定点定值问题(一般结论)
圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法
椭圆定值定点、范围问题总结
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定值定点问题
与椭圆有关的最值问题
专题 椭圆中的定点、定值问题
椭圆中的最值问题
椭圆定点定值专题(精选.)
圆锥曲线的定点定值和最值问题