八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题自检题检测试题
八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题自检题检测试题
一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）
A ．33
B ．27
C ．43
D ．223+
2．如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB ＝CD ．结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG 1
2
=BC ；⑤四边形EFGH 的周长等于2AB ．其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．CP 平分∠BCD
B ．四边形 ABED 为平行四边形
C ．CQ 将直角梯形 ABC
D 分为面积相等的两部分
D ．△ABF 为等腰三角形
4．如图，90MON ∠=?边长为2的等边三角形ABC 的顶点A B 、分别在边OM ，ON 上当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）
A ．2.4
B ．5
C ．31+
D ．
52
5．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，,E F 分别是AB ，BC 的中点，将CDF 沿着DF 折叠得到DFC '△，若C '恰好落在EF 上，则菱形ABCD 的面积为（ ）
A ．23
B ．
37
C ．
36
D ．22
6．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）
A ．33
B ．322-
C ．
22
D ．
23
7．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ?，连接OB .下列四个说法：
①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
9．在菱形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形
正确的结论的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线相交于点O．以AB、AO为邻边画平行四边形AOC1B，对角线相交于点O ；以AB、AO 为邻边画平行四边形AO1C2B，对角线相交于点O2 ：……以此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）
A．5
8
cm2B．
5
4
cm2C．
5
16
cm2D．
5
32
cm2
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．
12．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．
13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、BC上．将该纸片沿EF折叠，使点A的对应点G落在边DC上，折痕EF与AG交于点Q，点K为GH的中点，则随着折痕EF位置的变化，△GQK周长的最小值为____．
14．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．
15．如图，在正方形ABCD中，AC=62，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，在同一平面内将△ABC 沿AC翻折，得到△AB’C，若四边形ABCD的面积为24cm2，则翻折后重叠部分（即S△ACE)
的面积为________cm 2．
17．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当
CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
18．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．
19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．
20．在菱形ABCD 中，M 是AD 的中点，AB ＝4，N 是对角线AC 上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD 的长为___________．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，
AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．
22．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？
（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度． 23．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．
（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．
24．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
25．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =13
2
，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）
26．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．
（1）求证：PDE QCE ???；
（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、， ①求证：四边形AFEP 是平行四边形； ②求PE 的长．
27．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ?∠= ．
()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若
3,2BE BG ==，求EF 的长；
()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-
()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足
,90,45,AB AD BAD BCD EAF ??=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接
写出BE 的长．
28．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
29．探究：如图①，△ABC 是等边三角形，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、AN ，延长MC 交AN 于点P ． （1）求证：△ACN ≌△CBM ；
（2）∠CPN = °；（给出求解过程）
（3）应用：将图①的△ABC 分别改为正方形ABCD 和正五边形ABCDE ，如图②、③，在边AB 、BC 的延长线上截取BM =CN ，连结MC 、DN ，延长MC 交DN 于点P ，则图②中∠CPN = °；（直接写出答案）
（4）图③中∠CPN = °；（直接写出答案）
（5）拓展：若将图①的△ABC 改为正n 边形，其它条件不变，则∠CPN = °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．
30．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有1
2
CBE ABF ∠=
∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=?，求证：BE BF =； （2）如图2，当3
2
b a =
时，
①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ?矩形的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，作点B 关于MN 的对称点E'，连接E'C ，E'B ，此时CE 的长就是GB+GC 的最小值；先证明E 点与E'点重合，再在Rt △EBC 中，EB=23，BC=4，求EC 的长. 【详解】
取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，作点B 关于MN 的对称点E'，连接E'C ，E'B
，
此时CE 的长就是GB+GC 的最小值； ∵MN ∥AD ， ∴HM=
1
2
AE ， ∵HB ⊥HM ，AB=4，∠A=60°， ∴MB=2，∠HMB=60°， ∴HM=1， ∴AE'=2， ∴E 点与E'点重合， ∵∠AEB=∠MHB=90°， ∴∠CBE=90°，
在Rt △EBC 中，3BC=4， ∴7， 故选A.
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．
【详解】
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=1
2
CD，FG=
1
2
AB，GH=
1
2
CD，HE=
1
2
AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，故②错误，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG；故①③正确，
∴四边形EFGH的周长= EF=FG=GH=HE =2AB，故⑤正确，
没有条件可证明EG=1
2
BC，故④错误，
∴正确的结论有：①③⑤，共3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；
B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；
C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．
D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；
【详解】
解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，
，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；
∵BC=2AD，E是BC的中点，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；
∴AB=DE，
又∵DE=BF（已证），
∴AE=BF，
∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；
连接QD，
在△BCQ和△DCQ中，
，
∴△BCQ≌△DCQ（SAS），
∴S△BCQ=S△DCQ，
∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
如图，取AB 的中点D ．连接CD ．根据三角形的边角关系得到OC 小于等于OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，由等边三角形的边长为2，根据D 为AB 中点，得到BD 为1，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在直角三角形BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在直角三角形AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB 的一半，由AB 的长求出OD 的长，进而求出DC+OD ，即为OC 的最大值． 【详解】
解：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．
∵△ABC 是等边三角形，且边长是2，∴BC=AB=2， ∵点D 是AB 边中点， ∴BD=
1
2
AB=1， ∴22BC BD -2221-33 连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，
当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD+CD ， 由（1）得，3
又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点， ∴OD=
1
2
AB=1， ∴3OC 的最大值为3 故选：C ． 【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定
理，其中找出OC 最大时的长为CD+OD 是解本题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
连接AC 、BD ，设交于点O ，延长DA 、FE ，设交于点G ，如图所示，先根据菱形的性质和平行线的性质得出∠G =∠BFE ，∠GAB =∠ABF ，进而可根据AAS 证明△AEG ≌△BEF ，可得GE=EF ，AG=BF ，由此可求出DG 的长，然后根据折叠的性质和平行线的性质可得
∠ADF =∠DFE ，于是可得GF=GD ，则GF 可得，再根据三角形的中位线定理和等量代换可得AC 的长，进而可得AO 的长，然后根据勾股定理可求出DO 的长，即得BD 的长，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】
解：连接AC 、BD ，设交于点O ，延长DA 、FE ，设交于点G ，如图所示， ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ， ∴∠G =∠BFE ，∠GAB =∠ABF ，
∵,E F 分别是AB ，BC 的中点，菱形的边长为2，
∴AE=BE ，BF=CF =1，1
2
EF AC =
， ∴△AEG ≌△BEF （AAS ）， ∴GE=EF ，AG=BF =1， ∵AD =2，∴DG =3，
∵将CDF 沿着DF 折叠得到DFC '△，若C '恰好落在EF 上， ∴∠CFD =∠DFE ，
∵AD ∥BC ，∴∠ADF =∠DFC ， ∴∠ADF =∠DFE ， ∴GF=GD =3， ∵12EF AC =
，1
2
EF GF =， ∴AC=FG =3， ∴AO =
1322
AC =，
在Rt △AOD 中，由勾股定理得：2DO ===，
∴BD ，
∴菱形ABCD 的面积=11322AC BD ?=?=
故选：B ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的面积、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，具有一定的难度，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
6．A
解析：A 【分析】
根据翻转变换的性质求出BM 、BF ，根据勾股定理计算求出FM 的值；再在Rt △NEF 中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长． 【详解】
∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，
∴FB=AB=2，BM=
1
2
BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，
2222213FM BF BM -=-=
∴23FN MN FM =-=- 设AE=FE=x ，则EN=1x -， ∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=， ∴()(2
2
2123
x x -+=，
解得：423x =- ∴EN=1233x -=． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；
四边形PBQO的面积为：4416
?=，在P、Q运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO的性质，则此时对角线PQ=OB，故④错误；即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，点P与点Q同时以1个单位长度/秒的速度运动，
∴OP=AQ，
∵OQ+AQ=OA=8，
∴OQ+OP=8，①正确；
由题意，点P与点Q运动时，点B的位置没有变化，四边形PBQO的面积没有变化，
当4
t=时，如图：
则AQ=OP=4，
∴OQ=844
-=，
∴点B的坐标为：（4，4），②正确；
此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，
∴四边形PBQO的面积为：4416
?=，③正确；
∵四边形PBQO是正方形，
∴PQ=OB，
即当4
t=时，PQ=OB，故④错误；
∴正确的有：①②③，共三个；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.
8．C
解析：C
【分析】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=1
2
AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利
用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】
在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE⊥AB，PF⊥AC，故四边形AEPF为矩形，因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=1
2 AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由
11
22
ABC
S AB AC BC AP
=??=??，可得AP=
12
5
，
AM=1
2
AP=
6
1.2
5
=
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
9．D
解析：D
【分析】
根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】
①如图，连接AC，BD交于O，
四边形ABCD是菱形，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，
当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，
当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④如图，
当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；
综上，①②③④4个均正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
设矩形ABCD的面积为S=20cm2，由O为矩形ABCD的对角线的交点，可得平行四边形
AOC1B底边AB上的高等于BC的1
2
，依此类推可得下一个图形的面积是上一个图形的面积
的1
2
，然后求解即可．
【详解】
设矩形ABCD的面积为S=20cm2，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的1
2
，
∴平行四边形AOC1B的面积=1
2 S，
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的1
2
，
∴平行四边形AO 1C 2B 的面积=12×1
2S=22
S ， ……
依此类推，平行四边形AO 4C 5B 的面积=5
2S =5202=5
8
（cm 2）， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的
1
2
是解题的关键． 二、填空题
11．(-10，3) 【解析】
试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得
2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）.
故答案为：（-10，3） 12．①②③④ 【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等
腰直角三角形的性质可得AE =
，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE
和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；
③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；
⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误． 【详解】
∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴AE =．
∵AD =
，∴AE =AD ．
在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠??
∠=∠=???=?
，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），
∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 1
2
=
（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确； ∵∠AHB 1
2
=
（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．
∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；
∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．
在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠??
=??∠=∠?
，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，
HE =DF ，故③正确；
由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；
∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④． 故答案为①②③④． 【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 13．3+35． 【分析】
取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．证明QM ＝QK ，QG ＝DQ ，求出DQ ＋QM 的最小值即可解决问题． 【详解】
取AB 的中点M ，连接DQ ，QM ，DM ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝AB ＝6，∠DAM ＝∠ADG ＝90°，