1.7.2定积分在物理中的应用 (2)
1. 7.2定积分在物理中的应用
课前预习学案
【预习目标】
能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功.
【预习内容】
一、知识要点：作变速直线运动的物体在时间区间[]b a ,上所经过的路程S ，等于其速度函数
)0)()((≥=t v t v v 在时间区间[]b a ,上的 ，即 .
例1已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）
???
????≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,
103)(2
t t t t t t v
求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.
变式1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.
二、要点：如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同方向从a
x =
移动到),(b a b x <=则变力)(x F 所作的功W = .
例2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功.
变式2：一物体在变力25)(x x F -=作用下，沿与)(x F 成?30方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 作的功为 .
课内探究学案
一、学习目标：
1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、学习重点与难点：
1. 定积分的概念及几何意义
2. 定积分的基本性质及运算的应用
三、学习过程
(一)变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区
间[a ，b ]上的 定积分
，即?=b
a dt t v s )(．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移
是
()dt t ?-5
3sin 3．
（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程
为
3
25
． 例1．教材P58面例3。 练习：P59面1。 （二）变力作功
1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =
F （b —a ）．
2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的
功W =?b
a dx x F )(．
例2．教材例4。
课后练习与提高
1、 设物体以速度)/(3)(2
s m t t t v +=作直线运动，则它在s 4~0内所走的路程为（ ）
m A 70. m B 72. m C 75. m D 80.
2、设列车从A 点以速度)/(2.124)(s m t t v -=开始拉闸减速，则拉闸后行驶m 105所需时间为（ ）
s A 5. s B 10. s C 20. s D 35.
3、以初速s m /40竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度,10402t v -=则此物体达到最高时的高度为（ ）
m A 3160.
m B 380. m C 340. m D 3
20
. 4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度t t a 2)(=，当初速度0)0(=v 时，质点出发后s 6所走的路程为（ ）
12.A 54.B 72.C 96.D
5、如果N 1能拉弹簧cm 1，为了将弹簧拉长cm 6，所耗费的功为（ ）
J A 18.0. J B 26.0. J C 12.0. J D 28.0.
6、一物体在力523)(2+-=x x x F （力：N ；位移：m ）作用下沿与力)(x F 相同的方向由m
x 5=直线运动到m x 10=处作的功是（ ）
J A 925. J B 850. J C 825. J D 800.
7、将一弹簧压缩x 厘米，需要x 4牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是 8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度t
t t v ++
-=155
5)(（单位：s m /）紧急刹车至停止.求
（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程.
1.7.2 定积分在物理中的应用
一、教学目标：
1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。 二、教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算的应用 三教学过程： （一）练习
1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）．
A ．38
B ．2
C ．
34 D ．3
2 2．曲线y = cos x 3
(0)2
x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ） A ．4
B ．2
C ．5
2
D ．3
3．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形
的面积．
解：如图：由2230y x
x y ?=?--=?
得
A （1，– 1），
B （9，3）．
选择x 作积分变量，则所求面积为
1
011
[()][(3)]2
S x x dx x x dx =--+--??=19
9
011
121(3)2dx xdx x dx +-
-??? =3321992201142332||()|33423
x x x x +--=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区
间[a ，b ]上的 定积分
，即?=b
a dt t v s )(．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移
是
()dt t ?-5
3sin 3．
（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程
为
3
25
． 例1．教材P58面例3。 练习：P59面1。 变力作功
1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =
F （b —a ）．
2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的
功W =?b
a dx x F )(．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2 2．一物体在力F (x ) =10(02)
34(2)x x x ≤≤??+>?
（单位：N ）的作用下沿与力
F (x )做功为（ B ） A ．44J
B ．46J
C ．48J
D ．50J
3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W =
G ·()
Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的
引力f 为f = G ·
122
m m r ，其中G 为引力常数．
则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·
2
()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为 0()h
W f x =?d x =20()h
Mm G k x ?
+?·d x = GMm 201()
h k x +? d (k + 1) = GMm 01()|h
k x -+ =11()()
Mnh GMm k G k h
k k h -+=?++．
（三）、作业《习案》作业二十