分式方程增根与无解
分式方程的增根与无解
甲：增根是什么？
乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值围而产生的未知数的值.比如
例1、解方程：。①
为了去分母，方程两边乘以，得②
由②解得。
甲：原方程的解是。
乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？
甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？
乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。
甲：那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x的取值围是且，而去分母化为整式方程②后，未知数x的取值围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？
乙：很简单，两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。
甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？
乙：原方程无解。
甲：啊？！为什么会无解呢？
乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，
又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。
甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？
乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看：例2、解方程，
去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不
是无解，而是有一个解，而方程，去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。
乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：
例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。
首先把原方程去分母，化为。③
因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或
若增根为，代入方程③，得，；
若增根为，代入方程③，得，。
故当或时，原方程会有增根。甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事？
乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的“常客”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：
例4、已知关于x的方程无解，求m的值。
先把原方程化为。④
（1）若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为，当，而
时，方程④无解，此时。
（2）若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程④的解为时原方程无解，代入方程④，得，故。
综合（1）、（2），当或时，原方程无解。
妙用分式方程的增根解题
在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请看下面几例.
例1 若关于x 的方程
1
101
ax x +-=-有增根，则a 的值为__________________. 析解：去分母并整理，得11ax x +=-，因为原方程有增根，增根只能是1x =，将1x =代入去分母后的整式方程，得1a =-.
例2 若关于x 的方程
2233
x m
x x -=+--无解，则m 的值是_________. 析解：去分母并整理，得40x m +-=. 解之，得4x m =-.
因为原方程无解，所以4x m =-为方程的增根.又由于原方程的增根为3x =.所以
43m -=，1m =.
例3. 已知方程
214x -＋2＝2
k
x -有增根，则k ＝______________. 析解：把原方程化成整式方程，得
212(4)(2)x k x +-=-+.
因为原方程有增根，所以增根只能是2x =或2x =-.
将2x =代入212(4)(2)x k x +-=-+，得1
4
k =-；
将2x =-代入212(4)(2)x k x +-=-+，无解.故应填－14
.
练一练： 1. 如果分式方程
11
x m x x =++无解，则m 的值为（ ）. （A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）－2 2. 如果方程
2211x k x
x x
++=--有增根1x =，则k ＝________.
答案：1.C ；2.1；
分式方程的增根及其应用
一、增根的原因
解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值围，
于是就产生了如下两种情况：（1）如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值围，那么整式方程的根就是分式方程的根；（2）如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值围，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．
二、利用增根解题
不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种：
1．已知方程有增根，确定字母系数值 例1：若方程
3
23-=--x m x x 有增根，则m 的值为 （ ） A ． －3 B ．3 C ．0 D ．以上都不对
析解：把分式方程两边同乘以公分母x －3，得整式方程x －2（x －3）=m ．若原方程有增根，必须使公分母x －3等于0，即x=3，代入整式方程得3=6－ m ，解得m=3．故应选B ．
点评：方程有增根，一定是公分母等于0的未知数的值．解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程；②令公分母为0，求出x 的值；③再把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值．
2．已知方程无解，确定字母系数值 例2：若方程
132323-=-++--x
mx
x x 无解，则m 的值为 （ ） A ． －1 B ．3 C ．－1 或3 D ．－1 或5
3
-
分析：把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解．
解：去分母，得(3－2x)－(2+mx)=3－x,整理,得(m+1) x=－2．若m+1=0，则m= －1，此时方程无解；若m+1≠0，则x=12+-
m 是增根．因为12+-m =3，所以m=5
3
-．所以m 的值为－1 或5
3
-，故应选D ．
点评：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要
全面、周到．
3．已知方程无增根，确定字母系数值
例3：若解关于x 的方程
1
112+=
---x x
x k x x 不会产生增根，则k 的值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．不为±2的数 D ．无法确定
析解：去分母，把分式方程化为整式方程，x(x+1)－k=x(x －1)，解关于k 的方程,得k=2x.由题意, 分式方程无增根，则公分母x 2－1≠0，即x ≠±1,则k ≠±2．故应选C ．
点评：方程无增根，就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，利用这一点可以确定字母系数值或取值围．
妙用分式方程的增根求参数值
解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母）值，请看下面例示： 一、
分式方程有增根，求参数值
例1 a 为何值时，关于x 的方程3
42-+-x a
x x =0有增根？ 分析：先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求a 的值
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得
x 2-4x+a=0（※）
因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3
所以a=3时，3
42-+-x a
x x =0有增根。 点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值
例2 m 为何值时，关于x 的方程11
-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。
分析：原分式方程有增根，应是使分母为0的x 值。将这样的x 值代入去分母的整式方程可求出m 的值。
解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得 （1+m ）x=3m+4（※）
因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（※），解得
m=-23
；把x=2代入（※）得m=-2 所以m=-23
或-2时，原分式方程有增根
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实），如方程1+x k
+1=)2)(1(2-+x x 有
增根，可求得k=-32
，但分式方程这时有一实根x=38。
二、 分式方程是无实数解，求参数值
例3 若关于x 的方程52--x x =5-x m
+2无实数根，求m 的值。
分析：因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的x 值为原方程的增根，又x=5是原方程的增根，故可求出m 的值
解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8
因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。 又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5 所以m=3
点评：这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。
分式方程的非常规解法
抓特点选方法
有些分式方程利用一般方法解非常麻烦，若能根据题目的特点，采用一些特殊的方法，就可避免不必要的麻烦，巧妙地求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习题予以说明．
一、分组化简法 例1．解方程：
111102345
x x x x --+=++++ 分析：本题的最小公分母为(2)(3)(4)(5)x x x x ++++，若采用一般解法，就会出现高次项数，计算相当繁琐，而且也极易出错，我们注意到
11123(2)(3)
x x x x -=++++，11145(4)(5)
x x x x -=++++，在此基础上再通过比较上面两式即可将本题求解． 解：原方程化为：1111(
)()02345
x x x x ---=++++，∴上式可变为：110(2)(3)(4)(5)x x x x -=++++．即11
(2)(3)(4)(5)
x x x x =++++，
∴(2)(3)(4)(5)x x x x ++=++，解这个整式方程得： 3.5x =-，当 3.5x =-时，该分式方程中各分式的分母的值均不为0，所以 3.5x =-为原方程的解．
二、拆项变形法 例2．解方程
2
332+-x x －21-x =x x x x 24
12
2-+- 分析：本题求解时应首先将题目中的第1，3，4个分式的分母因式分解，再将这几个分式分解成两个分式差的形式，目的是通过整理将其化繁为简，使方程变得简捷易解．
解：原方程变形为：3311122
()()()21212x x x x x x x
--=-+------ 化简后整理得：
1
4
3-=
x x ，∴3(1)4x x -=，解得：3x =-，当3x =-时，分式方程中的各分式的分母均不为0，故3x =-是原方程的解．
三、利用特殊分式方程a
a x x 1
1+=+
求解． 分式方程a a x x 11+=+的解为121
x a x a
==，，若一个方程等号两边的项分别互为倒
数时，则此时便可套用上面的方程的解法求解．
例3．解方程：
21
23113=-+-x x x x 分析：因本题中13-x x 与x x 31-，2与21分别互为倒数，符合方程a
a x x 1
1+=+的特点，
故可将该方程转化为这种方程的形式求解．
解：原方程变形为
3112132x x x x -+=+-，设则x
x 31-=y 1
，此时原方程变形为：
1122y y +
=+，∴2y =或12y =．即321x x =-或3112x x =-，解得：121
25
x x =-=-，．经检验得：12125x x =-=-，都是原方程的解．∴原方程的解为121
25
x x =-=-，．
与分式方程根有关的问题分类举例
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 （2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）
使关于x
a 的值是（ ） A. 2 B. －2
C. D. 与
a 无关
解：去分母并整理，得：
因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4 故应选C 。
例2. （1997年省）
m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2
D. 1或－2
解：去分母并整理，得：
又原方程的增根是x =0x =0或x =－1分别代入<1>式，得：
m =2或m =1 故应选C 。
例3. （2001年市）
若关于x
a 的值为__________。
<1>，得：
。
例4.
（2001年市）
关于x
k 的值。 又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得： k=3
例5. 当k 为何值时，解关于x
x =1。
解：原方程可化为：
把x =1代入<1>，得k=3
所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值围 例6. （2002年市）
当k 的值为_________（填出一个值即可）时，
要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：
（1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，
得k=－1。当k=－1时，方程<1>
（2）方程<1>
有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由
得k>－1。又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得k=0，或k=3，均符合题意。
综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。 例7. （2002年市）
当m 为何值时，关于x
解：原方程可化为：
要原方程无实根，有下面两种情况：
（1
）方程<1>
（2）方程<1>的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为
x =0或x =1
，把x =0或x =1分别代入<1>得m =2。
m=2时，所给方程无实数解。 例8.
（2003年市）
已知关于x
m 的取值围。 要原方程有实数根，只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。
（1）当
m =0时，有x =1，显然x =1是原方程的增根，所以m =0应舍去。 （2
又原方程的增根为x =0或x =1，当x =0时，方程<1>
评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值围的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值围
例9. 当a 取何值时，解关于x
解：原方程可化为：