高考导数专题复习(精选课件)

高考导数专题复习 高考数学专题复习-—导数

目录

一、有关切线的相关问题

二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布

1、判断零点个数

２、已知零点个数求解参数范围

四、不等式证明

1、作差证明不等式

２、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式

五、不等式恒成立求参数范围

1、恒成立之最值的直接应用

2、恒成立之分离常数

3、恒成立之讨论参数范围

六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

(１）曲线()y f x =在0

x x =处的切线的斜率等于0

()f x '，且切线方

程为

000()()()y f x x x f x '=-+。

(2）若可导函数()y f x =在 0x x = 处取得极值,则0()0f x '=。反之，不成立.

(3）对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数

()f x 的递增（减)区间。

(４)函数

()

f x 在区间Ｉ上递增（减)的充要条件是：

x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x '

不恒为0）。

（5)函数()f x (非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在

区间Ｉ上有极值,则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有

0?>)。

（６) ()f x 在区间Ｉ上无极值等价于()f x 在区间在上是单调

函数,进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在Ｉ上恒成立

（7）若x I ?∈,()f x 0>恒成立，则min

()

f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒

成立,则max

()

f x 0<

(8)若0x I ?∈,使得

0()f x 0

>,则

max ()f x 0

>；若0x I ?∈，使得

0()f x 0<,则min ()f x 0<。

（9）设()f x 与()g x 的定义域的交集为D,若x ?∈D ()()f x g x >恒

成立,则有

[]min ()()0f x g x ->.

（10）若对11x I ?∈、2

2x

I ∈ ，12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >.

若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得1

2

()()f x g x >，则min

min ()()f x g x >。

若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得1

2

()()f x g x <,则max

max ()

()f x g x <。

（11）已知()f x 在区间1

I 上的值域为A,,()g x 在区间2

I 上值域

为Ｂ，

若对11x I ?∈，22x I ?∈,使得1

()f x =2

()g x 成立，则A B ?.

（１２)若三次函数f （x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个

不等实根12x x 、,且极大值大于0，极小值小于0.

(１３）证题中常用的不等式：

① ln 1(0)x x x ≤-> ②

≤

ln +1(1)x x x ≤>-（）

③ 1x e x ≥+ ④

1x e x -≥-

⑤

ln 1

(1)12

x x x x -<>+ ⑥

22

ln 11

(0)22x x x x

<-> ⑦ sinx ＜x (0

⑧ｌnx0）

一、

有关切线的相关问题

例题、【２015高考新课标１，理２1】已知函数f （x ）=31,()ln 4

x ax g x x ++=-。

(Ⅰ）当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线； 【答案】(Ⅰ)34

a =

跟踪练习：

1、【2011高考新课标1，理2１】已知函数ln ()1

a x

b f x x x

=++，

1

x

x

曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (Ⅰ）求a 、b 的值； 解：（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x

α+-=-+ ?

由于直线230x y +-=的斜率为1

2-，且过点(1,1),故(1)1,

1

'(1),2

f f =???=-??即

?

1,

1,22

b a b =???-=-?? ?解得1a =,1b =。

２、(２0１3课标全国Ⅰ，理21)设函数f （x )=x 2+ax +b ，

ｇ(x )＝ｅx （cx +d )．若曲线ｙ=ｆ（x ）和曲线y ＝g (x ）都过点P (0,2）,且在点Ｐ处有相同的切线ｙ＝4x ＋２。...

文档交流 仅供参考...

（1）求a ，b ,c ,d 的值；

解：（1）由已知得ｆ(0)=2，ｇ（0）=2，ｆ′（0）=4，g ′(0）＝４．

而f ′（ｘ）=2x ＋a ，g ′（ｘ）＝e x （c ｘ+d +c ), 故b ＝2,ｄ=2，ａ＝4，ｄ+c ＝4。 从而a =4，b =2，c ＝2,d =2．

3、 （20１４课标全国Ⅰ,理２1）设函数

1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+

，

曲线()y f x =在点（1,(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. （Ⅰ)求,a b ;

【解析】：(Ⅰ） 函数()f x 的定义域为

()0,+∞,112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+

-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e

'==,故

1,2a b ==

……………６分

二、导数单调性、极值、最值的直接应用 （一）单调性

1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题:【2015高考江苏,19】

已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=。 （１)试讨论)(x f 的单调性；

【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增; 当0a >时， ()f x 在2,3a ??-∞- ???,()0,+∞上单调递增,在2,03a ??

- ???

上

单调递减； 当0a <时, ()f x 在(),0-∞，2,3a ??-+∞ ???上单调递增，在20,3a ?

?- ???上单调递减．

当0a <时，()2,0,3a x ??∈-∞-+∞ ???时，()0f x '>,20,3a x ??∈-

??

?时，()0f x '<，

所以函数

()f x 在(),0-∞，2,3a ??-+∞ ???上单调递增，在20,3a ?

?- ??

?上

单调递减．

练习：1、已知函数

1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R . ⑴当1

2a ≤时,讨论()f x 的单调性；

答案:⑴

1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->,222

l 11

()(0)a ax x a f x a x x x x

--++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->

①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()

f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>,函数()f x 单调递增。 ②当0a ≠时,由()0f x '=，即210ax x a -+-=,解得121

1,1x x a ==-. 当1

2

a =时12x x =，()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤,函数()f x 单调递减； 当102a <<

时,1

110a ->>，(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；

1

(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>,函数()f x 单调递增;

1

(1,)x a

∈-+∞时,()0,()0h x f x '><,函数()f x 单调递减.

当0a <时1

10a -<,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><，函数()f x 单调递减；

当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增; 当1

2

a =

时12x x =,()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减; 当102

a <<时，函数()f x 在(0,1)递减，1(1,1)a -递增,1

(1,)a -+∞递减．

2、已知a 为实数,函数()(1)e x

f x ax =+，函数1()1

g x ax

=

-，令函数

()()()

F x f x g x =?。

当0a <时，求函数()F x 的单调区间。

解：函数1()e 1x

ax F x ax +=-，定义域为1x x a

??

≠????

。

当0a <时，2222

22

2

21

()21

()e e (1

)

(1)x

x

a a x a x a a F x ax ax +--

-++'==

--．

令

()0

F x '=,

得

22

21a x a +=

. ……………………………………９分

①当210a +<，即12

a <-时，()0F x '<． ∴当

12

a <-

时，函数

()

F x 的单调减区间为

1(,)

a

-∞,1(,)a

+∞．………………1１分

②当102

a -<<时，解2

2

21a x

a +=

得122121

,a a x

x a a

++=

=-．

∵121a a

a

+<

,

∴令()0F x '<，得1(,)x a

∈-∞,1

1(,)x x a

∈,2

(,)x x ∈+∞;

令

()0

F x '>，得

12(,)

x x x ∈. (13)

分

∴当102

a -<<时，函数()F x 的单调减区间为1(,)a

-∞，

121(,)a a a +，

21

(,)a a

+-

+∞;函数

()

F x 单调增区间为

2121

(

,)a a a a

++-。 (5)

③当210a +=,即12a =-时，由（２)知,函数()F x 的单调减区间为(,2)-∞-及

(2,)-+∞