《数学》考试大纲【模板】

《数学》考试大纲

第一部分考试说明

一、适用对象

XX学院自主招生高职学生。

二、考试目标

注重考查考生的数学基础知识、基本技会和数学思想方法，考查考生对数学本质的掌握水平，体现课程标准对知识与技会、过程与方法等目标要求。

三、考试依据与范围要求

根据普通高等学校对新生数学基础素质的要求，依据教育部颁布的《全日制普通高级中学课程计划》和《全日制普通高级中学数学教学大纲》的必修课的教学内容，作为数学科考试的命题范围。

四、考试形式与试卷结构

（一）答题方式：闭卷+笔试。

（二）答题时间：90分钟。

（三）基本题型：试卷一般包括填空题、选择题、证明题、计算题、解答题、应用题等题型。选择4-5种题型进行试卷的编制。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

第二部分考查的知识范围与要求

1.集合、简易逻辑

(1) 掌握集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义。

(2) 掌握有关的术语和符号，会正确表示一些简单的集合。

2.平面向量

（1）掌握向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

（2）掌握向量的加法和减法。

（3）掌握实数与向量的积，掌握两个向量共线的充要条件。

（4）了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握向量垂直的条件。

（6）掌握平面两点间的距离公式。

3.函数

（1）了解映射的概念，掌握函数的概念。

（2）了解函数的单调性、奇偶性的概念。

（3）掌握分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。掌握指数函数的概念、和性质。

（4）掌握对数的概念，掌握对数的运算性质。掌握对数函数的概念和性质。

（5）会运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

4.不等式

（1）掌握不等式的性质。

（2）掌握简单不等式的解法。

5.三角函数

（1）了解任意角的概念、弧度的意义。会正确地进行弧度与角度的换算。

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义。掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）会正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

（5）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质。

（6）会由已知三角函数值求特殊角。

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并会初步运用它们解斜三角形。

6.数列

（1）掌握数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前几项。

（2）掌握等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并会解决简单的实际问题。

（3）掌握等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并会解决简单的实际问题。

7.平面直线和圆的方程

（1）掌握直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并会根据条件熟练地求出直线方程。

（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式。

（3）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，掌握圆的参数方程。 8.空间直线、平面及简单几何体

（1）掌握平面的基本性质，会够画出空间两条直线、直线和平面的位置关系的图形。（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。掌握直线和平面垂直的概念，掌握

直线和平面垂直的判定定理。

（3）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。掌握直线和

平面垂直的性质定理。掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。

（4）了解多面体,了解中心投影与平行投影,会画空间几何体的三视图和直观图。 （5）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式。 9.概率

（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。

（2）了解等可会性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可会性事件的概率。

（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

第三部分 典型题型

一、选择题

1．从1,2,3,4这4个数中,不放回的任意取两个数,两个数都是偶数的概率是（） （A ）

61（B ）41（C ）31（D ）2

1 2．集合{}f e d c b a A ,,,,,=，集合{}g f c b B ,,,=，则=B A （） （A ）{}g f e d c b a ,,,,,,（B ）{}d c b ,,（C ）{}f c b ,,（D ）{}f e c b ,,, 3．已知0，<>c b a ，则下列不等式成立的是（） （A ）bc ac >（B ）

b

a 1

1>（C ）22bc ac >（D ）22b a > 4．向量)1,1(),3,2(-==b a ，则b a 23-的坐标是（）

（A ）5 （B ）（3，2）（C ）（3，4）（D ）（4，11） 5．下列选项中，与x cos +1相等的是（） （A ）2

2cos x （B ）222cos x （C ）22

2sin x

（D ）22sin x 6．等比数列{}n a 满足,,211-==q a 则前5项和=5S （） （A ）11 （B ）10 （C ）313-

（D ）31

3

7．已知圆的方程为25)2()1(22=++-y x ，则此圆的圆心与半径为（） （A ）圆心)2,1(-，5=r （B ）圆心)2,1(-，25=r （C ）圆心)2,1(-，5=r （D ）圆心)2,1(-，25=r

8．函数x x x y 33

+-=sin 是（）

（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇函数且非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 9．函数x

x f 211-)(=

的定义域为（）

（A ）12>

x （B ）12x ≥（C ）12x <（D ）12

x ≤ 10．在下列函数中，在[0,

2

π

]上为增函数的是（） （A ）x y tan =（B ）x y sin =（C ）x y sin2=（D ）x y cos =

11．一批产品共6件,其中合格品4件，次品2件，从中任取2件,都是次品的概率是（） （A ）

101（B ）151（C ）201（D ）30

1 12．集合{}3,2,1,0=A ，集合{

}4,2,1=B ，则=B A （） （A ）{}4,3,2,2,1,1,0（B ）{

}2,1（C ）{}3,2,1,0（D ）{}4,3,2,1,0 13．不等式01032

<--x x 的解是（）

（A ）52<

15．=x cos -1（） （A ）2

2cos x （B ）222cos x （C ）22

2sin x

（D ）22sin x 16．等差数列{}n a 满足,2,11==d a 则前10项和=10S （） （A ）100（B ）101（C ）99（D ）98

17．圆

42-12

2=++）（）（y x 的圆心坐标为（） （A ）)2,1(-（B ）)2,1(--（C ）)2,1(-（D ）)2,1(

18．函数2

2

1x

x y +=是（） （A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇函数且非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 19．函数x

x f ln 1

)(=

的定义域为（） （A ）0>x （B ）1>x （C ）0≥x 且1≠x （D ）0>x 且1≠x 20． 15cos 15sin ?的值为（）

（A ）

81（B ）2

1

（C ）1（D ）41

21．已知事件A 与B 互不相容,且()()9.0,4.0==B A P A P ,则()=B P （） （A ）0.6（B ）0.5（C ）0.7（D ）0.8 22．集合{}c b a A ,,=，则（）

（A ）A a ?（B ）A a ?（C ）A a ∈（D ）A a < 23．不等式

01

1

≥+-x x 的解是（） （A ）11-≤≤x （B ）11-≤

cos 2sin x

x 相等的是（） （A ）

x sin 2

1

（B ）x 2sin （C ）x sin 2（D ）x sin 26．等比数列{}n a 满足,-2,11==q a 则第5项和=5a （）

（A ）32（B ）16（C ）-32（D ）-16 27．直线0563=-+y x 的斜率为（） （A ）0.5（B ）-0.5（C ）2（D ）-2 28．函数C C y （=是常数）是（）

（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇函数且非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 29．函数12)(-=

x x f 的定义域为（）

（A ）12>

x （B ）12x ≥（C ）12x <（D ）12

x ≤ 30．在下列函数中，当2

π

=

x 时取得最大值的是（）

（A ）x y tan =（B ）x y sin =（C ）x y sin2=（D ）x y cos =

31．已知事件A 与B 相互独立,且()()8.0,6.0==B A P B P ,则()=A P （） （A ）0.6（B ）0.5（C ）0.3（D ）0.2 32．集合{}c b a A ,,=，{}b a A ,=，则（） （A ）A B ?（B ）A B ?（C ）A B ∈（D ）A B < 33．不等式11>-x 的解是（）

（A ）2>x （B ）0x 34．若向量)-4,2(=与),8(x =垂直，则=x （） （A ）2（B ）4（C ）4-（D ）2-

35．下列选项中，与x 2cos 不相等的是（）

（A ）1-cos 22x （B ）1-sin 22x （C ）x 2sin 2-1（D ）x x 22sin -cos 36．数列3，7，11，…的第5项和=5a （） （A ）13（B ）17（C ）19（D ）23 37．直线05-=-y x 的倾斜角为（） （A ）

30（B ）

45（C ）

60（D ）

90 38．函数1sin +=x y 是（）

（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）非奇函数且非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数

39．3

cos

π

的值为（）

（A ）

2

1

（B ）23（C ）1（D ）22

40．函数x y sin2=的周期是（） （A ）π（B ）π2（C ）2

π

（D ）π4 二、填空题

1．若直线⊥a 平面α，且直线⊥b 平面α，则直线a 与直线b 的位置关系是 2．求值

=?++?+?+?100

991431321211 ______________ 3．比较 29sin ， 46sin ， 189sin 的大小：__________________ 4．已知球的半径为R ，则球的体积公式=V __________________ 5．已知),(40-A ，),(32-B ，则直线AB 的方程为_______________ 6．底面半径,2=r 高25=h 的圆柱体的体积为

7．等比数列-1，1，-1，1，…的公比=q ______________

8．比较 60sin ， 45tan ， 30cos 的大小关系为__________________________ 9．点)4,0(A 到直线0143=-+y x 的距离为__________________ 10．已知)3,1(A ，)6,2(B ，则点B A ,间的距离=AB _______________ 11．若直线a 平行直线c ，且直线b 也平行直线c ，则a 与b 的位置关系是 12．求值=+++++

32

1

8141211 ______________ 13．比较三个数2ln ，()-2

0.1，1的大小：_________________________ 14．已知球的半径为R ，写出球的表面积公式=S __________________ 15．已知)4,6(A ，)2,4(B ，则线段AB 的中点坐标为_______________ 16．底面半径,2=r 高25=h 的圆锥体的体积为=V

17．求值=+25.0log 10log 255______________

18．比较 46sin ， 46cos ， 46tan 的大小：______________________ 19．已知长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，则表面积=S __________________ 20．已知)2,1(A ，)2,2(B ，则直线AB 的方程为___________________ 三、解答题

1．求值：0

2

1)12(04.060cos -++

.

2. 已知函数35

02011()=sin x

x x f x x x x -

，求)(),0(),1(3πf f f -.

3.S-ABCD 在底面是直角梯形的四棱锥中，0

ABC 90SA ABCD ∠=⊥，面，

1

SA =AB =BC =1.2

，AD=（1）求四棱锥S-ABCD 的体积；

（2）求B 到面SCD 的距离.

4．求值：25.0log 45tan 60sin -30cos 32-+

.

5. 已知函数??

???<+=>=0,30,0,ln )(2x x x e x x x f x

，求)1(),0(),1(f f f -.

6.在直角ABC ?中，,,1,5,90ABC PA BC AB ACB 平面⊥==

=∠

且.2=PA

（1）求证：PAC BC 平面⊥（2）求二面角A BC P --. 7．求值：2lg 8lg 3

2

25lg 5lg ++

+

.

8. 已知函数??

???<≤≤>=4,cos ,tan ,sin )(343x x x x x x x f πππ，求)(),(),(346π

ππf f f .

9.在边长为a 2的菱形ABCD 中，一个锐角为,06 过顶点C A 和在平面AC 的同侧 分别作,,AC CF AC AE 平面平面⊥⊥且.,3a CF a AE ==

求证：FBD EBD 平面平面⊥. 10．求值：45log 2log 224log 333+-.

11. 已知函数??

???<=>=0,0,30,ln )(2x x x x x x f x

，求)e (),0(),1(f f f -.

12.在ABC ?中，,2,3203===AC AB B ，

求ABC ?的面积.

答案

一、选择题

1、A ；

2、C ；

3、C ；

4、D ；

5、B ；

6、A ；

7、C ；

8、A ；

9、C ；10、B ；11、B ；12、D ；13、B ；14、A ；15、C ；16、A ；17、A ；18、B ；19、D ；20、D ；21、B ；22、C ；23、D ；24、A ；25、A ；26、B ；27、B ；28、B ；29、B ；30、B ；31、B ；32、A ；33、D ；34、B ；35、B ；36、C ；37、B ；38、C ；39、A ；40、A

二、填空题

1、a b ；

2、

99100；3、sin189sin 29sin 46<<；4、34

3

R π；5、7280x y ++=；6、100π；7、-1；8、sin 60cos30tan 45=<；9、3；10

11、a b ；12、63

32

；

13、()2

ln 210.1-<<；14、24R π；15、()5,3；16、1003

π；17、2；18、

cos 46sin 46tan 46<<；19、222ab bc ac ++；20、2y =

三、解答题

1．求值：0

2

1)12(04.060cos -++

()1

22

10.21

21

0.2121710

=++=++=解：原式 2. 已知函数35

02011()=sin x

x x f x x x x -

()()(

)013158021

sin 33f f f ππ-=--=-==??

==

???

解：

3.S-ABCD 在底面是直角梯形的四棱锥中，0

ABC 90SA ABCD ∠=⊥，面，

1

SA =AB =BC =1.2

，AD=（1）求四棱锥S-ABCD 的体积；

（2）求B 到面SCD 的距离.

()11111

11133224

ABCD V S SA ??=?=??+?= ?

??解：

(

)

(

)

2

,

=1

=1

2

SA ABCD

SA AB

SB

SBC

BC AB BC SA SA ABCD

BC SB

SC

D D

E BC E DE AB

DE

AD BC

DE

CDE

CD

SAD

SA ABCD

SA AD

SD

⊥

∴⊥

∴===

⊥⊥⊥

∴⊥

∴===

⊥

∴

∴

===

⊥

∴⊥

∴===

平面

在中

过作于，则

在中

在中

平面

过

11

22

1111

111

3326

111

633

SCD

S BCD BCD

S BCD B SCD SCD

D DF SC F SF FC

DF

S SC DF

V SA S

B SCD h

V V h S h

h

-

--

⊥==

∴===

∴=??==

=??=????=

===??=?

∴=

作于，则

设点到平面的距离为，则

4．求值：25

.0

log

45

tan

60

sin

-

30

cos

3

2

-

+

.

-2

2

2

1log

3

=12

2

-

-+

解：原式

5. 已知函数

?

?

?

?

?

<

+

=

>

=

,3

,

,

ln

)

(

2x

x

x

e

x

x

x

f x，求)1(

),

0(

),

1

(f

f

f-.

()

()

()

12

0=1

1=ln10

f

f e

f

-=

=

=

解:

6.在直角ABC

?中，,

,1

,5

,

90ABC

PA

BC

AB

ACB平面

⊥

=

=

=

∠ 且.2

=

PA （1）求证：PAC

BC平面

⊥（2）求二面角A

BC

P-

-.

()

(

)

2219023

90,12

PA ABC

PA BC ACB AC BC PA BC AC BC BC PAC

PA ABC

PA AB Rt PAB PB ABC ACB AB BC AC PA ABC PA AC Rt PAC PC PBC PC BC P ⊥∴⊥∠=∴⊥⊥?

?

⊥?∴⊥⊥∴⊥===∠===∴===⊥∴⊥=

==+=解：平面平面平面在中

在中

平面在中

在中2=45

B P

C BC AC BC PCA Rt PAC PA AC PCA ∴⊥⊥∴∠=∴∠为二面角在中

7．求值：2lg 8lg 32

25lg 5lg ++

+. ()

()2322

33

22223

2

=lg 5lg 5lg 2lg 2

3

=lg 5lg 5lg 2

lg 2

=lg 5lg 5lg 2lg 2=lg 5522=lg 523

+++++++++????=解：原式

8. 已知函数??

???<≤≤>=4,cos ,tan ,sin )(343x x x x x x x f πππ，求)(),(),(346π

ππf f f

.

=cos 662=tan 1

44=tan 33f f f ππππππ??

=

?????

= ???

??

= ???

解: 9.在边长为a 2的菱形ABCD 中，一个锐角为,06 过顶点C A 和在平面AC 的同侧 分别作,,AC CF AC AE 平面平面⊥⊥且.,3a CF a AE ==

求证：FBD EBD 平面平面⊥.

60

,,

2

2

,

,

2

DAB

AC BD O EO OF

BD a

AC

EA

AC

EA AD EA AB

ED EB

EO BD

EO

FC AC

FC CD FC BC

DF BF

FO BD

FO a

EOF

∠=

=

=

⊥

∴⊥⊥

∴=

==

∴⊥

∴===

⊥

∴⊥⊥

∴===

∴⊥

∴===

∴∠

解：设

连结交于点,连结

则

平面

平面

222

4

90

EBD FBD

F F

G EA G

FG AC

EFG

EF a EOF

EF EO OF

EOF

EBD FBD

⊥

∴=

===

=+

∴∠=

∴⊥

为平面与平面的二面角

过作于

在中

在中

平面平面

10．求值：45

log

2

log

2

24

log

3

3

3

+

-.

24445

333

24445

3

270

3

=log log log

=log

=log

÷?

-+

解：原式

11. 已知函数

?

?

?

?

?

<

=

>

=

,

,

3

,

ln

)

(

2x

x

x

x

x

x

f x，求)e(

),

0(

),

1

(f

f

f-.

()

()()011

0=31

=ln 1

f f f e e -===解:

12.在ABC ?中，,2,3203===AC AB B ， 求ABC ?的面积

.

22sin sin sin 30sin sin 601206090

11222

12030111sin 302222

ABC

ABC

AC AB B C C

C C C C A S

AC AB C A S

AC AB ABC ==∴∴∠=∠=∠=∠==

?=?=∠=∠==

??=?=∴解：

即或当时当时的面积为