第五章机械能

第五章机械能

第五章机械能

考纲要求

1．功、功率Ⅱ

2．动能、做功与动能改变的关系Ⅱ

3．重力势能、重力做功与重力势能改变的关系Ⅱ

4．弹性势能Ⅰ

5．机械能守恒定律Ⅱ

6．动量知识和机械能知识的应用（包括碰撞、反冲、火箭）Ⅱ

7．航天技术的发展和宇宙航行Ⅰ

知识网络：

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单元切块：

按照考纲的要求，本章内容可以分成四个单元，即：功和功率；动能、势能、动能定理；机械能守恒定律及其应用；功能关系动量能量综合。其中重点是对动能定理、机械能守恒定律的理解，能够熟练运用动能定理、机械能守恒定律分析解决力学问题。难点是动量能量综合应用问题。

§1 功和功率

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教学目标：

理解功和功率的概念，会计算有关功和功率

的问题培养学生分析问题的基本方法和基本技能 教学重点：功和功率的概念

教学难点：功和功率的计算

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一、功

1．功

功是力的空间积累效应。它和位移相对应（也

和时间相对应）。计算功的方法有两种：

⑴按照定义求功。即：W =Fs cos θ。 在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。当2

0πθ<≤时F 做正功，当2πθ=时F 不做功，当πθπ≤<2

时F 做负功。 这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该

恒力方向上的位移的乘积。

⑵用动能定理W=ΔE k或功能关系求功。当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。

这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功

（或者说是合外力做的功）。

这种方法的依据是：做功的过程就是能量转

化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一

过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程

中对应的功的数值。

【例1】如图所示，质量为m的小球用长

L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下Array列三种情况下，分别用水平拉力F将小

球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。

在此过程中，拉力F做的功各是多少？

⑴用F缓慢地拉；

⑵F为恒力；

⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速

度刚好为零。

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可供选择的答案有

A.θcos FL

B.θsin FL

C.()θcos 1-FL

D.()θcos 1-mgL

解析：⑴若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解。F 做的功等于该过程克服重力做的功。选D

⑵若F 为恒力，则可以直接按定义求功。选

B

⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速

度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B 、D

在第三种情况下，由θsin FL =()θcos 1-mgL ，可以得到2tan sin cos 1θθθ=-=mg F ，可见在摆角为2

θ-时小球的速度最大。实际上，因为F 与mg 的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。

【例2】如图所示，线拴小球在光滑水平面

上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，球的质量是0.1kg，线速度v=1m/s，小球由A点运动到B点恰好是半个圆周。那么在这段运动中线的拉力做的功是（）

A．0 B．0.1J C．0.314J D．无法确定

解析：小球做匀速圆周运动，线的拉力为小球做圆周运动的向心力，由于它总是与运动方向垂直，所以，这个力不做功。故A是正确的。

【例3】下面列举的哪几种情况下所做的功是零（）

A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功

B．平抛运动中，重力对物体做的功

C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留

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10s，运动员对杠铃做的功

D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功

解析：引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功。杠铃在此时间内位移为零。支持力与位移方向垂直，所以，支持力不做功。故A、C、D 是正确的。

【例4】用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。如果前后两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（）A．加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大

B．匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大

C．两过程中拉力做的功一样大

D．上述三种情况都有可能

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解析：应先分别求出两过程中拉力做的功，

再进行比较。重物在竖直方向上仅受两个力作用，重力mg 、拉力F 。

匀加速提升重物时，设拉力为F 1，物体向上

的加速度为a ，根据牛顿第二定律

得F 1-mg=ma

拉力F 1所做的功

211121)(at a g m s F W ?+=?=2

)(21at a g m += ①

匀速提升重物时，设拉力为F 2，根据平衡条

件得F 2=mg

匀速运动的位移22at t at vt s =?==

所以匀速提升重物时拉力的功

2222mgat s F W == ②

比较①、②式知：当a>g 时，21W W

>；当a=g 时，21W W =；当a

故D 选项正确。

点评：可见，力对物体所做的功的多少，只决定于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态无关。在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力的功。

2．功的物理含义

关于功我们不仅要从定义式W=Fs cos α 进行理解和计算，还应理解它的物理含义．功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化．对物体做正功，物体的能量增加．做了多少正功，物体的能量就增加了多少；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少，做了多少负功，物体的能量就减少多少．因此功的正、负表示能的转化情况，表示物体是输入了能量还是输出了能量．

【例5】质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的

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是（）

A．如果物体做加速直线运动，F一定做正功B．如果物体做减速直线运动，F一定做负功C．如果物体做减速直线运动，F可能做正功D．如果物体做匀速直线运动，F一定做正功解析：物体在粗糙水平面上运动，它必将受到滑动摩擦力，其方向和物体相对水平面的运动方向相反。当物体做加速运动时，其力F方向必与物体运动方向夹锐角（含方向相同），这样才能使加速度方向与物体运动的方向相同。此时，力F与物体位移的方向夹锐角，所以，力F对物体做正功，A对。

当物体做减速运动时，力F的方向可以与物体的运动方向夹锐角也可以夹钝角（含方向相反），只要物体所受合力与物体运动方向相反即可，可见，物体做减速运动时，力F可能对物体做正功，也可能对物体做负功，B错，C对。

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当物体做匀速运动时，力F 的方向必与滑动

摩擦力的方向相反，即与物体位移方向相同，所以，力F 做正功，D 对。

故A 、C 、D 是正确的。

【例6】如图所示，均匀长直木板长L =40cm ，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量m =2kg ，与桌面间的摩擦因数μ=0.2，今用水平推力F 将其推下桌子，则水平推力至少做功为（ ）（g 取10/s 2）

A ．0.8J

B ．1.6J

C ．8J

D ．4J

解析：将木板推下桌子即木块的重心要通过

桌子边缘，水平推力做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功，8.02

4.0202.02=?===L

mg Fs W μJ 。故A 是正确的。

3．一对作用力和反作用力做功的特点

（1）一对作用力和反作用力在同一段时间内，可以都做正功、或者都做负功，或者一个做正功、一个做负功，或者都不做功。

（2）一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。

（3）一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。

点评：一对作用力和反作用力在同一段时间内的冲量一定大小相等，方向相反，矢量和为零。

【例7】关于力对物体做功，以下说法正确的是（）

A．一对作用力和反作用力在相同时间内做的功一定大小相等，正负相反

B．不论怎样的力对物体做功，都可以用W=Fs cosα

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C ．合外力对物体不作功，物体必定做匀速

直线运动

D ．滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做

正功或负功

解析：一对作用力和反作用力一定大小相等、方向相反，而相互作用的两物体所发生的位移不一定相等，它们所做的功不一定大小相等，所以，它们所做的功不一定大小相等，正负相反。公式W=Fs cos α，只适用于恒力功的计算。合外力不做功，物体可以处于静止。滑动摩擦力、静摩擦力都可以做正功或负功，如：在一加速行驶的卡车上的箱子，若箱子在车上打滑（有相对运动），箱子受滑动摩擦力，此力对箱子做正功；若箱子不打滑（无相对运动），箱子受静摩擦力，对箱子也做正功。故D 是正确的。

二、功率

功率是描述做功快慢的物理量。 ⑴功率的定义式：t

W P ，所求出的功率是时间

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t 内的平均功率。

⑵功率的计算式：P =Fv cos θ，其中θ是力与

速度间的夹角。该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F 是该时刻的作用力大小，v 取瞬时值，对应的P 为F 在该时刻的瞬时功率；②当v 为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F 必须为恒力，对应的P 为F 在该段时间内的平均功率。

⑶重力的功率可表示为P G =mgv y ，即重力的

瞬时功率等于重力和物体在该时

刻的竖直分速度之积。 ⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始

沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是P =Fv 和F-f = ma

①恒定功率的加速。由公式P =Fv 和F-f=ma

知，由于P 恒定，随着v 的增大，F 必将减小，a 也必将减小，

汽车做加速度不断减小的加速运动，v

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直到F =f ，a =0，这时v 达到最大值f P F P v m m m ==。可见

恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W =Pt 计算，不能用W =Fs 计算（因为F 为变力）。

②恒定牵引力的加速。由公式P =Fv 和

F -f =ma 知，由于F 恒定，所以a 恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大，P 也将不断增大，直到P 达到额定功率P m ，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为m m m m v f P F P v =<='，

此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F ?s 计算，不能用W=P ?t 计算（因为P 为变功率）。

要注意两种加速运动过程的最大速度的区

别。

【例8】 质量为2t 的农用汽车，发动机额

定功率为30kW ，汽车在水平路面行驶时能达到

的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？

解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即P m=f v m，而速度为v时的牵引力F=P m/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2

【例9】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t前进距离s，速度达到最大值v m。设此过程中发动机功率恒为P，卡车所受阻力为f，则这段时间内，发动机所做的功为（）A．Pt B．fs C．Pt=fs D．fv m t

解析：发动机所做的功是指牵引力的功。由于卡车以恒定功率运动，所以发动机所做的功应等于发动机的功率乘以卡车行驶的时间，∴A对。B项给出的是卡车克服阻力做的功，在这段时间内，牵引力的功除了克服阻力做功外还要增加卡车的功能，∴B错。C项给出的是卡车所受外力

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的总功。D 项中，卡车以恒功率前进，将做加速度逐渐减小的加速运动，达到最大速度时牵引力等于阻力，阻力f 乘以最大速度m

v 是发动机的功率，再乘以t 恰是发动机在t 时间内做的功。故A D 是正确的。

【例10】质量为m 、额定功率为P 的汽车在

平直公路上行驶。若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v 1，当汽车以速率v 2（v 2

解析：速度最大时，牵引力最小，在量值上等于阻力。所以1

v P f =，以速率v 2运动时，由牛顿

第二定律有： F-f=ma 其中1v P f =， 2v P F =

得 2

12121)()11(v mv v v P v v m P a -=-= 【例11】质量是2000kg 、额定功率为80kW

的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，运动中的阻力不变。求：①汽车所受阻力的大小。②3s末汽车的瞬时功率。③汽车做匀加速运动的时间。④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。

解析：①所求的是运动中的阻力，若不注意“运动中的阻力不变”，则阻力不易求出。以最大速度行驶时，根据P=Fv，可求得F=4000N。而此时牵引力和阻力大小相等。

②由于3s时的速度v=at=6m/s，而牵引力由F—F f=ma得F=8000N，故此时的功率为P=Fv =4.8×104W。

③设匀加速运动的时间为t，则t时刻的速度为v=a t=2t，这时汽车的功率为额定功率。由P=Fv，将F=8000N和v=2 t代入得t=5s。

④虽然功率在不断变化，但功率却与速度成正比，故平均功率为额定功率的一半，从而得牵

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引力的功为W =Pt =40000×5J=2×105J.

点评：③中的时间，有的学生用v =at ，得

t =v m /a =10s ，这是错误的。要注意，汽车不是一直匀加速到最大速度的。

【例12】 质量为0.5kg 的物体从高处自由下

落，在下落的前2s 内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g 取2/10s m ）

解析：前2s ，20210212

122=??==gt h m ， J mgh W G 10020105.0=??==， 平均功率50==t

W P W ， 2s 末速度s m s m gt v t /20/210=?==，

2s 末即时功率100==t mgv

P W 。

三、针对训练 1．如图所示，力F 大小相等，A B C D 物体