小学六年级奥数 第十七章 浓度问题

第十七章 浓度问题

知识要点

1.要区分两种物体的差别，我们可以根据物体的特点，采取不同的方式和方法，如可鉴别两种物体的形状、颜色、质量的差别。但是，要想比较两种不同的但却盛在完全相同容器里的糖水，比较哪个容器里的糖水更甜，就不能用以上的方法进行区分。哪个糖水更甜，就是说哪个容器里的糖水更浓些，这就是我们要学习的浓度问题。

2.我们把糖与糖水的重量的比值称为糖水的浓度，同样，我们把盐与盐水的重量的比值称为盐水的浓度。

3.将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水的甜度是由糖(溶质)与糖水(溶液＝糖十水)两者质量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量。

4.在同一种重量单位里，溶质、溶剂、溶液以及浓度之间有以下关系：

溶质重量＋溶剂重量＝溶液重量

浓度＝ 溶质重量溶质重量溶剂重量

×100% 浓度＝溶质重量溶液重量

×100% 5.有关浓度配比问题还经常用到下面的关系式：

溶液重量＝溶质重量＋溶剂重量

溶液重量＝溶质重量÷浓度

溶剂重量＝溶液重量×(1－浓度)

6.解答浓度问题，根据题意列方程解答比较容易。在列方程时，要注意寻找题目中的等量关系。

典例巧解

（一）浓度中的稀释问题

由浓度高的溶液经过添加溶剂变成浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释的过程中，只是溶剂增加了，溶质的重量是不变的，这是解这类问题的关键。

例1 在浓度为10%，重量为100克的盐水中，加入多少克水就能得到浓度为8%的盐水？ 点拨 浓度为10%，重量为100克的盐水中盐的重量是：100×10%＝10(克)。在盐水中加入若干克水后，盐水的浓度变成8%，这时盐水中盐的重量没有改变，仍然是10克。根据数量关系式“现在盐水的重量×现在的浓度＝现在盐的重量”，可以求出现在盐水的重量。再用现在盐水的重量减去原来盐水的重量就得到加入水的重量。

解法一 100×10%÷8%－100

＝100x 10100×1008

－100 ＝125－100

＝25(克)

答：加入25克水就能得到浓度为8%的盐水。

解法二 设加入x 克水。根据题意，盐的重量不变，则有

100×10%＝(100＋x)×8%

10＝100×8%＋8%x

10＝8＋8%x

8%x ＝2

x ＝25

答：加入25克水就能得到浓度为8%的盐水。

例2 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为 %。

点拨 这道题中没有给溶液是多少这个条件，也没有给出加水前的浓度，但是我们看到每次加的水都是一样多的，在稀释的过程中，溶质没有发生变化。

解法一 设盐水中的盐a 克，第一次加水后盐水有b 克。

则a b ＝15100 ①

第二次加入c 克水后，得到 a b c +＝12100

②

由①、②得b a ＝10015，b c a

+＝b a ＋c a ＝10012， 所以c a ＝10012一10015＝10060

， 2b c a +＝b c a +＋c a ＝10012＋10060＝10010。 因此，第三次再加入同样多的水c 克，盐水的含盐量为2a b c +＝10100

＝10%。 解法二 设原有盐水a 千克，每次加水b 千克，第三次加入同样多的水后盐水的浓度为x%。 15%()12%(2),12%(2)(3)%a b a b a b a b x +=+??+=+??。

化简得

15()12(2),12(2)(3)a b a b a b a b x +=+??+=+??①。

②

由①得 15a ＋15b ＝12a ＋24b

3a ＝9b a ＝3b ③

把③代入②得

12(3b ＋2b)＝(3b ＋3b)x

60b＝6bx

x＝10

因此，第三次再加入同样多的水6克盐水的含量为10%。

(二)浓度中的加浓问题

由浓度低的溶液经过添加溶质或蒸发掉溶剂的方式转化成浓度高的溶液的过程称为加浓。在这个加浓的过程中，既可添加溶质又可蒸发掉溶剂，要根据题目的条件，选择恰当的方式，正确解答。

例1 现在有400克浓度为40%的糖水，要把它变成浓度为50%的糖水，需加糖多少克？

点拨一根据题意可以知道，在浓度为40%的糖水中加糖，就改变了原来糖水的重量，糖的重量虽然增加了，但水的重量并没有变化，可以先根据原来的糖水中的浓度求出原来糖水中水的重量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的重量，用现在糖水的重量减去原来糖水的重量就是增加的糖的重量。

解法一400×(1－40%)÷(1－50%)－400

＝400×60%÷50%－400

＝480－400

＝80(克)

答：需加糖80克。

点拨二根据原来糖水中水的重量和现在糖水中水的重量相等的关系，可以列方程解答。解法二设需加x克糖。

400×(1－40%)＝(400＋x)×(1－50%)

400×60%＝(400＋x)×50%

240＝400×50%＋50%x

240＝200＋50%x

50÷x＝40

x＝80

答：需加糖80克。

例2 在浓度为40%的糖水中加入5千克水，浓度变为30%，再加入多少千克糖，浓度变为50%?

点拨一第一次往浓度为40%的糖水中加入5千克水，浓度变为30%，在这个过程中，溶液中糖的含量不变，那么用5千克浓度为30%的糖水中所含糖的量除以加水前后溶液浓度的差，就可以计算出原有的糖水的量，原有的糖水量求出来了，其他量就容易计算了。

解法一原有的糖水量：

5×30%÷(40%－30%)＝15(千克)

加糖前溶液中含水重量：

(15＋5)×(1－30%)＝14(千克)

加入糖后溶液的重量：

14÷(1－50%)＝28(千克)

需加入的糖的重量：

28－20＝8(千克)

答：再加入8千克糖，溶液浓度为50%。

点拨二 根据题意，第一次加水时，糖没有变化，再加糖，水没有变化，因此可以列方程解答。

解法二 设原有糖水x 千克。

40%x ＝(x ＋5)×30%

40%x ＝x×30%＋5×30%

40%x ＝30%x ＋1.5

10%x ＝1.5

x ＝15

设再加入y 千克糖。 (155)30%155y y

+?+++＝50%

200.320y y ?++＝0.5 6＋y ＝10＋0.5y

0.5y ＝4

y ＝8

答：再加入8千克糖，溶液浓度为50%。

说明 例1和例2都是在溶液中采取添加溶质的方法加浓的，还有一种是靠蒸发掉水(溶剂)来使溶液加浓的。

例3 要从含盐20%的50千克盐水中蒸发一定的水分，得到含盐25%的盐水。应当蒸发掉多少千克水？

点拨 稀释的相反过程是蒸发。比如把盐水加热，一部分水变为水蒸气跑掉了，于是盐水中水的重量减少了，而盐的重量不变，这样盐水的浓度就增加了。不论蒸发还是稀释，这两种变化的共同点是在变化中溶质的重量不变，所以我们要抓住溶质不变这个特点解题。 解法一 50－50×20%÷25%

＝50－40

＝10(千克)

答：应当蒸发掉10千克水。

解法二设 应蒸发掉x 千克水。根据题意，盐的重量不变，则有

50×20%＝(50－x)×25%

10－50×25%－25%x

10＝12.5－25%x

25%x ＝2.5

x ＝10

答：应当蒸发掉10千克水。

(三)两种溶液配制问题

在浓度问题中，有这样一类题，是把原有的两种或两种以上不同重量、不同浓度的溶液，混合在一起配成某种新浓度的溶液。这是浓度的配制问题，解这类问题较多的是利用列方程的方法解答，因为混合前后的溶质是不变的。

例1 甲、乙两种酒精的浓度分别是60%和35%，现在要配制成浓度为50%的酒精5000克，应当从这两种酒精中各取多少克？

点拨 根据配制溶液的过程中，前后溶液中的溶质没有改变，利用这个等量关系列方程解答。 解 设取甲种酒精x 克。

x×60%＋(5000－x)×35%＝5000×50%

60%x －35%x ＋1750＝2500

25%x ＋1750＝2500

25%x ＝750

x ＝3000

5000－3000＝2000(克)

答：取甲种酒精3000克，取乙种酒精2000克。

例2 甲、乙、丙三个容器里分别装有2000克、200克、300克酒精，已知甲容器中酒精浓度为20%，乙容器中的酒精浓度为丙容器中酒精浓度的2倍，三个容器的酒精溶液混合后的浓度为20.2%。乙容器中酒精浓度是多少？

点拨 由已知条件可设丙种酒精的浓度为x%，则乙种酒精的浓度为2x%，乙种酒精溶液中纯酒精是200×2x%，丙种酒精溶液中纯酒精是300×x%，根据三种酒精溶液中所含纯酒精的数量和就是混合后纯酒精的数量，可列方程解答。

解 设丙种酒精浓度为x%，则乙种酒精的浓度为2x%。 200020%2002%300%2000200300

x x ?+?+?++＝20.2%

400432500x x ++＝20.2% 400＋7x ＝505

7x ＝105

x ＝15

2x%＝30%

答：乙种溶液中酒精的浓度为30%。

例3 A 种酒精中纯酒精的含量为40%，B 种酒精中纯酒精的含量为36%，C 种酒精中纯酒精的含量为35%。它们混合后得到了纯酒精的含量为38.5%的酒精11升，其中B 种酒精比C 种酒精多3升，那么A 种酒精有多少升？

点拨 根据题意，混合以前A 种酒精重量、B 种酒精重量、C 种酒精重量之和应等于混合后酒精溶液的重量11升，B 种酒精比C 种酒精多3升，所以可知A 种酒精是11－(B ＋C)＝11

－(C＋3＋C)＝8－2C(升)。

又根据题意，A、B、C三种酒精混合前、后的纯酒精含量是不变的，可列方程来解。解设C种酒精有x升，B种酒精为(x＋3)升，A种酒精为11－(x＋x＋3)＝(8－2x)升。则 40%(8－2x)＋36%(x＋3)＋35%x＝11×38.5%

4.28－0.09x＝4.235

x＝0.5

所以A种酒精有：8－2x＝8－2×0.5＝7(升)

答：A种酒精有7升。

(四)溶液互换问题

浓度中溶液互换问题，就是先后把一个容器的溶液倒入对方容器中，再求混合后各自的浓度等问题。解答这类问题，要认真审题，分步解答，必要时可采取列表分析解答。

例1 有甲、乙两个容器，其中甲装了960克纯酒精，乙装了640克水。第一次将甲的一半倒给乙，混合后再把乙的一半倒给甲，这样连续三次后，甲中的溶液有多少克？其中含纯酒精多少克？

点拨根据题目的条件和要求，数量变化较多，如果采取列算式的方法解答，算式就会很繁杂，而选择列表法解答，就会使数量关系及数量变化清晰明了，易于准确快捷地解答。

解

答：甲中的溶液有1065克，其中含纯酒精645克。

例2 从装满100克浓度为60%的糖水杯中倒出20克糖水，再倒入清水将杯装满，搅拌后再倒出20克糖水，然后再倒入清水将杯装满。这样反复三次后，杯中糖水的浓度是多少？点拨最后杯中糖水的重量仍为100克，因此，只需求出最后糖水中含有多少糖，即可求出最后糖水的浓度。要求出剩下的糖，需求出三次倒出的糖水中含有多少糖。每次倒出的糖水虽然都是20克，但是由于浓度不同，所以每次倒出的糖是不相同的。

解法一原来杯中糖水的含糖量：

100×60%＝60(克)

第一次倒出的糖水中含糖量：

20×60%＝12(克)

加满水后糖水的浓度：

(60－12)÷100＝48%

第二次倒出的糖水中含糖量：

20×48%＝9.6(克)

加满水后糖水的浓度：

(60－12－9.6)÷100＝38.4%

第三次倒出的糖水中含糖量：

20×38.4%＝7.68(克)

加满水后糖水的浓度：

(60－12－9.6－7. 68)÷100＝30.72%

答：反复三次后，杯中糖水的浓度为30.72%。

解法二

答：反复三次后，杯中糖水的浓度为30.72%。

例3 甲容器中有浓度为12%的盐水500克，乙容器中有水500克，把甲容器中盐水的一半倒入乙容器中，混合后，再把乙容器中现有盐水的一半倒入甲容器中；混合后再把甲容器中的盐水倒入乙容器中，使两个容器中的盐水同样多，最后乙容器中盐水的浓度是多少？

点拨这道题先后三次向对方容器倒入盐水或水，列式计算比较困难，用列表的方法能比较容易地计算出最后的结果。

答：最后乙容器中盐水的浓度为4.8%。

例4 甲桶里装有若干升水，乙桶里装有若干升纯酒精。先从甲桶往乙桶倒水，倒入的数量是乙桶原有纯酒精量的3倍；再从乙桶往甲桶倒混合液，倒入的数量等于甲桶中剩下的水量的2倍；最后从甲桶往乙桶倒混合液，倒入的数量是乙桶刚才剩下的混合液里的2倍。现在甲、乙两桶中混合液的数量相等，这时甲、乙两桶中酒精混合液的浓度各是多少？

点拨为了便于分析推理，设甲桶中原有水a升，乙桶原有纯酒精b升。根据题意，三次操

答：经过三次操作后，甲、乙两桶内酒精浓度分别约为16.7%，19.4%。

解题技巧

在解答溶液浓度的问题时，不论是稀释问题还是加浓问题，不论是两种溶液配制问题还是溶液互换问题，我们都要认真分析数量关系，要抓住不变量解题，有些题目可以根据公式直接解答。但一定要注意，在解答实际问题时，应根据题目中的条件和问题，具体问题具体分析，不要套用固定的公式，应根据题中的数量关系，灵活地运用各种方法，找到最简捷的解题方法。

竞赛能级训练

A 级

1.有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度变为20%，需要加盐多少千克？

2.一个容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满，这时容器中酒精的浓度是多少？

3.在一杯盐水里加入5克盐后，变成了浓度为20%重量为30克的盐水，这杯盐水原来的浓度是多少？

4.有含盐15%的盐水40千克，要配制含盐25%的盐水100千克，需加盐和水各多少千克？

5.有含量为7%的糖水600克，要使含糖量加大到10%，需要再加入糖多少克？

6.要从含盐16%的150千克盐水中蒸发掉一定量的水，得到含盐20%的盐水，应蒸发多少千克水？

7.一种含药量为45%的新农药，稀释到含药量为1.5%时，杀虫力最强。用含药量为45%的农药配成含药量为1.5%的药水900千克，需要45%农药和水各多少千克？

8.甲容器中有8%的食盐水150克，乙容器中有12.5%的食盐水60克。现在分别向两个容器倒入等量的水，使两个容器中的食盐水浓度相同，向每一个容器倒入多少克水？

9.把20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克。需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？

10.在含盐为15%的盐水中，加入10千克盐，盐水的浓度增加到25%。原有盐水多少千克？

11.甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样，每个容器应倒入多少克水？

B 级

1.有含盐25%的盐水400克，要使盐水的浓度变为20%，应加入5%的盐水多少克？

2.甲容器中有10%的盐水400克，乙容器中有15%的盐水240克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样，每个容器应倒入水多少克？

3.甲容器中有浓度为20%的糖水400克，乙容器中有浓度为10%的糖水600克。分别从甲、乙中取出相同重量的糖水，把从甲中取出的糖水倒入乙中，把从乙中取出的糖水倒入甲中，现在甲、乙两个容器中糖水浓度的相同。问：从甲、乙容器中取出多少克糖水倒入另一个容器？

4.甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升。第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器，这样甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中纯酒精含量为25%，那么第二次从乙容器倒入甲容器的混合液有多少升？

5.A、B、C三个容器中各盛有100克、200克、300克水，把某种浓度的盐水100克倒入A 中，混合后取出100克倒入B中，再混合后又从B中取出100克倒入C中，现在C中的盐水浓度为0.5%。最早倒入A中的盐水浓度为多少？

6.两个杯中分别装有浓度为40%与10%的糖水，混合后糖水的浓度为30%。如果再加入300克20%的糖水，混合后糖水的浓度为25%，那么原有40%的糖水多少克？

7.一个容器内装满水，倒出全部水的1

2

，然后装入同样多的酒精，混合后再倒出全部溶液

的1

3

，又用酒精灌满。混合后又倒出全部溶液的

1

4

，再用酒精灌满。这时酒精占全部溶液

的百分之几？

能力测试

一、选择题(每题6分，共12分)

1.把25克盐放进100克水里配制成盐水，200克这样的盐水含盐( )克。

A.50

B.40

C.20

2.一种含药量为35%的灭蚊剂，如稀释到含量为1.75%灭蚊最有效。用( )千克含药量为35%的农药兑( )千克水才能配成含量为1.75%的药水800千克。

A.40，760

B.50，780

C.60，800

D.65，850

二、填空题(每题7分，共28分)

1.有浓度

2.5%的盐水300克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉克水。

2.在浓度为10%的80克盐水中，加入克水就能得到浓度为4%的盐水。

3.在一桶含盐量为20%的盐水中加入15克盐，桶中盐水的浓度增加到25%。桶中原有克盐水。

4.甲容器中有10%的食盐水300克，乙容器中有15%的食盐水120克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样，倒入克水。

三、解答题(每题12分，共60分)

1.甲容器有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙中取出240克盐水倒入甲中，再往乙中倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水。

(1)现在甲容器中食盐水的浓度是多少？

(2)再往乙容器倒入水多少克？

2.要配制含20%的硫酸溶液500克，需要18%和23%的硫酸溶液各多少克？

3.甲瓶酒精溶液是乙瓶酒精溶液的2倍，甲瓶酒精溶液的浓度是20%，乙瓶酒精溶液的浓度为35%。将两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓度是多少？

4.甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中有满杯含50%酒精的溶液。先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后再将甲杯酒精的一半倒入乙杯，这时乙杯中的酒精溶液是百分之几？

5.甲、乙、丙三种酒精溶液的浓度分别为20%，30%和45%，将它们混合在一起，得到浓度为35%的酒精溶液45升。已知浓度为20%的甲种溶液用量是乙种酒精溶液用量的3倍，原来三种浓度的酒精溶液各用了多少升？