山东省泰安市2020-2021学年高二下学期期末数学试题

山东省泰安市2020-2021学年高二下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(1,2)-

B ．(1)-∞-，

C ．(2,1)-

D ．(2,)+∞

2．设函数y A ，函数3x y =的值域为B ，则A

B =（ ） A ．(0,1) B ．(0,1]

C ．[1,1]-

D ．(0,)+∞ 3．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为（ ）

A ．性别与是否喜欢理科有关

B ．女生中喜欢理科的比为20%

C ．男生不喜欢理科的比为60%

D ．男生比女生喜欢理科的可能性大些

4．下列等式不正确的是（ ）

A ．111m m n n m C C n ++=+

B ．12111m m m n n n A A n A +-+--=

C ．11m m n n A nA --=

D ．1k k k n n n nC C kC +=+

5．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：

则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（ ）

A ．2y x =

B ．21y x =-

C ．22y x =-

D ．2log y x = 6．已知函数5311()453

f x x x =-+，当()f x 取得极值时，x 的值为（ ）

A ．1,1,0-

B ．1,1-

C ．1,0-

D ．0,1

7．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则(|)P B A =（ ）

A ．13

B ．16

C ．19

D ．112

8．某家具厂的原材料费支出x （单位：万元）与销售量y （单位：万元）之间有如下数

据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为??6y

x b =+，则?b

为（ ）

A ．10

B ．12

C ．20

D ．5 9．函数()21cos 1x f x x e ??=- ?+??

图象的大致形状是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

10．已知二项式()*2n

x n N

?-∈ ?

的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ）

A ．14

B ．14-

C ．240

D ．240- 11．已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ???∈????

，2[2,3]x ?∈，使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≤

B ．1a ≥

C ．1a <

D ．1a >

12．已知函数()f x '是偶函数()f x （x ∈R 且0x ≠）的导函数，(2)0f -=，当0

x >

时，()()0xf x f x '-<，则使不等式()0f x <成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,2)(0,2)-∞-

B ．(2,0)(0,2)-

C ．(2,0)(2,)-+∞

D ．(,2)(2,)-∞-+∞

二、填空题 13．151lg 2lg 222-??+- ???

=______． 14．已知X 的分布列如图所示，则

（1）()0.3E X =，

（2）()0.583D X =，

（3）(1)0.4P X ==，其中正确的个数为________.

15．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个.（用数字作答）

16．已知函数32()62f x ax x =-+，若函数()f x 存在唯一零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是________.

三、解答题

17．已知复数1z 与21(2)8z i +-都是纯虚数，复数21z i =-，其中i 是虚数单位.

（1）求复数1z ；

（2）若复数z 满足12

111z z z =+，求z . 18．已知函数f (x )＝ln 11

x x +-. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；

(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln 11

x x +-＞ln (1)(7)m x x --恒成立，求实数m 的取值范围． 19．已知2()(3)2ln f x a x x =-+，α∈R ，曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平分圆C ：22(3)(2)2x y -+-=的周长.

（1）求a 的值；

（2）讨论函数()y f x =的图象与直线()y m m R =∈的交点个数.

20．甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在[4575)，

内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了500件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：

甲企业：

乙企业：

（1）已知甲企业的500件零件质量指标值的样本方差2142s =，该企业生产的零件质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为质量指标值的样本平均数x （注：求x 时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），2σ近似为样本方差2s ，试根据企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于71.92的产品的概率.（精确到0.001）

（2）由以上统计数据完成下面22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异.

附：

11.92，

参考公式：若()2

~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=， (22)0.9544P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=；

2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++

21．甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为

34，乙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立．

（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）用X 表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X 的分布列和均值.

22．已知函数1()x f x e -=，()ln()g x x a =+.

（1）若(),0()(1),0x g x x h x xf x x ->?=?+

，当0a =时，求函数()h x 的极值. （2）当1a ≤时，证明：()()f x g x >.

参考答案

1．A

【分析】

由实部虚部均大于0联立不等式组求解．

【详解】 解：复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，

∴(

)1020m m +>??-->?，解得12m -<<． ∴实数m 的取值范围是(1,2)-．

故选：A ．

【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．

2．B

【分析】

根据二次根式的性质求出A ，再结合指数函数的性质求出B ，取交集即可．

【详解】

210x -，

11x ∴-，

解得：[1A =-，1]

而3x

y =单调递增，

故值域：()0,B ∈+∞， (]0,1A B =∴=，

故选：B ．

【点睛】

本题考查定义域值域的求法，考查交集等基本知识，是基础题

3．C

【分析】

本题为对等高条形图，题目较简单，逐一排除选项，注意阴影部分位于上半部分即可．

【详解】

解：由图可知，女生喜欢理科的占20%，故B 正确；

男生喜欢理科的占60%，所以男生不軎欢理科的比为40%，故C 不正确；同时男生比女生喜欢理科的可能性大些，故D 正确；

由此得到性别与喜欢理科有关，故A 正确．

故选：C ．

【点睛】

本题考查等高条形图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

4．A

【分析】

根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案．

【详解】

A ，根据组合数公式，

11!1(1)!1!()!1(1)!()!1m m n n n m n m C m n m n m n m n +++++==?=?-++-+，A 不正确； B ，

()()()()()()()()()()1211121121121m m n n n n n n n m n n n n m n n n n A m A +++---+----+==----+，

()()()2121111m n n n A n n n m --=---+故12111m m m n n n A A n A +-+--= B 正确；

C ，()()()11121m m n n n n n n m nA A --=---+=故 C 正确；

D ，()()()

()()()()11111k k k k n n n n n k n k n n n k n n n k n k nC kC C C +-=-=---+=--+-=故 D 正确；

故选：A ．

【点睛】

本题考查排列组合数公式的计算，要牢记公式，并进行区别，属于基础题．

5．D

【分析】

根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．

【详解】

解：根据0.50x =，0.99y =-，代入计算，可以排除A ；

根据 2.01x =，0.98y =，代入计算，可以排除B 、D ；

将各数据代入检验，函数2log y x =最接近，可知满足题意

故选：D ．

【点睛】

本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．

6．B

【分析】

先求导，令其等于0，再考虑在0x =两侧有无单调性的改变即可

【详解】

解：()4222()10f x x x x x '=-=-=， 0,1,1x ∴=-，()f x 的单调递增区间为()--1∞，和1+，，减区间为()-11，，在0x =两侧()f x '

符号一致，故没有单调性的改变，舍去， 1,1x ∴=- 故选:B.

【点睛】

本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值0()0f x ?'=．反之结论不成立，即函数有0()0f x '=，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属基础题．

7．B

【分析】

(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率，利用公式()()(|)=

n AB P B A n A 求解即可．

【详解】

解：由题意，(|)P B A 为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率．

抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有1863=?个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4），

1(|)1836

P B A ∴==． 故选：B ．

【点睛】

本题考查条件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

8．C

【分析】 由给定的表格可知5x =，50y =，代入??6y

x b =+，可得?b ． 【详解】 解：由给定的表格可知5x =，50y =，

代入??6y

x b =+，可得?20b =． 故选：C ．

【点睛】

本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

9．B

【分析】

利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D.

【详解】

()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -??=-= ?++??

，()1e cos()1e x x f x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e (1)cos101e

f -=

<+，排除D ，选B. 故选：B.

【点睛】

本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.

10．C

【分析】

由二项展开式的通项公式为

1(2)r

r n r r n T C x -+?= ?

及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中的x 指数为3，即可求得2r

，问题得解． 【详解】 二项展开式的第1r +项的通项公式为

1(2)r

r n r r n T C x -+?= ?

， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，

可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =. 所以662

16(2)2(1)r r n r r r r r r n T C x C x ---+?==- ?， 令3632

r -=，解得：2r ， 所以3x 的系数为262262

(1)240C --=，

故选：C.

【点睛】 本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．

11．A

【分析】

由题意可转化为1min 2min ()()f x g x ≥，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可.

【详解】 解：当11,12x ??∈????时，由()4f x x x

=+得， ()f x '=224x x

-， 当11,12x ??∈????

时()0f x '<， ()f x ∴在1,12??????

单调递减，

()15f ∴=是函数的最小值，

当[]22,3x ∈时，()2x

g x a =+为增函数， ()24g a ∴=+是函数的最小值， 又因为11,12x ???∈????

，都[]22,3x ?∈，使得()()12f x g x ≥，可得()f x 在11,12x ??∈????的最小值不小于()g x 在[]22,3x ∈的最小值，

即54a ≥+，解得：1a ≤，

故选：A ．

【点睛】

本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题.

12．D

【分析】 构造函数()()f x g x x

=，利用导数得到，()g x 在(0,)+∞是增函数，再根据()f x 为偶函数，根据(2)0f -=，解得()0f x <的解集．

【详解】 解：令()()f x g x x =

， 2

()()()xf x f x g x x '-∴'=， 0x 时，()()0xf x f x '-<，

0x ∴>时，()0g x '<，

()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，

()f x 是偶函数

(2)(2)0f f -==∴

g ∴（2）(2)02f ==， 当02x <<，

()g x g >（2）0=，即()0f x >，

当2x >时，()g x g <（2）0=，即()0f x <，

()f x 是偶函数，

∴当2x <-，()0f x <，

故不等式()0f x <的解集是(,2)(2,)-∞-+∞，

故选：D ．

【点睛】

本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决，属于中档题．

13．1-

【详解】 试题分析：15155lg 2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222

-+-=+-=?-=-=-=-． 考点：对数的运算．

14．1

【分析】

由分布列先求出a ，再利用公式计算()E X 和()D X 即可.

【详解】

解：由题意知：

10.20.30.5a =--=，即()10.5P X ==；

()10.200.310.50.3E X ∴=-?+?+?=

()()()()222

0.210.30.300.30.510.3D X =?--+?-+?-

0.380.0270.2450.652=++=

综上，故（1）正确，（2）（3）错误，正确的个数是1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题.

15．198

【分析】

题目要求得到能被5整除的数字，注意0和5 的排列，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，根据分步

计数原理得到结果．

【详解】

解：①四位数中包含5和0的情况：

3113123322()90C C A A A +=．

②四位数中包含5，不含0的情况：

12333354C C A =．

③四位数中包含0，不含5的情况：

21333354C C A =．

∴四位数总数为905454198++=．

故答案为：198．

【点睛】

本题是一个典型的排列问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题.

16．(4,)+∞

【分析】

利用分类讨论思想的应用和分类讨论思想的应用求出a 的取值范围．

【详解】 解：32()62f x ax x =-+

()2()31234f x ax x x ax '∴=-=-

当0a >时，由()0f x '>，解得0x <或4x a

>， ()f x 在(-∞，0]上是增函数，且(1)6150f a a -=--+=--<，(0)10=>f ，所以()f x 在(1,0)-上有零点，由题意知24

32()20f a a =->，由216a >故4a 或4a >，又0a >

4a ∴> ．

当0a =时，2()26f x x =-解得x =有两个零点，不合题意．

当0a <时，()f x 增区间为4[,0]a ，减区间为4,a ??-∞ ??

?和()0,∞+且(0)2f =， 当4()0f a

>时，则由单调性及极值可知，有唯一零点，但零点大于0， 当4()0f a

<时，则有三个零点， ∴4()f a

无论正负都不合适． 所以(4,)a ∈+∞．

故答案为：(4,)+∞.

【点睛】

本题考查函数导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间和最值，函数的零点和方程的根的关系式的的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

17．（1）12z i =-；（2）2455

i -. 【分析】

（1）利用纯虚数的定义设出1z 并表示21(2)8z i +-即可求解.

（2）代入1z 和2z ，利用复数的四则运算求解即可.

【详解】

（1）设1()z bi b R =∈，则

()22128(2)8z i bi i +-=+-

()24(48)b b i =-+-

由题意得240480

b b ?-=?-≠?. ∴2b =-

∴12z i =-

（2）∵12

111z z z =+ ∴1212(2)(1)(2)(1)

z z i i z z z i i -?-==+-+- 2213i i

--=-(22)(13)(13)(13)i i i i --+=-+

24 55i

=-

【点睛】

本题考查复数的代数四则运算，纯虚数的概念等知识，是基础题18．(1) (－∞，－1)∪(1，＋∞)，奇函数．(2) 0＜m＜7.

【分析】

(1)解不等式

1

1

x

x

+

-

＞0，即得函数的定义域.再利用奇偶函数的判定方法判断函数的奇偶性.（2）

转化成以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．再求出函数的最小值得解. 【详解】

(1)由

1

1

x

x

+

-

＞0，解得x＜－1或x＞1，

所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

f(－x)＝ln

1

1

x

x

-+

--

＝ln

1

1

x

x

-

+

＝ln

1

1

1

x

x

-

+

??

?

-

??

＝－ln

1

1

x

x

+

-

＝－f(x)，

所以f(x)＝ln

1

1

x

x

+

-

是奇函数．

(2)由于x∈[2，6]时，

f(x)＝ln

1

1

x

x

+

-

＞ln

(1)(7)

m

x x

--

恒成立，

所以

1

1

x

x

+

-

＞

(1)(7)

m

x x

--

＞0，

因为x∈[2，6]，所以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．

令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，

由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，

所以0＜m＜7.

【点睛】

本题主要考查函数定义域的求法，考查对数函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

19．（1）

1

2

a=；（2）见解析.

【分析】

（1）求得曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线，根据题意可知圆C 的圆心在此切线上，可得a 的值.

（2）根据()0f x '=得出()f x 极值，结合单调区间和函数图像，分类讨论m 的值和交点个数。

【详解】

（1）2()(3)2ln f x a x x =-+，2()2(3)f x a x x '=-+

∴(1)4f a =，(1)24f a '=-，

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4(24)(1)y a a x -=--

由切线平分圆C ：22(3)(2)2x y -+-=的周长可知圆心(3,2)在切线上，

∴24(24)(31)a a -=--， ∴12

a = （2）由（1）知，21()(3)2ln (0)2

f x x x x =-+> 2(1)(2)()3x x f x x x x

'--=-+=，令()0f x '=，解得1x=或2x = 当01x <<或2x >时，()0f x '>，故()f x 在(0,1)，(2)+∞，上为增函数；当12

()0f x '<，故()f x 在(1,2)上为减函数.

由此可知，()f x 在1x=处取得极大值(1)2f =

在2x =处取得极小值1(2)2ln22

f =

+ 大致图像如图：

当2m >或12ln 22m <

+时，()y f x =的图象与直线y m =有一个交点 当2m =或12ln 22m =

+时，()y f x =的图象与直线y m =有两个交点 当12ln 222

m +<<时，()y f x =的图象与直线y m =有3个交点. 【点睛】

本题考查利用导数求切线，研究单调区间，考查数形结合思想求解交点个数问题，属于基础题.

20．（1）0.159；（2）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异．

【分析】

（1）计算甲企业的平均值，得出甲企业产品的质量指标值~(60,142)X N ，计算所求的概率值；

（2）根据统计数据填写22?列联表，计算2K ，对照临界值表得出结论．

【详解】

（1）依据上述数据，甲厂产品质量指标值的平均值为：

1(301040405011560165701208045905)500

x =??+?+?+?+?+?+? 60=，

所以60μ=，2142σ=，

即甲企业生产的零件质量指标值X 服从正态分布(60,142)N ，

又11.92σ=≈，则，

(6011.926011.92)(48.0871.92)0.6826P X P X -<<+=<<=，

1(48.0871.92)10.6826(71.92)0.15870.15922

P X P X -<<-===≈≥， 所以，甲企业零件质量指标值不低于71.92的产品的概率为0.159．

（2）22?列联表：

计算2

21000(400140360100)8.7727.879760240500500K ??-?=≈>??? ∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异．

【点睛】

本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题，是基础题．

21．（1）

207256；（2）分布列见解析，337128. 【分析】

（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．

（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X 的分布列以及数学期望．

【详解】

用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”则()34k P A =，()14

k P B =，1,2,3,4,5k =. （1）()()()121231234()P A P A A P B A A P A B A A =++

()()()()()()()()()121231234P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++

222

313313207444444256??????=+?+??= ? ? ???????. （2）X 的所有可能取值为2,3,4,5.

()()()()()()121212125(2)8

P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=， ()()123123(3)P X P B A A P A B B ==+

()()()()()()123123316

P B P A P A P A P B P B =+=

， ()()12341234(4)P X P A B A A P B A B B ==+ ()()()()()()()()1234123415128P A P B P A P A P B P A P B P B =+=

， 9(5)1(2)(3)(4)128

P X P X P X P X ==-=-=-==

. ∴X 的分布列为

∴53159337()2345816128128128

E X =?+?+?+?= 【点睛】

本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．（1）函数()h x 的极小值为1(1)h e

-=-，(1)1h =，无极大值；（2）证明见解析. 【分析】

（1）求出()h x 的导数()h x '，根据()h x '=0得到()h x 极值点，遂可根据单调区间得出极值.

（2）根据ln()ln(1)x a x +≤+，可转化1ln()x e x a ->+为1ln(1)x e x ->+.令

1()ln(1)(1)x F x e x x -=-+>-，只需设法证明()0F x >可得证.

【详解】