大规模机组组合问题的量子近似动态规划

第３５卷第１９期　中　４９１８　２０１５年１０月５日　国电机工程学报　

Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆｔｈｅ　ＣＳＥＥ　Ｖｏ１．３５　Ｎｏ．１９　Ｏｃｔ．５，２０１５　

￣２０１５　Ｃｈｉｎ．Ｓｏｃ．ｆｏｒ　Ｅｌｅｃ．Ｅｎｇ　

ＤＯＩ：１０．１３３３４￣．０２５８—８０１３．ｐｃｓｅｅ．２０１５．１９．００９　文章编号：０２５８－８０１３（２０１５）１９—４９１８—１２　中图分类号：ＴＭ　７１　

大规模机组组合问题　的量子　覃华，韦化　近似动态规划　

（广西电力系统最优化与节能技术重点实验室（广西大学），广西壮族自治区南宁市５３０００４）　Ａ　Ｑｕａｎｔｕｍ－ｉｎｓｐｉｒｅｄ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　Ｌａｒｇｅ－ｓｃａｌｅ　Ｕｎｉｔ　Ｃｏｍｍｉｔｍｅｎｔ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ＱＩＮＨｕａ，ＷＥＩＨｕａ　（Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｐｏｗｅｒ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｅｎｅｒｇｙ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ），　Ｎａｎｎｉｎｇ　５３０００４，Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｚｈｕａｎｇ　Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ　Ｒｅｇｉｏｎ，Ｃｈｉｎａ）　

ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｉｎｓｐｉｒｅｄ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ（ＱＩ—ＡＤＰ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｗａｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ－ｓｃａｌｅ　ｕｎｉｔ　ｃｏｍｍｉｔｍｅｎｔ（ｕｃ）ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ　ｎｕｍｂｅｒｓ　ｏｆ　０－１　ｓｔａｔｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ　ＵＣ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｅｒｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｓｔａｔｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｉｔｓ　ａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎ　ｓｔｏｒｉｎｇ　ｍａｓｓｉｖｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｒｏｔａｔｉｏｎ　ｇａｔｅ　ａｓ　ｔｈｅ　ｓｅａｒｃｈ　ｓｔｒａｔｅｇｙ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｓｔａｔｅ，ｔｈｅ　ＱＩ—ＡＤＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ　ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｅａｒｃｈ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｓｓｉｖｅ　ｓｔａｔｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＵＣ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｃｏｌｌａｐｓｉｎｇ　ｗａｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　Ｂｅｌｌｍａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ａ　ｈｉｇｈｅｒ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．Ｔｏ　ａｖｏｉｄ　ｔｈｅ　ｏｖｅｒ－ｉｔｅｒａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ａｖｅｒａｇｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｗａｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ　ｉｎｔｅｒｒｕｐｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＱＩ—ＡＤＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｅｓｔ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｆｒｏｍ　１　０　ｕｎｉｔｓ　ｔｏ　１　０００　ｕｎｉｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ＱＩ—ＡＤＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ　ｓｅａｒｃｈ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ｌａｒｇｅ－－ｓｃａｌｅ　ｓｔａｔｅｓ　ｔｏ　ｇｅｎｅｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｐｒｅ・—ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｓｔａｔｅｓ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｂｅｌｌｍａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ　ＱＩ—ＡＤＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｈｉｇｈ—ｑｕａｌｉｔｙ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈｉｎ　ａ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｔｉｍｅ．Ｔｈｅ　ａｖｅ＇ｒａｇｅ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｖａｌｕｅｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ＱＩ－－ＡＤＰ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｕｔｅｒ－－ｉｎｎｅｒ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ａｒｅ　ｌｅｓｓ　ｔｈａｎ　１％．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｔｈｅｒ　ｈａｎｄ．ｔｈｅ　Ｑ１一ＡＤＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ｓｏｌｖｅ　ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ　ＵＣ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｉｚｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＵＣ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｓ　ｏｖｅｒ　１　０　ｔｉｍｅｓ　ｌａｒｇｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈａｔ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ　ＱＩ－ＡＤＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｈａｓ　ｏｖｅｒｃｏｍｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ“ｃｕｒｓｅ　ｏｆ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ”．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｔ　ｉｓ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｔｏ　ｏｖｅｒｃｏｍｅ　ｓｏｍｅ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ　ｉｎ　ＡＤＥ　ｓｕｃｈ　ａｓ　ｔｈｅ　ｄｉｆｉｃｕｌｔｙ　ｏｆ　ｓｅａｒｃｈｉｎｇ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｅ　ｓｐａｃｅ．　Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌ　ｔｈｅ　ＱＩ－ＡＤＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｈａｓ　ｖｅｒｙ　ｂｒｏａｄ　

基金项目：国家重点基础研究发展计划项目ｆ９７３计￣ｆＪ）（２０１３ＣＢ　２２８２０５）：国家自然科学基金项目ｆ５１１６７００１）。　Ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｂａｓｉｃ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｐｒｏｇｒａｍ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（９７３　Ｐｒｏｇｒａｍ）　（２０１　３ＣＢ２２８２０５）；Ｐｒｏｊｅｃｔ　ＳｕｐｐｏＳｅｄ　ｂｙ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａｆ５１１６７００１）．　

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｓｐｅｃｔｓ．　ＫＥＹ　ＷＯＲＤＳ：ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｓｔａｔｅ；ｑｕａｎｔｕｍ　ｒｏｔａｔｉｏｎ　ｇａｔｅ；ｐｏｗｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ；ｕｎｉｔ　ｃｏｍｍｉｔｍｅｎｔ　

摘要：该文用量子近似动态规划解大规模机组组合问题。利　用量子叠加态可表示海量信息的特性，把大规模的０—１机组　组合状态用量子叠加态表示，将量子旋转门作为量子叠加态　的搜索策略，实现了近似动态规划对海量机组组合状态空间　的全局搜索。使用量子测量塌缩原理解Ｂｅｌｌｍａｎ方程，提高　了方程的求解效率。用量子平均收敛概率改进迭代中断条　件，避免了算法的过度迭代。１０～１０００机系统的计算结果表　明：该文算法能有效地搜索大规模状态空间，产生解Ｂｅｌｌｍａｎ　方程所必须的预决策状态；可在多项式时间内获取高质量的　解，与外内逼近法相比最优值的平均偏差小于１／１００；所解　系统的规模较传统动态规划法增加１Ｏ倍以上，克服了“维　数灾”问题。用量子计算理论克服近似动态规划遇到的状态　空间搜索难等问题是可行的，算法具有广阔的应用前景。　

关键词：近似动态规划；量子叠加态；量子旋转门；电力系　统；机组组合　

０　引言　机组组合（ｕｎｉｔ　ｃｏｍｍｉｔｍｅｎｔ，ｕｃ）是电力系统经　济调度的一项重要任务，数学上表示为大规模、非　线性混合整数最优化问题，其理论上的全局最优解　很难获取＿ｌ　Ｊ。许多方法已经用于求解ｕｃ问题，如　启发式法［３－４］、动态规划法【５Ｊ、拉格朗日松弛法Ｉ６。。Ｊ、　Ｂｅｎｄｅｒｓ分解法［８］、混合整数规划法［　¨］、智能优化　算法［１４－２０Ｊ等。量子计算理论具有能处理海量信息等　独特的性质　］，已被用于改进全局优化法　、进　化优化法　引、动态规划Ｌ２　、增强学习（ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｍｅｎｔ　ｌｅａｒｎｉｎｇ，ＲＬ１ｌ２　等传统优化算法，增强原算法的状　态空间搜索能力。用量子进化法、量子粒子群法解　第１９期　覃华等：大规模机组组合问题的量子近似动态规划４９１９　ＵＣ问题，也获得了较好的解　瑚］。传统的动态规　划法（ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ＤＰ）解大规模ＵＣ问题　会遇到“维数灾”问题【５］，需要压缩寻优空间避开　“维数灾”【５｛３¨。近似动态规划算法（ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ＡＤＰ）融合ＤＰ、人工智能、　统计学等理论，有效地处理了ＤＰ的“维数灾”问　题，成为当前国内外的一个新兴研究热点　弱Ｊ。目　前较有代表性的ＡＤＰ新算法理论主要有两类：第１　类是控制领域Ｗｅｒｂｏｓ提出的ＡＤＰ算法，它采用神　经网络等结构近似求解哈密顿一雅可比一贝尔曼　（ｈａｍｉｌｔｏｎ－ｊａｃｏｂｉ．ｂｅｌｌｍａｎ，ＨＪＢ）方程，有效地解决非　线性系统的优化控制问题［３　。第２类是２０１１年普　林斯顿大学Ｐｏｗｅｌｌ教授提出的ＡＤＰ算法理论Ｌ３引，　它引入预决策状态等概念改造Ｂｅｌｌｍａｎ方程和算法　流程，避免了ＤＰ的“维数灾”，能处理确定性或随　机优化问题，此理论的最大不足是缺乏通用、有效　的状态空间搜索策略，难以用于解大规模ＵＣ问题，　制约了它的应用推广。　本文将量子计算理论［２５，２８－３０　与Ｐｏｗｅｌｌ的ＡＤＰ　算法相结合，利用量子计算特性克服该算法的不　足，并应用量子近似动态规划法（ｑｕａｎｔｕｍ　ｉｎｓｐｉｒｅｄ　ＡＤＰ，ＱＩ．ＡＤＰ）解大规模ＵＣ问题，主要工作有：　把大规模机组组合状态用量子叠加态表示，为应用　量子计算理论搜索量子叠加态中的机组组合状态　奠定基础。利用量子旋转门搜索量子叠加态，实现　ＡＤＰ算法对大规模机组组合状态空间的搜索。利用　量子测量塌缩原理解Ｂｅｌｌｍａｎ方程，提高了方程的　求解效率。用量子平均收敛概率改进ＡＤＰ的迭代　中断条件，避免了算法的过度迭代。在大规模ＵＣ　算例上，验证算法能解大规模ＵＣ问题，具有克服　“维数灾”的能力；通过迭代过程预决策状态数的　变化趋势、解的质量等实验结果说明量子计算理论　能有效地搜索机组组合状态空间并逼近最优解，利　用量子计算理论克服ＡＤＰ遇到的状态空间搜索难　等问题是可行的。　

１　ＵＣ问题的数学模型　ＵＣ问题的目标是最小化发电费用　，表示为　’　Ｎ　

ｍｉｎＦ￣＝∑∑　ｔ［　（　）＋（１一　ｔ　）　］　（１）　

ｔ＝ｌ　ｉ＝１　式中：ｔ为时段变量；　为总时段数；ｉ为机组编号；　

Ⅳ为机组总数；Ｕ　取值为０或１，分别表示机组ｉ　在第ｔ时段处于停运或运行状态；ｆｉ（８　）为机组ｉ　的发电费用函数，表示为　（　）＝ａｉ（　）　＋　＋　（２）　式中：ａｆ、ｂ　、Ｃ　为机组ｉ的发电费用参数；　是机　组ｉ在第ｔ时段的出力。　是机组ｉ在第ｔ时段的启动费用，表示为　＿｛搴，　ｏｆ互　。ｔ嚣∥　式中：　ｍ　、　分别是机组ｉ的冷、热启动费用；　为机组ｉ在第ｔ时段己经连续运行时间（正值）或　连续停机时间（负值）；互。仟为机组ｆ的最小停机时　间；　为机组ｉ的冷启动时间。　本文考虑的ＵＣ问题约束条件主要有：　１）功率平衡约束。　∑“　一　＝０　（４）　式中Ｐ二为第ｔ时段系统的总负荷。　２）旋转备用约束。　∑　＋　（５）　式中：　为机组ｉ的最大出力；足为第ｔ时段的系　统总备用。　３）机组有功出力上下限约束。　“　２≤　“　（６）　式中　、　分别为机组ｉ的最小、最大出力。　４）最小启停时问约束。　ｔ－１　ｔ　ｔ－　１ｔ　ｒｉ　０　【（“　一　）（一卜　一互。行）　式中　为机组ｉ的最小运行时间。　５）机组出力爬坡约束。　一　卜　“　ｔ一　＋（“　一　ｔ　）　＋（１一　）　（８）　Ｈ一　＜－ｕ￣８ｄ０　＋　～一　ｔ）　＋（１一　ｔ一）　（９）　式中：常量　印、　、　曲　、　分别为机组ｉ　的功率上升速度限制、启动功率速度限制、功率下　降速度限制及停机功率速度限制。式（８）表示功率上　升速度约束和启动功率速度约束。式（９）表示功率下　降速度约束和停机功率速度约束。　２机组组合状态空间的量子搜索策略　２．１　机组组合状态空间的量子化表示　传统的机组组合状态空间量子化表示后，才能　利用量子计算理论对其实施搜索。一个有　时段Ⅳ