椭圆问题的类型与解法
椭圆问题的类型与解法
椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭圆问题。从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答椭圆问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： D 1、如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，
M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹
平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 相交于点P ，则点P
的轨迹是（ ）
A 椭圆
B 双曲线
C 抛物线
D 圆
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。 【解题思路】设点P （x ，y ），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点P 的轨迹是一个椭圆，从而得出选项。 【详细解答】设点P （x ，y ），纸片折叠后M 与F 重合，折痕为CD ，CD 与OM 相交于点P ，∴|PM|=|PF|，⇒|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆O 的半径为一个定值，∴点P 的轨迹是以2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆，⇒A 正确，∴选A 。 2、根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）焦点在x 轴上，且过点（2,0）和点（0,1）； （2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于2； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
（4）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。 【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）由题意设椭圆的标准方程为：22x a +2
2y b
=1（a >b >0），根据问题条件得到关
于2
a ，2
b 的方程组，求解方程组求出2
a ，2
b 的值就可求出椭圆的标准方程；（2）由题意
设椭圆的标准方程为：22y a + 2
2x b
=1（a >b >0），根据问题条件得到关于a ，c 的方程组，求解
方程组求出a ，c 的值，运用椭圆的性质求出b 的值就可求出椭圆的标准方程；（3）问题没
有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，应该分焦点在X 轴上或在Y 轴上两种情况考虑，分别求出相应椭圆的标准方程；（4）问题没有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的方程为：
A 2
x +B 2y =1，（A ＞0，B ＞0，A ≠B ），根据问题条件得到关于A ，B 的方程组，求解方程
组求出A ，B 的值，代入假设式得到椭圆的方程，再把方程化为椭圆标准方程。
【详细解答】（1）由题意设椭圆的标准方程为：22x a +2
2y b =1（a >b >0），椭圆过点（2,0）
和点（0,1），∴24a +0=1，⇒2
a =4，∴所求椭圆的标准方程为：24x +2y =1；（2）由题
0+21b
=1， 2
b =1，意设椭圆的标准方程为：22y a + 22x b =1（a >b >0），
椭圆与y 轴的一个交点为P （0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于2，∴
a=10，⇒ a=10，2
b =2
a -2
c =100-64=36，∴所求椭圆的标准方程为：2100x +2
36
y =1；
a-c=2， c=8，（3）①当焦点在X 轴上时，设椭圆的标准方程为：22x a +2
2y b
=1（a >b >0），
点P 过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，
∴
⇒ 2b =2a -2c =5-159=103
，∴所求椭圆的标准方程为：
，25x +2
310
y =1；②当焦点在Y 轴上时，设椭圆的标准方程为：22y a +22x b =1（a >b >0），由①知所求椭圆的标准方程为：25x +2
310
x =1；（4）由题
意设椭圆的方程为：A 2
x +B 2y =1，（A ＞0，B ＞0，A ≠B ），
椭圆的长轴长是短轴长的3
倍，且过点A （3，0），∴9A+0=1，⇒A=
19，①若A >B ，则1B =91
A
=81，⇒B=181；②若A
，⇒B=1，∴所求椭圆的标准方程为：29x +281y =1或29x +2
y =1。
3、已知椭圆的离心率为
2
，一条准线的方程为x=2，求椭圆的方程； 【解析】
【知识点】①椭圆离心率，准线的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法。
【解题思路】运用椭圆离心率，准线的定义与性质，结合问题条件得到关于a ，c 的方程组，求解方程组求出a ，c 的值，从而求出2
b 的值就可得出椭圆的标准方程。
【详细解答】由题意设椭圆的标准方程为：22x a +22y b =1（a >b >0），e= c
a ，2a c =2，
∴
c=1，⇒2b=2a-2c=2-1=1，∴所求椭圆的标准方程为：
2
2
x
+2y=1。
4、椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率
e=
2
，椭圆上各点到直线L：
的最短距离为1，求椭圆的方程。
【解析】
【知识点】①椭圆离心率的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】如图，运用椭圆离心率的定义与性质，结合问题条件得到关于a，b的等式，
根据椭圆上各点到直线L：
的最短距离为1求出点P的坐标，由点P在椭
圆上得到关于2a，2b的方程，联立之前的等式求出2a，2b的值就可得出椭圆的标准方程。【详细解答】
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1（a>b>0），e=
c
a
，∴
2
c=
3
4
2
a，⇒2b=2a-2c=
1
4
2
a，设
点P（acosα，bsinα
点P到直线l：
= tanϕ=
a
b
），⇒，
∴=±⇒2a+2b=5或2a+2b∴2a=4，2b=1或2
a=
52
5
+
，2b=
13
5
+
，2a<2∴2a=4，2b=1，⇒所求椭圆的标准方程为：
2
4
x
+2y=1。
5、若椭圆a2x+b2y=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为
坐标原点）的斜率为
2
，且O A⊥OB，求椭圆的方程；
【解析】
【知识点】①直线与椭圆相交的定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本
方法。
【解题思路】设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），M （0x ，0y ），由椭圆方程与直线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，运用韦达定理，结合问题条件求出0x ，0y 关于a ，b 的表达式，从而得出点M 的坐标，利用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得到关于a ，b 的方程组，求解方程组得出a ，b 的值就可求出椭圆的方程。 【详细解答】设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），M （0x ，0y ），
由a 2x +b 2
y =1，得：
x+y=1，（a+b ）2
x -2bx
+b-1=0，∴1x +2x =2b a b +，1x .2x =1b a b -+，⇒1y +2y =2-（1x +2x ）=2-2b a b +=2a
a b
+，0x =122x x +=b a b +，0y =122y y +=a a b +，∴M （b a b +，a a b
+）， OM （O 为坐标原点）
，且O A ⊥OB ，∴a
b =，OA .OB =1x .2x +1y .2y =21x .2x -（1x +2x ）+1 =
22b a b -+-2b a b ++1=2
a b a b
+-+=0，⇒a=2
），b=2（，∴椭圆的方程为：2）2
x +2（2
y =122=1·。
『思考题1』
（1）【典例1】是求椭圆的标准方程的问题，解答这类问题应该注意掌握求椭圆标准方程常用的基本方法：①定义法；②待定系数法； （2）采用定义法，需要注意2a>2c 这一条件，【典例1】中的1是通过求点的轨迹方程来求椭圆标准方程的问题，在实际解答问题时，运用椭圆的定义，采用定义法会使解答更简捷。 （3）【典例1】中的2求椭圆的方法称为待定系数，待定系数法的基本步骤是：①作判断，
判断椭圆焦点所在的坐标轴；②设方程，22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0）或 2222y x a b +=1（a ＞b
＞0）或A 2
x +B 2y =1，（A ＞0，B ＞0，A ≠B ）；③找关系建立方程或方程组；④解方程或
方程组，将结果代入假设方程；其中设椭圆方程时可以按照如下思路进行：①如果明确椭圆
的焦点在X 轴上，方程设为22
22x y a b +=1（a ＞b ＞0）；②如果明确椭圆的焦点在Y 轴上，方
程设为22
22y x a b
+=1（a ＞b ＞0）；③如果椭圆中心在原点，焦点位置不确定在X 轴上还是在Y
轴上，方程设为A 2
x +B 2y =1，（A ＞0，B ＞0，A ≠B ）；
（4）【典例1】中的3，4，5是利用椭圆的定义及几何性质求椭圆方程的问题，解答基本方法是：①根据动点满足等式的几何意义设出椭圆的标准方程；②建立关于a 、b 、c 、e 的 方程或方程组；③求解方程或方程组求出a ，b 的值；④将结果代入假设方程。 〔练习1〕解答下列问题：
1、已知圆A ：2
2
(2)x y ++=36，圆A 内一点B （2,0），圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程；
2、一动圆与已知圆1O ：2
(3)x ++2
y =1外切，与圆2O ：2(3)x -+2
y =81内切，求动圆圆心的轨迹方程；
3、⊿ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是（-6,0）、（6,0），边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于-4
9
，求顶点C 的轨迹方程； 4、根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1；
（2）和椭圆22
2420
x y +=1共准线，且离心率为2；
（3）和椭圆224x +220y =1共准线，且离心率为1
2
。
5、已知椭圆的离心率为
1
2
，一条准线方程为x=16求椭圆的方程。 【典例2】解答下列问题：
1、椭圆2212x m ++2
24
y m -=1的焦距是（ ）
A 4
B 8
C
D 与m 有关 【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆焦距的基本方法。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出2
c ，从而求出c 的值，利用椭圆焦距的定义求出椭圆的焦距就可得出选项。
【详细解答】椭圆2212x m ++2
24
y m -=1，∴2a =2m +12，2b =2m -4，⇒2c =2a -2b =2m +12
-（2
m -4）=16，⇒c=4，∴2c=8，⇒B 正确，∴选B 。
2、已知椭圆2
x +（m+3）2
y =m （m ＞0m 的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点和顶点的坐标；
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③求椭圆长轴，短轴，焦距和顶点坐标的基本方法。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出2
a ，2
b ，2
c ，从而求出a ，b ，c 的值，利用椭圆长轴，短轴，焦距，顶点坐标的定义就可求出椭圆的长轴，短轴，焦距和顶点的坐标。
【详细解答】椭圆2
x +（m+3）2
y =m ，⇔ 2
x m
+
23
y m m +=1，m ＞0，∴2a =m ，2b =3m
m +，
⇒2
c =2
a -2
b =m-3m m +=(2)3m m m ++，椭圆的离心率e=
c a
∴2
e =22c a =(2)(3)m m m m ++ =
23m m ++=34，⇒m=1， a=1，b=1
2
，
，∴椭圆的长轴为2a=2，短轴为2b=1，焦距
为
，顶点坐标分别为：（-1，0），（1，0），（0，
12），（0，-1
2
）。 3、已知F 是椭圆52
x +92
y =45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。 （1）求|PA|+
3
2
|PF|的最小值，并求出P 点的坐标； （2）求|PA|+|PF|的最大值和最小值。 【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③三角形三边关系定理及运用。
【解题思路】（1）如图，运用椭圆的定义与性质，椭圆离心率的定义与性质得到|PA|+
32|PF|=|PA|+||
PF e
=|PA|+|PQ|，就可求出|PA|+32|PF|的最小值和P 点的坐标；（2）如图，取椭圆的右焦点1F ，连接P 1F ，A 1F ，根据椭圆的定义得到|P 1F |=6-|PF|，利用三角形三边关系定理得到关于|PA|+|PF|的不等式，求解不等式就可求出|PA|+|PF|的最大值和最小值。
【详细解答】（1）如图，
椭圆52
x +92
y =45，
29x +25
y =1，∴2a =9，2b =5，⇒2c =2a -2
b =9-5 =4，∴a=3，c=2，⇒ e=
c a = 23
，|PA|+32=|PA|+
||
PF e
=|PA|+|PQ|，∴当P ，A ，Q 三点共线
时，|PA|+
32|PF|=|PA|+||PF e =|PA|+|PQ|=|AQ|=1+92=11
2为|PA|+32|PF|的最小值，此时点P 的坐标为（
，1），（2）如图，取椭圆的右焦点1F ，连接P 1F ，A 1F ，|PF|+|P 1F |=6， |A 1F
|=
，∴|P 1F |=6-|PF|，在∆AP 1F 中，||PA|-|P 1F ||=||PA|+|PF|-6|
≤|A 1F |
≤，⇒
≤|PA|+|PF|≤
，∴|PA|+|PF|的最大值为
，最小值为
。
4、如图设曲线C ：22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0
1F ，2F ，且P ∈C ，12F PF ∠=2θ。
求证：12F PF ∆的面积12
tan F PF S b θ∆=。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。 【解题思路】运用椭圆的定义与性质，余弦定理，结合问题条件得到关于|P 1F |，||P 2F |的等式，从而求出|P 1F |.||P 2F |关于θ的三角函数式，利用三角形的面积公式通过运算就可证明结论。
【详细解答】曲线C ：22
22x y a b +=1（a ＞b ＞0）的焦点为1F ，2F ，且P ∈C ，12F PF ∠=2θ，
∴|P 1F |2+||P 2F |2-2|P 1F |.||P 2F |cos2θ=|1F 2F |2，⇒212(||||)P P F F +-2|P 1F |.||P 2F |（
cos2θ +1）=42
c ，∴|P 1F |.||P 2F |=224()2(cos 21)a c θ-+=2244cos b θ=22cos b θ，⇒1F PF
S ∆=1
2
|P 1F |.||P 2F |son2 θ=2
2cos b θ
sin θcos θ=2t n b a θ。
『思考题2』 （1）【典例2】涉及到椭圆上的点到焦点或准线距离的问题，解决这类问题常常可直接利用椭圆的定义与性质；
（2）运用椭圆的定义与性质解答问题时，需要认真理解椭圆的两个定义，注意两个定义之间的相互关系；
（3）在实际解答该类问题时，应该根据题给的条件和问题的特征正确选择椭圆两个定义中的某一个或两个。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图所示，已知椭圆C ：24
x +2
y =1，
的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长M 1F ，M 2F 到 P 、Q ，使得1MF =
231F P ，2MF =2
3
2F Q D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若QD =35QM +2
3
QN ，则|PN|+|QN|=（ ）
A 10
B 5
C 6
D 3
2、设椭圆22
2516
x y +=1上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足OM =1
()2
OP OF +，则|OM |= ；
3、已知P 是椭圆222516
x y +=1上的一点，1F 、2F 是两个焦点，且1230F PF ∠=。
，求12F PF ∆的面积；
【典例3】解答下列问题：
1、已知1F 、2F 是椭圆两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若
∆AB 2F 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A
2 B 3
C 3
D 2 【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②正三角形的定义与性质；③勾股定理及运用。 【解题思路】运用椭圆的定义与性质，正三角形的定义与性质，结合问题条件得到|A 1F |，||A 2F |关于a 的式子，利用勾股定理得到关于a ，c 的等式，从而求出椭圆的离心率就可得出选项。
【详细解答】如图，
1F 、2F 是椭圆两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，∆AB 2F 是正三角形，
∴|A 1F |=23a ，||A 2F |=4
3
a ，在Rt ∆A 1F 2F 中， |A 1F |2+||A 2F |2=|1F 2F |2，∴492a +42c =169
2
a
⇒2e=
2
2
c
a
=
1
3
，∴
e=
3
，⇒C正确，∴选C。
2、椭圆
22
22
x y
a b
+=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点
P，满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）
A (0
〕 B (0，
1
2
〕 C
，1） D 〔
1
2
，1)
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与求法；③线段垂直平分线的定义与性质；
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次不等式，进一步化为关于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式，根据椭圆离心率的取值范围得出结果；
【详细解答】如图,连接PF ，线段PA
点F，∴|PF|=|FA|，⇒|PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|=
2
a
c
P是椭圆上一点，∴a-c≤|PF|≤a+c，⇒a≤
=|OF|+|FA|=|OA|≤a+2c，⇒a≤
2
a
c
≤a+2c，⇒ac≤
e≤-1或
1
2
≤e≤1，椭圆离心率e满足：0 1 2 ≤e<1，⇒D正确，∴选D。 3、如图所示从椭圆 22 22 x y a b +=1（a＞b＞0）上一点M 向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点 1 F 轴端点A及短轴端点B的连线A B∥OM，（O 的中心）。 （1）求椭圆的离心率； （2）设Q是椭圆上一点，当Q 2 F⊥AB时，延长 与椭圆交于另一点P，若 1 F PQ ∆的面积为，求此椭圆的方程。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与求法；③两线段平行的充分必要条件；④三角形面积公式与计算的基本方法。 【解答思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出点M，A，B的坐标，根据两线段平行的充分必要条件得到关于a，c的等式，从而求出椭圆的离心率；（2）根据问题条件求出直线PQ的方程，利用三角形面积公式得到关于2a的方程，求解方程求出2a的值，从 而求出2 b 的值就可求出椭圆的方程。 【详细解答】（1）如图，M 1F 垂直于X 轴，点M 在椭圆22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0）上，A ， B 分别是椭圆长轴，短轴的端点，∴M （-c ，2 b a ），A （a ，0），B （0， b ）， A B ∥OM ， ∴-2b ac =00b a --=-b a ，⇒b=c ，∴2a -2c =2c ，⇒2e =2 2c a =12 ∴ e=2；（2）设P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），由（1）知 e=2，⇒2b = 2a -2 c =12 2a ，∴在椭圆2222x y a b +=1，⇔ 22 x a +2 22y a =1，Q 2F ⊥AB ，延长Q 2F 与椭圆交于另一点P ，∴直线PQ 的方程为： y= a ，由 y=，得52 x -42 a =0， 1x +2x a ，1x .2x =25 a ，∴ 22x a +222y a =1.5=65a ，1F d =3， ∴1PQF S ∆=12|PQ|.1 F d =12⨯65 a ⨯3=2 5⇒2a =50，2b =122a =25，∴ 椭圆的方程为：250x +2 25 y =1。 『思考题3』 （1）【典例3】是求椭圆离心率的问题，这类问题主要包括两种题型：①求椭圆离心率的值；②求椭圆离心率的取值范围； （2）若给定椭圆的方程，可根据椭圆的焦点位置确定2 a ，2 b ，进一步求出a ， c ，再运用公式e= c a 求解； （3）若椭圆方程未知，应根据题给条件与几何图形建立a ，b ，c 满足的等式，进一步化为关于a ，c 的齐次方程求出a ，c 的关系或化为e 的方程求解。 〔练习3〕解答下列问题： 1、已知椭圆两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A 1 3 B 12 C D 2 2、设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若∆1F P 2F 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 2 2 B 212 C 2 D 2-1 3、椭圆焦点为 1F ，2F ，过1F 的最短弦PQ 长为10，∆P 2F Q 的周长为36，则此椭圆的离 心率为（ ） A 3 B 13 C 2 3 D 6 4、已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别是椭圆C 左右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥X 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与Y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A 13 B 12 C 23 D 34 5、已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足1MF .2MF =0，的点M 总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A (0，1〕 B (0，12 〕 C （02〕 D 2,1) 6、已知P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0）上的一点，若1PF .2PF =0，tan ∠P 1F 2F =12 ，则此椭圆的离心率为 。 【典例4】解答下列问题： 1、已知1F ，2F 是椭圆2x +22y =2的左右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|1PF +2PF | 的最小值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 2 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆标准方程与参数方程互化的基本方法；③求三角函数最值的基本方法。 【解答思路】运用椭圆标准 方程与参数方程互化的基本方法，结合问题条件得到点P 含参数α的坐标，从而得到|1PF +2PF |关于参数α的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法求出|1PF +2PF |的最小值就可得出选项。 【详细解答】设点P α，sin α）是椭圆2x +22y =2上的一个动点，2x +22y =2， ⇔2 2 x +2y =1，1F ，2F 是椭圆2x +22y =2的左右焦点，∴1F （-1，0），2F （1，0），⇒ 1PF = （ α，- sin α），2PF =（ α，- sin α），∴1PF +2PF =（ α，-2 sin α），⇒|1PF +2PF |= =，当且仅当α=k π+2 π （k ∈Z ）时，|1PF +2PF |=2为最小值，∴|1PF +2PF |的最小值为2，⇒C 正确，∴选C 。 2、如图已知椭圆22 1625 x y +=1上两个相邻的顶点 A ，C ， B ，D 为椭圆上两个动点且分别在直线A C 的异则，求四边形ABC D 面积的最大值。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆标准方程与参数方程互化的基本方法；③求三角函数最值 的基本方法；④三角形面积公式及运用。 【解答思路】运用椭圆标准 B ，D 分别含参数1α，2α的坐标，从而得到B d ，D d 分别关于1α，2α的三角函数式，利用三角形面积公式得到四边形ABCD 面积关于1α，2α的三角函数式，根据求三角函数最值的基本方法就可求出四边形ABCD 面积的最大值。 【详细解答】设点B （4cos 1α，5sin 1α），D （4cos 2α，5sin 2α）（其中2k π<1α< 2k π+2 π，2k π+2 π<2α< 2k π+2π），如图，A ，C 为椭圆221625x y +=1上两个相邻的顶点，∴A(4，0)，C(0，5)，⇒直线AC 的方程为：5x+4y-20=0，B d = +201|)20|(πα+-，D d +20= 2|)20|(πα+-，∴ABCD S 四边形=ABC S ∆+ADC S ∆=12|AC|（B d +D d ）=2⨯（ 1|)20|(πα+-2|)20|(π α+-）=12⨯（1|)20|(4πα+-+ 2|)20|(4πα+-），当且仅当1α=2k π+4 π，2α=2k π+54π，（k ∈Z ）时，ABCD S 四边形 =12 ⨯（ +20） ∴ABCD S 四边形的最大值为 。 3、如图P 为圆M ：2(x -+2y =24 线交线段MP 于点N 。 （1）求动点N 的轨迹方程； （2）记动点N 的轨迹为曲线C ，设圆O ： 2x +2y =2的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|OA|.|OB|的最大值。 【解析】 【知识点】③圆的定义与性质；④求已知圆切线的基本方法；⑤求三角函数最值的基本方法。 【解答思路】（1）运用求点轨迹的基本方法，结合问题条件就可求出点N 的轨迹方程；（2） 由（1）得到曲线C 的方程，运用求已知圆切线的基本方法求出切线l 的方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，结合图形和平面几何知识就可求出|OA|.|OB|的最大值。 【详细解答】（1）如图，设点P （x ，y ）， P 为圆M ：2(x +2y =24上的动点，定点Q （-，0），线段PQ 的垂直平分线交线段MP 于点N ，∴|PN|=|QN|，⇒|QN|+|NM|=|PN|+|NM|=|PM|=2，∴动点N 的轨迹是以Q ，M 为焦点的椭圆， ，，∴，⇒2b =2a -2c =6-3=3，∴动点N 的轨迹方程为： 26x +2 3 y =1（≤x ≤）； （2）如图，设切线l 与圆2x +2y =2的切点为M α），A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），由（1知曲线C 的方程为：26 x +2 3y =1，切线l αα-2=0，由 26x +23y =1，得：（1+222cos sin αα）2x 2cos sin αα+24sin α -6=0，1x 2x =22246sin sin 2cos ααα-+ αα-2=0，=2246sin 1cos αα -+， 1x +2x =22sin 2cos ααα+=21cos αα+， 直线l 与圆O ：2x +2y =2相切，∴当且仅当M 为线段AB 的中点，即21cos αα + cos α，⇒α(1-2cos α)=0，∴ cos α=0或cos α= ±1，⇒α= k π+2 π或α=k π （k ∈Z ）时，直线l 的方程为：y=± 或x=±，⇒A （，±），B ，±）， 或A （± ， ），B （±，- ），∴|OA|===2， ，⇒ |OA|.|OB|=2⨯2=4，∴|OA|.|OB|的最大值为4。 『思考题4』 （1）【典例4】是求椭圆中的最值问题，解决这类问题的基本思路是：①注意椭圆几何性质 中的不等关系（标准方程中x ，y 的取值范围，离心率的取值范围），②数形结合，函数的 问题； （2）解决椭圆中的最值问题的常用方法有：①数形结合，几何意义，尤其是椭圆的几何性质，②利用函数，尤其是一元二次函数，③不等式，尤其是一元二次不等式，④ 利用一元二次方程根的判别式； （3）解答与椭圆相关的最值问题，常用的基本方法是将椭圆上的动点表示成关于参数α的形式，得到关于参数α的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出问题所求的最值。 〔练习4〕解答下列问题： 1、过原点的直线与椭圆22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0）相交于A 、B 两点，F （c ，0）是椭圆的右焦点，求∆FAB 面积的最大值； 2、设P 是椭圆22 94 x y +=1上任意一点，1F ，2F 是椭圆的左右焦点，求cos 1F P 2F 的最小值； 3、过椭圆22x +2 y =2的一个焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，求∆AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）； 【典例5】解答下列问题： 1、已知椭圆2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率为12 ，直线ax+y+1=0平分椭圆的一条斜率为12 的弦，求a 的取值范围； 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②直线与椭圆相交的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用。 【解答思路】运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件求出斜率为12 的弦中点的 坐标，根据直线ax+y+1=0平分弦必过弦的中点得到a 关于参数m 的式子，利用参数m 的取值范围就可求出a 的取值范围。 【详细解答】设椭圆弦所在的直线方程为：y=12 x+m ，直线与椭圆分别相较于A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），弦AB 的中点为 M （0x ，0y ），椭圆22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，∴2b =2a -2c =34 2a ，⇒题意的方程为：22x a +2243y a =1 ，由 22x a +2243y a =1，得：42x + y= 12 x+m ，4mx+42m -3 2a =0，1x +2x =-m ，1x 2x =2m -342a ，∴1y +2y =12（1x +2x ）+2m=32 m ，⇒0x =-12m ， 0y =34m ，∴M （-12m ，34m ），直线ax+y+1=0平分弦AB ，∴-12ma+34 m+1=0，⇒m =423a -，A ，B 是不同两点，∴∆=162m -642m +482a =-482m +482a >0，⇒-a a -94+，∴a 的取值范围是（94，+∞）。 2、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在X 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值是3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆通过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线与椭圆相交的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用。 【解答思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆的标准方程； （2）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于k ，m 的等式，从而得到直线l 关于参数k 的方程就可证明结论，并求出该定点的坐标。 【详细解答】（1）由题意设椭圆C 的标准方程为：22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0），椭圆C 上的点到焦点距离的最大值是3，最小值为1，∴a+c=3，a-c=1，⇒a=2，c=1，2b =2a -2 c =4-1 =3，∴椭圆C 的标准方程为：24 x + 23y =1； （2）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），椭圆的右顶点为M （2，0），由椭圆C ：2 4 x + 23y =1， 与直线l ：y=kx+m 联立得：（3+42k ）2x +8kmx+42m -12=0，1x +2x =-2 834km k +， 1x 2x =2241234m k -+，∴1y .2y =2k 1x 2x +km （1x +2x ）+2m =222241234k m k k -+-22 2 834k m k + +22223434m k m k ++=22 231234m k k -+，MA =（1x -2，1y ） ，MB =（2x -2，2y ），以AB 为直径的圆通过椭圆C 的右顶点M ，∴MA .MB =1x 2x -2（1x +2x ）+4+1y .2y =22 41234m k -++ 21634km k ++22121634k k +++22231234m k k -+=222416734k km m k +++=0，⇒m=-2k 或m=-27 k ，①当 m=-2k 时， 直线l 的方程为：y=kx-2k ，令y=0得x=2，∴直线l 过定点（2，0）；②当 m=-27k 时，直线l 的方程为：y=kx-27k ，令y=0得x=27，∴直线l 过定点（27 ，0），∴综上所述直线l 过定点，定点的坐标是（2，0）或（27 ，0）。 3、一动圆过定点A （0）且与定圆B 22(x y +=12相切。 （1）求动圆圆心C 的轨迹方程； （2）过点P （0,2）的直线l 与轨迹C 交于不同两点E 、F ，求PE PF •的取值范围。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③直线与椭圆相交的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用。 【解答思路】（1）运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出动圆圆心C 的轨迹方程；（2）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到PE PF •关于参数m 的等式，从而求出PE PF •的取值范围。 【详细解答】（1）圆圆心C （x ，y ），，|CB|=， 动圆过定点A （0）且与定圆B 22(x y +=12相切，12>（2=8，∴|CB| ，⇒，∴动圆圆心C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，⇒， 2b =2a -2 c =3-2=1，∴动圆圆心C 的轨迹方程是：23x +2y =1（≤x ≤； （2）设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），过点P （0,2）的直线l 的方程为：x=my-2m ，如图， 由直线l 的方程x=my-2m 与椭圆2 3x +2y =1联立得：（2m +3）2y -42m y+42m -3=0，1y +2y =2 243 m m +，1y .2y =22433m m -+，∴1x 2x =2m 1y .2y -22m （1y +2y ）+42m =422433m m m -+ -4 283m m ++4224123m m m ++=2293m m +，PE =（1x ，1y -2） ，PF =（2x ，2y -2），∴PE PF • =1x 2x +1y .2y -2（1y +2y ）+4=2293m m ++22433m m -+-2283m m ++224123m m ++=22993m m ++=9-2183 m +， E ，F 是不同两点，∴∆=164m -164m +362m -36=362m -36>0，⇒2 m >1，∴PE PF • =9-2183m +>9-92=92，∴PE PF •的取值范围是（92 ，+∞）。 『思考题5』 （1）【典例5】是椭圆与直线相交的综合问题，解答这类问题需要理解直线和椭圆相交的定义，掌握直线方程和椭圆方程的求法，明确处理直线与椭圆相交问题的基本思路是联立直线方程和椭圆方程消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，再运用设而不求，整体代入数学思想； （2）如果问题中涉及到过定点的直线时，注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情况分别考虑；在实际解答该类问题时，为避免直线的斜率存在还是不存在分别考虑的繁杂过程，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n 。 〔练习5〕解答下列问题： 1、直线l 过点M （1,1）与椭圆22 43 x y +=1相交于A 、B 两点，若AB 的中点是M ，求直线l 的方程； 2、动椭圆C 以坐标原点为左焦点，以直线x=-8为左准线，点B 是椭圆C 的短轴的一个端点，线段BO 的中点为M 。 （1）求点M 的轨迹方程； （2）已知k ∈R ，i =（1,0），j =（0,1）经过点（-1，0））且以i +k j 为方向向量的直线L 与M 的轨迹相交于E 、F 两点，又点D 的坐标为（1,0）若EDF ∠为钝角，求k 的取值范围。 【典例6】解答下列问题： 1、（1）设椭圆C ：22 22x y a b +=1（a ＞b ＞0）的左，右顶点为A ，B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当 a b （3-23mn ）+2mn +3（ln|m|+ln|n|）取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A 15 B C 45 D （2）设椭圆C： 22 22 x y a b +=1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B，P是椭圆上不同于A，B的 一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当a b +ln|m|+ln|n|取得最小值时，椭圆C的离心 率为（） A 1 5 B 2 C 4 5 D 2 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②直线斜率的定义与求法；③对数的定义与运算；④函数最值的定义与求法；⑤椭圆离心率的定义与求法； 【解题思路】（1）根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式，分别求出直线AP,BP 的斜率m，n，把求出的m，n代入式子得到关于a，b的函数，由该函数取最小值时满足的条件求出a，b的比值，从而得到a，c之间的关系，然后求出椭圆的离心率；（2）根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式，分别求出直线AP,BP的斜率m，n，把求出的m，n代入式子得到关于a，b的函数，由该函数取最小值时满足的条件求出a，b的比值，从而得到a，c 【详细解答】（1）如图，设P（x，y）是椭圆 A（-a，0），B（a，0），∴m=PA k= y x a + ， = y x a - ，⇒mn= y x a + . y x a - = 2 22 y x a - ，点 （x，y）在椭圆C: 2 2 x a + 2 2 y b =1（a>b>0）上，∴2y - 2 2 2a b +3ln 2 2 b a ，设t= a b ，t∈（1，+∞），f(t)=t(2+ 2 3 2 t)-22t+3ln 2 1 t = 2 3 3 t-22t+3t-3ln2t，f'(t)=22t-4t+3- 6 t = 32 2436 t t t t -+- ，设g(t)= 32 2436 t t t -+-，g'（t）=62t-8t+3>0在（1，+∞）上恒成立，∴g(t)在（1，+∞）上单调递增，g(2)=2 ⨯8-4 ⨯4+3 ⨯2-6=0，∴g(t) 在（1，+∞）上存在唯一零点t=2，⇒f'(t) 在（1，+∞）上存在唯一零点t=2， t∈（1，2）时，f'(t) <0，t∈（2，+∞），f'(t)>0，∴f(t)在（1，2）上单减，在（2，+∞）上单增，⇒当t= a b =2，即a=2b时， a b （3+ 2 2 2 3 a b ）- 2 2 2a b +3ln 2 2 b a 取得最小⇒2c=42b-2b=32b，⇒2e= 2 2 c a = 3 4 ，∴e= 2 ，⇒D正确，∴选D； （2）如图，设P （x ，y ）是椭圆C 上的一点，A （-a ，0），B （a ，0），∴m=PA k =y x a +，n=PB k =y x a -，⇒mn=y x a +.y x a -=2 22y x a -， （x ，y ）在椭圆C: 22x a +22y b =1（a >b >0）上，∴ 2y =2222() b a x a -，⇒mn=-2 2b a ，⇒a b +ln|m|+ln|n| =a b +ln 22b a ，设t=a b ，t ∈（1，+∞），f(t)=t+ln 21t =t-ln 2 t ，f '(t)=1-2 t =2 t t -，令f '(t)=0 得t=2， 当t ∈（1，2）时， f '(t) <0，当t ∈（,2，+∞）时，f '(t) >0， ∴ f(t)在（1， 2）上单减，在（2，+∞）上单增，⇒当t=a b =2，即a=2b 时，a b +ln 2 2b a 取得最小值， ⇒2c =42b -2b =32b ，⇒2e =22c a =3 4，∴⇒D 正确，∴选D 。 2、已知曲线C ： x=2cos θ，（θ为参数），若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ： y=sin θ，=0上的动点，则|PQ|的最小值为 。 【解析】 【考点】①曲线参数方程的定义与性质；②点到直线的距离公式与求法；③求三角函数最值的基本方法。 【解题思路】运用曲线参数方程的性质和点到直线的距离公式，结合问题条件得到|PQ|的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出|PQ|的最小值。 【详细解答】点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：上的动点，∴|PQ| |)π θ+-，⇒当4πθ+=2k π+2π ，即θ=2k π+ 4π （k ∈Z ）时， |PQ|=为最小，∴|PQ|。 3、（1）如图，在∆ABC 中，已知∠BAC=.120，其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE=BC ，连接CE ，设 以E ，C 为焦 点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以E ， C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为 D A 2 e，则当 1 2 e + 2 1 e 取最大值时， AD DC 的值为； C E （2）如图，在∆ABC中，已知∠BAC=. 120，其内切圆与AC边相切于点D，AD：DC=1： 5，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为 1 e， 以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为 2 e，则 1 e+ 2 e的值为。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②双曲线的定义与性质；③直线与圆相切的定义与性质；④余弦定理及运用；⑤求椭圆离心率的基本方法；⑥求双曲线离心率的基本方法。 【解题思路】（1）设AD=1， AD DC = 1 k ，运用直线与圆相切的性质，余弦定理，结合问题条 件分别求出CD,AC,AE,CE关于参数k的式子，从而求出c, 1 a， 2 a关于参数k的式子，利 用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出 1 e， 2 e关于参数k的式子，得到 1 2 e + 2 1 e 关于参数k的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出 AD DC 的值；（2）设AD=1，运用直线与 圆相切的性质，余弦定理，结合问题条件分别求出CD,AC,AE,CE的值，从而求出c, 1 a， 2 a 的值，利用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出 1 e， 2 e的值就可求出 1 e+ 2 e的值。【详细解答】（1）设AD=1， AD DC = 1 k （k>1），∆ABC的内切圆与AC边相切于点D，BE=BC，∴CD=k，AC=k+1，AE=k-1，∠BAC=. 120，∠BAC+∠EAC=. 180，∴∠EAC =. 60，⇒2 CE=2 AC+2 AE-2AC.AEcos. 60=2k+2k+1+2k-2k+1-2⨯(k+1)(k-1) ⨯ 1 2 =2k+3， ⇒∴c= 2 ， 1 a=k， 2 a=1，⇒ 1 e= 1 c a = 2k ， 2 e= 2 c a = 2 ， ∴ 1 2 e + 2 1 e ，设α，α∈( 6 π ， 2 π )，f(α)=4sinαcosα = 3 sin(α+ϕ)（其中tan ϕ= 6 ），∴当且仅当sin(α+ϕ)=1，即sinα+cosα ⇒sinα= 13 ，cosα= 13 ，ttanα=6时，f(α)=4sinα+ 3 cosα Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A. （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 椭圆问题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?= ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 椭圆中的取值范围问题 一、常见基本题型： 对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解. （1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. (3)利用基本不等式求参数的取值范围 椭圆中的最值问题 一、常见基本题型： （1）利用基本不等式求最值， （2）利用函数求最值， 破解椭圆中最值问题的常见策略 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域， 圆锥曲线 圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆 椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题 一、椭圆的知识梳理 二、椭圆的标准方程和统一方程 三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0 巧用定义求椭圆中四类最值问题 聂文喜 圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。 一、的最值 若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e 是C的离心率，求的最小值。 例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。 分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》 一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。 二、的最值 若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。 例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。 解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0） 图1 由椭圆的第一定义得： 可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。 故的最大值为，最小值为。 三、的最值 若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。 例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。 解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为 图2 根据椭圆的第二定义有：，即 可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。 故的最小值为10。 四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆 上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。 解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M” 图3 则 当且仅当AB过焦点F时等号成立。 故M到椭圆右准线的最短距离为。 评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。 X 1 + X 2 二 X M 1 一 2 1 a 2 2~ , a 1 1 a 2 《椭圆》方程典型例题 20例 典型例题一 例1椭圆的一个顶点为A 2,0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程. 分 析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：(1)当A 2,0为长轴端点时，a =2 , b = 1 , 2 2 椭圆的标准方程为：— ^=1; 4 1 (2)当A 2,0为短轴端点时，b=2 , a = 4, 2 2 椭圆的标准方程为：—1 ； 4 16 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不 能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率. 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a ，求c ,再求 比?二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可. 典型例题三 例3已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x ，y-1=0交于A 、B 两点, M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 2 解：由题意，设椭圆方程为笃? y 2 =1, a x y -1 = 0 2 X + 2 「 —+ y =1 .a 解：；2c 二丄 2 - c 3 ??? 3c= a 2, 得 1 a 2x 2 -2a 2x =0 , 1 y M 2 2 y M 1 1 2 x M a 4 y 2 =1为所求. 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问 题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 f 9 > =1 上不同三点 A (X 1, y 1 ), B 4, ，C(X 2, y )与焦点 F(4,0)的 < 5 / 距离成等差数列. 4 5 x-i 5 x 1 x 2 =8 —「二 x-4 . 2 y 1 一丫2 又???点T 在x 轴上，设其坐标为x°,0，代入上式，得 ??? a 2 =4， 2 2 例4椭圆-y 25 9 (1) 求证 x 1 x 2 =8 ； (2) 证明: 若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . （1）由椭圆方程知a =5，b =3，c =4 . 由圆锥曲线的统一定义知: |AF| a X 1 c 同理 4 AF = a-ex, =5—一 x 1 . 5 CF =5 - 4 x 2 . 5 AF +CF = 2BF ，且 BF (2) 因为线段AC 的中点为4, 宁，所以它的垂直平分线方程为 椭圆问题的类型与解法 椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭圆问题。从题型上看，可能是选择题或填空题，也可能是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答椭圆问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： D 1、如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹 平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 圆 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。 【解题思路】设点P （x ，y ），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点P 的轨迹是一个椭圆，从而得出选项。 【详细解答】设点P （x ，y ），纸片折叠后M 与F 重合，折痕为CD ，CD 与OM 相交于点P ，∴|PM|=|PF|，⇒|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆O 的半径为一个定值，∴点P 的轨迹是以2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆，⇒A 正确，∴选A 。 2、根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）焦点在x 轴上，且过点（2,0）和点（0,1）； （2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P （0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于2； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； （4）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A （3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法。 【解题思路】（1）由题意设椭圆的标准方程为：22x a +2 2y b =1（a >b >0），根据问题条件得到关 于2 a ，2 b 的方程组，求解方程组求出2 a ，2 b 的值就可求出椭圆的标准方程；（2）由题意 设椭圆的标准方程为：22y a + 2 2x b =1（a >b >0），根据问题条件得到关于a ，c 的方程组，求解 方程组求出a ，c 的值，运用椭圆的性质求出b 的值就可求出椭圆的标准方程；（3）问题没 有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，应该分焦点在X 轴上或在Y 轴上两种情况考虑，分别求出相应椭圆的标准方程；（4）问题没有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的方程为： A 2 x +B 2y =1，（A ＞0，B ＞0，A ≠B ），根据问题条件得到关于A ，B 的方程组，求解方程 椭圆的解题方法和技巧 安徽省宿州市褚兰中学海平 一、椭圆的定义的应用 椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。 分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。 解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。 根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。 又∵，∴，即， ∴，∴。 故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。 ∴点的轨迹方程为。 评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。 例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判 断 的形状。 分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条 件，故可求出的两边。 解析：由，解得。 又，故满足。 ∴ 为直角三角形。 评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n ）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 19, n= 1 3 . ∴所求椭圆方程为22 x y 193 += 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可. 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且 直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2 －6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆 椭圆标准方程 【知识点】 知识点一 椭圆的定义 (1)我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，2a>|F 1F 2|}. (3)2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a >|F 1F 2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F 1F 2| 动点的轨迹是线段F 1F 2 2a <|F 1F 2| 动点不存在，因此轨迹不存在 【问题一】在椭圆的标准方程中a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需a>b ，a>c 即可，b ，c 的大小关系不确定 【问题二】若两定点A 、B 间的距离为6，动点P 到两定点的距离之和为10，如何求出点P 的轨迹方程？ 以两定点的中点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x ，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以x －32＋y2＋ x ＋32＋y2＝10，即点P 的轨迹方程为x225＋y2 16 ＝1. 椭圆标准方程的两种形式 焦点位置 标准方程 焦点 焦距 焦点在x 轴上 _________ (a >b >0) F 1(－c ，0)，F 2______ 2c 焦点在y 轴上 __________ (a >b >0) F 1 ，F 2(0，c ) 2c 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为y 25＋x 2 4＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0，1)，焦距|F 1F 2|＝2. 类型一：椭圆的定义 【例1】点P(－3，0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹. 【变式】若将本例中圆C 的方程改为：x 2＋y 2－6x ＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M 与已知圆C 相外切且过P 点，求动圆圆心M 的轨迹方程. 即(x －3)2＋(y －0)2－(x ＋3)2＋(y －0)2＝3， 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2 ＝64，圆心为(3，0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆 相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆. 设M (x ，y )，据题，圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径r ＝3.由|MC |＝|MP |＋r ，故|MC |－|MP |＝r ＝3， 《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+ y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭ ⎫ ⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF - =-=． 同理 254 5x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00， x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=- . . 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直〔两直线的斜率之积为-1〕和平分〔中点坐标公式〕。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等 边三角形，假设存在，求出0x ；假设不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点，那么直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂 直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的 2 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+⎧⎨ =⎩消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+=① 由直线和抛物线交于两点，得2 2 4 2 (21)4410k k k ∆=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。那么线段AB 的中点为22211 (,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k = -，那么2 11 (,0)22 E k -ABE ∆为正三角形， ∴2 11 (,0)22 E k -到直线AB 的距离d 。 AB =22 1k k = +2d k =2 2 122k k k += 解得k =满足②式此时05 3 x =。思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边 长的 2 倍，将k 确定，进而求出0x 的坐标。 例题2、椭圆12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 〔Ⅰ〕求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； 椭圆》方程典型例题20例(含标准答案) 典型例题一 已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。 解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标 准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时， b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。 典型例题二 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。 解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则 2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2 中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义 e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2. 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。二是列含a和c的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可。 典型例题三 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交 于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短 轴长为2，求椭圆的方程。 解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程 为y=1-x。将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程 (4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。由OM的斜率为0.25 椭圆的最值问题 椭圆的最值问题是指在一个给定的椭圆内，找出某个函数的最大值或最小值。为了解决这个问题，可以利用椭圆的性质和数学方法进行分析。 首先，我们需要确定椭圆的方程。一个标准的椭圆方程可以表示为： (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 其中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴的长度。 接下来，我们需要确定要求最值的函数。假设要求椭圆内的某个函数f(x, y) 的最大值或最小值。 有两种常见的方法可以解决椭圆的最值问题： 1. 极值点法：我们可以计算函数f(x, y) 在椭圆边界上的极值点，并比较它们的函数值，找到最大值或最小值。这可以通过拉格朗日乘数法等方法来实现。 2. 参数化法：我们可以将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中t 是一个参数。然后将函数f(x, y) 在参数t 的取值范围内进行优化，找到最大值或最小值。这可以通过微积分的方法来实现。 需要注意的是，在解决椭圆的最值问题时，我们还需要考虑函数f(x, y) 的定义域是否在椭圆内。如果定义域超出了椭圆的范围，则需要对其进行限制或者使用其他方法进行求解。 椭圆的最值问题可以通过极值点法或参数化法来解决，具体的方法取决于具体的问题和函数形式。通过合理选择方法并利用数学工具，我们可以有效地求解椭圆内函数的最大值或最小值。 当使用参数化法解决椭圆的最值问题时，以下是一些常见的步骤： 1. 将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中(h,k) 是椭圆的中心坐标， a 和 b 分别是椭圆在x 轴和y 轴上的半长轴和半短轴的长度。 2. 将函数f(x, y) 表示为f(t) 的形式，即将函数中的x 和y 替换为参数t 的表达式。这样，问题就被转化为在参数t 的取值范围内寻找f(t) 的最大值或最小 数学椭圆的解题技巧 数学的复习策略及其椭圆技巧对考生来说极其重要。下面要为大家分享的就是数学椭圆的解题技巧，希望你会喜欢！ 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式，如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。 有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。 三、代数运算 转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则 （d是点O到AB的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用）。 解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。 与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1．定义法 例1。P(-2, 3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆116252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。 解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2=(x-a)2+y 2 =(x-a)2+1-x 212=2)2(21a x -+1-a 2 由椭圆方 For personal use only in study and research; not for commercial use 椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的 最大值时，P 点的坐标是 。P （0，3）或（0，-3） 例2、已知椭圆方程122 22=+b y a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，2 1,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。 分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤ 当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ 2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动 点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 压轴解答题 第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系． 类型一 中点问题 典例1已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率13e =，焦距为2． (1)求椭圆C 的方程； (2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围． 【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题 【答案】(1)2219 8 x y ；(2)220,12⎡ ⎫⎛⎤ ⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ . 【解析】 （1）由已知可求得a 、c 的值，可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程； （2）设点设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点G 的坐标，由题意可知EG AB ⊥，可得1 EG k k =-，可得出m 关于k 的表达式，分0k <、0k >两种情况 讨论，结合基本不等式可求得m 的取值范围. (1)解：由已知得1 322 c a c ⎧= ⎪⎨⎪=⎩，所以，1c =，3a =，2228b a c =-=， 因此，椭圆C 的方程为 2 219 8 x y . (2)解：根据题意可知直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ， 线段AB 的中点为()00,G x y ，设点(),0E m ，使得AE BE =，则EG AB ⊥．椭圆的几何性质知识点归纳及典型
椭圆问题总结
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆问题的类型与解法
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的几何性质和综合问题汇总
高中数学椭圆——标准方程
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆的最值问题
数学椭圆的解题技巧
与椭圆有关的最值问题
椭圆中的常见最值问题
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(解析版)