安徽省“江南十校”2024年高三下学期期末考试数学试题(A卷)
安徽省县中联盟(江南十校)2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
安徽省县中联盟（江南十校）2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()2i z z =+⋅（其中i 是虚数单位），则z =（ ）A ．1BC ．D ．22．函数ππtan 42y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r 的值为（ ）A ．-4B ．4C ．-8D ．83．已知某圆台体积为52π，其上下底面圆半径分别为2和5，则其母线长为（ ） A ．103 B ．4 C ．5 D ．2534．在ABC V 中，60,75a A B ︒︒==，则ABC V 中最小的边长为（ ）A ．2BCD 5．已知向量,a b r r 满足2,1a b ==r r ，22a b a b +=⋅r r r r ，则向量,a b r r 的夹角为（ ） A ．0 B ．2π3 C ．0或π3 D ．0或2π3 6．学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:取正方形ABCD 边AB 的中点M ，沿MC 、MD 折叠，将MA 、MB 用胶水粘起来，使得点A 、B 重合于点E ，这样就做成了一个簸箕E MCD -，如果这个簸箕的容量为3，则原正方形铁皮的边长是多少（ ）A ．12cmB ．24cmC ．D ．7．如图，ABC V 是边长为2的正三角形，直线,,AD BE CF 围成一个正三角形DEF ，且2DF FA =u u u r u u u r ，则AB EF ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．813-B ．813C ．1213-D ．12138．已知正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1BD 垂直于平面α，直线l 与平面α所成角为60︒，在正方体1111ABCD A B C D -绕体对角线1BD 旋转的过程中，记BC 与直线l 所成的最小角为θ，则cos θ=（ ）A B C D二、多选题9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．(0,0),(1,2)a b ==r rB ．(0,1),(2,0)a b ==-r rC ．(1,2),(1,2)a b =-=r rD ．13(2,3),,24a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭r r 10．已知复数123,,z z z ，下列叙述中错误的是（ ）A ．若12z z >，则1323z z z z +>+B ．若1223z z z z ⋅=⋅，则13z z =C ．若2212z z =，则12=z zD ．若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==11．正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA D ==为棱11B C 的中点，P 为线段1A D (不包括端点)上一动点，,M N 分别为棱,AB AC 上靠近点A 的三等分点，过BC 作三棱柱111ABC A B C -的截面α，使得α垂直于AP 且交AP 于点E ，下列结论正确的是（ ）A ．11//BC 截面αB ．存在点P 使得平面1//A MN 截面αC ．当12A P =时，截面αD ．三棱锥E ABC -三、填空题12．已知关于x 的实系数二次方程20x bx c ++=的一根为1i -(其中i 是虚数单位)，则b c +=．13．已知在ABC V 中，2AB BC =，D 为AC 中点，且60CBD ︒∠=，则BD =．14．在棱长为4的正四面体-P ABC 中，3PD DA =u u u r u u u r ，过点D 作平行于平面ABC 的平面与棱PB 、PC 分别交于点E 、F ，过点D 作平行于平面PBC 的平面与棱AB 、AC 分别交于点G 、H ，记12O O 、分别为三棱锥P DEF A DGH --、的外接球球心，则12O O =．四、解答题15．已知在平面直角坐标系中，()(()()22,0,,1OA OB OC OA OB λλλλ===-+≠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点．(1)求OA u u u r 在OB u u u r 方向上的投影向量;(2)证明：、、A B C 三点共线，并求OC u u u r 的最小值．16．几何体ABCDEF 中，平面ADE 、平面BCF 和平面ACFE 均与平面ABCD 垂直，且1AB AE ==，2AD DC CF ===，//AB CD ，AB AD ⊥．(1)证明://AE CF ;(2)求四棱锥E ABCD -与四棱锥F ABCD -公共部分的体积．17．锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且π,26B c ==．(1)证明:1tan a C =(2)求ABC V 的周长的取值范围．18．如图，圆柱1OO 的高为1，底面半径长为2，它的一个轴截面为11AA B B ，点C 为底面圆O 的圆周上一点，且2AC =．(1)已知点E 是底面圆1O 的直径11A B 上靠近1B 的一个四等分点，若经过点E 在底面圆1O 上作一条直线与CE 垂直且与圆1O 交于M 、N 两点，求线段MN 的长;(2)求平面11ACB 与平面ACB 的夹角．19．已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形．在锐角ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为,a b c 、、且a =ABC V 的边BC CA AB 、、分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为111A B C 、、，且111A B C △的面积R 为ABC V 的外接圆半径．(1)若R =11B C C B ⋅u u u r u u u r ;(2)若R ∈，求ABC V 面积的取值范围．。
江南十校2022～2023学年高三数学12月份联考数学【含答案】
江南十校2022～2023学年高三数学12月份联考数学一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1. （集合的运算）已知集合{}{}1,01,2A B =-=，，集合{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则C 的子集的个数为（ ）A. 3B. 8C. 7D. 16 2. （含量词命题的否定）命题“**,x x R e R ∀∈∈都有”的否定是（ ）A ．**,x x R e R ∃∈∉使得B ．**,x x R e R ∃∉∉使得C ．**,x x R e R ∃∈∈使得D ．**,x x R e R ∃∉∈使得3. （充分必要性的判定）若,a b 均为实数，则“a b e e >”是“33a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. （不等式的性质）已知,,,a b c d 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若,a b >则11a b< B ．若0,b c a >>>则a ab c <C ．若a b c d >>>，则a c b d ->-D ．若,a b c d >>，则ac bd >5. （复合函数单调性）函数()()20.5log 1f x x =-的单调递减区间是（ ）A. ()1,+∞B. ()0,+∞C. (),0-∞D. (),1-∞ 6. （奇偶性，分段函数）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()23xf x x a =++，则()2f 的值为（ ） A.234 B. 274 C. 274- D. 234-7. （值的大小比较）已知sin 53a =，5log 2b =，0.80.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 8. （函数图象）已知函数()2log +2a x mf x x b=+仅有两个零点，其图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）A ．10 0a m b >>>B ． 10 0a m b ><<二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）9. （任意角，三角函数定义）下列三角函数值为负数的是（ ）A.sin186B. tan505C. sin7.6πD. 3tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭10. （幂函数性质）下列关于幂函数说法正确的是（ ）A.图象必过点()1,1B.可能是非奇非偶函数C.在()0,x ∈+∞上一定是单调函数D. 图象不会位于第四象限11. （基本不等式求最值）若实数,m n 满足224n mn +=，其中0n >，则下列说法中正确的是（ ）A. n 的最大值为2B. m n +的最小值为2C. 2243m n +的最小值为4 D.1132n n m++12. （新函数模型 函数性质应用）关于函数()f x = ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在[)0,+∞上先增后减 C. 方程()()=f x m m R ∈根的个数可能为3个 D.函数值中有最小值，也有最大值 三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. （函数三要素：解析式）已知函数()22141f x x +=-，则()f x =14. （指对数运算）1321lg8lg 25327-⎛⎫++= ⎪⎝⎭15. （二元最值，指对数运算）设实数2,1,a b e ⎡⎤∈⎣⎦，且22ln ln 12b a -=，则ab的最大值是 16. （一元二次）已知函数()23f x x ax a =++-，若(){}()(){}00x f x x ff x <=<，则实数a 的取值范围是四、解答题（共6题，10+5*12=70分） 17. （10分）（集合的交并补运算） 如图，已知全集U R =，集合{}22A x y x x ==-++，{}05B x x x =<>或．(1)集合C 表示图中阴影区域对应的集合，求出集合C ；(2)若集合{}0D x x a =<<，且D C ⊆，求实数a 的取值范围． A B18. （12分）（三角函数的定义与诱导公式）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=．(1)求函数()y fθ=的解析式，并求23f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=，()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19. （12分）（一元二次函数、不等式解法，最值，均值不等式）已知二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）（1）若不等式()0f x ≥的解集为{}05x x x ≤≥或且()14f =-，求函数()f x 在[]1,4x ∈-上的最值； （2）若()00f >且函数()f x 至多仅有一个零点， 求()2f b的最小值.20. （12分）(指对数运算，函数性质) 已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（1）当1a =，判断函数在()0+x ∈∞，上的单调性，并说明理由； （2）若函数()f x 为偶函数，求a 的值.21. （12分）（函数的应用，最值，分段函数）2021年11月3日，全国首条无人驾驶跨座式单轨线路——芜湖轨道交通（芜湖单轨）1号线开通初期运营。
安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测语文试题(解析版)
安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测语文试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下列文字，完成1～5题。
材料一：马克思列宁主义认为：认识过程当中两个阶段的特性，在低级阶段，认识表现为感性的，在高级阶段，认识表现为理论的，但任何阶段，都是统一的认识过程当中的阶段。
感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题。
这些问题的解决，一点也不能离开实践，无论何人要认识什么事物，除了同那个事物接触，即生活于（实践于）那个事物的环境中，是没有法子解决的。
马克思、恩格斯、列宁、斯大林之所以能够作出他们的理论，除了他们的天才条件之外，主要地是他们亲自参加了当时的阶级斗争和科学实验的实践，没有这后一个条件，任何天才也是不能成功的。
“秀オ不出门，全知天下事”，在技术不兴旺的古代只是一句空话，在技术兴旺的现代虽然可以实现这句话，然而真正亲知的是天下实践着的人，那些人在他们的实践中间取得了“知”，经过文字和技术的传达而到达于“秀才”之手，秀才乃能间接地“知天下事”。
任何知识的来源，在于人的肉体感官对客观外界的感觉，否认了这个感觉，否认了直接经验，否认亲自参加变革现实的实践，他就不是唯物论者。
“知识里手”之所以可笑，原因就是在这个地方。
中国人有一句老话：“不入虎穴，焉得虎子。
”这句话对于人们的实践是真理，对于认识论也是真理。
离开实践的认识是不可能的。
认识的过程，第一步，是开始接触外界事情，属于感觉的阶段。
第二步，是综合感觉的材料加以整理和改造，属于概念、判断和推理的阶段。
只有感觉的材料十分丰富（不是零碎不全）和合于实际（不是错觉），才能依据这样的材料造出正确的概念和理论来。
安徽省江南十校2024-2025学年高二(上)联考数学试题(12月份)(含答案)
安徽省江南十校2024-2025学年高二（上）联考数学试题（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={a ⃗ |a ⃗ =(−1,2,1)+λ(1,2,3)，λ∈R}，N ={b ⃗ |b ⃗ =μ(1,−2,−1)+(1,2,3)，μ∈R}，则M ∩N =( ) A. {(−2,0,−2)}B. {0,4,4}C. {(0,4,4)}D. ⌀2.条件p:m >0，n >0，条件q:方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若点P(3,−4)是直线a 1x +b 1y +2=0和a 2x +b 2y +2=0的公共点，则相异两点A(a 1,b 1)和B(a 2,b 2)所确定的直线AB 方程是( ) A. 3x −4y +2=0B. 4x −3y +2=0C. 3x −4y −2=0D. 4x −3y −2=04.六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体).如图所示，在正八面体P −ABCD −Q 中，G 是△BCQ 的重心，记PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，，则PG ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −13a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗B. 13a ⃗ −13b ⃗ +23c ⃗ C. 13a ⃗ −13b ⃗ −23c ⃗ D. 13a ⃗ +13b ⃗ +23c ⃗ 5.已知m ⃗⃗ =(2,1,1)是直线l 的方向向量，直线l 经过点P(−1,0,1)，则点Q(2,4,6)到直线l 的距离为( ) A. 52B. 5√ 22C. 5√ 62D. 3√ 626.已知圆C 的方程为x 2+y 2−2y −1=0，P(a,b)为圆C 上任意一点，则2a+b−5a−2的取值范围为( )A. [−1,2]B. (−∞,−1]∪[2,+∞)C. [1,3]D. (−∞,1]∪[3,+∞)7.焦点为F(1,0)的抛物线y 2=2px(p >0)上有一点P(不与原点重合)，它在准线l 上的投影为Q 。
2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷+答案解析(附后)
2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 设i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量的夹角为，且，则( )A. B. C. D.4. 安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体已知该正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线所成角为( )A. B. C. D.5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种.( )A. 40B. 24C. 20D. 126. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 点是曲线的对称中心B. 点是曲线的对称中心C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的对称轴7. 在三棱锥中，底面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知，则a，b，c的大小关系为( )A.B. C.D.9. 已知函数，则( )A. 是奇函数B. 的单调递增区间为和C. 的最大值为D.的极值点为10.在平行六面体中，已知，，则( )A. 直线与BD 所成的角为B. 线段的长度为C.直线与所成的角为D. 直线与平面ABCD 所成角的正弦值为11. 已知O 为坐标原点，点，，线段AB 的中点M 在抛物线C ：上，连接OB 并延长，与C 交于点N ，则( )A. C 的准线方程为B. 点B 为线段ON 的中点C. 直线AN 与C 相切D. C 在点M 处的切线与直线ON 平行12. 已知函数和及其导函数和的定义域均为R ，若，，且为偶函数，则( )A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称D.13.的展开式中，常数项为______ 用数字作答14. 已知圆C ：，直线l ：是参数，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为______ .15. 已知直线l 与椭圆交于M ，N 两点，线段MN 中点P 在直线上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点，则椭圆E 的离心率是______ .16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则m 的取值范围是______ .17. 在平面直角坐标系Oxy 中，锐角、的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 的交点分别为P ，已知点P 的纵坐标为，点Q 的横坐标为求的值；记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.①若，且，求周长的最大值.②若，，且，求的面积.18. 已知在递增数列中，，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.求数列的通项公式；设数列的前n 项和为，证明：19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：如图根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为，“小浪”情况下出海作业的概率为，“中浪”情况下出海作业的概率为，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20. 如图，四棱锥中，为等腰三角形，，，，证明：；若，点M在线段PB上，，求平面DMC与平面PAD夹角的余弦值.21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点.求双曲线的方程；设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；求的取值范围.22. 已知函数若在定义域上具有唯一单调性，求k的取值范围；当时，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，则，，，，，故选：分别将两个集合中的元素表示出来，再求补集，交集．本题考查集合的运算，考查二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为，所以复数对应的点为在第四象限，故选：利用复数的运算性质化简复数z，求出对应的点的坐标，由此即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的实际意义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知平面向量的夹角为，且，则，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，在平面中，连接与DA交于H，则，在平面中，连接与DC交于G，则，则GH为平面与平面ABCD的交线l，且，而在等边中AC与所成的角为，故l与直线所成角为故选：作出平面与平面ABCD的交线l，再求l与直线所成角．本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．本题考查了排列组合的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：，当，则，此时，则函数关于对称，故A错误，当，则，此时，则函数关于对称，故B错误，当，则，此时，则函数关于对称，故C正确，当，则，此时，则函数关于点对称，故D错误，故选：利用辅助角公式进行化简，然后分别利用对称性进行判断即可．本题主要考查三角函数对称性的判断，根据辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】B【解析】解：在三棱锥中，底面ABC，如图所示：在中，，，利用余弦定理：，解得：，设的外接圆的半径为R，利用正弦定理，解得，过点E作的垂线和AP的垂直平分线交于点O，即点O为三棱锥外接球的球心，设球的半径为r，故；所以故选：首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱锥的外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，求和三棱锥的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．8.【答案】D【解析】解：，，，，设，，所以在上单调递减，因为，所以，所以，，令，，，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，故选：，，，则，设，，求导分析单调性，即可得出b与a的大小关系；，令，，求导分析单调性，即可得出b与c的大小关系，即可得出答案．本题考查函数的单调性，数的大小，属于基础题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，因为对，，所以是R上的奇函数，故A正确；对于B，由得或，所以的单调递增区间为和，故B正确；对于C，因为时，，所以无最大值，故C错误；对于D，由得，经检验是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点是实数，故D错误，故选：根据奇偶性的定义可判断A；对函数求导，令可得函数的增区间，即可判断B；根据时，，所以无最大值，即可判断C；由得，检验可得为函数的极值点，即可判断本题主要考查了三次函数的性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：在平行六面体中，取，，，，，，，对于A：，，，则，故直线与BD所成的角为，故A正确；对于B：，则，即，故B错误；对于C：，故，即，故直线与所成的角为，故C正确；对于D：在平行六面体中，四边形ABCD是菱形，则，又，，平面，平面，平面，又平面ABCD，则平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，过点作于点E，如图所示：平面平面，平面，平面ABCD，直线与平面ABCD所成角为，，则，即，在中，，故D错误，故选：在平行六面体中，取，，，利用空间向量的线性运算，逐一分析选项，即可得出答案．本题考查直线与平面的夹角、异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对A，根据中点公式得，将其代入C：得，则，所以抛物线C：的准线方程为，故A错误；对B，因为，则直线OB的斜率为a，则直线OB的方程为，将其代入C：得，解得或舍去，此时，则，所以B为ON中点，故B正确；对C，C：，即，则，故抛物线C在点N处的切线的斜率为，故切线方程为，令得，所以直线AN为C的切线，故C正确；对D，抛物线C：在处的切线方程的斜率为，而直线ON的斜率为a，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以C在点M处的切线与直线ON平行．故选：将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线OB的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线C在点N处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，由为偶函数得，即有，则的图象关于直线对称，对两边同时求导得：，令，得，故A正确；对于B，由关于直线对称得，由，得，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，对两边同时求导得，由，得，则，即，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，由，得，结合C选项可知，，即，所以，所以4是函数的一个周期，由，得4也是函数的一个周期，由，得，所以，故D错误．故选：根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据，两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断本题考查了复合函数的奇偶性、周期性、对数性及复合函数的求导、导数的对称性及奇偶性，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：的展开式的通项公式为，，1，，当，即时，；当时，无解；展开式中的常数项为，故答案为：当前边括号取3时，后边括号取常数项；当前边括号取x时，后边括号取项，无解；由此计算出常数项即可．本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为由直线l：，得，联立，解得直线l过定点，又，点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时直线l被圆C截得的弦长的最小值为故答案为：由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点，求得，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．15.【答案】【解析】解：根据题意设MN中点，又，直线的斜率为，又，直线MN的斜率为，设，，则，两式相减可得：，，，椭圆E的离心率，故答案为：根据直线垂直的条件，点差法，方程思想，化归转化思想，即可求解．本题考查椭圆的离心率的求解，点差法的应用，方程思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：设切点为，则，过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，要使方程有三个不等实数根，则，的取值范围是：故答案为：求出函数的导函数，可得函数的最值，即可求得实数m的取值范围．本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，是中档题．17.【答案】解：因为，是锐角，所以P，Q在第一象限，又因为P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，所以，所以故选①：由中结论可得，又，，由余弦定理可得，即，，，，当时，等号成立，，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为选②：由可知，则，由正弦定理，可得，故，则【解析】先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，，，，再利用余弦的和差公式即可得解；选①：先结合中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；选②：先结合中条件求得，再利用正弦定理求得a，b，从而利用三角形面积公式即可得解．本题考查了正余弦定理、三角函数的定义以及基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：在递增数列中，，为函数的两个零点，可得，，公差，则数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，则；证明：，则，因为，所以【解析】令，解方程可得，，再由等差数列的通项公式和数列的恒等式，等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件，该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知：，，，所以依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，则X 的分布列为：X 0123P所以【解析】根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望．本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】证明：取AD的中点O，连接OP，OC，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形ABCO为平行四边形，又，则，又，PO，平面POC，所以平面POC，又，因此平面POC，而平面POC，所以；解：因为，，且，AD，平面PAD，则平面PAD，又，则平面PAD，分别以OC，OP，OD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，，又，则，所以，，，，，则，，设平面DMC的法向量为，则，令，得，又平面PAD的一个法向量为，则，所以平面DMC与平面PAD夹角的余弦值为【解析】根据给定条件，取AD的中点O，利用线面垂直的判定证明平面POC即可推理作答；以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由题意可设双曲线：，则，解得，双曲线的方程为；设，，直线AB的方程为，由，消去x得，则，，且，，；设直线AM：，代入双曲线方程并整理得，由于点M为双曲线的左顶点，此方程有一根为，，解得，点A在双曲线的右支上，，解得，即，同理可得，由，，【解析】由题意可设双曲线：，利用，可求b；设，，直线AB的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．设直线AM：，代入双曲线方程可得，进而可得，，进而由可得，进而求得的取值范围．本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．22.【答案】解：由题意得的定义域为，，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，又，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的k不存在；综上所述：在定义域上单调递增，且，所以k的取值范围为；证明：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，，原不等式即证，由知在上单调递增，，，又，则，原不等式成立．【解析】求导后若在定义域上单调递增，则恒成立，若在定义域上单调递减，则恒成立，利用恒成立知识即可求解；，再根据的单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。
安徽省江淮十校2024届高三第三次联考数学试题含答案
江淮十校2024届高三第三次联考数学（答案在最后）本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知(){}0ln 1A x y x x ==+-，{B y y ==，则A B = （）．A.[)()0,11,+∞ B.()()0,11,+∞ C.()0,∞+ D.[)0,∞+【答案】B 【解析】【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合,A B ，由交集定义可得结果.【详解】由010x x >⎧⎨-≠⎩得：01x <<或1x >，即()()0,11,A =⋃+∞；0≥，0y ∴=≥，即[)0,B ∞=+，()()0,11,A B ∴=+∞ .故选：B.2.若,i z ∈C 为虚数单位，2i 11z +-=，则i z -的最大值为（）A.2B.1- C.4D.1【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义可得复数z 对应的点的轨迹为以点()1,2-为圆心，1为半径的圆，进而求出i z -的最大值.【详解】根据题意，复数z 对应的点的轨迹为以点()1,2-为圆心，1为半径的圆，所求式子i z -的几何意义表示点()0,1到圆上点的距离的最大值，11=+.故选：D.3.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（）A.20 B.25C.225D.450【答案】C 【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有1255C C 15+=种方法，所以甲和乙不同的选择方法有1515225⨯=种.故选：C4.在ABC 中，π,6C CA =边上的高等于32CA ，则sin B =（）A.2B.12C.33D.13【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解.【详解】如图，CA 边上的高为BD ，2BD =，且π6C =，所以CB =，则π3cos62CD BC CA =⋅=，则12AD CA =，AB AC ==，所以π6ABC C ∠=∠=，则π1sin sin 62B ==.故选：B5.已知直线():12l x a y a ++=-，圆22:64120C x y x y +-++=，则该动直线与圆的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得直线l 表示过定点()3,1A -，且除去1y =-的直线，点A 在圆上，可判断直线l 与圆C 相交.【详解】因为直线():12l x a y a ++=-，即()210x y a y +-++=，当10y +=时，20x y +-=，解得31x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 表示过定点()3,1A -，且除去1y =-的直线，将圆C 的方程化为标准方程为()()22321x y -++=，因为1AC =，点A 在圆上，所以直线l 与圆C 可能相交，可能相切，相切时直线l 为1y =-，不合题意，所以直线l 与圆C 相交.故选：C.6.已知0,0m n >>，且122m n +=，则2242n mm n +的最小值为（）A.2B.4C.8D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，将所求式子变形2241222121222n m m n m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用基本不等式求解.【详解】0,0m n >> ，122m n+=，()()223322222224248222m n m mn n n m n m m n m n m n +-++∴+==2212221121222m n m n m n m n mn n m m n n m n m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭212⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22m nn m=，即2n m =，即1,2m n ==时等号成立.故选：A.7.如图，直线l 在初始位置与等边ABC 的底边重合，之后l 开始在平面上按逆时针方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过60︒），它扫过的三角形内阴影部分的面积S 是时间t 的函数．这个函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接AE ，设等边ABC 的边长为2，求得3tan(30)22ABD S α=+- ，令()3tan(30)22S x x =+- ，其中060x ≤≤ ，结合导数，即可求解.【详解】如图所示，取BC 的中点E ，连接AE ，因为ABC 为等边三角形，可得30EAB ∠= ，设等边ABC 的边长为2，且DAB α∠=，其中060α≤≤ ，可得tan(30))DE AE αα=-=-，又由ABC的面积为ABC S =，可得2ABE S =，且13)tan(30)22ADE S αα=-=- ，则ABD △的面积为33tan(30)tan(30)2222ABE ADE S S S αα=-=--=+- ，令()3tan(30)22S x x =+- ，其中060x ≤≤ ，可得()23102cos (30)S x x =⨯>-' ，所以()S x 为单调递增函数，又由余弦函数的性质得，当30x = 时，函数()S x 取得最小值，所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，结合选项，可得选项C 符合题意.故选：C.8.已知函数()f x 满足()π131f x f x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，且π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则20241π3i i f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）A.1010-B.10105-. C.0 D.2024【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出π是()f x 的一个周期，利用周期性求解答案.【详解】()π131f x f x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭Q ，()()2π11111π31113f x f x f x f x ⎛⎫∴+=-=-=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-++ ⎪+⎝⎭，()()1π2π13f x f x f x ∴+=-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以π是()f x 的一个周期，又π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2π11π3213f f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，()1π22π13f f =-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()π2π3π332f f f ⎛⎫⎛⎫++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()20241ππ2ππ2π674π33333i i f ff f f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑3167411010.522⎛⎫=⨯-+-=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据条件判断π是()f x 的一个周期，再求出2π132f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()π2f =-，利用周期性求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上递减C.将()f x 图象向左平移π8个单位可得到3sin2y x =的图象D.若()02f x =，则01sin49x =【答案】ACD 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式可判断A ；通过()3sin ,0,πy t t =∈的单调性可判断B ；通过函数图象左右平移作用于自变量，且左加右减可判断C ；由题代入求出0π2sin 243x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再通过诱导公式和二倍角公式凑角求值可判断D.【详解】对于A ，由题意，函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，所以2π是()f x 的一个周期，故A 正确；对于B ，由π5π,88x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得()π20,π4x -∈，所以函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π5π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；对于C ，将()f x 的图象向左平移π8个单位可得，ππ3sin 284y x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，即3sin 2y x =，故C 正确；对于D ，若()02f x =，即0π3sin 224x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即0π2sin 243x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22000ππ21sin 4cos 412sin 2122439x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.10.设,A B 两点的坐标分别为()()3,0,3,0-直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49，则下列说法中正确的是（）A.M 的轨迹方程为22194x y -=B.M 的轨迹与椭圆2212512x y +=共焦点C.230x y -=是M 的轨迹的一条渐近线D.过()0,2N 能做4条直线与M 的轨迹有且只有一个公共点【答案】BC 【解析】【分析】对A ，设点(),M x y ，3x ≠±，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B ，由点M 的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C ，点M 的轨迹方程求出渐近线方程可判断；对D ，点()0,2N 在y 轴上，过点N 的直线与点M 的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点()3,0±不合题意.【详解】对于A ，设点(),M x y ，3x ≠±，则3MA y k x =+，3MB y k x =-，所以4339y y x x ⨯=+-，化简得22194x y -=，所以点M 的轨迹方程为()221394x y x -=≠±.故A 错误；对于B ，由A 选项，点M 的轨迹的焦点为()与椭圆2212512x y +=共焦点，故B 正确；对于C ，点M 的轨迹对应曲线()221394x y x -=≠±的渐近线为230x y ±=，故C 正确；对于D ，点()0,2N 在y 轴上，设()()3,0,3,0P Q -，则23PN k =，23NQ k =-，所以直线PN ，NQ 与渐近线平行，但点,P Q 不在点M 的轨迹上，故过点()0,2N 只能作点M 的轨迹两条切线，如图所示，故D 错误.故选：BC.11.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长相等，且均为2，N 在ABC 内及其边界上运动，则下列说法中正确的是（）A.存在点N ，使得1C N ⊥平面11A B CB.若1C N =，则动点N 的轨迹长度为3πC.E 为11A C 中点，若1//C N 平面1AB E ，则动点ND.存在点N ，使得三棱锥1C A BN -的体积为8【答案】BCD 【解析】【分析】取11,A B AB 的中点1,D D ，证得平面11A B C ⊥平面11D DCC ，得到1C H ⊥平面11A B C ，结合1111D C D D C H ∠>∠，可判定A ；由1C N =，求得1CN =，得到点N 的轨迹为圆弧，可判定B ；点E为11A C 中点，取AC 的中点F ，证得平面1//C BF 平面1AB E ，得到动点N 的轨迹为线段BF ，可判定C ；结合1max ()3N A BC V -=，可判定D.【详解】对于A 中，取11A B 的中点1D ，AB 的中点为D ，连接111,,D C DD DC ，由111A B C △为等边三角形，所以1111A B C D ^，又由正三棱柱111ABC A B C -中，可得111CC A B ⊥，因为1111C D CC C ⋂=，且111,C D CC ⊂平面11D DCC ，所以11A B ⊥平面11D DCC ，又因为11A B ⊂平面11A B C ，所以平面11A B C ⊥平面11D DCC ，因为平面111A B C Ç平面111D DCC D C =，过1C 作11C H D C ⊥于H ，根据面面垂直的性质定理，可得1C H ⊥平面11A B C ，在矩形11D DCC 中，111D C DD <，所以1145D C D ∠>11D C H >∠，如图所示，此时1C H 的延长线与线段CD 无公共点，所以不存在点N ，使得1C N ⊥平面11A B C ，所以A 错误；对于B 中，因为1C N =，在直角1C CN 中，可得1CN ==，所以点N 的轨迹为以C 为圆心，以1为半径的圆弧，又因为π3ACB ∠=，所以动点N 的轨迹长度为π3，所以B 正确；对于C 中，由点E 为11A C 中点，取AC 的中点F ，连接11,,C F BF BC ，可得1//C F AE ，1//BF B E ，因为1C F Ë平面1AB E ，且AE ⊂平面1AB E ，所以1//C F 平面1AB E ，同理可得//BF 平面1AB E ，又因为1C F AB F = ，且1,C F AB ⊂平面1C BF ，所以平面1//C BF 平面1AB E ，因为平面1C BF 平面ABC BF =，由1//C N 平面1AB E ，所以动点N 的轨迹为线段BF C 正确；对于D 中，由11C A BN N A BC V V --=，当点N 在ABC 内及其边界上运动时，可得1111max 123()33N A BC ABC A B C V V --==，因为32383=，所以存在点N ，使得三棱锥1C A BN -的体积为38，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动点轨迹与存在性性问题的求解策略1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知O 为等边ABC 的中心，若3,2OA a AB b == ，则AC =________．（用,a b 表示）【答案】92a b --【解析】【分析】等边三角形的中心即三边中线的交点，由重心的结论：12DO OA =，结合向量的线性运算即可求解.【详解】解：由题可得如图：O 是ABC 的重心，3OA a =，O 是ABC 各边中线的交点，1322DO OA DO a ∴=⇒= ，9922DA DO OA a AD a ∴=+=⇒=- ，又D 为BC 的中点，2AB b =，故：()122AD AB AC AC AD AB =+⇒=- ,所以：92AC a b =-- ，故答案为：92a b --.13.某小学对四年级的某个班进行数学测试，男生的平均分和方差分别为91和11，女生的平均分和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试的总体方差为________．【答案】15.8【解析】【分析】先求出总体的平均数89x =，在利用()()()()222211222m s x x n s x x s m n+-++-=+计算得解.【详解】设全体同学数学成绩的平均分为x ，方差为2s ，记191x =，2111s =，286x =，228s =，30m =，20n =，依题意有1230912086893020mx nx x m n +⨯+⨯===++，则()()()()222211222m s x x n s x x s m n+-++-=+()()()()2230119189208868915.850+-++-==.故答案为：15.8.14.已知首项为12的正项数列满足{}n a 满足11n nn n a a ++=，若存在*N n ∈，使得不等式()()3(1)(1)0nnnn m a m a +--+-<成立，则m 的取值范围为________．【答案】11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先将已知等式两边取对数后由累乘法得到通项12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再分n 为奇数和偶数时化简不等式后结合数列的单调性解一元二次不等式即可求出.【详解】因为()110n n nn n a a a ++=>，所以()11ln 11ln ln ln n n n n a n n a n a a n++++=⇒=，当2n ≥时，12121ln ln ln 12ln ln ln 121n n n n a a a n n a a a n n ----⋅⋅=⋅-- ，所以()1ln 2ln n a n n a =≥，又112a =，所以()12,12nn a n n ⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭时也成立，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()3(1)(1)0nnnn m a m a +--+-<，当n 为奇数时，上式变为()()30n n m a m a ++-<，所以3n n m a a +<<-，因为{}n a 为递减数列，所以解得11216m -<<；当n 为偶数时，上式变为()()30n n m a m a +-+<，所以3n n a m a +<<-，解得11324m -<<；综上，m 的取值范围为11,24⎛⎫-⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于对已知不等式的变形，通过观察分析取对数化简后再累乘是关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132nn n a a ++=⨯．（1）求{}n a 的通项公式；（2）已知3n nn b a =，求使{}n b 取得最大项时n 的值．1.26≈）【答案】（1）2n n a =（2）4【解析】【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为()1122n n n n a a ++-=--，即可求出通项；（2）由已知可设11k k k k b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，代入k 解不等式组求出即可.【小问1详解】因为132nn n a a ++=⨯，所以()1122n n n n a a ++-=--，又12a =，所以120a -=，所以022nnn n a a -=⇒=.【小问2详解】由（1）有2n n a =，所以332n nn n n b a ==，设n k =时，n b 最大，因为1211,2,12b b b k ==>∴>，所以11k k kk b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，即()()()())3333133331121122121122k k k k k k k k k k k k k k k -+⎧-≥⎪⎧⎧≥-≥-⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨≥+≥++⎪⎪⎩≥⎪⎩，解得 4.853.85k k ⎧≤≈⎪⎪⎨⎪≥≈⎪⎩，又Z k ∈，所以4k =，所以使{}n b 取得最大项时n 的值为4.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =.（1）已知O 为PC 中点，求证：AO ⊥平面PBD ；（2）求平面DPC 与平面PCB 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）取PB 中点E ，根据线面垂直的判定与性质，结合等腰三角形三线合一性质的应用可分别证得AO PB ⊥，AO BD ⊥，由此可得结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】取PB 中点E ，连接,,AE OE AC ，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，BC AB ⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，,BD BC ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，PA BC ⊥；AB PA A ⋂= ，AC PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，,AC PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAB ，BD ⊥平面PAC ，又,O E 为,PC PB 中点，//OE BC ∴，OE ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAC ，PB OE ∴⊥，AO BD ⊥；PA AB = ，E 为PB 中点，AE PB ∴⊥；AE OE E = ，,AE OE ⊂平面AOE ，PB ∴⊥平面AOE ，又AO ⊂平面AOE ，PB AO ∴⊥，PB BD B = ，,PB BD ⊂平面PBD ，AO ∴⊥平面PBD .【小问2详解】以A 为坐标原点，,,AD AB AP正方向为,,x y z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，不妨设1==PA AB ，则()0,0,1P ，()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,1,0B ，()1,0,1DP ∴=- ，()0,1,0DC = ，()0,1,1BP =- ，()1,0,0BC =，设平面DPC 的法向量(),,n x y z =，则00DP n x z DC n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，解得：0y =，1z =，()1,0,1n ∴= ；设平面PCB 的法向量(),,m a b c =，则0BP m b c BC m a ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1b =，解得：0a =，1c =，()0,1,1m ∴=；1cos ,2m n m n m n ⋅∴===⋅，即平面DPC 与平面PCB 夹角余弦值为12，∴平面DPC 与平面PCB 的夹角为π3.17.已知椭圆22:12x C y +=，直线:2l x =与x 轴交于点P ，过点P 的直线与C 交于,A B 两点（点A 在点B的右侧）．（1）若点A 是线段PB 的中点，求点A 的坐标；（2）过B 作x 轴的垂线交椭圆于点D ，连AD ，求AOD △面积的取值范围．【答案】（1）514(,)48±；（2）(0,2.【解析】【分析】（1）设点00(,)A x y ，表示出点B ，代入椭圆方程建立方程组，求解方程组即可.（2）设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理探求直线AD 过定点，进而设出直线AD 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的函数关系求解即得.【小问1详解】依题意，(2,0)P ，设点00(,)A x y ，由点A 是线段PB 的中点，得()0022,2B x y -，由点,A B 都在椭圆C 上，得2200220012(22)412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得00548x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以点A的坐标为5(,)48±.【小问2详解】依题意，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()()112233(2),0,,,,,,y k x k A x y B x y D x y =-≠，由点A 在点B的右侧，得21x x <<<由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)8820k x k x k +-+-=，由422648(12)(41)0k k k ∆=-+->，得,022k k -<<≠，22121222882,1212k k x x x x k k-+==++，则有()1212322x x x x +-=，显然22(,)D x y -，直线AD 的方程为：212212()(()())y y x x x x y y +-=-+，当1x =时，122112121212123()420y y x y x y x x x x y k x x x x +--+--==⋅=--，因此直线AD 过定点(1,0)，设直线AD 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(2)210m y my ++-=，则2244(2)0m m '∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++，于是212212m AD y m +=-=+，点O 到直线AD的距离d =因此1||122AODS AD d =⋅==≤，当且仅当0m =时取等号，而当0m =时，直线AB 与椭圆相切，不符合题意，所以AOD △面积的取值范围为(0,)2.18.一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶，（1）小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率；（2）若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望．【答案】（1）1146（2）分布列见解析；()2511E X =【解析】【分析】（1）先求出任取2瓶的所有总数和抽取的2瓶饮料中无奖券的总数，再由古典概率求解即可；（2）求出X 的可能取值及其对应的概率，再由均值公式求出期望.【小问1详解】一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，所以无奖券的有21瓶，从中任取2瓶，有224C 276=种结果，其中抽取的2瓶饮料中无奖券，有221C 210=种，所以小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率为：221224C 210661111C 27627646-=-==；【小问2详解】设小明最终获得饮料瓶数为X ，则2,3,4,5X =，则()221224C 210352C 27646P X ====，()11121320212422C C C 63201053C C 27622506P X ==⋅==，()021112121321320212222112422242221C C C C C C C 154+C C C C C 506P X ==⋅⋅⋅=，()02111112132132121222112422242221C C C C C C C 15C C C C C 506P X ==⋅+⋅⋅=，所以X 的分布列为：X2345P3546105506155061506()351051515752523454650650650625311E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.19.对于函数()y f x =的导函数()y f x ='，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()00f tx tf x '=成立，则称()y f x =是“跃然”函数，并称t 是函数()y f x =的“跃然值”．（1）证明：当1t =时，函数()ln exx af x +=是“跃然”函数；（2）证明：()()e xg x x x =+∈R 为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，()0,+∞【解析】【分析】（1）根据题意当1t =时，设()()()12ln 2e xx ax h x f x f x -+'=-=，令()0h x =，即12ln 20x a x -+=，设()12ln 2x x a xϕ=-+，0x >，利用导数判断单调性结合零点存在性定理判断证明；（2）将问题转化为函数()()()G x g tx tg x '=-存在零点，构造函数借助导数和零点存在性定理分0t <，0=t ，0t >三种情况讨论判断证明.【小问1详解】()ln e xx a f x +=Q ，()1ln e xx ax f x --'∴=，当1t =时，设()()()12ln 2e xx ax h x f x f x -+'=-=，令()0h x =，得12ln 20x a x -+=，设()12ln 2x x a x ϕ=-+，0x >，则()2210x x xϕ'=+>，即函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，又()e2e2e 0aaa a a ϕ-=--+=-<，()2222222211e 4222222e e a aa a a a a ϕ+++⎛⎫=++-=+++- ⎪⎝⎭()222132********a a a a a ⎡⎤⎛⎫>++=++=++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又22a a +>，则22e e a a +->，所以存在()220e ,e aa x -+∈使得()00x ϕ=，即()()0f x f x '=，所以函数()ln e xx af x +=是“跃然值”为1的“跃然”函数.【小问2详解】()e x g x x =+Q ，()e 1x g x '∴=+，设()()()G x g tx tg x '=-，则()()e e 1txxG x t t x =-+-，所以()()e e 1txxG x t '=-+，当0=t 时，()1G x =，对x ∈R ，此时不存在0x 使得()()00f tx tf x '=成立，不合题意；当0t <时，因为e =tx y 与e x y =-在R 上均单调递减，所以e e 1tx x y =-+在R 上单调递减，所以()G x '在R 上单调递增，又()00G t '=<，()()()1e e 12e 0tG t t '=-+>->，所以存在()0,1m ∈使得()0G m '=，即e e 10tm m -+=，当(),x m ∈-∞时，()0G x '<，即()G x 单调递减，当(),x m ∈+∞时，()0G x '>，即()G x 单调递增，()()()()e e 11e 1tm m m G x G m t t m t tm t ∴≥=-+-=-+--，又e 1x y x =--，则e 1x y '=-，所以当(),0x ∈-∞时，0'<y ，即函数单调递减，当()0,x ∈+∞时，0'>y ，即函数单调递增，e 10x y x ∴=--≥，即得e 1x x ≥+.所以()()()11120G x t m tm t m t ≥-++--=->，此时不存在0x 使得()()00f tx tf x '=成立，不合题意；当0t >时，若0x ≤，则e e 10tx x -+>，从而()()e e 10tx x G x t '=-+>，所以()G x 在(],0-∞上单调递增，当0x >时，设()e e 1tx x M x =-+，则()()()1e e e e 1t x tx x x M x t t -'=-=-，设()()1e 1t x N x t -=-，当1t >时，()N x 在()0,∞+上单调递增，且()010N t =->，所以()()00N x N >>，从而()0M x '>，所以()M x 在()0,∞+上单调递增，所以()()010M x M >=>，所以()0G x '>，所以()G x 在R 上单调递增，又()0120G t =-<，因为e e x y x =-，当1x >时，e e 0x y '=->，所以e e x x >，则()1e e 0tG t =->，由零点存在性定理，存在()00,1x ∈使得()00G x =，即()()00f tx tf x '=成立，符合题意；当1t =时，()1G x x =-，显然存在零点01x =，使得()()00f tx tf x '=成立，符合题意；当01t <<时，易知()()1e 1t x N x t -=-在()0,∞+上单调递减，()010N t =-<，所以()0N x <，从而()0M x '<，所以()M x 在()0,∞+上单调递减，又()010M =>，x →+∞时，()M x →-∞，所以存在()0,n ∈+∞，使得()0M n =，即()0G n '=，所以当(),x n ∈-∞时，()0G x '>，即()G x 单调递增，当(),x n ∈+∞时，()0G x '<，即()G x 单调递减，又()1e e 0tG t =->，x →-∞时，()G x →-∞，由零点存在性定理，存在()0,1x ∈-∞使得()00G x =，即()()00f tx tf x '=成立，符合题意；综上，()g x 为“跃然”函数，该函数“跃然值”的取值范围为()0,∞+.【点睛】思路点睛：本题的第一问，根据“跃然”函数的定义将问题转化为证明函数()()()12ln 2e xx a x h x f x f x -+'=-=存在零点，利用导数判断单调性和零点存在性定理求解证明；第二问，设()()()G x g tx tg x '=-，则()()e e 1tx x G x t '=-+，当0=t 时，()1G x =，显然不合题意，当0t <时，利用导数和零点存在性定理可证()0G x >，不合题意，当0t >时，在分01t <<，1t =，1t >三种情况分别讨论判断证明.。
安徽省“江南十校”2020届高三数学下学期4月综合素质检测试题理含解析
安徽省“江南十校”2020届高三数学下学期4月综合素质检测试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.已知集合{}{}234,870A x x x B x x x =<+=-+<，则A B =（ ）A. (1,2)-B. (2,7)C. (2,)+∞D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合,A B 对应的不等式的解集，然后取交集即可.【详解】由题意，{}{}342A x x x x x =<+=<，{}{}287017B x x x x x =-+<=<<，所以{}12AB x x =<<.故选：D.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A. 58厘米 B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米【答案】B 【解析】 【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B .【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 4.函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A. B. C.D.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ，故选：C .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 5.若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A. 3-B. 2-C. 1-D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. b c a >>B. a b c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log 2log 32<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 7.执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A. 112-B.2360C.1120D.4360【答案】D 【解析】 【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.8.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A .15B.13C.35D.23【答案】A 【解析】 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题. 9.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A. 24()27B. 34()27C. 44()27D. 54()27【答案】D 【解析】 【分析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=.当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >， 则12n a a a 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ）D. 2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近线的距222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 11.已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==.对于①，因为12min1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-， 因π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确； 对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.12.如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A. 12B. 2C.23D.163【答案】C【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCEPCEV V V S BD S ---=+=⋅=，当PCES最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCES PC EF PE =⋅=-，求出PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PECE E =，所以BD ⊥平面PCE ，所以1833P BCD B PCE D PCE PCEPCEV V V S BD S ---=+=⋅=，当PCES最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，所以2112PCES PC EF PE =⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯162=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.【答案】320x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】因为1()2f x x x'=+， 所以(1)3k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为13(1)y x -=-， 整理为320x y --=， 故答案为：320x y --=【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.14.若200,50x x ∃∈-<R 为假，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(],4-∞ 【解析】 【分析】由200,50x x ∃∈-<R 为假，可知2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤对任意实数x 2的最小值，令2min a ≤即可.【详解】因为200,50x x ∃∈-<R 为假，则其否定为真，即2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤x 恒成立，所以2min a ≤.24=≥，=即x =时，等号成立，所以4a ≤. 故答案为：(],4-∞.【点睛】本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.15.在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||310OC =OC 的坐标为___________.【答案】(3,9)- 【解析】 【分析】点C 在AOB ∠的平分线可知OC 与向量||||OA OBOA OB +共线，利用线性运算求解即可. 【详解】因为点C 在AOB ∠的平线上，所以存在(0,)λ∈+∞使3439(0,1),,5555||||OA OB OC OA OB λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而||(OC =-= 可解得5λ=， 所以(3,9)OC =-， 故答案为：(3,9)-【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题. 16.已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.【答案】)4⎡⎣ 【解析】 【分析】连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，可得四边形PAMB 的面积为12PM AB PA MA ⋅=⋅，从而可得22441PA MA AB PM PM ⋅==-，进而求出PM 的取值范围，可求得AB 的范围.【详解】如图，连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，所以四边形PAMB 的面积为12PM AB ⋅，且四边形PAMB 的面积为三角形PAM 面积的两倍，所以12PM AB PA MA ⋅=⋅，所以22442441PM PA MA AB PM PM PM-⋅===-，当PM 最小时，AB 最小，设点(,)P x y ，则2222(3)69429PM x y x x x x x =-+=-++=-+，所以当1x =时，min22PM=，则min 441228AB =-=， 当点(,)P x y 的横坐标x →+∞时，PM →+∞，此时4AB →， 因为AB 随着PM 的增大而增大，所以AB 的取值范围为)22,4⎡⎣. 故答案为：)22,4⎡⎣.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且πsin sin()3c B b C =-+. （1）求角C 的大小； （2）若3c a b =+=，求AB 边上的高.【答案】（1）2π3；（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，可得πsin sin()3C C =-，展开并整理可得πsin()16C -=，从而可求出角C ；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，进而可得2()7a b ab +-=，由3a b +=，可求出ab 的值，设AB 边上的高为h ，可得ABC 的面积为11sin 22ab C ch =，从而可求出h . 【详解】（1）由题意，由正弦定理得πsin sin sinsin()3C B B C B =-. 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以πsin sin()3C C =-，展开得1sinsin 2C C C =-πsin()16C -=.因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，故ππ62C -=，即2π3C =.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，则227a b ab ++=，得2()7a b ab +-=，故2()7972ab a b =+-=-=，故ABC 的面积为12πsin sin 232ab C ==. 设AB 边上的高为h h =，故h =， 所以AB 边上的高为7. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,24,2AB CD CD AB AD ===，PAB △为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）149【解析】 【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF BF ，易得//,2EF CD CD EF =，进而可证明四边形ABFE 为平行四边形，即//AE BF ，从而可证明//AE 平面PBC ；（2）取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ ，易证PO ⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，从而可知,,AB OQ OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面PAD 的法向量(,,)m x y z =，及平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，由cos ,m n m n m n=⋅⋅，可求得平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图1，取PC 的中点F ，连接,EF BF .,PE DE PF CF ==，//,2EF CD CD EF ∴=， //,2AB CD CD AB =，//AB EF ∴，且EF AB =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//AE BF ∴.又BF ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，//AE ∴平面PBC .（2）如图2，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ .,,OA OB CQ DQ PA PB ===，,PO AB OQ AB ∴⊥⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ∴⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，,,AB OQ OP ∴两两垂直.以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由,2PA PB AB ⊥=，可得1,2OA OB OP DQ CQ =====， 在等腰梯形ABCD 中，2,4,2AB CD AD ===1OQ =，11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(,1,)22O A B C P D E ∴---.则(0,1,1),(1,1,0)AP AD ==-，11(1,1,0),(,2,)22BC EB ==--，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则0m AP y z m AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)m =-. 设平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，则0112022n BC a b n EB a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取1b =-，得(1,1,5)n =--.因为1155m n ⋅=-+=，3m =，33n =，所以cos ,59333m n m n m n==⋅⋅=⨯，所以平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值为255621419819⎛⎫-== ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题.19.一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2n Q Q =. ①求2Q ；②当*N n ∈时，记111,2n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①34；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量X 的分布列和数学期望；（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得2Q ；②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，可知当3n ≥且*N n ∈时，121122n n n Q Q Q --=+，结合112n n n A Q Q +=+，可推出12111122n n n n n n A Q Q Q Q A ++++=+=+=，从而可证明数列{}n A 为常数列；结合1n n n B Q Q +=-，可推出121111()22n n n n n n B Q Q Q Q B ++++=-=--=-，进而可证明数列{}n B 为等比数列.【详解】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率也为12， 则4142444111113(4)(),(5)(),(6)()2162428P X P X C P X C =====⨯===⨯=， 3444441111(7)(),(8)()24216P X C P X C ==⨯===⨯=.所以变量X 的分布列为：故变量X 的数学期望为11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为22113()224Q =+=. ②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，故3n ≥且*N n ∈时，有121122n n n Q Q Q --=+， 则*N n ∈时，211122n n n Q Q Q ++=+，所以1211111111122222n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++++==+=+=，故数列{}n A 为常数列； 又1211111111111()222222n n n n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q Q Q B +++++++=-=+-=-+=--=-， 121311424B Q Q =-=-=，所以数列{}n B 为等比数列.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，且过点73(,)24，点P 在第一象限，A 为左顶点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）22,⎭【解析】 【分析】（1）由题意得2222232791416c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，求出22,a b ，进而可得到椭圆E 的方程；（2）由（1）知点A ，B 坐标，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，易知102k <<，可得点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到关于y 的一元二次方程，结合根与系数关系，可用k 表示P 的坐标，进而由,,P B D 三点共线，即BD PB k k =，可用k 表示D 的坐标，再结合CD AB k k =，可建立方程，从而求出k 的值，即可求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意得22222791416c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -， 由题意可设直线AP 的斜率为k ，则102k <<，所以直线AP 的方程为(2)y k x =+，则点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +++-=. 设11(,)P x y ，则212164214k x k --⋅=+，所以2128214k x k -=-+， 所以2122824(2)1414k k y k k k -=-+=++，所以222824(,)1414k kP k k--++. 设D 点的坐标为0(,0)x ，因为点,,P B D 三点共线，所以BD PB k k =，即2202411148214kk k x k ++=--+，所以02412k x k -=+，所以24(,0)12k D k -+. 因为//CD AB ，所以CD AB k k =，即2124212k k k=---+，所以24410k k +-=，解得12k -=， 又102k <<，所以k =计算可得228214k k --=+2414k k =+，故点P的坐标为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题. 21.已知函数2()ln ()f x x x ax a =-+∈R .（1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点. 【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由()0f x ≤恒成立，可得ln x a x x≤-恒成立，进而构造函数ln ()xg x x x =-，求导可判断出()g x 的单调性，进而可求出()g x 的最小值min ()g x ，令min ()a g x ≤即可；（2）由221()x ax f x x -++'=，可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，则200210x ax -++=，0012a x x =-，进而可得2000()ln 1f x x x =+-，即曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，进而只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，然后构造函数2()ln 1F x x x kx =+--，分0k ≤、0k <≤k >分别证明函数()F x 在(0,)+∞上有唯一的零点，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意，可知0x >，由()0f x ≤恒成立，可得ln xa x x≤-恒成立. 令ln ()x g x x x =-，则221ln ()x xg x x-+'=. 令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， 0x，()0h x '∴>，2()1ln h x x x ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =，(0,1)x ∴∈时，()0h x <；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即(0,1)x ∈时，()0g x '<；(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，(0,1)x ∴∈时，()g x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，1x ∴=时，()g x 取最小值(1)1g =，1a ∴≤.（2）证明：由2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=，令22(1)x a T x x -=++，由1(0)0T =>，结合二次函数性质可知，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，故()f x 存在唯一的极值点0x ，则200210x ax -++=，0012a x x =-， 22000000()ln ln 1f x x x ax x x ∴=-+=+-， ∴曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-.故只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解.令2()ln 1F x x x kx =+--，则2121()2x kx F x x k x x-+'=+-=，①当0k ≤时，()0F x '>恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.21,e e 1k k ≤≤，22(e )e e 1(1e )e 10k k k k k F k k k ∴=+--=-+-≤，(1)0F k =-≥，∴存在t 满足e 1k t ≤≤时，使得()0F t =.又()F x 单调递增，所以x t =为唯一解.②当0k <≤221x x y k -+=，满足280k ∆=-≤， 则()0F x '≥恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.(1)0F k =-<，333263(e )3e e 1(e e )0k F k =+--=+>-，∴存在3(1,e )t ∈使得()0F t =，又()F x 在(0,)+∞上单调递增，x t ∴=为唯一解.③当k >221x x y k -+=，满足280k ∆=->， 此时()0F x '=有两个不同的解12,x x ，不妨设12x x <，1212x x =⋅，1202x x ∴<<<， 列表如下：由表可知，当1x x =时，()F x 的极大值为21111()ln 1F x x x kx =+--.211210x kx -+=，2111()ln 2F x x x ∴=--，102x <<<，211ln 2x x ∴<+， 2111()ln 20F x x x ∴=--<，21()()0F x F x ∴<<.22222222(e )e e 1(e )e 1k k k k k F k k k k =+--=-+-.下面来证明2e 0k k ->，构造函数2()ln (m x x x x =->，则2121()2x m x x x x-'=-=，∴当)x ∈+∞时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，∴3()8ln 202m x m >=->，∴)x ∈+∞时，2ln x x >，∴2ln e e x x x >=，故2e 0k k ->成立.∴2222(e )(e )e 10k k k F k k =-+->， ∴存在22(,e )k t x ∈，使得()0F t =.又()F x 在2(,)x +∞单调递增，x t ∴=为唯一解.所以，对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，即过原点任意的直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x my k m =-⎧⎨=-⎩为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数)，若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C （1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=，4tan 032παα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠；（2）85【解析】 【分析】（1）将两直线化为普通方程，消去参数k ，即可求出曲线C 的普通方程； （2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>,求出43sin ,cos 55a a ==， 代入曲线C 可求解.【详解】（1）直线1l 的普通方程为()y k x =-,直线2l 的普通方程为2xy k-= 联立直线1l ,2l 方程消去参数k ,得曲线C 的普通方程为2(2)y y x -=- 整理得22(1)1(0)x y x +-=≠.（2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>, 由4tan 032a a π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭可得43sin ,cos 55a a == 代入曲线C 的方程可得2805ρρ-=， 解得8,05ρρ==（舍）， 所以点Q 的极径为85. 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题.23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++在R 上恒成立，分别求函数2()2g x x x =+与()f x 的最小值，根据能同时成立，可得22()x x f x ++的最小值，即可求解.【详解】（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得43x >-，无解；②当-2≤x ≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x >0,故0<x ≤1; ③当x >1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x <2,故1<x < 2. 综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x << （2）由题意知22()m x x f x ++在R 上恒成立， 所以()2min 2()xmxx f x ++令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-又当21x -时，()f x 取得最小值，且min ()3f x = 又1[2,1]-∈-所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值. 所以()2min2()132x x f x ++=-+=所以2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.。
安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题含答案
2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1.下列关系中，正确的是（）A.e ∈RB.{}1,2∅∈C.{}01x x ∉>- D.{}{}200x x x x≤⊆>【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可.【详解】对于A ，e 为无理数，e ∴∈R ，A 正确；对于B ，{}1,2∅⊆，B 错误；对于C ，01>- ，{}01x x ∴∈>-，C 错误；对于D ，由20x >得：0x <或0x >，{}0x x ∴≤不是{}20x x >的子集，D 错误.故选：A.2.设命题p ：x ∀∈R ，()()150x x +->，则命题p 的否定是（）A.x ∃∈R ，()()150x x +->B.x ∃∈R ，()()150x x +-<C.x ∀∈R ，()()150x x +-≤D.x ∃∈R ，()()150x x +-≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：命题p 的否定是：x ∃∈R ，()()150x x +-≤.故选：D.3.“[]1,2x ∀∈-，220x a -≤”恒成立的一个充分不必要条件是（）A.0a ≤B.1a ≤C.3a ≥D.2a ≥【答案】C 【解析】【分析】根据恒成立求解2a ≥，即可根据集合间的关系求解.【详解】若对[]1,2x ∀∈-，220x a -≤恒成立,则()2max2xa ≤，故242a a ≥⇒≥，由于{}3a a ≥是{}2a a ≥的真子集，所以符合题意，选项AB 是既不充分也不必要条件，D 是充要条件，故选：C4.已知实数 a b >， 0c >，则下列不等式一定成立的是（）A. a c b ->B.c ca b > C.a bc c > D.a bc c>【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质可知A 错误，利用特殊值代入可得BC 不一定成立，根据不等式性质可证明D 正确.【详解】由题意可知0a b ->，但a b c ->不一定成立，即a c b ->不一定成立，A 错误；不妨取1,2,2a b c =-=-=，此时14c c a b =<=，即c c a b >不一定成立，B 错误；当1c =时，显然a b c c =，此时a b c c >不一定成立，C 错误；由0c >可知10c >，又a b >，所以11a b c c ⋅>⋅，即a b c c>；即D 正确.故选：D5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.9B.8C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.【详解】设OB r =，OA R =，则123l Rl r==，则3R r =∴1212912OAD OBCl R S S l r ==扇扇，故128S S =.故选：B6.函数()344x xx f x -=-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数()f x 为偶函数，且()10f >，即可求解.【详解】由函数()344x x x f x -=-，可得()()33()4444x x x xx x f x f x ----===--，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C 、D 项；又由()41015f =>，可排除B 项，所以A 符合题意.故选：A.7.已知()121cos60a =-︒，3log 2b =，b c a =，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值，结合对数函数与指数函数的性质即可得解.【详解】因为()1122121cos60122a ⎛⎫=-︒==< ⎪⎝⎭，则322a =>，而33033log 2log 82b <==<，所以01b a <<<，所以1b c a a a =>=，故b a c <<.故选：B.8.已知函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+的解集为（）A.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D.33,42⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40x t =>，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到()()21log 221xxf x -+=+-，设()()2log 221xx g x -=+-，得到()g x 为偶函数，求得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，把不等式转化为3131x x -<+-，即可求解.【详解】解法1：由函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+，即为()()()31222log 413log 413x x x x -++-<+-+，可得()()31222log 41log 4123x x x -++<++-，即()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40xt =>，则()3116148t t t +<+，即()()28210t t --<，解得82t <<，即482x<<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法2：由函数()()12log 41x f x x -=+-，可得()()()221log 411log 221xxxf x x -+=+--=+-，设()()2log 221xxg x -=+-，则()()()2log 221xx g x g x --=+-=，所以函数()g x 为偶函数，即()1y f x =+为偶函数，可得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，所以不等式()()33f x f x <+，即为3131x x -<+-，可得2296144x x x x -+<++，即281030x x --<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++的定义域为R ，则[]0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞【答案】AD 【解析】【分析】A 由幂函数及其单调性求参数；B 由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C 根据定义域及二次函数性质求参数范围；D 换元法及二次函数性质求值域.【详解】A ：()f x 是幂函数，则211m m --=，得2m =或1m =-，又()f x 在()0,∞+单减，故1m =-，对；B ：由复合函数单调性有220x x ->且1x ≥，所以单增区间是()2,+∞，错；C ：定义域为R ，则0a =或204Δ40a a a a ≠⎧⇒≤<⎨=-<⎩，错；D ：令0t =，则()22()24155f x y t t t ==-++=--+≤，对.故选：AD10.下列选项中，结果为正数的有（）A.sin1cos1+B.sin2cos2+C.sin3cos3+D.sin4cos4+【答案】AB 【解析】【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.【详解】由π012<<，可得sin10,cos10>>，所以sin1cos10+>，所以A 正确由π3π23π24<<<<，可得sin 20,sin 30,cos 20,cos30>><<且sin 2cos 2,sin 3cos3><，所以sin2cos20+>，sin3cos30+<，所以B 正确，C 错误；由3ππ42<<，可得sin40,cos40<<，所以sin4cos40+<，所以D 错误.故选：AB.11.已知正数a ，b 满足2ab a b =++，则（）A.a b +的最小值为2+B.ab 的最小值为1+C.11a b+1 D.3a b +的最小值为10【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为,a b 为正数，A 项，()()2224802a b ab a b a b a b +⎛⎫=++≤⇒+-+-≥ ⎪⎝⎭2a b ⇒+≥+2a b +≤-，当1a b ==+时取等，故A 正确；B 项，22ab a b =++≥+⇒20ab -≥，1≥1≤-，即(21ab ≥+，当且仅当1a b ==+时取等，故B 错误；C 项，1122111a b ab a b ab ab ab +-+===-≥-=，当且仅当1a b ==+时取等，故C 正确；D 项，()()()()234211313392a b ab a b a b a b +-⎛⎫=++⇒--=⇒--=≤ ⎪⎝⎭，解得310a b +≥（负值舍去），当且仅当4a =，2b =时取等，故D 正确.故选：ACD .12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，[]2.73-=-，则（）A.()[]f x x x =-的值域是[)0,1B.方程[][][]2023xy x y =+有无数组解C.()[]f x x x =是单调函数D.方程[]220x x --=有3个根【答案】ABD 【解析】【分析】根据高斯函数的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，设01t ≤<，则[]x x t =+，则()[][0f x x x t =-=∈,1)，即()f x 的值域为[0,1)，故A 正确．当2023x α=+，2023y β=+，01,01αβ<<<<且1αβ+=时,[]()()()22220232023202320232023202320232023,xy αβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=+++=++=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][][]2202320232023x y αβ=++=，所以[][][]2023xy x y =+，故B 正确；当()0,1x ∈时，此时()0f x =，故C 错误；[]22x x x -=≤22012x x x ⇒--≤⇒-≤≤，当[)[]1,0,1x x ∈-=-，则[]2211x x x -==-⇒=-，当[)[]0,1,0x x ∈=，则[]220x x x -==⇒=，当[)[]1,2,1x x ∈=，则[]221x x x -==⇒=，当2x =时，[]2222x x x -==⇒=，故D 正确，故选：ABD第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，则()21y f x =-的定义域是__________.【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用复合函数定义域求解.【详解】因为函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，即23x ≤≤，所以425x ≤+≤，若求函数()21y f x =-的定义域，则有4215x ≤-≤，解得532x ≤≤，所以()21f x -的定义域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知()12xf x +=，则()2log 2024f =______.【答案】1012【解析】【分析】根据题意，令21log 2024x +=，求得x ，代入计算，即可得到结果.【详解】令21log 2024x +=，则22log 20241log 1012x =-=，所以()2log 10122log 202421012f ==故答案为：101215.若21(0)x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则bk的最大值为______.【答案】1-【解析】【分析】构造函数，根据恒成立得到214k b ≤--，14b k k k ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】令()()210f x x kx b k =--->，()210x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则()2min1024k k f x f b ⎛⎫==---≥ ⎪⎝⎭，即得214k b ≤--，故21144k b k k k k +⎛⎫≤-=-+ ⎪⎝⎭，又0k >，故114k k +≥=（当且仅当2k =时取等），所以bk的最大值为1-.故答案为：1-.16.已知()21,0ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若()()220f x af x -+=有六个根，则实数a 的取值范围是______.【答案】()【解析】【分析】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，列出不等式组，即可求解.【详解】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，设函数()22g t t at =-+的零点分别为12,t t ，由图象知，要使得()()220f x af x -+=有六个根，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，则满足()()()2Δ801302620122a g a g a a ⎧=-->⎪=->⎪⎪⎨=-≥⎪⎪<<⎪⎩，解得3a <<，所以实数a的取值范围是().故答案为：().四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1tan 2α=-，且α为第二象限角（1）求sin α，cos α；（2）求()()sin 3ππsin cos π2ααα-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）cos 5α=-，sin 5α=（2）14-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，由正切值求正弦值和余弦值；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】由sin 1tan cos 2ααα==-得1sin cos 2αα=-，代入22sin cos 1αα+=得24cos 5α=，又α为第二象限角，得25cos 5α==-，sin 5α=【小问2详解】由诱导公式，有()()sin 3πsin sin tan 1πcos cos 2cos 24sin cos π2ααααααααα-====-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.18.已知集合{}24A x x =-≤≤，集合{}2132B x a x a =-≤≤+（1）若2a =，求A B ⋃和()R A B I ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}28A B x x ⋃=-≤≤，(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð（2）45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}38B x x =≤≤，所以{}28A B x x ⋃=-≤≤，{|3B x x =<R ð或}8x >，所以(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð.【小问2详解】当B =∅时，即2132a a ->+，即3a <-，满足A B ⋂=∅；当B ≠∅时，即3a ≥-，由A B ⋂=∅得2143a a ->⎧⎨≥-⎩或3223a a +<-⎧⎨≥-⎩，解得52a >或433a -≤<-；综上，45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .19.已知函数()()3,3x x n f x m n m+=∈+R 是R 上的奇函数（1）求m ，n 的值；（2）判断并证明()f x 在R 上的单调性.【答案】（1）1m =，1n =-（2）()f x 是R 上单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义()()f x f x -=-，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-又()()3113133133x x xx x x f x f x m m m------===-=+++恒成立，所以1m =，即1m =，1n =-【小问2详解】()f x 是R 上的递增函数证明如下：由（1）知，()31213131x x x f x -==-++，在R 上任取1x ，2x ，不妨令12x x >，则()()121222113131x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()12212111332231313131x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，因为12x x >，所以12330x x ->，所以()()120f x f x ->，所以()f x 是R 上单调递增函数20.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()243,0270,2521x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写出单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()()284330,02147030,2521x x x f x x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出()f x 的最大值.【小问1详解】由题意可知，()()()284330,022*********,2521x x x f x W x x x x x x ⎧+-≤≤⎪=-=⎨-<≤⎪+⎩，【小问2详解】当02x ≤≤时，()()225698184330842828f x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，对称轴5x 28=，则()f x 在50,28⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,228⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x 的最大值为()2528f =，当25x <≤时，()()14707353075015212121x f x x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦750540≤-，当()735152121x x =++，即3x =时取等号，有最大值540元，因为528540<，所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.21.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，（1）求()0f ，并证明()()2F x f x =+为奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调递增函数，且()12f =，解不等式：()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）()02f =-，证明见解析（2）()(),12,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）赋值法求出()02f =-，再由奇偶函数定义证明奇偶性即可；（2）根据抽象函数性质化简，再由单调性脱去“f ”，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】令0x y ==，得()02f =-，()()2F x f x =+定义域为R ，关于原点对称，令y x =-，得()()()02f f x f x =+-+，所以()()40f x f x +-+=,即()()0F x F x +-=，所以()()2F x f x =+是奇函数.【小问2详解】因为()()()221212f x x f x f x x ++-=-+-，所以原不等式等价于()2110f x x -+>，又()12f =，所以()26f =，()310f =，即()()213f x x f -+>，又()f x 是R 上的递增函数，所以213x x -+>，解得2x >或1x <-，原不等式的解集为()(),12,-∞-+∞ .22.若()221(0)f x x ax a =-+>在[],m n 上的值域是[],m n 的子集，则称函数()f x 在[],m n 上是封闭的.（1）若()f x 在[]0,2上是封闭的，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,t 上是封闭的，求实数t 的最大值.【答案】（1）3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）32【解析】【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在[]0,2上的值域，利用分类讨论思想可得结果；（2）根据新的定义，即求二次函数在[]0,t 上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.【小问1详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当02a <<时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,2f x f f =因为()f x 在[]0,2上是封闭的，则有()()()2012254210f f a f a a ⎧=<⎪=-≤⎨⎪=-+≥⎩，解得314a ≤≤；当2a ≥时，()f x 在[]0,2上为减函数，则有()()0122540f f a ⎧=≤⎪⎨=-≥⎪⎩，解得54a ≤，又2a ≥，故无解；综上，a 的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当0a t <≤时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,f x f f t =因为()f x 在[]0,t 上是封闭的，则有()()()22012110f t f t t at t f a a ⎧=≤⎪=-+≤⎨⎪=-+≥⎩，解得112101t a t t a ≥⎧⎪⎪+≥+⎨⎪<≤⎪⎩，依题意有112t t +-≤，解得3322t -≤≤，所以312t +≤≤，当a t >时，()f x 在[]0,t 上为减函数，则有()()20110f t f t t at ⎧=≤⎪⎨=-+≥⎪⎩，所以122t a tt<≤+，即11t tt<⇒<（舍去）综上，t的最大值是32 +.。
安徽省江南十校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷 Word版含解析
2024年“江南十校”高二年级联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 等差数列中，，，则（）A. B. C. 0D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的性质求解即可.【详解】由等差数列性质得：，即，又，即，故．故选：C2. 安徽省某市石斛企业2024年加入网络平台直播后，每天石斛的销售量（单位：盒），估计300天内石斛的销售量约在1950到2050盒的天数大约为（ ）（附：若随机变量，则，，）A. 205B. 246C. 270D. 286【答案】A{}n a 12318a a a ++=53a =8a =2-1-2318a =26a =8252a a a +=866a +=80a =()~2000,2500X N ()2~,X N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()22P X μσμσ-≤≤+0.9545≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈【解析】【分析】由题意可得，进而由可得结论.【详解】由，所以，所以销售量约在1950到2050盒的概率为，所以由可知大约有205天．故选：A.3. 已知，，圆M 经过A ，B 两点，且圆的周长被x 轴平分，则圆M 的标准方程为（ ）A B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.【详解】由题意，中点为，所以线段的中垂线为，令得，所以，半径，所以圆M 的标准方程为．故选：B.4. “一带一路”2024国际冰雪大会中国青少年冰球国际邀请赛在江苏无锡举行，现将4名志愿者分成3组，每组至少一人，分赴3个不同场馆服务，则不同的分配方案种数是（ ）A. 18 B. 36 C. 54 D. 72【答案】B【解析】【分析】先将4人分成3组，一组2人，一组1人，一组1人，再分配.【详解】将4人分成3组，一组2人，一组1人，一组1人，分法有种，再分配给3个.2000,50μδ==0.6827300204.81⨯=(2000,2500)X N 2000,50μδ==()0.6827P X μδμδ-≤≤-=0.6827300204.81⨯=()4,0A (B 22532x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝()2224x y -+=224x y +=()2214x y -+=AB x ABk ==AB 52⎛ ⎝AB 52y x ⎫-=-⎪⎭0y =2x =()2,0M 2r =()2224x y -+=24C不同场馆有，所以不同的分配方案种数种．故选：B.5. 在棱长均相等的正三棱柱中,E 为棱AB 的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】本题线面角的定义,作出线面角,根据勾股定理算出线面角所在直角三角形的边长,进而求出正弦值.【详解】过E 作,F 为垂足,连接,则为直线与平面所成角,设三棱柱的棱长为2,则,∴故选：A33A 2343C A 36⋅=111ABC A B C -1B E 11BB C C 13EFBC ⊥1B F 1EB F ∠1B E 1B C EF =1B E =1sin EB F ∠=6. 已知是各项均为正数的等比数列，若，，，则数列的最小项为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设公比为，可得，可求的通项公式，进而可得，进而可得时，，可得结论.【详解】由，，是各项均为正数的等比数列，设其公比为，则有，解得或（舍去），所以，，由得，所以时，，又，，，故最小．故选：B.7. 已知抛物线的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于P ，Q 两点，若，则直线l 倾斜角的正弦值为（ ）A.B.C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】由抛物线的定义作出图象，结合几何关系求出即可.{}n a 13a =339S =3nn a b n={}n b 2b 3b 5b 7b q 233339q q ++={}n a 33n n b n=3n ≥1n n b b +≥13a =339S ={}n a q 233339q q ++=3q =4q =-3nn a =33n n b n =31311n nb n b n +⎛⎫=> ⎪+⎝⎭2n >3n ≥1n n b b +≥13b =298b =31b =3b 24x y =2FP QF =1312【详解】过P ，Q 分别作，垂直于准线，垂足分别为，，过Q 作，垂足为R ，设，则，，．故选：A.8. 已知函数，若在上单调，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】先判断函数为奇函数，根据奇函数的性质有：要使函数在上单调，只要函数在上单调，对函数求导，代特殊值求得，结合函数在上单调，可知在上恒成立，即可知，确定值并检验即可求解.【详解】因为，且，所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调；又，且，又函数在上单调，故函数在上只能单调递减，PP 'QQ 'P 'Q 'QR PP '⊥FQ r =2FP r =QQ r '=1sin 33PR r PR r PQR PQr =⇒∠===()sin cos f x a x x x =+()f x []π,π-[]0,1[)1,-+∞(],1-∞-{}1-()f x []π,π-()f x []0,πππ022f ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭[]0,π[]0,π()0f x '≤()()()010π10f a f a ⎧=+≤⎪⎨=-+≤''⎪⎩a[]π,πx ∈-()()()()sin cos sin cos f x a x x x a x x x f x -=---=--=-()f x ()f x []π,π-()f x []0,π()()1cos sin f x a x x x =+-'ππ022f ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭()f x []0,π()f x []0,π由，即，解得，当时，，时，，，故有在上恒成立，经检验知，时符合题意．故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数的单调性，判断出导数的取值情况，由此确定值并检验.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知函数，下列关于的说法正确的是（ ）A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 有且仅有一个零点D. 存在极大值点【答案】BC 【解析】【分析】利用导数的正负的单调性和极值，即可判断ABD ；令可判断D.【详解】对于AB ，由题意知函数的定义域为，所以，令，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；故A 错误.B 正确；对于D ，由上可知，是的极小值点，无极大值点.故D 错误；令，得，当时，，故为的唯一零点，故C 正确．()()()010π10f a f a ⎧=+≤⎪⎨=-+≤''⎪⎩11a a ≤-⎧⎨≥-⎩1a =-1a =-()sin f x x x '=-[]0,πx ∈0x -≤sin 0x ≥()sin 0f x x x '=-≤[]0,πx ∈1a =-a ()()1e xf x x =-()f x ()f x ()0,1()f x ()1,+∞()f x ()f x ()f x ()0f x =()()1e xf x x =-R ()()e 1e e xxxf x x x =+-='()0f x '=0x =0x <()0f x '<()f x (),0∞-0x >()0f x '>()f x ()0,∞+0x =()f x ()0f x =1x =1x <()0f x <1x =()f x故选：BC10. 现有甲、乙两个盒子，各装有若干个大小相同的小球（如图），则下列说法正确的是（ ）A. 甲盒中一次取出3个球，至少取到一个红球的概率是B. 乙盒有放回的取3次球，每次取一个，取到2个白球和1个红球的概率是C. 甲盒不放回的取2次球，每次取一个，第二次取到红球的概率是D. 甲盒不放回的多次取球，每次取一个，则在第一、二次都取到白球的条件下，第三次也取到白球的概率是【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项利用超几何分布求概率公式即可计算；B 根据二项分布求概率公式计算即可；C 选项、D 选项利用全概率公式与条件概率公式即可求解.【详解】对于A ，记“甲盒中取3球至少一个红球”，则，故A 正确；对于B ，记“乙盒有放回的取3次球，取到2个白球”，则，故B 正确；对于C ，记“甲盒不放回第i 次取到红球”，则，故C 正确.对于D ，，故D 不正确.故选：ABC.1621381337A =()3639C 161C 21P A =-=B =()32313C 28P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭=i A ()()()()()()21212121121||P A P A A A P A P A A P A P A A =+=⋅+⋅3263198983=⨯+⨯=()()()312312126544987|65798P A A A P A A A P A A ⨯⨯===⨯11. 达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化为图3所示的几何体，图3中每个正方体的棱长为1，E ，F 为棱，AB 的中点，则（ ）A. 点P 到直线CQ 的距离为2B. 直线平面C. 平面和平面D. 平面截正方体【答案】ABD 【解析】【分析】由余弦定理可求得，可求P 到CQ 的距离的距离，判断A ；以点D为坐标原点，以DA ，DC ，所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，利用向量法平面，判断B ；结合B ，可求得到平面的距离，到平面的距离，可求得平面与平面的距离，判断C ；连接并延长交CD 延长线于U ，连接UF 交AD于V ，交CB 的延长线于W ，可得截面为，求得截面的周长判断D.【详解】由勾股定理可得，由余弦定理得，得，P 到CQ 的距离为，所以A 正确；选项B ：如图，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，1DD 1AC ⊥1A BD1A BD 11B CD 1C EF 1111ABCD A B C D -45PCQ ∠=︒1DD 1AC ⊥1A BD A 1A BD 1C 11B CD 1A BD 11B CD 1C E 1EVFXC PQ ==PC 3QC ==222cos 2PC QC PQ PCQ PC QC +-∠==45PCQ ∠=︒sin 452PC ⋅︒=1DD则，，，，，∴，设平面的法向量分别为，所以 ，∴，所以平面，故B 正确；选项C ：由B 可知平面，同理可证平面，易求，设到平面的距离为，由，可得，所以，解得，所以到平面到平面所以平面与平面C 不正确；选项D ：连接并延长交CD 延长线于U ，连接UF 交AD 于V，交CB 的延长线于W ，，，，，的()0,0,0D ()1,0,0A ()10,1,1C ()11,0,1A ()1,1,0B ()11,1,1AC =-1A BD (),,m x y z =()()()()()11,0,1,,01,1,11,1,0,,0DA m x y z x z m DB m x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⇒=--⎨⋅=⋅=+=⎪⎩1AC m ∥1AC ⊥1A BD 1AC ⊥ 1A BD 1AC ⊥11B D C 1AC =A 1A BD d 11A A BD A ABD V V --=1111133A BD A ABD S d S AA -=V V g g 1111sin 601113232d ⨯︒⨯=⨯⨯⨯⨯d =A 1A BD 1C 11B CD 1A BD 11B CD =1C E 1C E ==152263ED EV DV ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩1312AV VF AF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩1214FB FX BX ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，所以D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：求点到面的距离，常用等体积法转化为一个面上的高的方法处理，求截面周长，关键是作出截面图形.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 展开式中的常数项为______．【答案】135【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解.【详解】展开式的通项为，令，所以常数项为，故答案为：13513. 已知函数，其中，若是的极小值点，则实数a 的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求导可得，由是的极小值点，结合已知可得，求解可得实数的取值范围.【详解】因为函数的定义域为，求导得，111115344B C C X B X =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩5564++++=63x ⎛- ⎝63x ⎛- ⎝(){}3662613,0,1,2,3,4,5,6k k k k C x k ---∈36042k k -=⇒=()442613135C -=()()213ln 312f x x ax a x =-+-0a <3x =()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()()()13ax x f x x--'-=3x =()f x 13a-<a ()f x (0,)+∞()()()()()231313331ax a x ax x f x ax a x x x-+-+--'-=-+-==令，可得或，因为是的极小值点，又，所以，从而．所以实数的取值范围为.故答案为：14. 过双曲线的左焦点F 作渐近线的垂线，与双曲线及渐近线的交点分别为A ，B ，点A ，B 均在第二象限，且A 为线段FB 的中点，则______．【答案】1【解析】【分析】首先利用点到直线的距离公式计算出，进而得到，在根据双曲线的定义计算出，然后在中使用余弦定理即可求解。
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷含解析
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．982．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．125．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．3CD ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x-=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=8．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<9．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（ ）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．33m ≤-D ．4m ≤10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．96011．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．332- D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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安徽省“江南十校”2024年高三下学期期末考试数学试题（A 卷）注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =D ．y =2．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．22 3．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919 B ．1009 C ．1189 D ．12794．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对5．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB AC C ．12+33AB AC D ．1233AB AC - 6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．62y x =±C ．()32=±-y xD ．()31=±-y x 7．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ） A ．30x y ±= B ．30x y ±= C ．50x y ±= D ．50x y ±=9．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-10．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ）A ．45B ．105C ．150D ．210 11．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．12．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ） A ．523+ B ．523- C ．2133+ D ．2133-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数z 满足(1i)42i +=-z ，其中i 是虚数单位，若z 是z 的共轭复数，则z =____________．14．若2(23)nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）. 15．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.16．设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>，若()f x 在(0,1]上的最大值为12，则a =________. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数()ln (,f x ax x b a b =+为实数)的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-. （1）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()1f xg x x +=，证明()()1212()g x g x x x =<时， 122x x +>.18．（12分）如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12AB BC BB ===，1AD =，3CD =，160ABB ∠=︒.（1）求证：1AB B C ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面11ABB A ，求二面角1D B C B --的余弦值.19．（12分）已知数列{}n a 满足15a =，122n n a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()24n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知函数()()20x ax bx c f x a e++=>的导函数()y f x ='的两个零点为3-和0． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 的极小值为3e -，求()f x 在区间[)5,-+∞上的最大值．21．（12分）设函数()()1f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．22．（10分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F 到准线的距离为3，抛物线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2＝1．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 C ．（1）求抛物线E 的方程；（2）求△ABC 面积的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D【解题分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF ,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解.【题目详解】如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴=223a b ∴=，解得3b a=， 所以双曲线的渐近线方程为3y x =±，故选：D【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.2．A【解题分析】试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++ 2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或112d =-（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.3．B【解题分析】由焦点得抛物线方程，设A 点的坐标为2()14m m ，，根据对称可求出点A 的坐标，写出直线AF 方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.【题目详解】 抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，， 则12p ＝，即2p ＝， 设A 点的坐标为2()14m m ，，B 点的坐标为()113n n ≤，，， 如图：∴2211114211142222m n m m m n ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪++⎪=⨯+⎪⎩， 解得62m n =⎧⎨=⎩，或343359m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)， ∴9(6)A ，∴直线AF 的方程为413y x +＝， 设直线AF 与抛物线的另一个交点为D ，由24134y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩或2319x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴21,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴100||9AD ==， 故直线AF 被C 截得的弦长为1009． 故选：B ．【题目点拨】本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.4．A【解题分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【题目详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能； 其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A .【题目点拨】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.5．B【解题分析】 在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==, 可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC =+=+，即可得到答案． 【题目详解】 如下图，12BD DC =，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==, 则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC =+=+,故答案为B.【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．6．D【解题分析】 设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【题目详解】 设222222,2cos1203AB AF m BF AB AF AB AF m ==∴=+-⋅⋅=，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：124323BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知： 222212222222112cos120(523)(523)F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(423)(423)31b b b a a a ⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为： )31=±y x . 故选：D【题目点拨】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力. 7．D【解题分析】根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象.【题目详解】由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数，在(),m n 为减函数，故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化，故排除A ，B.由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C.故选：D.【题目点拨】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题. 8．A【解题分析】 根据题意得到2c d ==，化简得到223a b ，得到答案. 【题目详解】根据题意知：焦点(c,0)F 到渐近线b y xa =的距离为2c d ==，故223a b ，故渐近线为0x ±=.故选：A .【题目点拨】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．B【解题分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【题目详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x 的取值范围为()(),11,-∞-+∞. 故选：B . 【题目点拨】 本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.10．B【解题分析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【题目详解】集合M 含有3个元素的子集共有3620C =，所以20k =．在集合1,2,3,,i B i k =⋯（）中： 最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =； 最大元素为5的集合有246C =；最大元素为6的集合有2510C =；所以12345314356610105b b b b b ++++⨯+⨯+⨯+⨯＝＝． 故选：B ．【题目点拨】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.11．A【解题分析】由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果. 【题目详解】由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.【题目点拨】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12．C【解题分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【题目详解】由题意可得：()(2)c b c a b a b-=-++-，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b-=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=|2|213a b∴-=，2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b∴-=-=-++-=-++-22|||2|2|||2|cos,2c a b a b c a b a b c a b a b=-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>35223213cos,2c a b a b=++<-++>5539cos,2c a b a b=+<-++>55439+25543952221333(2133)+=+⨯=，故选：C【题目点拨】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。