一元二次方程

一元二次方程 代数第十一章 一元二次方程 一、 一元二次方程 ⒈ 有关概念： ⑴ 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 ⑵ 一般形式： ax2+bx+c=0 （a≠0） （也叫标准形式）, 其中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 叫常数项 ，a叫二次项系数，b 叫一次项系数。 [注]：如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，则一定有a≠0；如果仅指出方程ax2+bx+c=0，则有a≠0和a＝0两种情况。 ⒉ 一元二次方程的解法： ⑴ 直接开平方法：方程的一边可以化为完全平方式，另一边是非负数时适用。 ⑵ 配方法：二次项系数是1，一次项系数是2的倍数时适用。 ⑶ 因式分解法：方程的一边易于分解因式，另一边是0时适用。 ⑷ 公式法：（万能方法，但未必简便） 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的求根公式 那么ｘ１＋ｘ２＝－ab ， ｘ１ｘ２＝ac 。

[注]：⑴ 定理的两个条件：a≠0，△≥0； ⑵ 特别地，若x2+px+q=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=－p ，x1x2=q ； ⑶ 定理的逆命题成立，可当定理用。 应用： ⑴ 不解方程，求与两根有关的代数式的值： 把所求代数式尽可能化成两根的和与积的形式。 常用关系式： ① x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2 ； ② x13+x23=（x1+x2）[（x1+x2）2－3x1x2 ] ③ （x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2  |x1

－x2|=212214)(xxxx

④ 21212111xxxxxx

⑤ （x1+1）（x2+1）= x1x2+（x1+x2）+1 ⑵ 不解方程，根据根的情况求方程中有关字母的值 常见根的情况： ① 两根异号 0021xx

② 两根同号 0021xx ③ 只有一根为0 000021cbxx ， 两根都为０ 00002121cbxxxx 至少有一根为0 00021cxx ④ 一根大于ａ ，一根小于ａ（x1－a）（x2－a）＜0 ⑤ 两根是有理根△是完全平方 ⑥ 必有一根是1a+b+c=0 ；必有一根是－1a－b+c=0 ⒌ 二次三项式的因式分解 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的两根是x1，x2； 那么ax2+bx+c=0 =a（x－x1）（x－x2） [注]：（1）当△≥０时，ax2+bx+c能在实数范围内分解因式； 当△＜０时，ax2+bx+c不能在实数范围内分解因式。 （2）二次三项式因式分解先考虑能否用十字相乘法，乘法公式等，再考虑用求根公式法； （3）一元二次方程与二次三项式的区别与联系： 如方程3x2－6x－12=0可变形为x2－2x－４=0 但分解3x2－6x－12时，就不能变形为x2－2x－４ 二、 可化为一元二次方程的分式方程、无理方程、高次方程 １、 分式方程 去分母 整式方程（要验根） 方法与步骤： （1） 求出各分母的最简公分母（先把各分母分解因式）； （2） 用最简公分母去乘方程的两边，把分式方程转化为整式方程（不要漏乘不含分母的项，此时可能导致增根）； （3） 解这个整式方程； （4） 检验：代入最简公分母，若为０，则是增根；不为０，则是原方程的根； （5） 作答。 [注]：若直接去分母后，得到的整式方程是高次方程，则考虑用换元法。 2、 无理方程 乘方 有理方程（要验根） 方法与步骤： ① 移项使方程一边只剩下一个含有未知数的无理项； ② 方程两边同时平方，再重复①、②步，直到方程变形为整式方程 （此时可能导致方程增根）； ③ 解整式方程； ④ 检验：把整式方程的解代入原方程，若方程根式均有意义，且左右两边相等， 则为原方程的解，否则为增根。 [注]：① 可用根式的意义直接判定某些无理方程无解或有特殊解； ② 若方程两边平方后，得到的整式方程是高次方程，则考虑用换元法。 3、 高次方程 降次 二次或一次方程 降次的方法：因式分解法、换元法（切忌给方程两边同除以含有未知数的整式，这样可能导致失根）。 三、 二元二次方程组的解法 1型：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，用代入消元法解； 2型：由二个二元二次方程组成的方程组 基本思想：降次-------因式分解 ，消元------代入或加减消元法； ⑴ 两个方程中有一个易于分解成两个一次方程，则原方程组可化为两个1型方程 组。 ⑵ 两个方程都易于分解成两个一次方程，则原方程组可化为四个1型方程组。 ⑶ 两个方程都不含一次项，如 7228322yxyxyx

消去常数项，得形如ax2+bxy+cy2=0的二次齐次方程，把它分解成两个一次方程再与原方程组中的任意一个组合成两个1型方程组； ⑷ 二次项系数或某些同次幂项系数对应成比例，如642122222xyxyyx用加减消 元法消

去这些项后可化为以上三种情形之一。 第六章 解直角三角形 一、锐角三角函数的概念 设α是Rt△ABC的一个锐角，则： sinα=斜边的对边， cosα=斜边的邻边，

tgα =的邻边的对边， ctgα=的对边的邻边。 二、特殊角的三角函数值：

三角函数 0０ 300 450 600 900

sinα 0 21 22 23 1 cosα 1 23 22 21 0 tgα 0 33 1 3 不存在

ctgα 不存在 3 1 33 0 三、互为余角的三角函数间的关系 ：若α为锐角，则 sin（900－α）=cosα； cos（900－α）= sinα； tg（900－α）= ctgα； ctg（900－α）= tgα。 用法：A与B互余： sin A=cos B cos A=sin B tg A=ctg B ctg A=tg B 四、 同角三角函数的关系： sin2α+cos2α=1 ； tgα=cossin ； ctgα

=sincos 。 五、 三角函数值的变化情况： ⑴ 在锐角范围内，角α越大，则sinα和tgα的对应值也就越大； ⑵ 在锐角范围内，角α越大，则cosα和ctgα的对应值越小。 六、 三角函数值的范围及同角的三角函数的大小： 1、 α为锐角： 0＜sinα＜1 ； 0＜cosα＜1 ； tgα＞0 ； ctgα＞0 。 2、 sinα与cosα的大小关系： ⑴ 当00 ＜α＜450时，sinα＜cosα； ⑵ 当450＜α＜900时，sinα＞cosα； ⑶ 当 α = 450 时，sinα= cosα。 3、 sinα与tgα、cosα与ctgα的大小关系： sinα＜ tgα ； cosα＜ ctgα 。 七、 解直角三角形： 1、 直角三角形的三条边和三个角，称为直角三角形的六个元素。除一个直角外，若还知道其它两个元素（至少有一条边），求解其它未知元素的问题叫做解直角三角形。 2、 解直角三角形的主要依据如下： 在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，则有： ⑴ 三边关系：a2 + b2 = c2 （勾股定理）； ⑵ 两锐角关系：∠A+∠B=900 （两锐角互余）； ⑶ 边角关系： sinA=cosB=ca ， cosA=sinB=cb，

tgA=ctgB=ba ， ctgA=tgB=ab 。 ⑷ 直角三角形的面积公式： S=chab2121（h是斜边上的高） 注：一般三角形的面积公式：S=BacAbcCabsin21sin21sin21

⑸ 两个重要定理： 在直角三角形中，300的角所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 ３、直角三角形的解法： ⑴ 已知两条直角边a、b，则

22bac

， tgA=ba ， ∠B=900－∠A，

S=ab21 ⑵ 已知一条直角边a和斜边c，则 22acb

， sinA=ca ， ∠B=900－∠A ，

222

1acaS。

⑶ 已知一条直角边a和一个锐角A，则 ∠B=900－∠A ，Aacsin ， ctgAab ，

ctgAaS22

1 。 ⑷ 已知斜边c和一个锐角A，则 ∠B=900－∠A ，Acasin ，Acbcos ，

AAcScossin212 。 八、 用解直角三角形的知识解简单的实际问题： １、概念： ⑴ 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（用i表示）； ⑵ 坡角：把坡面与水平面的夹角α叫坡角。 ⑶ 仰角、俯角：视线和水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 ⑷ 方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角叫做方位角。 ２、解可化为直角三角形求解的斜三角形： 一般思路是添加适当的辅助线，构造成含特殊角的直角三角形。 注：解应用题时，注意精确度的单位。