解二元一次方程组
二元一次方程组的解的概念
二元一次方程组的解的概念
二元一次方程组是指由两个未知数的一次方程组成的方程组。
一般形式可以写作：
ax + by = c.
dx + ey = f.
其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x和y为未知数。
解二元一次方程组的概念是指找到一组有序数对(x, y)，使得
这组数对同时满足方程组中的两个方程。
换句话说，解就是使得方
程组中所有方程都成立的未知数的值。
如果方程组有且只有一组解，那么这个方程组就是相容的；如果方程组没有解，那么这个方程组
就是不相容的；如果方程组有无穷多个解，那么这个方程组就是相
容的。
解二元一次方程组的方法有很多，包括代入法、消元法、图解
法等。
代入法是将一个方程的解代入另一个方程中，从而求得另一
个未知数的值；消元法是通过加减消元或者倍加消元的方式，将方
程组化简为只含一个未知数的方程，然后求解；图解法则是将方程组中的两个方程转化为两条直线，通过观察它们的交点来得到方程组的解。
总之，解二元一次方程组的概念涉及到找到满足所有方程的未知数的值，而解的存在与否以及解的个数取决于方程组的性质，解决方程组的方法则包括代入法、消元法、图解法等多种方法。
二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本方法是消元，而我们熟知的方法就是代入消元法和加减消元法，但这两种方法都比较繁琐．下面通过加减消元法的解答过程探讨更简单直接的方法．例．解方程组的解．加减消元法解答过程：······························①两式作差，得···························②··························③将③代入，得··························④所以，原方程组的解为：【解析】由方程组的解可知，，的分母均为，我们可先求二者的分母，而该值亦是②式中的系数，再由①式形式，我们可以通过把原方程组中的两个方程的，的系数写成如下形式：·····························⑤交叉相乘相减，得到二者的分母．再求的分子，即②式右边的数值，可由得到．事实上，用替换⑤中计算可得．即求的值时，用常数列相应替换的系数列．同样地，求的分子，可由得到．即求的值时，则在⑤中用常数列相应替换的系数列计算可得．通过上述推导，我们得到解二元一次方程组的简单方法：，．其中，，，．【注】作为，的分母，因此要求方程组才有解．事实上，二元一次方程组的解可看成两直线和的交点的横纵坐标，而条件“”告诉我们两直线相交，因此方程组有唯一解．而当时，则两直线平行或重合，相应地，方程组要么有无穷多解要么无解．。
解方程组二元一次的方法
解方程组二元一次的方法
宝子们，今天咱们来唠唠二元一次方程组的解法呀。
二元一次方程组呢，就是有两个方程，每个方程里都有两个未知数，像这样的形式：ax + by = c dx+ey = f。
那咋解它呢？
咱先说代入消元法。
这就像是玩一个替换的小游戏。
比如说我们有方程组y = 2x - 1 3x + 2y = 16。
你看第一个方程里y已经用x表示出来了，那我们就可以把这个y的表达式代入到第二个方程里呀。
把y = 2x - 1代入3x + 2y = 16，就变成了3x+2(2x - 1)=16。
然后就像平常解一元一次方程那样，先把括号打开，3x + 4x - 2 = 16，7x = 18，x就求出来啦。
再把x的值代回到y = 2x - 1里，y的值也就出来喽。
还有一种方法叫加减消元法呢。
这个方法就像是天平称重的时候，两边同时加或者减东西来保持平衡。
比如说2x + 3y = 8 3x - 3y = 3。
这里两个方程里y的系数一个是3一个是 - 3，那我们把这两个方程相加，y就被消掉啦。
得到5x = 11，x就轻松算出来了。
要是系数不一样呢，我们可以通过乘一个数把系数变得一样哦。
就像3x + 2y = 11 2x - y = 5，第二个方程乘2就变成4x - 2y = 10，然后和第一个方程相加，7x = 21，x = 3，再求y就很简单啦。
宝子们，解二元一次方程组其实没有那么难的，就像是走迷宫，这两种方法就是你走出迷宫的两条路。
多做几道题，熟练了之后，你就会觉得二元一次方程组就像小绵羊一样听话啦。
加油哦，数学小天才们！。
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
二元一次方程组的解法(共6张PPT)
⑵ 5x－10y+15=0
｛3t－4s=14
⑴
5t+3s=4
｛3x+2y=9
⑵ 6x－10y=－66
变形
｛2x－7y=8 代入 3x－8y－10=0
x=
4+
7y 2
x=1.2
代入
y=－0.8
解得
3（4+ 7y ）－8y－10=0 2
二元一次方程组的解法
｛ 1.方程组
2x+5y=2 如何解？关键是什么？解题
x=8－3y
步骤是什么？
2.把方程2x－7y=8（1）写成用含x的代数式表示y
的形式
y= 2x－8 7
，（2）写成用含y的代数式
表示x的形式
x= 7y+8 2
例1. 解方程组｛2x－7y=8 解把得方程2x－y=7－y=08.（1）写成用含x的代数式表示y
x= 4+ 7y3（4+ 7y ）－8y－10=0 2
解得 y=－0.8
将y=－0.8代入③，得
x=4+ 7 ×（－0.8 ） 2
x=1.2
｛x=1.2
所以 y=－0.8
思考：可以先消 去y吗？
1.将下列各方程变形为用一个未知数的代数 式表示另一个未知数的形式：
⑴ 4x－y=－1
把那方么程 如2何x求－解7y呢=8？（消1）哪写一成个用未含知x数的呢代？数式表示y
式解表得示另一y=个－未0.知数的形式：
解式得表示另一y=个－未0.知数的形式：
那么如何求解呢？消哪一个未知数呢？
如解果得将①写y=成－用0.一个未知数来表示另一
32（x－7y=8 ）－8y－10=0
二元一次方程组解法详解
二元一次方程组解法详解一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，晨旭教育培训中心所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．晨旭教育培训中心又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x 的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
解二元一次方程组教案优秀9篇
解二元一次方程组教案优秀9篇课前预习：篇一一、阅读教材P96-P98的内容二、独立思考：1、满足方程组的x的值是-1，则方程组的解是_____________.2、用代入法解方程组比较容易的变形是()、A、由①得B、由①得C、由得D、则得3、用代入消元法解方程以下各式正确的是()A、B、C、D、4、如果是二元一次方程，则的值是多少？二元一次方程篇二数学七年级下册《二元一次方程》数学教案一、教学目标：1、认知目标：1）了解二元一次方程组的概念。
2）理解二元一次方程组的解的概念。
3）会用列表尝试的方法找二元一次方程组的解。
2、能力目标：1）渗透把实际问题抽象成数学模型的思想。
2）通过尝试求解，培养学生的探索能力。
3、情感目标：1）培养学生细致，认真的学习习惯。
2）在积极的教学评价中，促进师生的情感交流。
二、教学重难点重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。
难点：把一个二元一次方程形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
三、教学过程(一)创设情景，引入课题1、本班共有40人，请问能确定男女生各几人吗？为什么？（1）如果设本班男生x人，女生y人，用方程如何表示？(x+y=40)（2）这是什么方程？根据什么？2、男生比女生多了2人。
设男生x人，女生y人、方程如何表示？x，y的值是多少？3、本班男生比女生多2人且男女生共40人、设该班男生x人，女生y人。
方程如何表示？两个方程中的x表示什么？类似的两个方程中的y都表示？像这样，同一个未知数表示相同的量，我们就应用大括号把它们连起来组成一个方程组。
4、点明课题：二元一次方程组。
（设计意图：从学生身边取数据，让他们感受到生活中处处有数学）（二）探究新知，练习巩固1、二元一次方程组的概念（1）请同学们看课本，了解二元一次方程组的的概念，并找出关键词由教师板书。
[让学生看书，引起他们对教材重视。
找关键词，加深他们对概念的了解、]（2）练习：判断下列是不是二元一次方程组，学生作出判断并要说明理由。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。
二元一次方程组解的三种情况
二元一次方程组解的三种情况在代数学中，二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成。
也就是说，每个方程的最高次数为1，其中，未知数的次数为1。
一元方程组的解可以很容易地通过替换的方式求得。
然而，在二元方程组中，由于有两个未知数，因此解的情况会更加复杂和多样。
下面将介绍二元一次方程组解的三种情况。
第一种情况：唯一解。
当解存在且只有一个解时，称为唯一解。
在二元一次方程组中，如果两个方程可以相交于一点，那么它们的解就是唯一解。
这意味着这两个方程表示的直线在平面上相交于一个点，即这两个方程的解是唯一确定的。
例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1为了找到这个方程组的解，我们可以使用消元法或替换法。
通过将第一个方程乘以2，然后将第二个方程乘以3，可以消除x的系数，得到两个方程：4x + 6y = 1412x - 15y = 3现在我们可以通过相减来消除y的系数，得到一个只包含x的方程：12x - 15y - (4x + 6y) = 3 - 148x - 9y = -11我们可以通过求解这个一元方程来找到x的值：x = (-11 + 9y) / 8将x的值代入原始方程中，可以得到y的值：2((-11 + 9y) / 8) + 3y = 7-22 + 18y + 24y = 5642y = 78y = 78 / 42y = 1.857因此，这个方程组的解为x = -0.375，y = 1.857。
这是一个唯一解。
第二种情况：无穷解。
当方程组中的两个方程表示同一条直线时，方程组会有无穷多个解。
这种情况下，方程组表示的直线重合，因此方程组的解是无穷多的。
例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 44x + 6y = 8通过将第一个方程乘以2，可以得到：4x + 6y = 8我们可以看到，这两个方程表示的直线是相同的，因此它们有无穷多个解。
当我们尝试通过消元法来解决这个方程组时，我们会得到：0 = 0这是一个恒等式，意味着方程组的解是无穷多的。
解二元一次方程组的四种方法
解二元一次方程组的四种方法
解二元一次方程组有四种方法：
一、消元法
消元法是一种利用矩阵求解方程的常用方法，它将问题转化为矩阵的形式，利用矩阵的法则进行消元，从而求解出方程的解。
二、乘法法
乘法法是将两边的非零因子都乘以一个比较大的数，从而把一个未知数变成另一个未知数的倍数，从而将方程化简为两个未知数的积等于某常数的形式，从而求出方程的解。
三、图解法
图解法是将二元一次方程组表示为两个一次函数的图象，可以观察两曲线的位置与交点的位置，通过观察分析，从而求出方程的解。
四、换元法
换元法是将一方的未知数用另一方的未知数替换，再将方程解出来，
可以通过代入替换后的结果求出原方程的解。
这种解法适用于只有两个未知数的二元一次方程组。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解二元一次方程组
课前回顾：
1. 概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
（1）使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解;
（2）一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值.
2.二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
（1）二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
（2）方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.
（3）怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.
一．用“代入法”解二元一次方程组
例1.求方程组⎩
⎨⎧=+=+1004239
y x y x 由（1）可知，x y -=39 （3）
把（3）代入（2），得2x+4(39-x)=100 （4）
整理，得-2x=-56
解得x=28.
把x=28代入（3），得y=11.
所以原方程组的解是⎩
⎨⎧==1128
y x . 1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
2）代入法解二元一次方程组的步骤
1 选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表
示另一个未知数；
2 将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；
3 解这个一元一次方程，求出未知数的值；
4 将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
5 最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
例2：解方程组⎩
⎨⎧-=+=-2345
2y x y x 练习：用代入法解下列方程组
(1) ⎩
⎨⎧=+=522y x y x (2) ⎩⎨⎧=-=+54372y x y x (3)
⎩⎨⎧=+-=+0113y x y x (4) ⎩⎨⎧=+=-3541832y x y x 二．用“加减消元法”解二元一次方程组
例3. ⎩
⎨⎧=+=-732132y x y x 解 （1）-（2），得 -6y=-6，
所以y=1
把y=1代入（1），得 2x-3=1，
所以有x=2
方程组的解为⎩
⎨⎧==12
y x 当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程求解
例4.解方程组⎩
⎨⎧=+=-163211
23y x y x 分析 先通过方程的变形，使得某个未知数的系数的绝对值相同，就可以把两个方程的两边相加或相减来消元
解 （1）⨯3，得9x-6y=33 （3）
（2）⨯2，得 4x+6y=32 （4）
（3）+（4），得 13x=65，
所以 x=5.
把x=5代入（1），得 3⨯5-2y=11，
解得 y=2.
所以 方程组的解是⎨⎧==25y x
1）通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去其中的一个未知数，转化为一元一次方程.这种解二元一次方程的方法叫做加减消元法，简称加减法。
2）加减法解二元一次方程组的步骤
（1）利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；
（2）再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；
（3）解这个一元一次方程，求出未知数的值；
（4）将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
（5）最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.
练习
（1）⎩⎨⎧=-=+194232y x y x （2）⎩
⎨⎧=-=+52313
23y x y x （3）⎩⎨⎧=-=-1423y x y x （4）⎩
⎨⎧=+=-1033
32y x y x。