方程组同解的结论
(完整版)二元一次方程组的同解错解参数等问题(最新整理)
请解答:已知关于
x、y
的方程组
y y
kx b
3k 1
x
2
分别求出 k,b 为何值时, 方程组的解为:
⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?
5x y 7 ① 例 2. 选择一组 a,c 值使方程组 ax 2 y c
1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解
与
x 2y 5 5x by 1
（3） （4）
。
有相同的解，
2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。
ax by 2
x 3
x 2
例：解方程组 cx 7 y 8
时，本应解出
y
2
由于看错了系数
c,从而得到解
y
2
试求 a+b+c 的值。
方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的 值。
4. 已知方程组
4
x
by
2
① ②
x 3
由于甲看错了方程①中的
a
得到方程组的解为
y
1
;
x 5
乙看错了方程②中的
b
得到方程组的解为
y
4
,若按正确的
a、b
计算,求原方程组的解.
5..关于
x、y
的二元一次方程组
x x
y y
5k 9k
的解也是二元一次方程
2x
3y
6
的解,则
k
的值？
6.
若
4x
3y
6z
0,
x
2y
7z0 xyz来自0,求代数式5x2 2y2 z2 2x2 3y2 10z2
线性方程组同解、公共解的解法
若ａ＝２，则 一ｌ 【 １ Ｉ，从而方程组的唯一解为（０， ０ ０ ０ ０ Ｊ
例３．设４元线性方程组（Ｉ）为：｛Ｘ￣－ｔ－ｘｚ ：，又已知某齐次线性
令 ｘ ＝１，得 ｘ ＝ｘ，＝一１，故方 程 组 （Ｉ）的 通 解 为ｋ（一１，一１，１） 。
因 为 （Ｉ）与 （ＩＩ）同 解 ，所 以 （一１，一１，１） 也 是 方 程 组 （Ｉ１）的
参 考 文 献 ： ［１］刘 华 祥．中学数 学教 学论 ．武 汉 大 学 出版 社 ，２００３．８． ［２］武 瑞 岭 ．中 学 数 学 教 学 模 式 的探 索．核 心 期 刊 ＩＳＳＮ： ｌ００５一ｌ５５４（２００３）０２—００９４—０２． ［３］张 丽 晨 ．初 中 数 学 课 堂教 学 艺 术 ．北 京 ：中 国 林 业 出版 社 ．２００４．
线 性 ；ｂ－程 组 同 解 、公 共 解 的 解 法
褚 丽 娜
（重 庆 科 创 职业 学 院 应 用 数 学教 研 室 ．重 庆 ４０２１６０）
摘 要 ：线 性 方 程 纽 是 线 性 代 数 的基 本 内 容 ．是 数 学 中 非 常 重 要 的 基础 理 论 ． 求 解 线性 方程 组是 线 性代 数 最 主要 的 任 务 ，在 自然 科 学 、工程 技 术 中 都 经 常 用 到 。 本 文 就 线 性 方 程 组 的 同解 、公 共 解 的 计 算 进行 了讨 论 。
解，于是有ｆ一 －ｂ ＝０ ｊｂ：１ｃ：２或 ｂ：０，ｃ：１。 ，
Ｎｂ＝Ｏ，ｃ＝ｌ时，方程 Ｉ）为｛ ２０，系数矩阵的秩为
（Ｉ）中得／－ ｋ２＋ｋ＋ ２ｋ ＝。
ｌ
２ｊ
ｋ。：一ｋ：。
ｌｋ１＋２ｋ，一
ｋ： ０ ，
பைடு நூலகம்
同解的充分必要条件
同解的充分必要条件
A=0与B=0同解的充要条件是r(A)=r(B)=r(A;B)(A,B上下放置)
可以转化成方程组理解一下，r(A;B)=r(A)就说明以A为系数矩阵的方程组和以(A;B)为系数矩阵的方程组的约束条件数量一致，说明A=0和B=0两个方程组等价。
即同解。
这是充分性。
必要性也一样可以通过方程组理解。
扩展资料
线性方程组的解法
1、克莱姆法则。
用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。
用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
2、矩阵消元法。
将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵
，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。
当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。
全效学习七下培优专题二元一次方程组的同解、错解、参数问题
∵z≠0，∴将③两边都除以 z，得7zx＋1＝0，解得xz＝－17.
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9．已知|a－2b＋7|＋(2c＋a－7)2＝0，b≠0，求a＋b c的值． 解：依题意，得 a－2b＋7＝0，2c＋a－7＝0， 即a2－c＋2ab＝＝7－，7②，① 由①得：b＝a＋2 7， 由②得：c＝7－2 a，
① ②
②×2－①得，
y＝37a－272，
把 y＝37a－272代入②得，
x＝87a－172，
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则87a－172－(37a－272)＝a， 解得 a＝5， ∴方程组的解为xy＝＝－4，1.
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6．由于粗心，在解方程组■7xx－－42y＝y＝△5，时，小明把系数■抄错了，
得 到 的 解 是 yx＝＝－－11330，； 小 亮 把 常 数 △ 抄 错 了 ， 得 到 的 解 是
xy＝＝－－196，. 请找出错误，并写出■和△的原来数字，求出正确的解．
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解：∵7×－13－4×－130＝△，∴△＝11，
∵－9■－2×(－16)＝5，∴■＝3，
∴原方程组是37xx－ －24yy＝ ＝
5， 11，
① ②
②－①×2，得 x＝1.
把 x＝1 代入①得 y＝－1，
所以原方程组的解为xy＝＝－1，1.
∴a＋b c＝a＋a＋7－27 a＝aa＋ ＋77＝1. 2
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关于两个线性方程组同解条件的再思考
关于两个线性方程组同解条件的再思考陈耀光【摘要】首先给出了两个线性方程组Ax=c及Bx=d的解与解之间的关系,通过对两个方程组有公共解的条件的研究,从而给出了两个方程组有同解的充分必要条件.根据所得结论,最后给出了两个线性方程组是否有同解的判别方法以及同解的求解方法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)004【总页数】5页(P71-75)【关键词】线性方程组;公共解;同解;条件;方法【作者】陈耀光【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046【正文语种】中文【中图分类】O151.1线性方程组是大学本科中工科线性代数的最重要也是最主要的部分，它贯穿于线性代数的始终，也可以说线性代数就是线性方程组的代数，因此在线性代数中对线性方程组的讨论已经比较充分，但在教学过程中，学生经常会问到两个线性方程组的解与解有什么关系？如何判断？如何求解？关于这一点工科线性代数中几乎没有讨论，在其它教材中也讨论甚少，即使有也不全面.而在文献[1]中，虽然对此进行了讨论，但所给结论的条件出现了漏洞.为此笔者通过查阅大量相关资料，并进行深入分析与研究，得到了本文相关结论及方法.1 预备知识设非齐次线性方程组Ax=b，(1)其中,,,, j=1,2,…，n.非齐次线性方程组的向量形式x1t1+x2t2+…+xntn=b.(2)引理1 非齐次线性方程组(1)有解的充分必要条件是R(A)=R(Ab).引理2 非齐次线性方程组(1)有解的充分必要条件是向量b可由向量组t1，t2，…，tn 线性表示.2 两个方程组的解与解的关系设有两个非齐次线性方程组Ax=c(3)及Bx=d,(4)其中,,,,,其所对应的齐次方程组Ax=0(5)及Bx=0(6)定义如果有n维向量x同时满足非齐次线性方程组(3)和(4)，则称向量x为非齐次方程组(3)和(4)的公共解.如果方程组(3)的任意解都是方程组(4)的解，而方程组(4)的任意解都是方程组(3)的解，则称方程组(3)和方程组(4)是同解的.对于齐次方程组(5)和(6)也同样有非零公共解和非零同解的概念，这里就不再赘述了.3 两个非齐次方程组有公共解的充分必要条件引理3 齐次线性方程组(5)和(6)有非零的公共解的充分必要条件是引理4 非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解的充分必要条件是引理5 非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解的充分必要条件是向量可由的列向量组线性表示.由引理4(引理5)知，若非齐次线性方程组(3)和(4)有公共解，则非齐次线性方程组(3)和(4)都有解.即如果，则一定有RA=RAc和RB=RBd.反之，非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，非齐次线性方程组(3)和(4)不一定有公共解.例如：方程组x+y=1有解，方程组x+y=2也有解，但方程组无解，即方程组x+y=1和方程组x+y=2无公共解.4 两个线性方程组同解的充分必要条件1.两个齐次线性方程组同解的充分必要条件.引理6 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是. (参见文献[1]的定理3).引理7 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充分必要条件是A的行向量组与B的行向量组等价.定理1 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零同解的充分必要条件是2.两个非齐次线性方程组同解的充分必要条件.在上面我们研究了两个线性方程组有公共解的问题.很明显，如果两个线性方程组同解，则这两个线性方程组一定有公共解.反之，当两个线性方程组有公共解时，这两个线性方程组不一定同解.而对于两个线性方程组同解的条件，文献[1]中对此进行了相应的讨论，并给出了如下两个结论(文献 [1]中的定理2)：结论1 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则非齐次线性方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是向量组α1，α2,…，αm与向量组β1，β2，…，βs等价.其中向量组α1，α2,…，αm是方程组(3)的增广矩阵Ac的行向量组，向量组β1，β2，…，βs是方程组(4)的增广矩阵Bd的行向量组.结论2 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则非齐次线性方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解.对于结论2，通过研究和讨论，其必要性是完全正确的，但其充分性是有问题的.对此，笔者从理论和实例两个方面来加以说明.首先设向量组a1，a2，…，am是齐次线性方程组(5)的系数矩阵A的行向量组，向量组b1，b2，…，bs是齐次线性方程组(6)的系数矩阵B的行向量组.注意向量组a1，a2，…，am与α1，α2,…，αm的差异，向量组b1，b2，…，bs与β1，β2，…，βs的差异.若齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，由引理7知向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价.而向量组a1，a2，…，am与向量组b1，b2，…，bs等价推不出向量组α1，α2,…，αm与向量组β1，β2，…，βs 等价(如(1,2，-1)与(2,4，-2)等价，但(1,2，-1,1)与(2,4，-2,3)不等价)，从而推不出非齐次线性方程组(3)和(4)同解.再则也可以看一反例：方程组x+y=1有解，方程组x+y=2有解且它们所对应的齐次方程组x+y=0和x+y=0同解.但方程组无解,即方程组x+y=1与方程组x+y=2不同解.正因如此，我们对文献[1]中的结论2进行了更加深入的研究，并得出如下结论.定理2 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，且非齐次线性方程组(3)和(4)至少有一个公共解.证必要性参见文献[1].充分性.设RA=r.由已知非齐次线性方程组(3)和(4)所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，所以RA=RB=r，并且Ax=0的基础解系ξ1，ξ2，…，ξn-r也是方程组Bx=0的基础解系.又因为Ax=c及Bx=d有解且至少有一个公共解，不妨设为η*，则x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η*既是Ax=c的通解，也是Bx=d的通解,所以方程组(3)和(4)同解.定理3 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是此定理的证明可由引理4和引理6直接得到.定理4 设非齐次线性方程组(3)和(4)都有解，则方程组(3)和(4)同解的充分必要条件是所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解，且向量可由的列向量组线性表示. 此定理的证明可由引理5和引理6直接得到.5 两个方程组同解的判断及同解的求法以下我们仅对非齐次线性方程组加以讨论，而对于齐次线性方程组其方法类似. 设有两个非齐次线性方程组Ax=c(3)及Bx=d.(4)如果能判断出(3)和(4)同解，则它们的同解的求法就很简单了，只要求出(3)或(4)的通解就行了.而同解的判断可以根据定理3的结论来加以进行.下面就通过具体实例来说明这一方法.例1 设非齐次线性方程组及讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式. 解,所以.即已知的两个方程组都有解，且有公共解.而由以上易知RA=RB=2≠，即已知的两个方程组所对应的齐次方程组不同解，所以已知的两个方程组不同解. 本例说明，在定理2的充分条件中两个非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组(5)和(6)同解的条件不可缺少，而在第四部分中的反例说明在定理2的充分条件中两个非齐次方程组(3)和(4)至少有一个公共解的条件不可缺少.例2 设非齐次方程组及讨论这两个方程组是否有公共解，是否同解？如同解，则求其同解的通解形式. 解，易知RB=2. 所以.由定理2知，已知的两个线性方程组同解，且同解的通解形式为【相关文献】[参考文献][1] 罗家贵. 关于线性方程组同解的条件[J]．大学数学，2012，28 (3)：141—145.[2] 尹晓东. 线性代数习题课需要解决的几个问题[J]．大学数学，2012，28 (2)：139—141.[3] 同济大学. 线性代数 [M]．5版．北京：高等教育出版社，2007.。
两个齐次线性方程组同解的充要条件
两个齐次线性方程组同解的充要条件作者：周津名来源：《文存阅刊》2018年第22期摘要：本文研究了两个齐次线性方程组同解的充要条件及其在代数图论里的一个简单应用。
关键词：齐次线性方程组；同解线性方程组是线性代数里的一个重要内容，不少线性代数教材中都详细讲解了线性方程组的解法及解的结构，但介绍同解线性方程组的内容却不多。
本文研究齐次线性方程组同解的充要条件，并给出在代数图论中零因子图中的一个应用。
下文中，对任意矩阵A，用r（A）表示A的秩，用En表示n阶单位阵。
本文主要定理如下：定理设A，B均为矩阵m×n，则齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同解，当且仅当存在m阶可逆矩阵P使得B=PA。
证明先证充分性。
若P为M阶可逆矩阵且B=PA，显然有Ax=0Bx=P（Ax）。
再证必要性。
若Ax=0和Bx=0同解，则Ax=0和Bx=0的解空间具有相同的维数，即n-r （A）=n-r（B），从而可设r=r（A）=r（B）。
下面分两种情况进行讨论。
（1）若r=0，则由r（A）=r（B）=0可知A=B=0。
此时，任取m阶可逆矩阵P均有B=PA。
（2）若r>0，将矩阵A按行分块A=，不妨设a1，a2，……，ar为A的行向量组a1，a2，……，am的一个最大无关组。
由r（B）可知，存在初等矩阵P1，使得P1B的前行r为P1B的行向量组的一个最大无关组。
因此，不妨设P1B=，且β1，β2，……，βr为B的行向量组β1，β2，……，βm的一个最大无关组。
注意到Bx=0和P1Bx=0同解，故Ax=0和P1Bx=0同解，进而Ax=0和同解。
由于的解空间维数为n-r（A），且a1，a2，……，ar的前行线性无关，故ar+1，……，am，β1，β2，……，βm可由a1，a2，……，ar线性表示。
从而β1，β2，……，βr可由线性表示，又由于β1，β2，……，βr与a1，a2，……，ar均线性无关，故存在r阶可逆矩阵P2使得（β1，β2，……，βr）=（a1，a2，……，ar）。
二元一次方程组的同解问题、错解问题(解析版)
二元一次方程组的同解问题、错解问题一、同解问题1、已知方程组2237x ayx y+=⎧⎨+=⎩的解也是二元一次方程x-y=1的一个解，则a的值是（）．A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A解答：由题意得：2371x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：21 xy=⎧⎨=⎩，代入方程x+ay=2中得：2+a=2，∴a=0，选A.2、二元一次方程组2527x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解满足方程13x-2y=5，那么k的值为______．答案：53或123解答：①②2527x y kx y k+=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得4x=12k，解得x=3k，①-②，得2y=-2k，解得y=-k，所以原方程组的解为3x ky k=⎧⎨=-⎩，把3x ky k=⎧⎨=-⎩代入方程13x-2y=5，得：13×3k-2（-k）=5，解得k=53．3、如果方程组31x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组84mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩的解相同，则m=______，n=______．答案：3；2解答：根据题意，可先用加减消元法解方程组31 x yx y+=⎧⎨-=⎩，得21 xy=⎧⎨=⎩．把21xy=⎧⎨=⎩代入方程组84mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩，得28 24 m nm n+=⎧⎨-=⎩，用加减消元法解得m=3，n=2．故答案为：m=3；n=2．4、已知方程组3124mx nyx y+=⎧⎨+=⎩与5236x ny nx y-=-⎧⎨-=⎩有相同的解，则m-n=______．答案：-11.5解答：∵方程组同解，∴2436x yx y+=⎧⎨-=⎩与3152mx nyx ny n+=⎧⎨-=-⎩同解，解得：20 xy=⎧⎨=⎩，代入含参方程组得：21 102mn=⎧⎨=-⎩，∴1212 mn⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴m-n=-11.5．故答案为：-11.5．5、若方程组35661516x yx y+=⎧⎨+=⎩的解也是方程3x+ky=10的解，求k的值．答案：10．解答：①②356 61516x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，②-①得，3x+10y=10，因为方程组的解也是方程3x+ky=10的解，所以k=10．6、已知方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩和31ax byax by+=⎧⎨-=⎩有相同的解，求a2-2ab+b2的值．答案：1．解答：解方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩得11xy=⎧⎨=⎩，把11xy=⎧⎨=⎩代入第二个方程组得31a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得21ab=⎧⎨=⎩，则a2-2ab+b2=22-2×2×1+12=1．7、已知两个方程组254x yax by+=⎧⎨-=-⎩和546232x yax by-=⎧⎨+=⎩有公共解，求a、b的值．答案：12ab=-⎧⎨=⎩．解答：在方程组254x yax by+=⎧⎨-=-⎩和546232x yax by-=⎧⎨+=⎩中，∵有公共解，∴有25546x yx y+=⎧⎨-=⎩和4232ax byax by-=-⎧⎨+=⎩．由第一组可解得21xy=⎧⎨=⎩，代入第二组，得24432a ba b-=-⎧⎨+=⎩，解得12ab=-⎧⎨=⎩．故答案为：12ab=-⎧⎨=⎩．8、已知关于x 、y 的方程组14323ax by x y +=-⎧⎨+=⎩与353917x y ax by -=⎧⎨-=⎩的解相同，求a 、b 的值．答案：1，3．解答：根据题意得：43233539x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，83x y =⎧⎨=-⎩，代入117ax by ax by +=-⎧⎨-=⎩即8318317a b a b -=-⎧⎨+=⎩，13a b =⎧⎨=⎩．二、同解问题的变形9、二元一次方程组941611x y x y +=⎧⎨+=-⎩的解满足2x -ky =10，则k 的值等于（ ）．A. 4B. -4C. 8D. -8答案：A解答：解二元一次方程组可得：x =1，y =-2．将x 和y 的值代入2x -ky =10可得：2+2k =10，解得k =4．10、若方程组()43518x y kx k y +=⎧⎨--=⎩的解中x 比y 的相反数大1，则k 的值为（）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 52答案：B解答：x 比y 的相反数大1，x =-y +1；4351x y x y +=⎧⎨=-+⎩解得：21x y =⎧⎨=-⎩；2k +（k -1）=8；k =3，选B.11、已知方程组221x y kx y+=⎧⎨+=⎩，的解满足x+y=3，则k的值为______．答案：8解答：解方程组①②321x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，由①-②得：x=-2，将x=-2代入到①得：y=5，则方程组的解为：25xy=-⎧⎨=⎩，代入到x+2y=k，解得：k=8．12、关于x，y的方程组225y x mx m+=⎧⎨+=⎩的解满足x+y=6，则m的值为______．答案：-1解答：①②225y x m x m+=⎧⎨+=⎩①②由②，可得：x=5m-2③，把③代入①，解得y=4-9m，∴原方程组的解是5249x my m=-⎧⎨=-⎩，∵x+y=6，∴5m-2+4-9m=6，解得m=-1．故答案为：-1．13、已知方程组32223x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解x、y互为相反数，求m的值，并求此方程组的解．答案：m=-1；11 xy=⎧⎨=-⎩．解答：由题意得y=-x，代入方程组得32223x x mx x m-=+⎧⎨-=⎩，得m =-1代入方程得x =1，y =-1，所以方程解为11x y =⎧⎨=-⎩．14、如果方程组3253x y k x y k -=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 相等，求k 的值． 答案：1．解答：∵x 与y 相等，∴3253x y k x y k -=-⎧⎨-=⎩可化为3253x x k x x k -=-⎧⎨-=⎩①②， 解①得x =22k -， 解②得x =2k ， ∴22k -=2k ， 解得k =1∴k 的值为1．15、已知关于x 、y 的方程组35223x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩，且x 与y 的和是2，求m 的值． 答案：m =4．解答：先消m ，得222x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得2 0x y =⎧⎨=⎩， 将x 、y 的值代入2x +3y =m 中，可得m =4．三、错解问题16、关于x 、y 的方程组75x ay bx y +=⎧⎨-=⎩，小明把a 看错了，解得31x y =⎧⎨=⎩，则b =______． 答案：2解答：小明只是把a 看错了，故将31x y =⎧⎨=⎩代入bx -y =5，得3b -1=5，解得b =2． 故答案为：2．17、已知方程组①②51542ax yx by+=⎧⎨+=-⎩①②，由于甲看错了方程①中的a，得到解为31xy=-⎧⎨=-⎩；乙看错了②中的b，得到解为54xy=⎧⎨=⎩，若按正确的a，b计算，则原方程组的解x与y的差为______．答案：41 5解答：由题意，知31xy=-⎧⎨=-⎩是方程②的解，54xy=⎧⎨=⎩是方程①的解，分别代入方程求得a=-1，b=-10，则原方程组为5154102x yx y-+=⎧⎨-=-⎩，解得14295xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，故x-y=415．18、小飞哥和小仙女同解一个二元一次方程组()()16112mx nynx my⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，小飞哥把方程（1）抄错，解得13xy=-⎧⎨=⎩，小仙女把方程（2）抄错，解得32xy=⎧⎨=⎩．求原方程组的解是x=______，y=______．答案：-926 77；解答：将13xy=-⎧⎨=⎩代入（2）得：-n+3m=1，将32xy=⎧⎨=⎩代入（1）得：3m+2n=16，联立解得：25mn=⎧⎨=⎩，即方程组为2516 521x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：97267xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．19、已知方程组()()151422ax yx by⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩甲由于看错了第一个方程中的a，得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩，乙由于看错了第二个方程中的b ，得到方程组的解为43x y =⎧⎨=⎩，若按正确的计算，求x +6y 的值．答案：16．解答：将x =-3，y =-1代入（2）得-12+b =-2，即b =10；将x =4，y =3代入（1）得4a +3=15，即a =3，原方程组为①②3154102x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②，①×10+②得：34x =148，即x =7417， 把x =7417代入①得y =3317， 所以x +6y =7417+6×3317=16． 20、在解方程组2628mx y x ny +=⎧⎨+=⎩时，由于粗心，小军看错了方程组的n ，得解为7323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，小红看错了方程组中的m ，得解为24x y =-⎧⎨=⎩． （1）求m ，n 的值．（2）求原方程组正确的解．答案：（1）m =2，n =3．（2）12x y =⎧⎨=⎩． 解答：（1）将7323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入mx +2y =6，解得m =2，将24x y =-⎧⎨=⎩代入2x +ny =8，解得n =3，∴m =2，n =3．（2）由（1）得，原方程组为226238x y x y +=⎧⎨+=⎩， 两式子相减，可得y =2，把y =2代入2x +2y =6，得x =1，∴原方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩．21、已知方程组278ax by mx y +=⎧⎨-=⎩的解应为32x y =⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m 看错后，解方程组得22x y =-⎧⎨=⎩，则a ·b ·m 的值为多少？ 答案：-40．解答：将32x y =⎧⎨=-⎩代入方程组，得3223148a b m -=⎧⎨+=⎩， ∴m =-2，将22x y =-⎧⎨=⎩代入ax +by =2得：-2a +2b =2， ∴45a b =⎧⎨=⎩，∴a ·b ·m =4×5×（-2）=-40．故答案为：-40．22、回答下列问题（1）解方程组87ax y x by +=⎧⎨-=⎩时，由于粗心，小宝看错了方程组中的a ，得到解为35x y =-⎧⎨=⎩，小茹看错了方程组中的b ，得到解为110x y =-⎧⎨=⎩．求方程正确的解． （2）已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩，小超解题时把c 抄错了，因此得到的解为1213x y =⎧⎨=-⎩，则a 2+b 2+c 2的值为______．答案：（1）32x y =⎧⎨=⎩；（2）34解答：（1）小宝看错了a 意味着b 是正确的，即解满足方程第二式，代入得-3-5b =7；小茹看错了b 意味着a 是正确的，即满足方程第一式，代入得-a +10=8．解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以32x y =⎧⎨=⎩． （2）a 2+b 2+c 2=34．23、请回答下列问题：（1）已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解为1213x y =⎧⎨=-⎩，则a 2+b 2+c 2的值为______．（2）解关于x ，y 的方程组87ax y x by +=⎧⎨-=⎩时，由于粗心，小明看错了方程中的a ，得到的解为35x y =-⎧⎨=⎩，小红看错了方程组中的b ，得到解为110x y =-⎧⎨=⎩，求方程组正确的解． 答案：（1）34；（2）32x y =⎧⎨=⎩．解答：（1）将正确的解代入方程组得到810168200224a b c -=-⎧⎨-=-⎩，化简得到4583a b c -=-⎧⎨=-⎩． 小明解题时把c 抄错，意味着a 、b 是正确的，即此时错误的解满足方程第一式12a -13b =-16④，④-3③得2b =8，得到343a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入得到a 2+b 2+c 2=9+16+9=34．（2）小明看错了a 意味着b 是正确的，即他的解满足方程第二式，代入得-3-5b =7；小红看错了b 意味着a 是正确的，即她的解满足方程第一式，代入得-a +10=8．解得22ab=⎧⎨=-⎩，代入原方程解得：32xy=⎧⎨=⎩．。
两个方程组同解,行向量组等价
标题：两个方程组同解，行向量组等价一、概述上线性代数中，我们经常会遇到方程组和向量组的问题。
其中一个常见的问题就是判断两个方程组是否有相同的解，以及判断两个向量组是否等价。
在本文中，我们将会深入探讨两个方程组同解的概念，以及行向量组等价的相关知识。
二、两个方程组同解的概念1. 方程组的定义方程组是由几个方程组成的集合，通常用于描述多个未知数之间的关系。
一个最简单的方程组可以表示为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中x和y为未知数，a1、b1、c1、a2、b2、c2为系数。
2. 同解的定义当两个方程组有相同的解时，我们称这两个方程组为同解方程组。
如果两个方程组中的未知数取值满足一个方程组的所有方程，则也一定满足另一个方程组的所有方程。
3. 判断两个方程组同解的方法要判断两个方程组是否有相同的解，通常会使用消元法和高斯消元法等数学方法进行计算和推导。
通过这些方法，我们可以找到方程组的解，并进而判断两个方程组是否同解。
三、行向量组等价的概念1. 向量组的定义向量组是由若干个向量组成的集合，通常用于表示空间中的几何关系。
一个最简单的向量组可以表示为：v1 = [a1, b1, c1]v2 = [a2, b2, c2]其中v1、v2为向量，a1、b1、c1、a2、b2、c2为分量。
2. 等价的定义当两个向量组具有相同的线性相关性质时，我们称这两个向量组为等价向量组。
如果一个向量组可以由另一个向量组线性表出，那么这两个向量组就是等价的。
3. 判断行向量组等价的方法要判断两个向量组是否等价，通常会使用矩阵的行变换、列变换等方法进行计算和推导。
通过这些方法，我们可以找到向量组的线性相关性质，并进而判断两个向量组是否等价。
四、两个方程组同解的性质1. 唯一解和无穷解当两个方程组同解时，它们可能具有唯一解，也可能具有无穷解。
唯一解意味着方程组只有一个解，无穷解意味着方程组有无穷多个解。
这取决于方程组的系数和常数项的具体取值。
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方程组同解指的是两个或多个方程组有完全相同的解集。
以下是方程组同解的结论：
1. 方程组同解的充分条件是它们的增广矩阵经过一系列初等变换后可以化为行简化阶梯形矩阵，并且最后一行形如[0, 0, ..., 0 | b]，其中b 不为零。
2. 如果两个方程组同解，则它们的系数矩阵、增广矩阵和未知量个数必须完全相同。
3. 如果一个方程组存在自由未知量，则不同的自由未知量可以得到不同的解，因此该方程组与任意一个同解方程组的解集都不完全相同。
4. 如果一个方程组无解，则它与任意一个同解方程组的解集也必然不同。
5. 如果两个方程组同解，则它们所代表的线性方程组的几何意义也完全相同，即它们所表示的线性子空间相同。
总之，方程组同解的关键是它们的解集完全相同，而不是每个方程的形式。
因此，判断方程组是否同解需要比较它们的解集，而不是逐个比较方程。