一类拟线性方程组的可解性
一类拟线性抛物型方程组的可解性
（ ） Ａ 一６ ∈／，＞０ ｖ ￡ ｖ ， ２ ｔ ＝
，
在 相 同区 域上 的 问题 （ ） 行 了研 究 ， 用 上下 解 １进 运 方 法 ， 到 问题 （ ） 得 １ 的正 解 的整 体 存 在 性 条 件 ， 并
将 这个 耦合 型方程 扩展 成 ｎ个方程 的情 形 。
ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｂ ｋ ｇ ｕ ｅ ｆ ｔ ｅ ｕ ｐ ｒ ａ ｄ ｌ ｗｅ ｏｕ ｉ ｎ ｍｅ ｏ ｓ ｓ ｍｅ ａ ｐ ｏ ｒａｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｌ ｂ ｌ ｏ ｄ ｔ ｎ ， ｙ ｍａ ｉ ｓ ｏ ｐ ｅ ｎ ｏ ｒ ｓ ｌ ｔ ｔ ｄ ， ｏ ｐ ｒ ｐ ｉｔ ｏ ｄｔ ｎ ｆ ｒ ｇｏ ａ ｉ ｎ ｈ ｏ ｈ ｉ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｕ ｉｎ ｒ ｅｅｍ ｉｅ ｅ ｐ ｃｉ ｅｙ ａ ｄ ｗｅ ｅ ｔ ｎ ｈ ｅ ｕ ｔ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｎ ｑ ａ ｉｎ ． ｘ ｓｅ ｃ ｆ ｓ ｌｔ ｓ ａ ｅ ｄ ｔ ｒ ｎ ｄ ｒ ｓ ｅ ｔ ｌ ， ｎ ｘ ｅ ｄ ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｏ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｖ ｓ ｉ ｏ
（ ） Ａ ｔ ｕ—ａ ｐ ∈ ， ＞０ ＝ ｐ， ｔ
（ｍ） Ａ ａ ｐ ∈ ， ＞０ Ｕ ￡ ｕ— ｕ， ｔ ＝
＝ 口
ｄ ｎ
，
ＸＥ ａ ， ＞ Ｏ ｔ
ｕ（ ０） ０ ， ＝ （ ∈ ） 并得 到 了许 多有益 的性 质 。受此启 发 ， 本文对 定 义
第 ｌ ９卷 第 ２期
２１ ０ ２年 ４月
莆 田 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｕ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ Ｐ ｔ ａ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｉ ｉｅ ｓｔ ｙ
中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５２
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程根本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程y n fx,y',y'', ,y n1，〕在变换yy,yy',L,ynyn112〕之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,y n,dxMMMMdy nf n x,y1,y2,L,y n.dx〔〕在第三章中，已经介绍过方程组〔〕通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的〔〕的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合〞法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合〞法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分〞的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组〔〕的问题。
先看几个例子。
例1求解微分方程组--WORD格式--可编辑--dx yxx2y21,dy xyx2y2 1.dt dt〔〕解：将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘y，然后相加，得到x dx y dy x2y2x2y21，dt dt1dx2y2x2y2x2y21dt。
2这个微分方程关于变量t和x2y2是可以别离，因此不难求得其解为x2y21e2t C1，x2y2〔〕C1为积分常数。
〔〕叫做〔〕的首次积分。
注意首次积分〔〕的左端V x,y,t作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),y y(t)时微分方程组〔〕的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。
因为式〔〕是一个二阶方程组，一个首次积分〔〕缺乏以确定它的解。
为了确定〔〕的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y，第二式两端同乘x，然后用第一式减去第二式，得到y dx x dy x2y2，dt dt即x dy y dx x2y2，dt dt亦即d arctan yx。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时144学时，开设时间为一年。
通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
１．熟练掌握：集合、映射、单射、满射、双射的概念，第一、第二数学归纳法，带余除法，不可约多项式，线性方程组的消元法，矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵，二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
２．掌握：整数的整除性、素数的性质，集合的表示与运算，辗转相除法，综合除法，多项式的互素，根与系数的关系，重因式及其判定，行列式的性质，行列式的展开，矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，二次型的矩阵的合同及其求法，对称矩阵合同于对角矩阵，复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类，正定二次型的判定。
一类p-Laplacian方程的可解性
【 ＝ ０ ． Ｅ Ｂ “ ， ７ ３ １ ７
其中， Ｂ是 Ｒ （≥ ２ 中 ， ） 中心在 原 点 的单位 球 ， 即
Ｂ一｛ ｚＥＲ ： Ｘｆ １ ； ￡ ：０ ＋。 ） ｆ ＜ ｝ Ａ（） （ ， 。 一Ｒ 是 一 个连 续 函数 ； （ ，， 是 定 义 在 Ｂ×Ｒ＋×Ｒ＋ ， ￡Ｓ 硼） 上 的实 函数 。
０ 引
言
本文讨 论 问题 （） 正径 向解 ， １的 问题 （ ） １ 的径
向形 式为
ｒ （ Ｈ （ ｒ ） ＋ ｕ （） ）
本 文研究 下列 拟线 性 方 程 边值 问题 （ ） 正 １式
径 向整 体解 的存在性 与 唯一性 ， 即
ｆｉ｛ Ｉ ｕ １Ｄｕ） ｄｖ Ａ（ Ｄ ） ＋
ＹＵ ｉｄ ｎ Ｚ Ｇｕ－ ｏ ｇ． ＨＯＮＧ ｉ－ ｉｏ Ｊｎ ｂａ
（ ｈ￣ ＩＳ ｉｎ ｅ Ｃ Ｓ ｆＭ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｍｐ ｉ ｃｅ ｃ ，Ａｎｑｎ ａ ｈｅｓＣｏｌｇ ，Ａｎ ｉｇ ４ ０１ ，ＣＩｎ ） ｎ ｉｇＴｅ ｃ ｒ ｌ ｅ ｅ ｑｎ ２ ６ １ ｌ ａ ｉ
１ 局 部 解 的存 在 性
下 面讨论 初始值 问题 （） 即 ３，
ｒ ＿ （ ｒ ） （ ｒ Ｈ ｕ （） ） ＋ ｒ ｆ ｒ ｒ ， ＿ （ ， ） （
。 ㈣
文献［～８ 对椭圆方程边值进行了研究 ， １ ］ 这 里所 研究 的问题 （） １的特点是 ， 中方 程是拟 线性 其 的， 可能在 ｌ ｕｘ Ｉ Ｄ （ ） 一０的点处退化或奇异； 中 其 非线 性项 ｆ ｘ， ｌ ） 比较一 般 的形 式 ， 研 （ ，Ｄｕ１是 且 究 问题 （） １的方 法不 同于文 献 ［￣６ 。 Ｉ ３
一类带权函数的拟线性椭圆方程
维普资讯
２０，７ ２： ７２７ ０７２ Ａ（） ７—８ ２
数学物理学报
一
类带权函数的拟线性椭 圆方程
刘 清
（ 南师范大学数学科学学院 昆明 ６ ０ ９ ） 云 ５０ ２
黄毅 生
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
一类拟线性Choquard方程非平凡解的存在性
[4] LIUJQ,WANG Y Q,WANGZQ.SolutionsforQuasilinearSchrödingerEquationsviatheNehariMethod[J]. Comm PartialDifferentialEquations,2004,29(5/6):879-901.
则存在常数 C(N,μ,r,t)>0,使得对任意的u∈Lr(ℝN )和v∈Lt(ℝN ),有
∬ℝ2N u(xx)-·yvμ(y)dxdy ≤ C(N,μ,r,t)‖u‖r‖v‖t.
方 程 (3)对 应 的 能 量 泛 函 为
∫ ∫ J(u)∶=p1 ℝN (1+2p-1 u p) ∇u pdx-21q ℝN (Iμ* u q)u qdx.
Abstract:Weprovedtheexistenceofnontrivial weaksolutionforaclassofquasilinear Choquard equationswithp-Laplacianoperatoras wellastheconvolutiontermsbyusingthe mountainpass lemma. Keywords:Choquardequation;p-Laplacianoperator;mountainpasslemma;nontrivialsolution
2)方 程 (1)中 的 卷 积 项 导 致 紧 性 条 件 不 再 成 立 ,本 文 利 用 一 些 精 细 的 分 析 技 巧 解 决 了 该 问 题 .
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。