_泛函分析_中两个定理的教学与应用
第31卷第2期2001年3月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE A ND T HEORY V ol.31 N o.2
M arch,2001
《泛函分析》中两个定理的教学与应用
刘迎东
(北方交通大学理学院应用数学所,北京 100044)
摘要: 本文讨论《泛函分析》中S chauder 不动点定理和Arzela -Ascoli 定理的教学方法并把它们用于互助生态模型得到两物种共存的一个充分条件.
关键词: 列紧集;不动点;周期解
1 引 言收稿日期:2000-10-27
《泛函分析》是研究生的一门重要的基础课,但由于它的抽象性使学生学起来有一定的困难.首先可能基本的定理和结论大家就很难掌握,其次即使掌握了抽象的定理和结论也不知道如何去用.正如张恭庆先生在[1]序言中所说,给人以“如入宝山而空返”的感觉.所以他们在写书时注意结合上了在偏微分方程上的应用.笔者在北方交通大学讲授工科硕士研究生泛函分析时,在这方面作了进一步的探讨.鉴于工科硕士研究生对偏微分方程知之甚少,笔者尝试了《泛函分析》中Schauder 不动点定理和Arzela-Ascoli 定理在常微分方程上的应用,发现不仅有助于学生理解和掌握这两个定理,而且对把他们带入规范的科学研究有一定的作用.笔者有一点点体会,愿与大家进行一下讨论.
我们先回顾一下这两个定理.
Schauder 不动点定理:设B 是B *
空间X 中的一个闭凸子集,T :B →B 连续且T (B )列紧,则T 在B 上必有一个不动点[1].
Arzela-Ascoli 定理:设K 是一个紧的度量空间,则为了F 为了掌握好这两个定理,我在教学中给同学们引入了一个两物种互助型的生态问题. d u d t =u (a (t )-b (t )u +c (t )v )d v d t =v (e (t )+f (t )u -g (t )v )(*) 其中u ,v 表示两个物种,a (t ),b (t ),c (t ),d (t ),e (t ),f (t ),g (t )都是严格正的以T 为周期的连续函数.我提出的问题是在什么条件下两物种可以共存,即上述问题有严格正的T 周期解.2 预备知识 我先指导大家证明了一个简单的引理,并了解了线性方程式周期解的一些结论. 引理1 设T 周期函数u 满足d u d t +Cu E 0,其中C >0为常数,则u E 0. 证明 不妨在一个周期[0,T]内考虑.若结论不对,则u必在某点t0∈[0,T]取到最小 值u(t0)<0.若0 d t=0,与 d u(t0) d t+Cu(t0)E0矛盾.若u在0处达到最小, 由周期性,u也必在T处达到最小,则d u(T) d t F0,也与d u(T) d t +Cu(T)E0矛盾.所以原结 论成立. 引理2 设p(t)是T周期连续函数,则d x d t +Cx=p(t)存在唯一T周期解.其中C>0 为常数[2]. 3 基本框架 为了应用Schauder不动点定理,我启发大家应该把原问题转化为某Banach空间中某闭凸子集上算子的不动点问题.空间显然应取T周期连续函数空间.为了保证得到严格正解,闭凸子集应取有某确定正下界的函数集合. 令K=[0,T],X为所有T周期连续函数,设x(t)∈X,取最大值范数‖x‖=m ax t∈[0,T] x(t),则X成为Banach空间.取0 考虑原问题的某个变形: d u d t +Cu=Cu*+u*(a(t)-b(t)u*+c(t)v*) d v d t+Cv=Cv *+v*(e(t)+f(t)u*-g(t)v*) 给定(u*,v*)∈X,由上方程组可得唯一T周期解(u,v)∈X,由此对应可得一算子T: (u*,v*)→(u,v).显然T的不动点就是(*)的T周期解. 紧接着我让学生证明了算子T的连续性. 设T(u*1,v*1)=(u1,v1),T(u*2,v*2)=(u2,v2),则 d(u1-u2) d t +C(u1-u2)=C(u*1-u*2)+u*1(a(t)-b(t)u*1+c(t)v*1) -u*2(a(t)-b(t)u*2+c(t)v*2) d(v1-v2) d t +C(v1-v2)=C(v*1-v*2)+v*1(e(t)+f(t)u*1-g(t)v*1) -v*2(e(t)+f(t)u*2-g(t)v*2) 在u1-u2,v1-v2取极值处,必有d(u1-u2) d t, d(v1-v2) d t为零,而若(u * 1,v*1)→(u*2,v*2) 时,上式右端趋于零,故通过考虑极值可知算子T连续. 4 最后结果 接下来当然是逐条验证Schauder不动点定理的条件,即恰当地选取闭凸集B,使T把B映入B且T(B)列紧,而为证T(B)列紧又要用到Arzela-Ascoli定理,于是大家又对Arzela-Ascoli定理加深了了解.而且在验证定理条件过程中,逐步地把这些条件落实到了原方程的系数上而获得最后结果,这正体现了规范的科学研究的一个过程,使同学们受到了252数 学 的 实 践 与 认 识31卷 这方面的训练. 设E 满足:a (t )-b (t )E +c (t )E E 0,则 d(u -E )d t +C (u -E )E C (u *-E )+a (t )(u *-E )-b (t )(u *+E )(u *-E ) 显然若C 充分大,则上式右端非负,由引理1,u E E . 同理若E 满足:e (t )+f (t )E -g (t )E E 0,C 充分大,则v E E . 若M 满足:a (t )-b (t )M +c (t )M F 0,C 充分大,则u F M . 若M 满足:e (t )+f (t )M -g (t )M F 0,C 充分大,则v F M . 故若我们设b (t )>c (t ),g (t )>f (t ),只要取适当的充分小的E >0,充分大的M >0,然 后再选取适当大的C >0就可得T 把B 映入B .而利用算子的方程表达式可知d u d t ,d v d t 是一致有界的,故T (B )是一致有界且等度连续的,由Arzela-Ascoli 定理,T (B )是列紧集.由Schauder 不动点定理,T 在B 中至少有一个解,即原问题至少有一个严格正T 周期解,两物种可以共存. 所以我们得到了最后的结果: 定理 设b (t )>c (t ),g (t )>f (t ),则(*)存在严格正T 周期解. 参考文献: [1] 张恭庆,林源渠.《泛函分析讲义》上册第一版.北京大学出版社,北京:1987. [2] 李正元,钱 敏.《向量场的旋转度理论及其应用》第一版.北京大学出版社,北京:1982. Teaching Method for Two Theorems in Functional Analysis and Their Applications LIU Ying-dong (Colleg e of Sciences,N or ther n Jia oto ng U niv ersit y,Beijing 100044) Abstract : In this paper we discuss the teaching method fo r Schauder theor em and Ar zela-A sco li t heo rem in functional analysis and use them in a coo per atio n mo del to g et a sufficient conditio n ensuring the coex istence of t wo species. Keywords : sequent ially compact set ;fixed point ;per io dic so lution 2532期刘迎东:《泛函分析》中两个定理的教学与应用 室内设计配色定律 一想到设计的时候什么风格搭配什么颜色，就很头痒吧！的确是啊！今天小编就这个问题，为广大童鞋收集整理了一些室内设计的配色定律，希望你们有所收获。 首先是特备"定律"，给喜欢DIY的朋友们参考： 1. 空间配色不得超过三种，其中白色、黑色不算色。 2.金色、银色可以与任何颜色相配衬。金色不包括黄色，银色不包括灰白色。 3.家用配色在没有设计师指导下最佳配色灰度是：墙浅，地中，家私深。 4.厨房不要使用暖色调，黄色色系除外。 5.打死也不要深绿色的地砖。 6.即使没有人威胁打死你，你也坚决不要把不同材质但色系相同的材料放在一起。否则，你会有一半的机会会犯错！ 7.想制造明快现代的家居品味，那么你就不要选用那些印有大花小花的东西(植物除外)，尽量使用素色的设计。 8.天花板的颜色必须浅于或与墙面同色。当墙面的颜色为深色设计时，天花板必须采用浅色。天花板的色系只能是白色或与墙面同色系者。 9.空间非封闭惯穿的，必须使用同一配色方案。不同的封闭空间，可以使用不同的配色方案。 10.本"定律"如果用于家居设计以外，90%可能错误！ 释义： 什么叫灰度？很简单，把你要用的颜色用黑白复印机印出来比一下就行了。不管是暖色系还是冷色系，必然有它的灰度的。 什么叫素色：就是纯单色。 什么叫色系：接近的同色。 在一般的室内设计中，都会限制使用颜色在三种之内。当然，这不是一种绝对，由于专业的室内设计师熟悉更深层次的色彩关系，用色可能超出三种，但一般只会超出一种或两种。 限制三种颜色的定义： 1、同一个相对封闭空间内的三种颜色，包括天花、墙面、地面和家私。客厅和主人房可以有各成系统的的不同配色，但如果客厅和餐厅是连在一起的，视为同一空间。 2、白色、黑色、灰色、金色、银色不计算在三种颜色的限制之内。但金色和银色一般不能同时存在，只能在同一空间使用金或银的一种。 教学设计原理与方法 一、教学设计概述 1、教学设计的定义是什么？谈谈你是如何理解的。 对教学结果作出评价的一种计划过程与操作程序。 确定并解决教学问题，实现教学最优化的现代教学技术。 （教学设计不再是简单的设计之后加以实施的问题，而是一个在学—教的具体境脉中、在互动中发展演化的过程。） 教学设计属于教育科学领域的方法论学科，是教学论的重要组成部分。 教学设计的基本原理与方法适用于不同类型和层次的教学系统的设计，具有很强的实践性、操作性。 2、教学设计的理论基础是什么？ a)系统科学理论 b)学习理论 c)教学理论 d)教育传播理论 3、教学设计的内容包括哪些？ 1、分析教学目标 2、确定教学策略 3、进行教学评价 4、教学设计应用在哪些领域？试举例说明。 （一）教学类型（过程）的设计 1、多媒体组合课堂教学 2、基于局域网的网络教学 3、广播电视远程教学 4、基于Internet的远程教学 （二）教学资源的设计 1、电视教材 2、多媒体（网络）课件 3、专题学习网站 4、网络课程 5、专业资源库 二、学习者特征与教学目标分析 1、学习者特征分析的内涵是什么？教学中通常需要分析学习者的哪些特征？（学生的认知结构和认知发展水平、学习者的起点能力分析、学习风格、自我效能感、学习动机） 教学中通常需要分析学习者的： 一、认知发展特征分析 二、起点能力分析 三、学习风格分析 四、学习动机分析 五、学习自我效能感分析 2、教学目标分类的代表性理论有哪些？ （一）布卢姆等的教学目标分类理论 1、认知领域 2、动作技能领域 3、情感领域 （二）加涅的学习结果分类理论 （三）国内对教学目标的研究 3、教学目标分析方法有哪些？举例说明如何表述教学目标？ 依据知识点的内容属性确定具体的教学目标，采用教学内容与教学目标二维层次模型 行为目标的ABCD表述方法 A即Audience，意指“学习者”，要求有明确的学习者，他们是目标表述句中的主语。 B即Behavior，意为“行为”，要求说明通过学习后，学习者应能做什么，是目标表述句中的谓语和宾语。 C即Conditions，意为“条件”，要求说明上述行为在什么条件下产生，是目标表述句中的状语。 D即Degree，意为“程度”，要求明确上述行为的标准。 三、学习环境设计 1、学习环境的内涵是什么? 谈谈你是如何理解的 /场所说 /工具说 /条件说 广义的学习环境，是指一切影响学习的环境条件和各种因素。 狭义的学习环境，是指在正规课程中影响课堂学习的各种情况和条件。（专指课堂学习环境） 全面认识学习环境概念，需要结合学习环境的空间和时间两个存在形式来考察，学习环境既是一种静态的系统结构，也是一种动态的发展过程。 2、建构主义学习环境的基本构成要素是什么？举例说明。 3、试述学习环境的设计方法。 ——真实情境 ——问题情境 ——模拟真实情境 四、学习资源设计 1、学习资源的主要类型有哪些？ 加涅的教学设计理论最新版 加涅的教学设计理论最新版 《教学设计原理》是加涅关于学习的结果分类与教学事件比较系统的著作，较为系统地介绍了教学设计的基本原理与方法。全书共分三个部分：第一部分是教学系统绪论，第二部分是学习与教学的基本过程;第三部分是设计教学。 第一部分：教学系统绪论的主要内容有： 1、关于学习的假设; 3、关于学习的条件。关于教学：教学必须考虑影响学习的全部因素，整体而言，可以把它们称作学习的条件(分为外部条件和内部条件)。用学习的信息加工模型来说明学习的过程，并针对整个过程的影响，提出了九大教学事件，这块内容在被何克抗先生称为九五矩阵。 4、教学设计的理论基础：系统论的思想 第二部分：学习与教学的基本过程： 此章介绍的是教学系统和ID的`系统观。教学系统有多种形式和层次水平：第一层次称为“教学设计”，适于单元和单课的教学设计，个人感觉，Dick&Carey在其《教学系统设计》中重点阐述的教学设计模式即属于此类层次的教学设计;第二层次即教育系统设计，是超出课堂与教学单元的系统水平的教育系统设计，学校的校本课程设计、某学科的课程设计应该属于此类。 第三部分：设计教学。 1、教学和教育目的; 2、学习结果的五种类别： (一)智慧技能：如何完成某种智慧行为，从造句这样的基本语 言技能到学科工程工其它学科的高级技术性能。Anderson(1985)认 为这是一种程序性知识。由低到高分别是：辨别——>具体概念——>规则和定义性概念——>高级规则——>问题解决。 (二)认知策略：支配个体自身的学习、记忆和思维行为的性能。由Weinstein和R?E?Mayer1986年提出的分为复述策略、精加工策略、理解监控策略、情感策略。 (三)言语信息：又称为陈述性知识，以合乎语言规则的命题形 式存储的。三种情境：(一)学习名称：可使用记忆术;(二)属于孤立和单个事实的学习：两个或多个名字的客体或事件之间关系的言语 陈述;(三)有组织的信息学习：由相互联系的事实构成的知识体系。 (四)动作技能。 (五)态度：影响个体对人、对物、对事的行为的复杂内部状态。 1.直接法; 2.间接法。 在Dick&Carey的教学系统设计中，将这五类合并为四种技能： 言语信息、智慧技能、心智运动技能、态度。原因是智慧技能中通 常包含认知策略。 加涅认为学习的行为是千差万别的，千差万别的学习行为都可以归入上述五类习得的学习结果中。每类学习的行为表现不同，所需 的内部条件和外部条件也不同。因此，我们应针对不同类型的学习 进行教学设计，包括确定目标、任务分析、教学过程及结果测评。 利用半个月的时间把加涅的《教学设计原理》又读了一遍，本科时只是泛泛的读，大体了解这本书的主要内容，没有深入的思考。 现在以探究的心态来读这本书，可以提出一些疑惑一些问题。我们 都熟悉加涅的教学设计思想是根据不同的学习结果类型创设不同的 学习的内部条件并相应的安排学习的外部条件。这本书首先提出这 一思想，然后分章节阐释。这里有三个关键词，学习结果类型，内 部条件，外部条件。 《教学设计原理与方法》复习提纲 （20XX年6月） | 一、教学设计概述 1、教学设计的定义是什么 教学设计是应用系统方法分析研究教学的问题和需求，确定解决它们的教学策略、教学方法和教学步骤，并对教学结果作出评价的一种计划过程与操作程序。 2、教学设计的理论基础是什么 系统科学理论、学习理论、教学理论、教育传播理论 3、教学设计的内容包括哪些 1、分析教学目标 2、确定教学策略 3、进行教学评价 4、教学设计应用在哪些领域试举例说明。 ? 教学类型（过程）的设计教学资源的设计 1、多媒体组合课堂教学 1、多媒体（网络）课件 2、基于局域网的网络教学 2、专题学习网站 3、广播电视远程教学3、网络课程 4、基于Internet的远程教学 4、专业资源库 二、教学目标与教学内容分析 1、教学目标的定义是什么 教学目标是对学习者通过教学后应该表现出来的可见行为的具体明确的表述，是教学设计和课程设计的基础，是学习者在教学活动实施中应达到的学习结果。 | 2、教学目标分类的代表性理论有哪些 3、教学目标分析方法有哪些教学目标的表述方法有哪些试举例说明。 教学目标的分析方法： （1）分析教学内容 （2）分解目标层次 （3）表述教学目标教学目标的表述方法： ` （一）行为目标的ABCD表述法 对象（audition）、行为（behavior）、条件（conditions）、标准（degree） Ex：（“给予20个要填写形容词的未完成的句子，学生能在15分钟内分别写出形容词以完成句子”） （二）内部过程与外显行为相结合的表述法（三）表现性目标的表述法 4、教学内容可以分为哪几类 事实、概念、技能、原理、问题解决 5、教学内容分析方法有哪些教学内容分析的关键在什么地方 归类分析法图解分析法层级分析法信息加工分析法 教学内容分析的关键： " 《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =? (iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞ 《教学设计原理》加涅 概念，原理及名词解释 一.教学与教授：教授仅仅是教学的一部分。教一词指的是一个人想学习者讲授或者掩饰某些东西。但是教师或培训者的角色包括多种不同的任务，如选择材料，判断学生的准备情况，监控教学活动，最终起到内容资源与学习促进的作用，于是更广泛的术语“教学”讲强调的重点放在了教师用来使学生参加到学习活动中去的完整的活动范围。 二.教学原理的基本假设： 1. 教学设计必须已帮学习过程而不是教学过程为目的的，教学 设计也是以有目的的学习而不是“偶然”学习为目的的。这就 意味着最终的目标与预期的学习结果指导着学习活动的设计 与选择。 2. 学习是一个手许多变量影响的复杂过程。卡罗尔界定了至少 五个影响学生所能达到的学习程度的主要变量：（1）学生的 毅力（2）允许学习的时间（3）教学质量（4）学生的能力倾 向（5）学生的学习能力。但是这些变量不是无关的，因此一 个有效的教学设计模式不能仅关注其中之一。 3. 教学设计模型可以在多种水平上应用。 4. 设计是一个反复的过程设计教学首先要包括学习者，并且利 用学习者进行检验，利用这些来自学习群体的反馈来修改教 学并使其更有效。 5. 教学设计本身作为一种过程，应当包括如下子过程：确定预 期结果、开发活动、设计备用练习形式、评价与反馈。 6. 不同类型的学习结果需要不同类型的教学。 三.若干学习原理 1. 接近原理：指的是刺激情景必须与预期的反应同时呈现。 2. 重复原理：指的是要是学习得到进步并靠可靠的保持，刺激 和它的放映需要重复或练习。 3. 强化原理：一个新的行为，倘若在他出现时有一个令人满意 的事态随其后，则这一新的需变更为的学习讲得到增强。四.教学系统设计的的基本过程（ADDIE模型）：包括五个基本过程分为，分析、设计、开发、实施、评价。 五．言语信息： 目的：是为了强调表现性的性能。功能：为学习者建构其他技能，提供一种结构或基础。 言语信息的学习 室内色彩搭配技巧的一些黄金定律 现代风格 以简洁明快为其主要特色。重视室内空间的使用效能，强调室内布置应按功能区分的原则进行，家具布置与空间密切配合；主张废弃多余的、繁琐的附加装饰，使室内景观显得简洁、明快，完美地反映出“少就是多”这一设计概念。如一间现代风格的居室，利用不规则墙面形成壁面家具，同时这一墙面也起到美化居室的作用。地面、天花板均朴素、淡雅，无一多余饰物，显得简洁、舒适、大方，令人赏心悦目。 复古风格 当人们对现代生活求新求变的要求在不断得到满足时，又萌生出一种向往传统、怀旧复古的情绪。在复古思潮影响下，十八、十九世纪盛行于欧洲的装饰风格又出现于现代建筑之中。例如曲线优美、线条流动的洛可可风格的家具被人用来作为居室陈设，再配以相同格调的壁纸、帘幔、地毯、家具等，显得恬静典雅、古色古香，宛如回到上个世纪中去。又如在室内摆置古典风格的饰品柜，陈列各种颇有欣赏价值的古代餐具、茶具等器皿，给室内增添了端庄凝重的气氛。 乡土风格和自然风格 主要表现为尊重民间的传统习惯、风土人情，保持民间特色，注意运用地方建筑材料或利用当地的传说故事等作为装饰的主题。这样可使室内景观丰富多彩，妙趣横生。例如“渔家”的布置采用较暗的灯光，墙上挂着鱼叉、鱼网和船桨，天花板用的是一艘底儿朝天的小木船，置身其中，仿佛来到渔村，享受到特有的幽静和温情。 大城市生活的紧张、拥挤和环境污染，使人们产生厌倦，向往能享受更多阳光、空气、鸟语花香的环境。这种思绪使人们崇尚自然的室内布置，例如采用不加粉刷的砖墙面，将粗犷的木纹刻意外露于室内。木、藤家具造型朴拙，甚至带着原有的树皮，形成一种自然轻松的田园韵味。有的将绿色植物、花卉、鸟雀引进室内，使人犹如置身于大自然的怀抱。 东方风格 中国、印度、日本等东方国家的家具、陈设及日用品，在艺术上都具有自己独特的风格和民族气息。西方国家普遍认为东方文化的艺术魅力具有持久性，它的美不受时代潮流限制，因此不少人常常凭借东方风格的器物所特有的恬静、含蓄、稳重的气质来增添现代居室的神采韵律。东方风格的室内布置是灵活多样的，有时将室内一角布置成东方韵味的环境，有时整个房间或整幢房子都用东方风格的家具、屏风、古董、刺绣等装点。 后现代风格 主张兼容并蓄，凡能满足当今居住生活所需的都加以采用。这种风格的室内设计，空间组合十分复杂，突破完整的立方体、长方体的组合，且多呈界限不清的状态。利用设置隔墙、屏风或壁炉的手法来制造空间层次感，使居室在不规则、界限含混的空间利用细柱、隔墙，形成空间层次的不尽感和深远感。后现代派的设计者们还常将墙壁处理成各种角度的波浪状，形成隐喻象征意义的居室装饰格调。 居室色彩选择搭配应以符合主人的心理感受为原则。通常，有这样几个色调的搭配方法： ——轻快玲珑色调。中心色为黄、橙色。地毯橙色，窗帘、床罩用黄白印花布，沙发、天花板用灰色调，加一些绿色植物衬托，气氛别致。——轻柔浪漫色调。中心色为柔和的粉红色。地毯、灯罩、窗帘用红加白色调，家具白色，房间局部点缀淡蓝、有浪温气氛。 ——典雅靓丽色调。中心色为粉红色。沙发、灯罩粉红色，窗帘、靠垫用粉红印花布，地板淡茶色，墙壁奶白色，此色调适合少妇和女孩。——典雅优美色调。中心色为玫瑰色和淡紫色，地毯用浅玫瑰色，沙发用比地毯浓一些的玫瑰色，窗帘可选淡紫印花的，灯罩和灯杆用玫瑰色或紫色，放一些绿色的靠垫和盆栽植物点缀，墙和家具用灰白色，可取得雅致优美的效果。 ——华丽清新色调。中心色为酒红色、蓝色和金色，沙发用酒红色，地毯为暗土红色，墙面用明亮的米色，局部点缀金色，如镀金的壁灯，再加一些蓝色作为辅助，即成华丽清新格调。 住宅装修色彩技巧 泛函分析在力学和工程中的应用 陆章基 （复旦大学应用力学系） 摘要 本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。并介绍当前非线性分析中部分动态。 $ 1 泛函分析概述 泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p （Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，≥1，m≥0）[3]。它是由L p 并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。 泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算 1 第1章预备知识 1.1集合的一般知识 1.1.1概念、集合的运算 上限集、上极限 下限集、下极限 1.1.2映射与逆映射 1.1.3可列集 可列集 集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构 1.2.1建立实数的原则及实数的序关系 阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理 上确界sup E（定义1.5） 下确界inf E 确界原理（定理1.7） 1.2.3实数集的度量结构 数列极限与函数极限 单调有界原理 区间套定理 Bolzano-Weierstrass定理 Heine-Bore定理 Cauchy收敛准则 1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续 函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛 逐点收敛（定义1.11） 一致收敛（定义1.12） Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质 极限与积分可交换次序 1.4 Lebesgue积分 1.4.1一维点集的测度 开集、闭集 有界开集、闭集的测度m G m F 外测度内测度 可测集（定义1.16） 1.4.2可测函数 简单函数（定义1.18） 零测度集 按测度收敛 1.4.3 Lebesgue积分 有界可测集上的Lebesgue积分 Levi引理 Lebesgue控制收敛定理（性质1.9） R可积、L可积 1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理 1.5 空间 Lp空间（定义1.28） Holder不等式 Minkowski不等式（性质1.16） 2 第2章度量空间与赋范线性空间 2.1度量空间的基本概念 2.1.1距离空间 度量函数 度量空间（X，ρ） 2.1.2距离空间中点列的收敛性 点列一致收敛 按度量收敛 2.2度量空间中的开、闭集与连续映射 2.2.1度量空间中的开集、闭集 开球、闭球 内点、外点、边界点、聚点 开集、闭集 2.2.2度量空间上的连续映射 度量空间中的连续映射（定义2.7） 同胚映射 2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性 2.3.1度量空间的可分性 稠密子集（定义2.9） 可分性 2.3.2度量空间的完备性 度量空间中Cauchy列（定义2.11） 完备性 完备子空间 距离空间中的闭球套定理（定理2.9） 闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性 列紧集、紧集（定义2.13） 全有界集 2.4 Banach压缩映射原理 压缩映像 不动点 Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用 隐函数存在性定理（例2.31） 2.5 线性空间 2.5.1线性空间的定义 线性空间（定义2.17） 维数与基、直和 2.5.2线性算子与线性泛函 线性算子 线性泛函（定义2.18） 零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间 2.6.1赋范线性空间的定义及例子 赋范线性空间 Banach空间（定义2.20） 2.6.2赋范线性空间的性质 收敛性——一致收敛 绝对收敛 连续性与有界性 2.6.3有限维赋范线性空间 N维实赋范线性空间 第一条: 空间配色不得超过三种，其中白色、黑色不算色。 第二条：金色、银色可以与任何颜色相配衬。金色不包括黄色，银色不包括灰白色。 第三条：家用配色在没有设计师指导下最佳配色灰度是：墙浅，地中，家私深。 第四条: 厨房不要使用暖色调，黄色色系除外。 第五条：打死也不要深绿色的地砖。 第六条：即使没有人威胁打死你，你也坚决不要把不同材质但色系相同的材料放在一起。否则，你会有一半的机会会犯错！ 第七条：想制造明快现代的家居品味，那么你就不要选用那些印有大花小花的东西(植物除外)，尽量使用素色的设计。 第八条：天花板的颜色必须浅于或与墙面同色。当墙面的颜色为深色设计时，天花板必须采用浅色。天花板的色系只能是白色或与墙面同色系者。 第九条：空间非封闭惯穿的，必须使用同一配色方案。不同的封闭空间，可以使用不同的配色方案。 第十条：本"定律"如果用于家居以外，90%可能错误！ 释义： 什么叫灰度？很简单，把你要用的颜色用黑白复印机印出来比一下就行了。不管是暖色系还是冷色系，必然有它的灰度的。 什么叫素色：就是纯单色。 什么叫色系：接近的同色。 在一般的室内设计中，都会限制使用颜色在三种之内。当然，这不是一种绝对，由于专业的室内设计师熟悉更深层次的色彩关系，用色可能超出三种，但一般只会超出一种或两种。 限制三种颜色的定义： 1、同一个相对封闭空间内的三种颜色，包括天花、墙面、地面和家私。客厅和主人房可以有各成系统的的不同配色，但如果客厅和餐厅是连在一起的，视为同一空间。 2、白色、黑色、灰色、金色、银色不计算在三种颜色的限制之内。但金色和银色一般不能同时存在，只能在同一空间使用金或银的一种。 3、图案类以其呈现色为准。例如一块花布有多种颜色，由于色彩有多种关系，所以专业上以主要呈现色为准。办法是眯着眼睛看，即可看出其主要色调。但如果一个大型的图案的个别色块很大的话，同样得视为一种色。 装修流行式 很多业主在装修前，都会相当关心自己家的装修风格，就像很多人买车怕车型落后一样紧张。对于很多人来说，在预算允许的情况下做出最合适的装修是一件非常重要的事。 所以，我们经常会听到大家在谈论时会说到那一些东西老土，或落后之类的用词。国内素有装修风格跟风的习惯。上世纪80年代流行水曲柳，那个时代装修仍然是一件较为少见的事儿。上世纪90年代开始，人民生活水平的提升，装修活动大幅增加，有一些业主甚至曾经装修过几套房子，在这个年代，风靡一时的当算红榉木（红榉事实上是偏黄色的），于是就形成了"全国河山一片黄"的 教学设计原理 R.M.加涅 相关书籍： 《学习的条件和教学论》R.M.加涅 《学习心理学：一种面向教学的观点》P.M.德里斯科尔 《学习与教学》R.E.梅耶 《教学设计原理》R.M.加涅 《学习、教学与评估的分类学：布卢姆教育目标分类的修订》布卢姆《系统化教学设计》W.迪克 《教学设计》P.L.史密斯 一教学系统导论 1 教学设计导论 教学设计的主体内容：教师用来使学生参与到学习活动中去的完整的活动范围，如： ?如何将学生进行分组，以有助于学生学习和交流 ?什么时候练习与反馈最有效 ?技能知识学习的前置知识有哪些 掌握教学设计原理的目的： 按照一定的理论，对教学设计过程进行设计，促进学生参与到学习事件和活动中去，使教学更有效。 1.1 教学设计的基本假设 没有哪一种教学设计模型是最佳的，基本假设： ?教学设计是帮助学习过程，而不是教学过程（目的是达到教学效果） ?学习效果受多种因素的影响（毅力、时间、教学质量、学生能力、原有知识、学习能力等） ?教学设计模型可运用到多种教学场景下（学生个体、小组、大组），原理保持不变 ?利用学习者对教学设计进行检验，反复设计与验证，使教学趋于完善 ?教学设计本身是一个过程，包含相关子过程（原子过程是：将学生置于学习过程中的预习、评价、 反馈等） ?不同的学习目标需要不同的教学形式 1.2 学习原理 学习情境 人在清醒的时刻，都在观察和处理信息，一些信息被记忆，一些被摒弃。 是什么让人记忆： ?学习者内部（来源于学习者，想获知） ?学习者外部（提供一个事件，包括学习内容、目的、方法等环境） ?学习者、学习发生的情境、学习的内容、学习过程等存在着相互作用 教学原则 从学习原理中，指导教学设计的一些原则： ?接近：教学环境与学习目的相接近 教学情境的设计接近学习的目的，或学习预期。教学设计以达到教学目标为纲，而不应以方便学习或教学为目的。如，学习目的是“在没有帮助的情况下，装配一支枪”，教学中要尽量避免给学生图纸。 ?重复：教学环境与学习者的反应需要重复，以使学习得到进步 重复的教学环境和学习者反应，只是一种练习形式，而非基本条件，也不是必须的。 ?强化：使学习变得有期望，以便学习者能“自我激励” 学习过程中，如果能让学习者看到预期的结果，并相信能达到，将使学习得到强化。预期的结果可以分为两种 ?短期，如学习习得了，就有奖励等 ?长期，如社会期望、人生追求、家庭厚望等 ?合作协商：学生与其他学生或知识丰富的人一起学习，以确认信息的意义，即合作学习环境可以 促进学习 ?广泛认知：学生广泛的获取相关惰性知识（初步接触，并不注重应用，在需要时能回忆起来，并 通过进一步学习掌握的知识），是教学环境设计的一部分 ?组织活动：通过参加活动来促进学习发生 要明确学习是活动的结果和目的。 泛函分析在控制工程中的 应用 作者：景苏银 学号： 0211443 单位：兰州交通大学 日期：2011.12.1 泛函分析在控制工程中的应用 【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。 【关键词】泛函分析控制工程控制优化 泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技 术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of application Abstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields. 【正文】 《教学设计原理与方法》考评方式与标准 一、考核的形式 本课程考核的形式主要有三种，分别是日常考查、项目实践评定与期末考试评定。 日常考查是一种伴随日常教学而进行的经常性检查和了解学生学习情况的方法。本课程采用的日常考查形式主要是习题作业。 项目实践评定是一种针对项目或任务的实践成果而进行考核评价的方法。本课程综合采用电子作品（e-work）和评价量规（rubric）对每一项目实践的成果加以评定。 ?电子作品是学习者根据所学的知识，针对某一主题独立完成任务并以成果的 形式如电子作品、解决方案、研究报告、网页等方式展示自己的学习所得。 ?评价量规是一个评分工具，它为一个作品或其他成果表现列出标准，并且从 优到差明确描述每个标准的水平。 期末考试是依据课程目标和内容，选择一系列有代表性的问题，按照一定的程序与方式，对学生所学知识的掌握程度及综合运用知识的能力进行测量与评价的方法。 二、考核的内容 针对不同的考核形式，相应地，有不同的考核内容。 日常考查的内容主要是各教学专题的习题作业，请参见习题作业。 项目实践评定的内容主要是三个电子作品，并依据三个评价量规进行评价（如表1所示）。 项目实践内容电子作品评价量规 项目实践1：网络教学资源 的设计选择某一个学科的某一个内容，基 于一定的教学策略与设计方法，参 照资源技术规范，设计与开发一个 网络教学资源。 参见“附录1：网络教学资源 评价量规” 项目实践2：教学过程（模 式）的设计依据已开发的学习资源，选择合适 的教学模式（策略）进行教学过程 设计，撰写一份教学设计方案。 参见“附录2：教学设计方案 评价量规” 项目实践3：教学（培训）绩效改进方案的设计结合具体的问题，运用以绩效为导 向的教学设计方法，设计一份教学 （培训）绩效改进方案。 参见“附录3：教学（培训） 绩效改进方案评价量规” 现代数学基础学习报告 泛函分析应用 院系： 专业： 导师： 姓名： 学号： 摘要 信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将求解过程变得更加简便和清晰。 1.泛函分析介绍 泛函分特点和内容[1] 泛函分析是20世纪30年代形成的分科，是从变分问题，积分方程和的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和。它可以看作无限维向量空间的解析几何及。泛函分析在，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多力学系统的例子。一般来说，从力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在、概率论、函数论、连续介质力学、、计算数学、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、、、、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。 泛函的理论[2] 泛函分析练习题 一?名词解释： 1.范数与线性赋范空间 2.无处稠密子集与第一纲集 3.紧集与相对紧集 4.开映射 5.共貌算子 6.内点、内部： 7.线性算子、线性范函： 8.自然嵌入算子 9.共貌算子 10.内积与内积空间： 11.弱有界集： 12.紧算子： 13.凸集 14.有界集 15.距离 16.可分 17.Cauchy 列 18.自反空间 二、定理叙述 1、压缩映射原理 2.共鸣定理 3.逆算子定理 4.闭图像定理 5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理 6、Bai re纲定理 7、开映射定理 8、Riesz表现定理 三证明题： 1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。 1 + Q 证明：Vx,y,zcX 显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x = (2) d(x9y) = d(y,x) (3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得 1+，1+r d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z) ' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z) 匕Q（x，）'） | Q（）'，z） 一1 + Q（3）1+ /?（），, z） = d（x,y） + d（y,z） 故』也是X上的度量。 2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。 证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\ 己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。 故有I ，以）一（x, y）『—。 即Cw〃）T（x,y）。 5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从 ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。 解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。 取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*. 所以||T||>-^e 故有11『11=±? （2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时 ||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2 Vn,(!--室内设计配色定律
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