导数中一题多解问题

第二周 导数中的一题多解问题

一、小题精粹

1、设函数()=(21)x f x e x ax a --+，其中1a <，若存在唯一整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是A 、3,12e ??-???? B 、33,24e ??-???? C 、33,24e ?????? D 、3,12e ??????

2、已知函数2()ln f x x x ax =+，若函数在(0,1)上不单调，求实数a 的取值范围。

3、设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x

f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是

4、若存在实数a 使得ln 1x a x ++≤在[]1,x m ∈上恒成立，则m 的最大整数为-

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

5、若过点(,)P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（）

A 、(,)e -∞

B 、(,)e +∞

C 、1(0,)e

D 、(1,)+∞

6、设函数()f x 的导函数为()f x '，对任意x R ∈都有()()f x f x '>成立。则

A 、3(ln 2)2(ln3)f f >

B 、3(ln 2)2(ln3)f f =

C 、3(ln 2)2(ln3)f f <

D 、3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不定

7、已知函数2()3f x x x =+，若方程()10f x a x --=恰有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是----

例1、已知函数()()x f x e mx m R =-∈

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若1m =，且当0x >时，()()1t x f x x '-<+恒成立，求整数t 的取值范围。

例2、已知函数1()ln (1)

x f x x a x +=-。

（1）设1a =，讨论()f x 的单调性；

（2）若对任意(0,1)x ∈，()2f x <-，求实数a 的取值范围。

例3、已知函数2()(1)x

f x x e -=-，求证：当[]0,1x ∈时，211()21x x f x x --+≤≤。 例4、（2014全国文）已知函数32()=32f x x x ax -++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-。

（1）求a ；(1a =)

（2）证明当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。

例5

、设()ln 1f x x =+，证明：

(Ⅰ)当1x >时，3()(1)2

f x x <

-； (Ⅱ)当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+.

例6、已知函数ln ()1

x x f x x =+和直线:(1)l y m x =- （1）当曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线l 垂直时，求原点到直线l 的距离；

（2）若对于任意的[)1,x ∈+∞，()(1)f x m x -≤恒成立，求m 的取值范围。

（3

）求证：*21()41n i i n N i =∈-∑。