工程流体力学第二章
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结论：
平衡流体中任意点的压强P只是位置坐标（x,y,z）的函 数，与其作用方向无关。
即P=f(x,y,z) 流体静压强只是空间的函数。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
本节分析作用在流体微团的质量力和表面力的平衡关系， 这样就会得到流体静止的微分方程。 本节中微分方程，是流体静止时分析的，此时质量力仅 为重力，同样适用于流体的相对平衡，即质量力除重力外，
常数
（2.11）
§2.3流体静力学基本方程
流体静力学基本方程式适用于均质不可压缩的重力流体 处于静止状态时流体内部的任意两点。
§2.3流体静力学基本方程
二、静止液体中的压强计算和等压面
在自由液面上有： z=H 时,p= P0 带入公式（2.10）得
水静力学基本方程：
(2.14) 即在重力作用下静止的有自由表面的不可压缩流体中， 任一点的静压强由两部分构成：第一部分是自由表面上的 压强 ；第二部分是淹深为h、密度为ρ的流体柱产生的压 强。
§2.1静止流体上的作用力
流体力学中研究流体的运动时，正确地分析作用在所考 虑的流体系统上的表面力是极其重要的。
2、表示：应力（单位面积上的表面力 ）
压强
切应力
3、常见表面力 大气压强、摩擦力
§2.1静止流体上的作用力
4、单位 ，量纲
表面力
N
MLT 2
应力
Pa
ML1T 2
质量力与表面力均为分布力，质量力分布于体积上，am
是质量力在空间中的分布密度；表面力分布于面积上，应力 为作用面上的分布密度。
问题1：静止的流体受到哪几种力的作用？
重力与压应力，无法承受剪切力。
问题2：理想流体受到哪几种力的作用？
重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
§2.1静止流体上的作用力
三、静止流体中任一点应力的特性
1、静止流体表面应力只能是压应力或压强（如图B点），且静 水压强方向与作用面的内法线方向重合。
欧拉平衡微分方程的积分为：
P P0 (W W0 )
如果知道表示质量力的势函数W=f(x，y，z)，则可
以求出平衡流体中任意一点的压强。
三、等压面equipressure surface
1、定义：是指流体中压强相等（p=const）的各点所组成的面。 2、等压面的微分方程
dp Xdx Ydy Zdz 0
1 p p dx 2 x
1 p p dx 2 x
所选取的是边长为dx，dy，dz的微元六面体，故各面上 重心处的压强可以看成是这些面的平均压强，则作用于各 个面上的总压力为:
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
a-b-c-d面压力
1 p dPx p dx dydz 2 x
质点受力作用而改变运动状态时，由于本身的惯性对施力 物体的反作用力。
质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体 反作用力的合力。
惯性力的作用点在施力物体上，方向与加速度相反。
§2.1静止流体上的作用力
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？ A. am水< am水银； B. am水> am水银； C. am水= am水银； D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
在物体的自由落体运动时，物体是处于 完全失重的状态的，重力压强自然就不 存在了
§2.1静止流体上的作用力
二、表面力surface force
1、定义：又称面积力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表
等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力 的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜 体与浮体的稳定性问题等。
第二章
流体静力学
流体的“静止” 绝对静止：流体相对于地球无运动 相对静止：流体质点没有相对运动（容器作匀 加速直线运动或等加速回转运动）
由于静止流体的流体质点间没有相对运动， 因而流体的粘性显示不出来，可以看作理想流体。
面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面积成 正比。 表面力是就所研究的流体系统而言的，它可能是周围同 种流体对分离体的作用，也可能是另一种相邻流体对其作用，
或是相邻固壁的作用。
例如，敞开容器内的液体，如把整个液体作为研究系统， 则它仅受自由面上的大气和相接触的容器壁面的作用；若把 和固壁接触的自由面附近的部分液体取作分离体，则上述三 种表面力都存在。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
在平衡液体中， C可得：
Xdx Ydy Zdz 0
流体的界面 、流体与固体的水平接触面。
常见的等压面有：自由液面、平衡流体中互不混合的两种 3、性质
Fra Baidu bibliotek
等压面即等势面
dW 0,W C
等压面与质量力垂直
Xdx Ydy Zdz 0 表示单位质量力在等压面内移动
流体不能承受拉力，且具有易流动性(如图A点,必须)。
2、作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方 位无关。 既有
§2.1静止流体上的作用力
证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取 坐标轴。 由于液体处于平衡状态，则有 为零，则： ，即各向分力投影之和亦
x方向受力分析:
§2.1静止流体上的作用力
惯性力的概念
人用手推车，力为 F ，车的加速度为 力物体（人手）也受到一个力 F '。
a ，根据作用与反作用定律，施
F ' F m a F ' 是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来 的运动状态）而引起的对于施力物体（人手）产生的反抗力，称为小车 的惯性力。
单位质量力: am
（单位质量的质量力，在数值和单位上均与对应的加速度相同。） 单位质量力分力:X、Y、Z
§2.1静止流体上的作用力
3、常见质量力 重力G=mg、直线运动惯性力、 F=ma 4、单位，量纲 、离心惯性力 mr 2 F
质量力
单位质量力
N
N/kg
MLT 2
LT 2
重力的大小与流体的质量成正比，所以流体所受的单 位质量力的大小等于重力加速度的量值，当采用惯用的直角 坐标系时，Z轴铅锤直向上为正，重力在各向的分力为（0，0， mg），单位质量力的轴向分力为（X,Y,Z）=（0，0，-g）
第二章
流体静力学
§2.1 静止流体上的作用力 §2.2流体的平衡微分方程及其积分
§2.3流体静力学基本方程
§2.4流体静压强的测量 §2.5静止流体对平面壁的作用力
§2.6静止流体对曲面壁的作用力
第二章
流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学
规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的
特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，
W W W ,Y ,Z x y z
由此得
X
满足上式的函数称为势函数，当质量力可以用这样的 函数来表示时，称为有势的质量力。 压强的全微分方程：dP dW
只有在有势质量力的作用下，流体才可以处于平衡状态。
积分得： P W C
C P0 W0
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
§2.1静止流体上的作用力
是指在某种力场中，作用在流体的每一个质点上 的力。它的大小与流体的质量成正比；方向由力场的 性质决定。
重力场；惯性力，磁力场； 电力场
§2.1静止流体上的作用力
2、表示：单位质量力或单位质量力分量
Fm m am m( Xi Yj Zk )
如果微团极限缩为一点，即 V 0，则 dFm dm am dm( Xi Yj Zk ) 质量力: Fm
表面力：
§2.1静止流体上的作用力
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：Px=Pn 类似地有： 图中的斜面是任意选取的，即n是任意的，所以同一点静 压强大小相等，与作用面的方位无关。也就是说静止流体中
任意一点各个方向受到的压强值大小是相等的。
§2.1静止流体上的作用力
还有惯性力同时作用下的液体平衡规律，相对平衡运动。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
在理想运动流体中任取微元直角六面体abcdefgh，设 形心A（x、y、z）处的压强为p。这个六面体微团在质量 力和表面力的作用下，处于平衡状态。 1、质量力
Fx dxdydzX
Fy dxdydzY
Fz dxdydzZ
微元长度所做的功为零。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
即
am ds 0
★两种流体的交界面为等压面
问题1： 只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1.静止； 2.连通； 3.连通的介质为同一均质流体；
5.同一水平面。 4.质量力仅有重力；
判断等压面的条件：只有重 力作用下的等压面应是静止、 连通而且连通的介质为同一 均质流体的同一水平面。
X 1 p 0 x
简化得：
同理
y方向 Y 1 p 0
z方向
y
Z
1 p 0 z
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
4、含义
流体平衡时，作用于流体上的质量力与压强递增率之间的关
系即质量力作用的方向就是压强递增率的方向； 平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量； 此公式适用于绝对平衡流体，也适用于相对平衡流体； 单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则压强在该平面 就无递增率，则该平面为等压面；如果质量力在各轴向的分 力均为零，就表示无质量力作用，则静止流体空间各点压强 相等。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
2、表面力 m、n点分别为a-b-c-d面及e-f-g-h面的重心点，其位置 坐标均与A点相差1/2dx，由于流体静压强是空间坐标的连 续函数（P=f(x，y，z)），沿x轴方向作用于边界面a-b-c-d 及e-f-g-h中心处的压强，根据泰勒级数展开，并取前两项 分别为：
§2.3流体静力学基本方程
结论：
压强随深度按直线变化的规律，装在同一容器内的同一均质 静止液体，任意位置处的压强是随其所处深度变化而增减。 仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压 强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下 的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点 的压强值。
§2.1静止流体上的作用力
研究流体运动规律，首先必须分析作用于流体上的力， 力是使流体运动状态发生变化的外因。
根据物理性质： 重力、摩擦力、惯性力、表面张力 根据力作用的方式： 质量力、表面力 在静止流体中取体积 V 的流体微团，其表面积A
一、质量力mass force
1、定义:是指作用于隔离体内某一流体质点上的力，它的大 小与质量成正比。对于均质流体（各点密度相同的流体）， 质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
e-f-g-h面压力
3、流体平衡微分方程（流体静力学基本方程） 沿X轴， F 0 即 dP dP/ Fx 0 x x x 即
1 p dPx/ p dx dydz 2 x
1 p 1 p p dx dydz p dx dydz dxdydzX 0 2 x 2 p
问题2:如图所示中哪个断面为等压面?
§2.3流体静力学基本方程
一、静止液体中的压强分布
自然界或工程实际中经常遇到的是，作用在流体上的 质量力只有重力的情况。
代入压差公式可以推得：
dP ( gdz) dz
积分得： P z c 即：流体静力学基本方程
z p
（2.10）
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
二、平衡微分方程的积分
将流体平衡微分方程中的各式，分别乘以dx，dy，dz,得
p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
P=f(x，y，z) dp Xdx Ydy Zdz
C ，设坐标函数W=F（x，y，z）
如果流体是不可压缩的，即 C ，因此，上式右 边的括号内的数值必然是某一函数W（x，y，z）的全微 分，即：
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
W W W dW Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
平衡流体中任意点的压强P只是位置坐标（x,y,z）的函 数，与其作用方向无关。
即P=f(x,y,z) 流体静压强只是空间的函数。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
本节分析作用在流体微团的质量力和表面力的平衡关系， 这样就会得到流体静止的微分方程。 本节中微分方程，是流体静止时分析的，此时质量力仅 为重力，同样适用于流体的相对平衡，即质量力除重力外，
常数
（2.11）
§2.3流体静力学基本方程
流体静力学基本方程式适用于均质不可压缩的重力流体 处于静止状态时流体内部的任意两点。
§2.3流体静力学基本方程
二、静止液体中的压强计算和等压面
在自由液面上有： z=H 时,p= P0 带入公式（2.10）得
水静力学基本方程：
(2.14) 即在重力作用下静止的有自由表面的不可压缩流体中， 任一点的静压强由两部分构成：第一部分是自由表面上的 压强 ；第二部分是淹深为h、密度为ρ的流体柱产生的压 强。
§2.1静止流体上的作用力
流体力学中研究流体的运动时，正确地分析作用在所考 虑的流体系统上的表面力是极其重要的。
2、表示：应力（单位面积上的表面力 ）
压强
切应力
3、常见表面力 大气压强、摩擦力
§2.1静止流体上的作用力
4、单位 ，量纲
表面力
N
MLT 2
应力
Pa
ML1T 2
质量力与表面力均为分布力，质量力分布于体积上，am
是质量力在空间中的分布密度；表面力分布于面积上，应力 为作用面上的分布密度。
问题1：静止的流体受到哪几种力的作用？
重力与压应力，无法承受剪切力。
问题2：理想流体受到哪几种力的作用？
重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
§2.1静止流体上的作用力
三、静止流体中任一点应力的特性
1、静止流体表面应力只能是压应力或压强（如图B点），且静 水压强方向与作用面的内法线方向重合。
欧拉平衡微分方程的积分为：
P P0 (W W0 )
如果知道表示质量力的势函数W=f(x，y，z)，则可
以求出平衡流体中任意一点的压强。
三、等压面equipressure surface
1、定义：是指流体中压强相等（p=const）的各点所组成的面。 2、等压面的微分方程
dp Xdx Ydy Zdz 0
1 p p dx 2 x
1 p p dx 2 x
所选取的是边长为dx，dy，dz的微元六面体，故各面上 重心处的压强可以看成是这些面的平均压强，则作用于各 个面上的总压力为:
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
a-b-c-d面压力
1 p dPx p dx dydz 2 x
质点受力作用而改变运动状态时，由于本身的惯性对施力 物体的反作用力。
质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体 反作用力的合力。
惯性力的作用点在施力物体上，方向与加速度相反。
§2.1静止流体上的作用力
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？ A. am水< am水银； B. am水> am水银； C. am水= am水银； D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
在物体的自由落体运动时，物体是处于 完全失重的状态的，重力压强自然就不 存在了
§2.1静止流体上的作用力
二、表面力surface force
1、定义：又称面积力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表
等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力 的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜 体与浮体的稳定性问题等。
第二章
流体静力学
流体的“静止” 绝对静止：流体相对于地球无运动 相对静止：流体质点没有相对运动（容器作匀 加速直线运动或等加速回转运动）
由于静止流体的流体质点间没有相对运动， 因而流体的粘性显示不出来，可以看作理想流体。
面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面积成 正比。 表面力是就所研究的流体系统而言的，它可能是周围同 种流体对分离体的作用，也可能是另一种相邻流体对其作用，
或是相邻固壁的作用。
例如，敞开容器内的液体，如把整个液体作为研究系统， 则它仅受自由面上的大气和相接触的容器壁面的作用；若把 和固壁接触的自由面附近的部分液体取作分离体，则上述三 种表面力都存在。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
在平衡液体中， C可得：
Xdx Ydy Zdz 0
流体的界面 、流体与固体的水平接触面。
常见的等压面有：自由液面、平衡流体中互不混合的两种 3、性质
Fra Baidu bibliotek
等压面即等势面
dW 0,W C
等压面与质量力垂直
Xdx Ydy Zdz 0 表示单位质量力在等压面内移动
流体不能承受拉力，且具有易流动性(如图A点,必须)。
2、作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方 位无关。 既有
§2.1静止流体上的作用力
证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取 坐标轴。 由于液体处于平衡状态，则有 为零，则： ，即各向分力投影之和亦
x方向受力分析:
§2.1静止流体上的作用力
惯性力的概念
人用手推车，力为 F ，车的加速度为 力物体（人手）也受到一个力 F '。
a ，根据作用与反作用定律，施
F ' F m a F ' 是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来 的运动状态）而引起的对于施力物体（人手）产生的反抗力，称为小车 的惯性力。
单位质量力: am
（单位质量的质量力，在数值和单位上均与对应的加速度相同。） 单位质量力分力:X、Y、Z
§2.1静止流体上的作用力
3、常见质量力 重力G=mg、直线运动惯性力、 F=ma 4、单位，量纲 、离心惯性力 mr 2 F
质量力
单位质量力
N
N/kg
MLT 2
LT 2
重力的大小与流体的质量成正比，所以流体所受的单 位质量力的大小等于重力加速度的量值，当采用惯用的直角 坐标系时，Z轴铅锤直向上为正，重力在各向的分力为（0，0， mg），单位质量力的轴向分力为（X,Y,Z）=（0，0，-g）
第二章
流体静力学
§2.1 静止流体上的作用力 §2.2流体的平衡微分方程及其积分
§2.3流体静力学基本方程
§2.4流体静压强的测量 §2.5静止流体对平面壁的作用力
§2.6静止流体对曲面壁的作用力
第二章
流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学
规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的
特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，
W W W ,Y ,Z x y z
由此得
X
满足上式的函数称为势函数，当质量力可以用这样的 函数来表示时，称为有势的质量力。 压强的全微分方程：dP dW
只有在有势质量力的作用下，流体才可以处于平衡状态。
积分得： P W C
C P0 W0
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
§2.1静止流体上的作用力
是指在某种力场中，作用在流体的每一个质点上 的力。它的大小与流体的质量成正比；方向由力场的 性质决定。
重力场；惯性力，磁力场； 电力场
§2.1静止流体上的作用力
2、表示：单位质量力或单位质量力分量
Fm m am m( Xi Yj Zk )
如果微团极限缩为一点，即 V 0，则 dFm dm am dm( Xi Yj Zk ) 质量力: Fm
表面力：
§2.1静止流体上的作用力
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：Px=Pn 类似地有： 图中的斜面是任意选取的，即n是任意的，所以同一点静 压强大小相等，与作用面的方位无关。也就是说静止流体中
任意一点各个方向受到的压强值大小是相等的。
§2.1静止流体上的作用力
还有惯性力同时作用下的液体平衡规律，相对平衡运动。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
在理想运动流体中任取微元直角六面体abcdefgh，设 形心A（x、y、z）处的压强为p。这个六面体微团在质量 力和表面力的作用下，处于平衡状态。 1、质量力
Fx dxdydzX
Fy dxdydzY
Fz dxdydzZ
微元长度所做的功为零。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
即
am ds 0
★两种流体的交界面为等压面
问题1： 只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1.静止； 2.连通； 3.连通的介质为同一均质流体；
5.同一水平面。 4.质量力仅有重力；
判断等压面的条件：只有重 力作用下的等压面应是静止、 连通而且连通的介质为同一 均质流体的同一水平面。
X 1 p 0 x
简化得：
同理
y方向 Y 1 p 0
z方向
y
Z
1 p 0 z
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
4、含义
流体平衡时，作用于流体上的质量力与压强递增率之间的关
系即质量力作用的方向就是压强递增率的方向； 平衡流体所受的质量力分量等于表面力分量； 此公式适用于绝对平衡流体，也适用于相对平衡流体； 单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则压强在该平面 就无递增率，则该平面为等压面；如果质量力在各轴向的分 力均为零，就表示无质量力作用，则静止流体空间各点压强 相等。
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
2、表面力 m、n点分别为a-b-c-d面及e-f-g-h面的重心点，其位置 坐标均与A点相差1/2dx，由于流体静压强是空间坐标的连 续函数（P=f(x，y，z)），沿x轴方向作用于边界面a-b-c-d 及e-f-g-h中心处的压强，根据泰勒级数展开，并取前两项 分别为：
§2.3流体静力学基本方程
结论：
压强随深度按直线变化的规律，装在同一容器内的同一均质 静止液体，任意位置处的压强是随其所处深度变化而增减。 仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压 强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下 的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点 的压强值。
§2.1静止流体上的作用力
研究流体运动规律，首先必须分析作用于流体上的力， 力是使流体运动状态发生变化的外因。
根据物理性质： 重力、摩擦力、惯性力、表面张力 根据力作用的方式： 质量力、表面力 在静止流体中取体积 V 的流体微团，其表面积A
一、质量力mass force
1、定义:是指作用于隔离体内某一流体质点上的力，它的大 小与质量成正比。对于均质流体（各点密度相同的流体）， 质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
e-f-g-h面压力
3、流体平衡微分方程（流体静力学基本方程） 沿X轴， F 0 即 dP dP/ Fx 0 x x x 即
1 p dPx/ p dx dydz 2 x
1 p 1 p p dx dydz p dx dydz dxdydzX 0 2 x 2 p
问题2:如图所示中哪个断面为等压面?
§2.3流体静力学基本方程
一、静止液体中的压强分布
自然界或工程实际中经常遇到的是，作用在流体上的 质量力只有重力的情况。
代入压差公式可以推得：
dP ( gdz) dz
积分得： P z c 即：流体静力学基本方程
z p
（2.10）
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
二、平衡微分方程的积分
将流体平衡微分方程中的各式，分别乘以dx，dy，dz,得
p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
P=f(x，y，z) dp Xdx Ydy Zdz
C ，设坐标函数W=F（x，y，z）
如果流体是不可压缩的，即 C ，因此，上式右 边的括号内的数值必然是某一函数W（x，y，z）的全微 分，即：
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
W W W dW Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z