工程流体力学第五章
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流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
工程流体力学 第5章 可压缩流体的一元流动
解： 由音速方程：
c1 kRT1 1.4 287 （273＋20）＝343m s
c2 kRT2 1.4 287 （273 55）＝296 m s
uu
Ma2 Ma1 Ma1
c2
u
c1
c1 c2 c2
343 296 296
16%
c1
2020年1月10日
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5.3 一元等熵流动基本关系
• 利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特 定的状态参数。
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5.3.1 滞止状态和滞止参数
•
图6.3.1 气体的滞止状态
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对滞止状态截面和任一截面列能量方程有： 滞止状态时的焓升到最大值，即总焓
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1.理想气体状态方程：
p RT
R是气体常数，空气R=287 J/(kg·K)；T是热力学温度，单位为K
2.连续性方程：
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可压缩性气体在流管内的定常流动
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1u1 A1 2u2 A2
uA c
ln(uA) ln ln u ln A C
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马赫角
sin c 1
u Ma
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例题
• 例 飞机在温度 t 20℃的海平面飞行， 与在同温层 t 55℃时飞行，若速度相等，
试求后一情况的马赫数比前一情况的马 赫数大多少？
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c1 kRT1 1.4 287 （273＋20）＝343m s
c2 kRT2 1.4 287 （273 55）＝296 m s
uu
Ma2 Ma1 Ma1
c2
u
c1
c1 c2 c2
343 296 296
16%
c1
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5.3 一元等熵流动基本关系
• 利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特 定的状态参数。
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5.3.1 滞止状态和滞止参数
•
图6.3.1 气体的滞止状态
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对滞止状态截面和任一截面列能量方程有： 滞止状态时的焓升到最大值，即总焓
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1.理想气体状态方程：
p RT
R是气体常数，空气R=287 J/(kg·K)；T是热力学温度，单位为K
2.连续性方程：
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uA c
ln(uA) ln ln u ln A C
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sin c 1
u Ma
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例题
• 例 飞机在温度 t 20℃的海平面飞行， 与在同温层 t 55℃时飞行，若速度相等，
试求后一情况的马赫数比前一情况的马 赫数大多少？
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流体力学第五章
蔡增基《流体力学》考点精讲及复习思路第五章 孔口管嘴管路流动１．本章考情分析本章主要介绍简单长管、复杂管路、短管的水力计算以及孔口和管嘴的水力计算等。
与先前学过的章节有密不可分的联系，是具有一定综合性的工程应用。
考试中主要以名词解释、简答和计算题的形式予以考察，题目综合性相对较强，考题一般会配以管路图形，需要考生深入理解题意，看懂管路图，梳理解题思路，综合运用所学知识。
２．本章框架结构本章首先介绍了简单长管的水力计算和复杂管路的水力计算，而后分别就短管的水力计算，孔口和管嘴的水力计算做了详尽的说明。
３．本章考点精讲考点一 简单长管的水力计算前面几章已经介绍了工程流体力学的基本理论和方法。
但是，在实际的工程设计计算中这些方法显得有些烦琐。
因此，有必要对管路进行分类，再根据不同情况对理论方法进行简化，总结出比较简便实用的方法，以提高设计计算工作的效率。
本章将给出工程实际中常见的压力管路、孔口出流及管嘴出流的水力设计计算的实用方法。
（１）压力管路压力管路：在一定压差下，液流充满全管的流动管路。
（管路中的压强可以大于大气压，也可以小于大气压）注：输送气体的管路都是压力管路。
压力管道水力计算的主要内容就是确定水头损失，包括沿程水头损失和局部水头损失。
压力管路的分类①按管路的结构特点，分为简单管路：等径无分支复杂管路：串联、并联、分支②按能量比例大小，分为长管：和沿程水头损失相比，流速水头和局部水头损失可以忽略的流动管路。
（如室外管路，如油田地面集输管路、外输管路）。
短管：流速水头和局部水头损失不能忽略的流动管路。
（如室内管路，如联合站、计量间内管件较多的管路）。
注意：①长管和短管不按管道绝对长度决定。
②当管道存在较大局部损失管件，例如局部开启闸门、喷嘴、底阀等。
即使管道很长，局部损失也不能略去，必须按短管计算。
③将压力管道按长管计算，可以简化计算过程。
但在不能判断流速水头与局部水头损失之和远小于沿程水头损失之前，按短管计算不会产生较大的误差。
工程流体力学 第六版 第5章 相似理论与量纲分析
当F为阻力FD时,
牛顿数表示阻力系数：
CD
1
FD
2l 2
2
当F为升力FL时, 牛顿数表示升力系数：
CL
FL
1 2l 2
2
牛顿数的拓展 描述力矩M时,
可用牛顿数表示力矩系数：
CM
1
M
2l 3
2
描述功率P时, 可用牛顿数表示动力系数：
CP
P
3l 2
第5章 作业1：
工程流体力学（第6版）
第5章 习题：1、2、6、7
比值：
(
l 2 l
2
)m
l 2 2 l
(பைடு நூலகம்
l
)
m
l
(l
v
)m
l
v
定义雷诺数：
Re
l
l
v
（l为定型尺寸）
则比值为： Rem Re ——粘性力相似准则
Re的物理意义： 表征惯性力和黏性力的量级之比。
应用： 管道内有压流动； 绕流问题。
§5.2.2 压力相似准则
ma l 2 2
惯性力和压力之比：
§5.3 量纲分析法
5.3.1 量纲知识 5.3.2 瑞利法 5.3.3 π定理
5.3.1 量纲知识
单位：计量事物标准量的名称。 量纲：物理量单位的种类。
物理量
单位
量纲
质量 g、kg、t….
M
时间 长度
s、 min、 h、
T
mm、 cm、 m、km… L
温度 速度
oC、 K、oF m/s、 km/h……
Θ [υ] 或dim υ
单位因数：103 →千, k； 106 →兆, M； 109 →吉, G； 103→毫, m； 106 →微, μ； 109 →纳, n；
《工程流体力学》思考题解答第1-5章思考题解答
A
油 水
A B C D E B
A
B
C
C
修改后图：
相等
A A B C D E B C A
油 水
B
C
第3章 3.1
流体动力学基础
答：Lagrange 方法以个别流体质点的运动作为观察对象，综合每个质点的运动来获得 整个流体的运动规律，其函数表达式为个别质点运动的轨迹方程。 Euler 方法以流体运动所经过的空间点作为观察对象，观察同一时刻各固定空间点
思考题 2.1 答：C 2.2 答：D 2.3 答：不能认为压强是矢量，因为压强本身只是流体内部位置坐标点的函数，与从原点 指向该点的方向转角没有关系。 2.4 答：测管 1 和测管 2 液面与容器中液面 0-0 不平齐。测管 1 液面比测管 2 液面要高， 因为液体 1 的密度比液体 2 的密度要小。 2.5 答：两个底面上所受的静水总压力相同，而两个秤盘上所称得的重量不相同。这是因 为两个容器内所盛液体的质量不相同， 而秤盘上得到的重量取决于容器内液体的质量。 （或两图的压力体不同。 ） 2.6 答：该浮力不会使圆柱绕轴 O 转动。根据静水压强的垂直性可以知道，圆柱体上每一 个点所受到的压强都垂直与该点并指向圆柱体的轴心，所以，不会对圆柱体产生任何 转动的力矩作用。 2.7 答： 原图：
a2 a a a 2 2 RA , RB R A , AA a , AB AA ， 4a 4 4 4
从 hf
l v2 可知，当 h f , , l 相等时， 流速 v 相等， 4R 2 g
∴
由 Q vA 可知， Q A Q B 。
4.17 答：③ ∵两断面的测压管液面差 h 反映的是两断面间的测压管水头差ΔHp，要加上各自 的流速水头才代表两断面间的总水头差ΔH，而（a） 、 （b）两图两断面的流速水头不相等， ∴只有图（c）正确。 第5章 5.1 孔口、管嘴出流及有压管流
油 水
A B C D E B
A
B
C
C
修改后图：
相等
A A B C D E B C A
油 水
B
C
第3章 3.1
流体动力学基础
答：Lagrange 方法以个别流体质点的运动作为观察对象，综合每个质点的运动来获得 整个流体的运动规律，其函数表达式为个别质点运动的轨迹方程。 Euler 方法以流体运动所经过的空间点作为观察对象，观察同一时刻各固定空间点
思考题 2.1 答：C 2.2 答：D 2.3 答：不能认为压强是矢量，因为压强本身只是流体内部位置坐标点的函数，与从原点 指向该点的方向转角没有关系。 2.4 答：测管 1 和测管 2 液面与容器中液面 0-0 不平齐。测管 1 液面比测管 2 液面要高， 因为液体 1 的密度比液体 2 的密度要小。 2.5 答：两个底面上所受的静水总压力相同，而两个秤盘上所称得的重量不相同。这是因 为两个容器内所盛液体的质量不相同， 而秤盘上得到的重量取决于容器内液体的质量。 （或两图的压力体不同。 ） 2.6 答：该浮力不会使圆柱绕轴 O 转动。根据静水压强的垂直性可以知道，圆柱体上每一 个点所受到的压强都垂直与该点并指向圆柱体的轴心，所以，不会对圆柱体产生任何 转动的力矩作用。 2.7 答： 原图：
a2 a a a 2 2 RA , RB R A , AA a , AB AA ， 4a 4 4 4
从 hf
l v2 可知，当 h f , , l 相等时， 流速 v 相等， 4R 2 g
∴
由 Q vA 可知， Q A Q B 。
4.17 答：③ ∵两断面的测压管液面差 h 反映的是两断面间的测压管水头差ΔHp，要加上各自 的流速水头才代表两断面间的总水头差ΔH，而（a） 、 （b）两图两断面的流速水头不相等， ∴只有图（c）正确。 第5章 5.1 孔口、管嘴出流及有压管流
流体力学-第5章
F ( x1 , x2 ,...xn ) = 0
而这些变量中含有m个基本量纲， 而这些变量中含有 个基本量纲，则这个物理过 个基本量纲 程可以由n个物理量组成的 个物理量组成的n-m个无量纲量（相似 个无量纲量（ 程可以由 个物理量组成的 个无量纲量 的函数关系来描述, 准则数πi）的函数关系来描述 即:
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。 和管径 有关，试用瑞利量纲分析法建立 的公式结构。 有关 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 式中k为无量纲常数。 式中 为无量纲常数。 为无量纲常数 将各物理量的量纲
dim vc = LT −1 , dim ρ = ML−3 dim µ = ML−1T −1 , dim d = L
F′ F = 2 2 ρ ′l ′2v′2 ρl v
——牛顿数 牛顿数
二、各单项力相似准则
1.基本量纲和导出量纲 1.基本量纲和导出量纲 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 基本量纲：无任何联系、相互独立的量纲。 导出量纲： 导出量纲：可以由基本量纲导出的量纲 基本量纲具有独立性、唯一性， 基本量纲具有独立性、唯一性，如： 具有独立性 质量（ ）、长度 长度（ ）、时间 时间（ ）、温度 温度（ 质量（M）、长度（L）、时间（T）、温度（Θ）
解上述三元一次方程组得： 解上述三元一次方程组得： α1 = −1, β1 = −2, γ 1 = −2 其中 同理： 同理：
π1 =
FD ρv 2 d 2
µ 1 π2 = = ρvd Re
并就F 解出， 代入 ϕ (π 1 , π 2 ) = 0 ，并就 D解出，可得
FD = f (Re) ρv 2 d 2 = C D ρv 2 d 2
南京理工大学工程流体力学基础第5章黏性流体的一维
雷诺实验 • 雷诺实验装置：
• 实验条件：
液面高度恒定——保证流速v恒定； 水温恒定——保证u=const.
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§5南-京3理工黏章大黏性学性工流流程体流体的体一的力维学两基础种第流5 动状态
雷诺实验 • 实验过程：
v 逐0 渐 开 大 阀 v’cr 门
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开度 小开度 中开度 大开度
§5-2 黏南京性理工流章大黏体学性工管流程体流内的体一流力维学动基础的第两5 种损失
局部损失
发生在流动状态急剧变化的急变流中。 流体质点间产生剧烈的能量交换而产生损失。
计算公式
ζ-局部损失系数
v-下游截面平均速度
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§5-2 黏南京性理工流章大黏体学性工管流程体流内的体一流力维学动基础的第两5 种损失
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§5-4南京管理工道章大黏进学性工口流程体流段的体一黏力维学性基础流第体5 的流动
管道进口段的速度分布
黏性底层厚度很薄，但对流动影响很大。
绝对粗糙度ε：管壁粗糙凸出部分的平均高度。 相对粗糙度：绝对粗糙度与管径的比值ε/d。
水力光滑：δ>ε
光滑管
水力粗糙：δ<ε
粗糙管
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现象 直线 震荡或混乱 混乱
v 0逐
渐 vcr 关
小 阀 门
层流 湍流
§5南-京3理工黏章大黏性学性工流流程体流体的体一的力维学两基础种第流5 动状态
雷诺实验
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§5南-京3理工黏章大黏性学性工流流程体流体的体一的力维学两基础种第流5 动状态
雷诺实验
• 层流：流动平稳，各层之间互不掺混，流体 质点只沿主流动方向运动，没有横向运动。
工程流体力学习题课2-第5章-部分习题解答
y x
β
τ yx
dx dy
y
τ xy
dx
பைடு நூலகம்
p+
∂p dy ∂y
u
x
g
图 5-22 习题 5-9、5-10 附图
δ
p
β
τ xy
dy
g 题 5-9 解题示意图
解：不可压缩一维层流动量守恒方程即为力平衡方程。y 方向受力如图； 其中两端面上 τ x y 大小相等方向相反。取 z 方向为单位宽度，由 ΣFy = 0 有：
试求稳定操作条件下圆管内流体的速度体积流量单位长度圆杆受到的流体阻力单位长度环隙内流体沿流动方向受到的总作用力管半径圆杆半径kr图519习题56附图解
工程流体力学——习题课(2)——第 5 章部分习题解答
F2-1
习题 5-1 有两种不相溶的液体 A 和 B 在平行平板间作层流流动。试问可否出现 A 图 5-16 所示的速度分布，为什么？ y B x 解：因为液-液界面上要求： uA = uB ， μ A (du A /dy) = μB (duB /dy) 图 5-16 习题 5-1 附图 而图 5-16 所示的速度分布中，液-液 界面上只满足速度连续，不满足切应力连续；因为按图中速度分布，液-液界 面上 du A / dy >0， duB /dy <0，即 μ A (du A /dy) ≠ μB (duB /dy) ，故图示速度分布有问题。 习题 5-4 根据哈根-泊谡叶(Hagen-Poiseuille)公式即 qv = (Δp*/ L)(π R 4 / 8μ ) 测 量流体粘度 μ 时， 如果各测量值的相对偏差均为 2%， 则 μ 的最大偏差为多少？ 解：根据哈根-泊谡叶方程，粘度表达式及其全微分为
β
τ yx
dx dy
y
τ xy
dx
பைடு நூலகம்
p+
∂p dy ∂y
u
x
g
图 5-22 习题 5-9、5-10 附图
δ
p
β
τ xy
dy
g 题 5-9 解题示意图
解：不可压缩一维层流动量守恒方程即为力平衡方程。y 方向受力如图； 其中两端面上 τ x y 大小相等方向相反。取 z 方向为单位宽度，由 ΣFy = 0 有：
试求稳定操作条件下圆管内流体的速度体积流量单位长度圆杆受到的流体阻力单位长度环隙内流体沿流动方向受到的总作用力管半径圆杆半径kr图519习题56附图解
工程流体力学——习题课(2)——第 5 章部分习题解答
F2-1
习题 5-1 有两种不相溶的液体 A 和 B 在平行平板间作层流流动。试问可否出现 A 图 5-16 所示的速度分布，为什么？ y B x 解：因为液-液界面上要求： uA = uB ， μ A (du A /dy) = μB (duB /dy) 图 5-16 习题 5-1 附图 而图 5-16 所示的速度分布中，液-液 界面上只满足速度连续，不满足切应力连续；因为按图中速度分布，液-液界 面上 du A / dy >0， duB /dy <0，即 μ A (du A /dy) ≠ μB (duB /dy) ，故图示速度分布有问题。 习题 5-4 根据哈根-泊谡叶(Hagen-Poiseuille)公式即 qv = (Δp*/ L)(π R 4 / 8μ ) 测 量流体粘度 μ 时， 如果各测量值的相对偏差均为 2%， 则 μ 的最大偏差为多少？ 解：根据哈根-泊谡叶方程，粘度表达式及其全微分为
工程流体力学：第5章 相似理论和量纲分析
令:
p Eu
v 2
Eu称为欧拉数，它 是总压力与惯性力 的比值。
当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦
然。这就是压力相似准则（欧拉准则）。
当压强用压差代替：
欧拉数:
p Eu
v 2
欧拉数相似准则:
p' p
'v'2 v 2
(四)弹性力相似准则（柯西数准则）
将弹性力之比
CF
F'e Fe
(四)弹性力相似准则（马赫数准则）
若流场中的流体为气体，由于 K c2（ c 为声速） 则弹性力之比 CF Cc2CCl 2 代入式(A)得：
Cv Cc
1
或:
v' v c' c
令:
v Ma c
Ma称为马赫数，它
是惯性力与弹性力 的比值。
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦 然。这就是弹性力相似准则（马赫数准则）。
Trailing vortex pairs flow over delta wing
B-727 in flight during vortex study
Waves around submarine
Flow of air past buildings
Applications of EFD (cont’d)
Example of industrial application
NASA's cryogenic wind tunnel simulates flight conditions for scale models--a critical tool in designing airplanes.
工程流体力学(水力学)闻德第五章-实际流体动力学基础课后答案
工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。
试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。
解：0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫∂==+= ⎪∂∂⎝⎭24xxu p a xμμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x 轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。
试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。
（请将d 0d px=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。
由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h h μ=-- （１） 当d 0d p x =时，y u v h=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。
它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。
当d 0d px≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为(1)u y y yp v h h h=-- （２） 式中2d ()2d h pp v xμ=- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。
若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2x gu zh z r q m=-，单宽流量3sin 3gh q r q m=。
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2 0 4 0
对于水平圆管，由于h不变， d(p+gh)／dl=dp/dx= -Δp/l，上式简化为：
d p qV 128 l
4
哈根一泊肃叶(Hagen一poiseuille) 公式
用途：管流法测定流体的粘度。
四、沿程损失系数 由前述沿程损失公式： 以及
2 128 lq p l v V hf 4 g g d v d d 2 g Re d 2 g d 2g
' x
脉动速度有正有负。
u xi u x u
' x
紊流中的压强也存在脉动现象。 pi=p+p’
紊流形成过程的分析 流速分布曲线
干扰
τ τ
F F
F F
选定流层
升力
涡体
涡体的产生
紊流形成条件
雷诺数达到一定的数值
二、紊流切应力，普朗特混合长 紊流中切应力的构成 由两部分构成：一是流体层间相对滑移引
v2 hj 2g
总能量损失：
——局部损失系数(无量纲) 一般由实验测定。
hw
h h
f
j
能量损失的量纲为长度，工程中也称其为水头损失。
§5.2 粘性流体的两种流动状态
粘性流体的两种流动状态： 一、雷诺实验
紊流 层流
英国， Reynolds(雷诺) 1883年
实验条件：水头稳定； 水 温恒定（粘度不变） 层流状态
d qV Av v 4 2 2 64 l v 64 l v
2
得到：
64 Re
层流流动的沿程损失系数仅与雷诺数有关，而与 管道壁面的粗糙度无关。这一结论已为实验所证 2 实。 128 lqV 因沿程损失而消耗的功率为：P pqV 4 d
§5.4
粘性流体的紊流流动
条件：不可压缩的粘性重力流体作定常的层流流动 研究对象：和圆管同轴的微元圆柱体,半径为r，长度
为dl。
由受力平衡分析知:
F
l
0
p 2 r p r ( p d l ) 2 r d l r d l g sin 0 l
2 2
由于：s i n
h / l
一、紊流流动的时均 速度和脉动速度 流体处于紊流状态时， 质点作杂乱无章的运 动。同一空间点上， 不同时刻有不同的流 体质点经过，有着各 自不同的速度。 时均速度
1 t u x u xi dt t 0
—
通常情况下，研究流体的紊流流动时，都 采用时均参数来描述，可以大大简化问题。 时均速度是瞬时速度在∆t时间内的平均值。 脉动速度 u 瞬时速度
可高达13800。
过渡状态： Re的值介于层流与紊流之间，流动不
稳定，且Re范围很小。
二、流动状态的判别
或者 v cr R e cr d R e cr d 雷诺实验表明：vcr d
一般地，有雷诺数(Reynolds number) ' ' vd vd v d v vd vd ' cr cr d Re Re Re cr
ｘ沿管长方向
因纵向脉动ｖ′ ｙ层微团会迁移至 y l 和 y l 层，反之也 存在。
湍流的时均速度分布曲线
假设2 紊流脉动产生的附加切向应力为：
du x 2 t l ( ) dy 2 du x du x t l t t
2
dy
dy
由此可见，μt与μ不同，它不是流体的属性，它只
由边界条件决定。 在粘性底层中( 是直线分布。 即 du x u x dy y
y
) ，速度可近似认为
du x ux dy y
y 2 y ux y u*
y 2 y ux y u*
假设粘性底层与紊流分界处的流速用uxb表示
du x 2 l ( ) dy
2
取
u*
du x 1 dy l
切应力速度，具有 速度的量纲
普朗特假设 ： 对于光滑平壁面，假设 l=ky，其中
k为常数； 同时假设k与y无关 。
du x 1 dy u k y
u 1 x 积分之 ln y C C为积分常数， u k
最大流速: u m ax u r0
ro2 d ( p gh ) 4 dl
三、平均速度和流量
qV udA
A r0 0 r0 r 2 r02 d r2 ( p gh ) 2 rdr u max (1 2 )2 rdr 0 4 dl r0
对r积分，得
r r d u ( p gh ) 4 dl
2 o 2
边界条件 r02 d C ( p gh ), 当r=r0时，u=0 4 dl 粘性流体在圆管中作层 流流动时，流速的分布 为一旋转抛物面。
1 d u ( p gh ) r 2 C 4 dl
求：水在管道中的流动状态？如果输送 1 . 1 4 c m 2 / s 的石油，保持前种情况下的流速不变，流动又为何 状态？ q V 4 q V 4 0 .0 1 解：（1） v A d 2 0 .1 2 1 .2 7 m / s
vd 1 .2 7 0 .1 5 Re 1 .2 7 1 0 2000 6 1 10
达西—— 魏斯巴赫公式 ： 式中 ：
——沿程阻力系数(无量纲)
l ——管道长度，m
hf ——单位重量流体的沿程损失，m
d ——管道直径，m ——管道有效截面上的平均流速，m/s
2. 局部损失：发生在流动状态急剧变化的急变流中。 主要是由于流体微团的碰撞、流体中的漩涡等造成 的损失。如截面突扩、突缩；弯管；流道阻塞的阀 门或者流量计等。 单位重量流体的局 部损失计算公式：
2 u max
r0 2 1 A u max vA 4 2
1 v u max 2
r02 d ( p gh ) 8 dl
即平均流速等于最大流速的一半。
速度分布为二次旋转抛物面
中心处速度最大
r d qV r v ( p gh ) 8 dl 圆管中的流量：
上式化简并方程两边同除πr2dl 得：
2 ( p gh ) r l ( p gh ) 0 由于 r r d ( p gh ) 即p+gh不随r发生变化，故有 2 dl 粘性流体在圆管中作层流流动时，同一截面上 的切向应力的大小与半径成正比 。
起的摩擦切向应力v，二是流体质点的横
向脉动产生附加切向应力t 。 dvx v t ( t ) dy 普朗特（Prandtl）混合长理论 假设1 一个质点和其它质点发生碰撞之前都要
经过一段路程l，l被称作普朗特混合长度。
普朗特混合长度理论 ｕ′：x向脉动速度 ｖ′：y向脉动速度
注：此式同样适用于圆管中的紊流流动
二、圆管横截面上的速度分布
du r d , ( p gh ) 根据牛顿内摩擦定律： dr 2 dl
du r d ( p gh ) dr 2 d l 1 d du ( p gh ) r d r 2 dl
2 粘性底层区： 紧贴壁面，因壁面限制而脉动消失，为一层 薄流层，流速梯度较大。粘性底层中摩擦切应力 起主要作用。粘性底层的厚度通常只有几分之一 毫米，它对紊流的能量损失及流体与壁面间的热 交换都有重要影响。
34 . 2 d 0 .8 7 5 Re
(mm)
或
32 . 8 d 12 Re
层流状态 m=1 h f v
1 .7 5 ~ 2 h v 紊流状态 m=1.75~2 f
可能是层流，也可能是紊流
流动状态不同，沿程损失和平均流速之间的关系也不同。
要计算各种流体通道的沿程损失，必须先判别流体的流 动状态。
例题
已知： d
10 0 m m
3 1 1 0 6 m 2 / s q 0 .0 1 m / s ，输送水的流量 V
第五章
管内不可压缩流体的流动
du dy
实际流体都是有粘性的。 切应力做功会消耗机 械能，产生管流的能 量损失。
du 0 0 dy
管流的能量损失除少数问题可以用理论方法计算 外，多数情况需要靠实验研究来确定。
§5.1
粘性流体管内流动的能量损失
1. 沿程损失：发生在缓变流整个流程中的能量损 失。主要由流体的粘滞力引起，与流体的流动状 态及管壁的粗糙度有关。
h f p g
1
g
2
将沿程损失和平均速度在对 数坐标图上表示。 由层流到紊流：实验点沿 OABCD线移动。 由紊流到层流：实验点沿 DCAO线移动。
lghf=lgk+mlgv
h f kv
m
式中k为常量，m为斜率， 均由实验确定。
v vvccr r c r vv vvcr v cr v v cr
过渡状态 紊流状态
流速较低时，流线为直线——层流状态
流速提高，流线开始波动——不稳定的过渡状态
流速较高时，流动开始紊乱，失稳-——紊流 （湍流）状态
a. b. c.
v cr v v cr d. v v cr
v v cr
v 0 v cr
层流=>过渡状态 紊流
v cr v cr
紊流=>过渡状态 层流
vcr
——上临界流速
vcr ——下临界流速
层流：流体质点层次分明、各层互不干扰、有秩
序地一层层的流动，故红色液体能够保持在一层 内流动而不染他层。这种流动称为“层流”。
对于水平圆管，由于h不变， d(p+gh)／dl=dp/dx= -Δp/l，上式简化为：
d p qV 128 l
4
哈根一泊肃叶(Hagen一poiseuille) 公式
用途：管流法测定流体的粘度。
四、沿程损失系数 由前述沿程损失公式： 以及
2 128 lq p l v V hf 4 g g d v d d 2 g Re d 2 g d 2g
' x
脉动速度有正有负。
u xi u x u
' x
紊流中的压强也存在脉动现象。 pi=p+p’
紊流形成过程的分析 流速分布曲线
干扰
τ τ
F F
F F
选定流层
升力
涡体
涡体的产生
紊流形成条件
雷诺数达到一定的数值
二、紊流切应力，普朗特混合长 紊流中切应力的构成 由两部分构成：一是流体层间相对滑移引
v2 hj 2g
总能量损失：
——局部损失系数(无量纲) 一般由实验测定。
hw
h h
f
j
能量损失的量纲为长度，工程中也称其为水头损失。
§5.2 粘性流体的两种流动状态
粘性流体的两种流动状态： 一、雷诺实验
紊流 层流
英国， Reynolds(雷诺) 1883年
实验条件：水头稳定； 水 温恒定（粘度不变） 层流状态
d qV Av v 4 2 2 64 l v 64 l v
2
得到：
64 Re
层流流动的沿程损失系数仅与雷诺数有关，而与 管道壁面的粗糙度无关。这一结论已为实验所证 2 实。 128 lqV 因沿程损失而消耗的功率为：P pqV 4 d
§5.4
粘性流体的紊流流动
条件：不可压缩的粘性重力流体作定常的层流流动 研究对象：和圆管同轴的微元圆柱体,半径为r，长度
为dl。
由受力平衡分析知:
F
l
0
p 2 r p r ( p d l ) 2 r d l r d l g sin 0 l
2 2
由于：s i n
h / l
一、紊流流动的时均 速度和脉动速度 流体处于紊流状态时， 质点作杂乱无章的运 动。同一空间点上， 不同时刻有不同的流 体质点经过，有着各 自不同的速度。 时均速度
1 t u x u xi dt t 0
—
通常情况下，研究流体的紊流流动时，都 采用时均参数来描述，可以大大简化问题。 时均速度是瞬时速度在∆t时间内的平均值。 脉动速度 u 瞬时速度
可高达13800。
过渡状态： Re的值介于层流与紊流之间，流动不
稳定，且Re范围很小。
二、流动状态的判别
或者 v cr R e cr d R e cr d 雷诺实验表明：vcr d
一般地，有雷诺数(Reynolds number) ' ' vd vd v d v vd vd ' cr cr d Re Re Re cr
ｘ沿管长方向
因纵向脉动ｖ′ ｙ层微团会迁移至 y l 和 y l 层，反之也 存在。
湍流的时均速度分布曲线
假设2 紊流脉动产生的附加切向应力为：
du x 2 t l ( ) dy 2 du x du x t l t t
2
dy
dy
由此可见，μt与μ不同，它不是流体的属性，它只
由边界条件决定。 在粘性底层中( 是直线分布。 即 du x u x dy y
y
) ，速度可近似认为
du x ux dy y
y 2 y ux y u*
y 2 y ux y u*
假设粘性底层与紊流分界处的流速用uxb表示
du x 2 l ( ) dy
2
取
u*
du x 1 dy l
切应力速度，具有 速度的量纲
普朗特假设 ： 对于光滑平壁面，假设 l=ky，其中
k为常数； 同时假设k与y无关 。
du x 1 dy u k y
u 1 x 积分之 ln y C C为积分常数， u k
最大流速: u m ax u r0
ro2 d ( p gh ) 4 dl
三、平均速度和流量
qV udA
A r0 0 r0 r 2 r02 d r2 ( p gh ) 2 rdr u max (1 2 )2 rdr 0 4 dl r0
对r积分，得
r r d u ( p gh ) 4 dl
2 o 2
边界条件 r02 d C ( p gh ), 当r=r0时，u=0 4 dl 粘性流体在圆管中作层 流流动时，流速的分布 为一旋转抛物面。
1 d u ( p gh ) r 2 C 4 dl
求：水在管道中的流动状态？如果输送 1 . 1 4 c m 2 / s 的石油，保持前种情况下的流速不变，流动又为何 状态？ q V 4 q V 4 0 .0 1 解：（1） v A d 2 0 .1 2 1 .2 7 m / s
vd 1 .2 7 0 .1 5 Re 1 .2 7 1 0 2000 6 1 10
达西—— 魏斯巴赫公式 ： 式中 ：
——沿程阻力系数(无量纲)
l ——管道长度，m
hf ——单位重量流体的沿程损失，m
d ——管道直径，m ——管道有效截面上的平均流速，m/s
2. 局部损失：发生在流动状态急剧变化的急变流中。 主要是由于流体微团的碰撞、流体中的漩涡等造成 的损失。如截面突扩、突缩；弯管；流道阻塞的阀 门或者流量计等。 单位重量流体的局 部损失计算公式：
2 u max
r0 2 1 A u max vA 4 2
1 v u max 2
r02 d ( p gh ) 8 dl
即平均流速等于最大流速的一半。
速度分布为二次旋转抛物面
中心处速度最大
r d qV r v ( p gh ) 8 dl 圆管中的流量：
上式化简并方程两边同除πr2dl 得：
2 ( p gh ) r l ( p gh ) 0 由于 r r d ( p gh ) 即p+gh不随r发生变化，故有 2 dl 粘性流体在圆管中作层流流动时，同一截面上 的切向应力的大小与半径成正比 。
起的摩擦切向应力v，二是流体质点的横
向脉动产生附加切向应力t 。 dvx v t ( t ) dy 普朗特（Prandtl）混合长理论 假设1 一个质点和其它质点发生碰撞之前都要
经过一段路程l，l被称作普朗特混合长度。
普朗特混合长度理论 ｕ′：x向脉动速度 ｖ′：y向脉动速度
注：此式同样适用于圆管中的紊流流动
二、圆管横截面上的速度分布
du r d , ( p gh ) 根据牛顿内摩擦定律： dr 2 dl
du r d ( p gh ) dr 2 d l 1 d du ( p gh ) r d r 2 dl
2 粘性底层区： 紧贴壁面，因壁面限制而脉动消失，为一层 薄流层，流速梯度较大。粘性底层中摩擦切应力 起主要作用。粘性底层的厚度通常只有几分之一 毫米，它对紊流的能量损失及流体与壁面间的热 交换都有重要影响。
34 . 2 d 0 .8 7 5 Re
(mm)
或
32 . 8 d 12 Re
层流状态 m=1 h f v
1 .7 5 ~ 2 h v 紊流状态 m=1.75~2 f
可能是层流，也可能是紊流
流动状态不同，沿程损失和平均流速之间的关系也不同。
要计算各种流体通道的沿程损失，必须先判别流体的流 动状态。
例题
已知： d
10 0 m m
3 1 1 0 6 m 2 / s q 0 .0 1 m / s ，输送水的流量 V
第五章
管内不可压缩流体的流动
du dy
实际流体都是有粘性的。 切应力做功会消耗机 械能，产生管流的能 量损失。
du 0 0 dy
管流的能量损失除少数问题可以用理论方法计算 外，多数情况需要靠实验研究来确定。
§5.1
粘性流体管内流动的能量损失
1. 沿程损失：发生在缓变流整个流程中的能量损 失。主要由流体的粘滞力引起，与流体的流动状 态及管壁的粗糙度有关。
h f p g
1
g
2
将沿程损失和平均速度在对 数坐标图上表示。 由层流到紊流：实验点沿 OABCD线移动。 由紊流到层流：实验点沿 DCAO线移动。
lghf=lgk+mlgv
h f kv
m
式中k为常量，m为斜率， 均由实验确定。
v vvccr r c r vv vvcr v cr v v cr
过渡状态 紊流状态
流速较低时，流线为直线——层流状态
流速提高，流线开始波动——不稳定的过渡状态
流速较高时，流动开始紊乱，失稳-——紊流 （湍流）状态
a. b. c.
v cr v v cr d. v v cr
v v cr
v 0 v cr
层流=>过渡状态 紊流
v cr v cr
紊流=>过渡状态 层流
vcr
——上临界流速
vcr ——下临界流速
层流：流体质点层次分明、各层互不干扰、有秩
序地一层层的流动，故红色液体能够保持在一层 内流动而不染他层。这种流动称为“层流”。