转动惯量的测定实验报告记录

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实验小组成员:

实验时间:2018年5月18日18:00——19:30

实验地点:同济大学四平路校区力学实验中心

【实验目的】

1. 了解多功能计数计时毫秒仪实时测量（时间）的基本方法

2. 用刚体转动法测定物体的转动惯量

3. 验证刚体转动的平行轴定理

4. 验证刚体的转动惯量与外力矩无关

【实验原理】

1.转动力矩、转动惯量和角加速度关系系统在外力矩作用下的运动方程

T×r+Mμ=Jβ2（1）由牛顿第二定律可知，砝码下落时的运动方程为：mg-T=ma

即绳子的张力T=m(g-rβ2)

砝码与系统脱离后的运动方程

Mμ=Jβ1（2）由方程（1）（2）可得

J=mr(g-rβ2)/(β2-β1) （3）

2.角加速度的测量

θ=ω0t+?βt2（4）若在t1、t2时刻测得角位移θ1、θ2

则θ1=ω0 t1+?βt2（5）

θ2=ω0 t2+?βt2（6）

所以，由方程（5）、（6）可得

β=2（θ2 t1-θ1 t2）/ t1 t2（t2- t1）

【实验仪器】

1、IM-2刚体转动惯量实验仪(含霍尔开关传感器、计数计时多功能毫秒仪、一根细绳、一个质量为100g的砝码等，塔轮直径从下至上分别为30mm、40mm、50mm、60mm，载物台上的孔中心与圆盘中心的距离分别为40mm、80mm、120mm)

2、一个钢质圆环(内径为175mm，外径为215mm，质量为995g)

3、两个钢质圆柱(直径为38mm，质量为400g)

【实验步骤】

1. 实验准备

在桌面上放置IM-2转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直。

通用电脑计时器上光电门的开关应接通，另一路断开作备用。当用于本实验时，设置1个光电脉冲记数1次，1次测量记录大约20组数。

2. 测量并计算实验台的转动惯量

1) 放置仪器，滑轮置于实验台外3-4cm处，调节仪器水平。设置毫秒仪计数次数为20。

2) 连接传感器与计数计时毫秒仪，调节霍尔开关与磁钢间距为0.4-0.6cm，转离磁钢，复位毫秒仪，转动到磁钢与霍尔开关相对时，毫秒仪低电平指示灯亮，开始计时和计数。

3) 将质量为m=100g的砝码的一端打结，沿塔轮上开的细缝塞入，并整齐地绕于半径为r的塔轮。

4) 调节滑轮的方向和高度，使挂线与绕线塔轮相切，挂线与绕线轮的中间呈水平。

5) 释放砝码，砝码在重力作用下带动转动体系做加速度转动。

6) 计数计时毫秒仪自动记录系统从0π开始作1π，2π……角位移相对应的时刻。

3. 测量并计算实验台放上试样后的转动惯量

将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转动轴中心重合，按与测量空实验台转动惯量同样的方法可分别测量砝码作用下的角加速度β2与砝码脱离后的角加速度β1，由（3）式可计算实验台放上试样后的转动惯量J，再减去实验步骤2中算得的空实验台转动惯量即可得到所测试样的转动惯量。将该测量值与理论值比较，计算测量值的相对误差。

4. 验证平行轴定理

将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量，将测量值与理论计算值比较，计算测量值的相对误差。

5. 验证刚体定轴转动惯量与外力矩无关

通过改变塔轮直径对转盘施加不同的外力矩，测定在不同外力矩下转盘的转动惯量，与理论值进行比较，在一定允许的误差范围内验证结论。

【实验数据与处理】

1.测量空盘的转动惯量

塔轮半径r=40mm 砝码100g

数据第一组第二组第三组数据第一组第二组第三组

1π 1.135 1.782 1.208 11π 6.716 7.891 6.881 2π 1.994 2.824 2.099 12π7.147 8.341 7.316 3π 2.270 3.647 2.840 13π7.581 8.793 7.752 4π 3.355 4.346 3.488 14π8.014 9.244 8.189 5π 3.932 4.968 4.072 15π8.450 9.698 8.627 6π 4.461 5.531 4.608 16π8.885 10.152 9.066 7π 4.955 6.052 5.106 17π9.323 10.608 9.507 8π 5.417 6.537 5.573 18π9.760 11.064 9.948 9π 5.855 6.994 6.014 19π10.200 11.523 10.390 10π 6.285 7.441 6.447 20π10.640 11.981 10.833 数据处理第一组第二组第三组平均值

β1 -0.03767 -0.04478 -0.03896 -0.04187

β2 0.309802 0.871831 0.871237 0.871534

转动惯量0.056372 0.021345 0.021495 0.02142

（注：计算平均值时舍去第一组的坏值）

2.测量圆环的转动惯量

塔轮半径r=40mm 圆环外径215mm 内径175mm 质量995g

数据第一组第二组第三组数据第一组第二组第三组1π 1.692 2.270 1.861 11π8.799 9.726 9.136 2π 2.851 3.486 3.083 12π9.334 10.306 9.679 3π 3.793 4.487 4.049 13π9.871 10.887 10.219 4π 4.606 5.338 4.886 14π10.408 11.470 10.765 5π 5.334 6.092 5.625 15π10.948 12.055 11.307 6π 5.999 6.777 6.304 16π11.488 12.642 11.856 7π 6.615 7.408 6.926 17π12.030 13.230 12.401 8π7.190 7.996 7.512 18π12.573 13.820 12.953 9π7.733 8.571 8.059 19π13.117 14.412 13.501 10π8.265 9.148 8.599 20π13.663 15.005 14.056 数据处理第一组第二组第三组平均值

β1 -0.0281 -0.01449 -0.02165 -0.02141

β2 0.595649 0.594404 0.587209 0.592421

J盘＋环0.031346 0.032111 0.032114 0.031857

J环0.010346 0.011111 0.011114 0.010857

环的转动惯量理论值为0.009702，误差为11.9%

3.验证平行轴定理（圆柱体直径38mm 质量2×400g）

（1）D=40mm

数据第一组第二组第三组数据第一组第二组第三组1π 1.341 1.533 1.496 11π7.516 7.893 7.636 2π 2.299 2.551 2.510 12π8.030 8.418 8.098 3π 3.086 3.370 3.322 13π8.547 8.944 8.557

4π 3.772 4.076 4.029 14π9.065 9.473 9.021 5π 4.387 4.706 4.655 15π9.584 10.003 9.482 6π 4.950 5.281 5.230 16π10.106 10.535 9.948 7π 5.472 5.811 5.758 17π10.628 11.069 10.412 8π 5.981 6.329 6.256 18π11.153 11.605 10.881 9π 6.491 6.849 6.721 19π11.679 12.143 11.347 10π7.003 7.370 7.180 20π12.207 12.682 11.819 数据处理第一组第二组第三组平均值

β1 -0.03732 -0.03802 -0.03044 -0.03526

β2 0.808547 0.80822 0.80362 0.806795

0.023095 0.023085 0.023423 0.023201

J盘＋圆

柱

J圆柱0.002095 0.002085 0.002423 0.002201

圆柱转动惯量理论值为0.0014244，百分误差为54.51%

（2）D=80mm

数据第一组第二组第三组数据第一组第二组第三组1π 1.542 1.295 1.507 11π8.186 7.660 8.052 2π 2.608 2.266 2.570 12π8.711 8.127 8.549 3π 3.478 3.088 3.430 13π9.238 8.690 9.043 4π 4.230 3.804 4.182 14π9.767 9.205 9.543 5π 4.903 4.455 4.85 15π10.297 9.727 10.04 6π 5.517 5.049 6.466 16π10.829 10.245 10.543 7π 6.086 5.606 6.032 17π11.363 10.770 11.043 8π 6.619 6.125 6.567 18π11.898 11.291 11.549 9π7.140 6.637 7.066 19π12.436 11.819 12.051 10π7.662 7.145 7.56 20π12.974 12.344 12.56 数据处理第一组第二组第三组平均值

β1 -0.02111 -0.0757 -0.03212 -0.04298

β2 0.692934 0.694456 0.110242 0.49921

0.027372 0.025377 0.137619 0.036076

J盘＋圆

柱

J圆柱0.006372 0.004377 0.116619 0.005374

圆柱转动惯量理论值为0.0052644，百分误差为2.09%

（3）D=120mm

数据第一组第二组第三组数据第一组第二组第三组1π 2.075 1.975 1.936 11π9.647 9.497 9.421 2π 3.361 3.240 3.192 12π10.209 10.059 9.980 3π 4.372 4.240 4.186 13π10.768 10.617 10.536 4π 5.244 5.106 5.047 14π11.333 11.183 11.098

5π 6.011 5.869 5.807 15π11.895 11.745 11.656 6π 6.715 6.570 6.506 16π12.464 12.314 12.222 7π7.360 7.213 7.146 17π13.029 12.879 12.784 8π7.967 7.818 7.749 18π13.601 13.451 13.352 9π8.533 8.383 8.312 19π14.170 14.019 13.918 10π9.092 8.942 8.869 20π14.745 14.594 14.490 数据处理第一组第二组第三组平均值

β1 -0.02364 -0.02364 -0.02162 -0.02297

β2 0.555731 0.554405 0.556405 0.555514

0.033753 0.03383 0.033832 0.033805

J盘＋圆

柱

J圆柱0.012753 0.01283 0.012832 0.012805

圆柱转动惯量理论值为0.01167，百分误差为9.73%

根据已知数据可以计算出通过圆柱体对称轴的转动惯量为J0=0.00288.由之前的计算结果可以当D=40mm，J=0.00220083，因此可以计算得J+MD^2=0.000288

根据圆柱体的转动惯量公式，计算其理论值为0.000221

误差为2.4%，在误差范围内，因此可以验证平行轴定理

4.验证转动惯量与外力矩无关

塔轮半径r=50mm

数据第一组第二组第三组数据第一组第二组第三组1π 1.043 1.515 1.093 11π 6.229 7.117 6.357 2π 1.832 2.443 1.904 12π 6.666 7.573 6.798 3π 2.485 3.169 2.570 13π7.100 8.026 7.236 4π 3.063 3.795 3.158 14π7.539 8.484 7.679 5π 3.580 4.345 3.681 15π7.974 8.939 8.119 6π 4.059 4.850 4.165 16π8.415 9.400 8.564 7π 4.500 5.312 4.611 17π8.853 9.857 9.007 8π 4.933 5.763 5.048 18π9.296 10.320 9.454 9π 5.362 6.212 5.482 19π9.736 10.780 9.898 10π 5.797 6.666 5.921 20π10.181 11.245 10.348 数据处理第一组第二组第三组平均值

β1 -0.02287 -0.02868 -0.02424 -0.02527

β2 1.081058 1.085056 1.075912 1.080675

转动惯量0.022132 0.021937 0.022208 0.022093

实验误差 3.14% 由此可知在实验范围内，刚体的转动惯量与外力矩无关

【实验分析与讨论】

1.误差分析

此实验误差较大，可能以下原因：

1.实验设施较为简陋，各刚体的尺寸以及质量有一定的不准确性

2.实验时缠绕细线的松紧度不同，讨论认为这会对实验结果有一定的影响

3.因塔轮每个槽处都有一定的宽度，所以在砝码下落过程中细线并非时刻保持水平

4.细线和塔轮以及细线和滑轮之间存在摩擦

5.每次释放时砝码不完全静止且每次的释放高度可能不相同

6.释放时刚体可能获得了一定的初速度

2.实验思考

若在圆盘中心放置一个圆柱，怎么根据已有实验数据推算出此时圆柱的转动惯量的实验值？并与理论值比较。

由平行轴定理可知，刚体对定轴的转动惯量等于刚体对自身转轴的转动惯量加上MD^2,由已知实验数据可知，可以计算MD^2的值，带入公式J=J0+MD^2,可以计算出J0=0.000221.与理论值的实验误差仅为2.4%