等腰直角三角形旋转

旋转的等腰直角三角形

【变式典型题】

原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三

角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．

变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转

︒45，其余条件不变，结论MDB MBD

∠=∠还成立吗？

变式2

如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋

转︒90，其余条件不变，结论

MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式

3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向

旋转︒135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒180，其余条件

不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按

逆时外方向旋转︒270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？

【练习】

1．在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ∆≅∆；②BE AD DE +=；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

C l

图1

B

B

2．（1）如图1，若点P为正方形ABCD边上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP 交BE于点H．求证：BE

DH⊥．

（2）如图2，将正方形AEFP逆时针旋转，使点P落在正方形ABCD内，其余条件不变，（1）的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

3．在ABC

∆中，AD是中线，O为

AD的中点，直

线l过O点，过A、B、C三点分别作直线l的垂线，

垂足分别为G、E、F，当直线l绕O点旋转到与AD

垂直时（如图1）易证：BE+CF=2AG．

当直线l绕O点旋转到与AD不垂直时，在图2、

图

3两种情况下，线段BE、CF、AG又是怎样的数

量关系？请写出你的猜想，并以图3的猜想给予证

明

．

思考题：

把两个全等的等腰直角三角板

ABC和

EFG（其直角

边长均为

4）叠放在一起（如图1），且使三角板

EFG的直角顶点G与三角形ABC的斜边中点O重

合．现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转（旋

转角α满足条件：︒

<

<

︒90

0α），四边形CHGK

是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关

系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的

结论；

（2）连接HK，在上述旋转过程中，设x

BH=，

GKH

∆的面积为y，求y与x之间的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使

GKH

∆的面积恰好等于ABC

∆面积的

16

5

？若存

在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

作业

完成时间：30分钟

1、如图所示，在密度均匀的铁片中挖去一圆形铁

片，现要将这一铁片分成重量相等的两块，请问你

有怎样的分法？并说明作图的道理．

2、现有如图所示的方角铁片，工人师傅想用一条

直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人

师傅设计三种不同的分割方案．

3、如图所示，请将一直角梯形形状的地块，分成

面积相等的两地，问如何分．

4、如图所示的一块空地，︒

=

∠

=

∠90

B

A，AE∥

BC，AB∥CD，现要在这一空地上砌一堵墙（要求墙

长最短），将这块地分成面积相等的两块．

思考题：如何把任意四边形面积两等分？

图1

B

图1 图2

图2

A

B

D

C