旋转第二篇：两个等腰直角三角形
中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析
中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析一、全等三角形双等腰旋转1．如图1，在等腰ABC 中，AB AC =，BAC a ∠=，点P 是线段AB 的中点，将线段PC 绕点P 顺时针旋转α得到PD ，连接BD ．（1）如图2，若60α=︒，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD 和BC 之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）（2）如图3，若90α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系，并说明理由．（3）如图4，若120α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系为______．答案：（1）图形见详解，BC=AB=2BD ；（2）BC=BD+BP ，理由见详解；（3）BC =BD+BP【分析】（1）先补全图形，再连接CD ，可得是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可解析：（1）图形见详解，BC =AB =2BD ；（2）BC =BD 2BP ，理由见详解；（3）BC =BD 3BP【分析】（1）先补全图形，再连接CD ，可得CPD △是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可得到结论；（2）取BC 的中点F ，连接PF ，推出BPF △是等腰直角三角形，从而得BF 2BP ，再证≌，进而即可求解；明BDP FCP≌，可得BD=CF，从而得3PF=3BP=BF，进而即可得到结论．（3）由BDP FCP【详解】解：（1）补全图形如下：BC=2BD，理由如下：连接CD，∵线段PC绕点P顺时针旋转 =60°得到PD，∴CP=DP，∠CPD=60°，∴CPD△是等边三角形，∴∠CDP=∠DCP=60°，∵点P是线段AB的中点，∠A=60°，AB=AC，∠ACB=30°，∴ABC是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=12∴∠BCD=60°-30°=30°，∴BC平分∠PCD，∴BC是PD的垂直平分线，∴BD=PB，即：BC=AB=2BD；（2）取BC的中点F，连接PF，∵∠A=90°，AB=AC，∴ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，△是等腰直角三角形，∴BPF∴BF2BP，BP=PF，∵∠DPC=∠BPF=90°，∴∠BPD=∠FPC，又∵PD =PC ，∴BDP FCP ≌，∴BD =CF ，∵BC =BF +FC ， ∴BC =BD +2BP ；（3）由第（2）题可知：BDP FCP ≌，∴BD =CF ，∵∠BAC =∠DPC =120°，PF ∥AC ，PF =12AC ， 又∵BP =12AB ，AB =AC ， ∴3PF =3BP =BF ，∴BC =BF +CF =BD +3BP ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．2．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．（3）如图③，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，33BC =+，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．答案：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）．【分析】（1）根据，AD=AE ，运用SAS 证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把绕点解析：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 23=+ 【分析】（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD∵ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △∴DAE 90BAC ∠=∠=︒∴D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠∴D CAE BA ∠=∠∵BA=CA ，AD=AE∴ABD ACE ≅∴ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD∵ACB 45B ∠=∠=︒∴ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE ⊥BD故答案为：CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）如图②，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，则ACE ABG ≅∴AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒∵BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒∴GAD DAE 45∠=∠=︒ 在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADG ADE ≅∴ED=GD∵GBD 90∠=︒ ∴222BD BG DG +=即222BD EC DE +=（3）如图③，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，∴AEC AFB ≅∴AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒∵CAB 120∠=︒，AB=AC∴ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒∴FBD 60∠=︒∵EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒∴DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD∴ADE ADF ≅∴DF=DE∵以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形∴以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形∴BDF 是直角三角形若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒ ∴BF=2BD=EC ，DF 3BD DE == ∵()BC BD DE EC BD 2BD 33333BD BD =++=++=+=+∴BD 1=∴DE 3=∴BE BD DE 13=+=+若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒∴BD=2BF=2EC ，DF 3BF DE ==∵()BC BD DE EC 2BF BF 33333BF BF =++=++=+=+∴BF 1=∴BD=2，DE 3=∴BE 23=+【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．如图1，已知ABC 和EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．（1）过点E 作//EG BC 交AC 于点G ，试判断AEG △的形状并说明理由；（2）求证：//BF AC ；（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED EC =，求证：AB AD BF =+．答案：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根解析：（1）AEG △是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，再根据平行线的性质可得60AEG ABC ∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根据等边三角形的性质可得,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，从而可得ACE BCF ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得60CBF CAE ∠=∠=︒，从而可得CBF ACB ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证；（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得,DAE EB AE F BF ∠=∠=，再根据等腰三角形的性质可得D ACE ∠=∠，从而可得D BCF ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理可得BEF BCF D ∠=∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BE =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】（1）AEG △是等边三角形，理由如下：如图，过点E 作//EG BC 交AC 于点G ， ABC 是等边三角形，60BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，60AEG ABC ∴∠=∠=︒， ∴AEG 是等边三角形；（2）ABC 和EFC 是等边三角形，,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=∴︒，ACB BCE ECF BCE ∴∠-∠=∠-∠，即ACE BCF ∠=∠，在ACE △和BCF △中，AC BC ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCF SAS ∴≅，60CBF CAE ∴∠=∠=︒，CBF ACB ∴∠=∠，//BF AC ∴；（3）由（2）知，//BF AC ，ACE BCF ≅，DAE EBF ∴∠=∠，AE BF =，ED EC =，D ACE ∴∠=∠，由（2）已证：ACE BCF ∠=∠，D BCF ∴∠=∠， ABC 和EFC 是等边三角形，60ABC EFC ∠∴∠==︒，在BEF 中，180120BEF EBC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， 在BCF △中，180120BCF EFC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， BEF BCF D ∴∠=∠=∠，在ADE 和BEF 中，DAE EBF D BEF AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE BEF AAS ∴≅，AD BE ∴=，AB BE AE AD BF ∴=+=+．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键．4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)
4、已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都Байду номын сангаас等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．
（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE．
2、如图， 和 都是等边三角形， ，试说明： （综合全等和勾股定理）
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
5、如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD。其中正确的有（）
（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：① ；② ；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2．（1）如图1，若点P为正方形ABCD边上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H．求证： ．
A 3个B 4个C 5个D 6个
等腰直角三角形
等腰直角三角形等腰直角三角形是指一个三角形的两条边相等，并且其中一个角度为90度。
它是几何学中的常见图形，具有一些独特的性质和特点。
下面将从不同的角度来探究等腰直角三角形的性质和应用。
首先，我们可以从等腰直角三角形的定义开始讨论。
等腰直角三角形由两条长度相等的边和一个90度的直角所构成。
根据直角三角形的性质，直角的两边相互垂直。
而等腰直角三角形的两条边又相等，因此我们可以得出结论：在等腰直角三角形中，直角的两边相互垂直且相等。
其次，等腰直角三角形还满足勾股定理。
勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于斜边两边的平方和。
由于等腰直角三角形的两个直角边相等，那么我们可以得出：等腰直角三角形的直角边的平方等于等腰直角三角形斜边的平方的一半。
这一性质可以方便地用于解决一些与等腰直角三角形有关的问题。
在几何学中，等腰直角三角形的性质具有广泛的应用。
首先，等腰直角三角形被广泛应用于建筑和工程中的测量和布局。
在建筑设计中，往往需要根据一些特定的角度和尺寸来进行设计，而等腰直角三角形正好满足这些要求。
例如，在设计房屋的墙面、地面和天花板时，常常需要考虑到直角和相等的边。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们准确地测量和布局，确保建筑物的结构和比例符合要求。
此外，等腰直角三角形还在数学中有着重要的地位。
它是许多其他几何形状的基础，例如正方形和长方形。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们理解和推导这些几何形状的性质和定理。
例如，我们可以通过将一个等腰直角三角形分成两个直角三角形，来证明正方形的对角线相等。
这种推理和证明方法在数学中起着重要的作用，有助于培养逻辑思维和推理能力。
此外，等腰直角三角形还有一些有趣的性质。
例如，等腰直角三角形的两个直角边的长度不一定是整数，也可能是无理数。
这一性质在数学中有着重要的地位，与勾股定理和平方根的概念有关。
等腰直角三角形还可以通过平移和旋转等变换产生其他形状，例如正方形和正五边形。
这种变换性质在几何学中起着重要的作用，有助于研究和理解不同形状之间的关系。
人教版八年级数学专题复习 两个等腰直角三角形共点专题
两个等腰直角三角形共点专题共锐角顶点直角开口方向相反基本方法：△EDB中与△ABC不共顶点B的那条线段DE平行移到另外等腰三角△ABC的底边BC的另一个点C处的CF。
典型例题同侧型：连接DC(不共顶点的两个底角点的连线)，M是中点，求EM,AM的大小关系.方法：平移DE到CF，或倍长EM到MF思路:证明△AEB≌△AFC关键:证明∠ABE=∠ACF方法：∵DE⊥BE∴CG⊥BG∴∠ABE=∠ACF回头看：1.△ABC和△AEF是共直角顶点旋转2.四边形GBCA是共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直）对侧型：四边形ABGC对角互补，共圆推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长提高．如图，在等腰Rt△ABC 与等腰Rt△DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.（1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是 ；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.两个方法：已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN正方形逆向15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG 、PC 。
探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。
（1）求证：四边形BEFG 是矩形；（2）PG 与PC 的夹角为多少度时？四边形BEFG 是正方形，请说明理由。
14、正方形ABCD 和正方形CEFG ，M 为AF 的中点，连接MD 、ME ．⑴如图①，B 、C 、G 依次在同一条直线上，求证：△MDE 等腰直角三角形；⑵如图②，将正方形CEFG 绕顶点C 旋转45°．使B 、C 、F 依次在同一条直线上，则△MDE 的形状是 ⑶如图③、将正方形CEFG 任意旋转，设∠DC E=α°，猜想△MDE 的形状？写出你的结论并给予证明． 反开口，两个中点变一个中点再找关系19.如图，△ABO 与△CDO 均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M 为BD 的中点，MN⊥AC，试探究MN 与AC 的数量关系，并说明理由。
两个等腰直角三角形旋转2教学文稿
两个等腰直角三角形旋转2已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF=CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．∵AD=DE，∴AD=GB，∵AC=BC，∴AC﹣AD=BC﹣GB，∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF=GF．∴DF=CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°，∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF=BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4，∵AD=1，∴ED=BH=1，∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH=，∴DF=，∴CF=∴线段CF的长为．【点评】主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．。
等腰直角三角形旋转
等腰直角三角形旋转————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- 3 - / 4旋转的等腰直角三角形【变式典型题】原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转︒45，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式2 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒90，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒180，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？【练习】1．在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ∆≅∆；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．A D E BM CA D EBC ADE BM C BM C A DEA DE BMC AD EBMC ADEB MC AO (G)E B D CFl图1ACBM 图2NE DACBM 图3NED- 4 - / 42．（1）如图1，若点P 为正方形ABCD 边上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ．求证：BE DH ⊥．（2）如图2，将正方形AEFP 逆时针旋转，使点P 落在正方形ABCD 内，其余条件不变，（1）的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．在ABC ∆中，AD 是中线，O 为AD 的中点，直线l 过O 点，过A 、B 、C 三点分别作直线l 的垂线，垂足分别为G 、E 、F ，当直线l 绕O 点旋转到与AD 垂直时（如图1）易证：BE+CF=2AG ．当直线l 绕O 点旋转到与AD 不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE 、CF 、AG 又是怎样的数量关系？请写出你的猜想，并以图3的猜想给予证明．思考题：把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角形ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：︒<<︒900α），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK ，在上述旋转过程中，设x BH =，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的165？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．作 业 完成时间：30分钟1、如图所示，在密度均匀的铁片中挖去一圆形铁片，现要将这一铁片分成重量相等的两块，请问你有怎样的分法？并说明作图的道理．2、现有如图所示的方角铁片，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案．3、如图所示，请将一直角梯形形状的地块，分成面积相等的两地，问如何分．4、如图所示的一块空地，︒=∠=∠90B A ，AE ∥BC ，AB ∥CD ，现要在这一空地上砌一堵墙（要求墙长最短），将这块地分成面积相等的两块．思考题：如何把任意四边形面积两等分？AC E G(O)B F 图1AC G(O) BF图2 KHA E F HB C D P 图1AE F H B C DP 图2AOEBDl图2 A CD EBN M图1·A BDC。
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题（精华）1、图（D中，C点为线段AB上一点，△ACM, ZkCBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2） C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由；如图（3） C点为线段AB外一点，AACM, △CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由.2、如图（1）所示，点C为线段AB上一点，AACM、4CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E, 直线BM、CN交于点F.（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90° ,其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形, 并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由.3、如图，已知^幽是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D,使得4CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ZkCMN是等边三角形.（根据△ACDgZkBCE,得出 AD=BE, AM=BN；又△AMCgZkBNC,可得 CM=CN, ZACM=ZBCN,证明NNCM=ZACB=60°即可证明△CMN是等边三角形;）1、（锦州）如图A, /XABC和4CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF 和BE. （1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图A中的4CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B, （1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的4ABC 绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C （草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立.（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A,大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C,则以点C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF二BE.2、如图，AA。
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旋转试题篇：抓基本图形，看变化
接着上一篇旋转，这篇选取其中一个特例---等腰直角三角形进行讲解。
如图，△ABC和三角形ADE为等腰直角三角形，△ABC固定不动，△ADE绕顶点A顺时针旋转。
不难想象，△ADE的顶点旋转轨迹如图乙所示：D、E始终在在以点A为圆心、AD长为半径的圆上，且长度不变。
图甲图乙
在旋转的过程中，我们发现，△ADE的位置可以大致分为三种情况：
情况①：一边在△ABC内一边在△ABC外，如图1所示：
情况②：一边在△ABC上，如图2所示：
情况③：两边都在△ABC外，如图3所示：
图1图2图3
这三种情况，几何题中，是很常见的，且贯穿整个初中。
请看题：
一、对接情况①的常考题。
【题1】⑴问题发现：如图⑴，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE。
填空，∠AEB的度数为；线段AD,BE之间的数量关系为；
⑵拓展探究如图⑵，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。
请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由。
【题2】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
二、对接情况②的常考题。
【题3】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF；
⑴求证：Rt△ABE≌Rt△CBF;
⑵若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。
【题4】如图所示，H是△ABC的高AD,BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；
③BH=AC；④CE=CD中，正确的有。
三、对接情况③的常考题。
【题5】如图①，已知△ABC，以△ABC的边AB、AC为边，分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE。
（1）试说明：△ADC≌△ABE；
（2）判断CD与BE有怎样的位置关系；
（3）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由。
【例6】在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一个动点（不与B,C重合）。
以AD为边作正方形ADEF，连接CF。
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出线段CF,BC,CD的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变。
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
2，对角线AE,DF相交于点O，连接OC，求OC的长度。
②若正方形ADEF的边长为2
上面只是部分常考试题，由于篇幅原因，这里不再放题。
接下来，我们看看这些图的变化。
我们来看看线段AD的长度变化，是否可以产生新的题型出来。
若将△ADE的边AD变长，使得长度大于BC的一半，小于AB，如图甲，这时，在△ADE旋转的过程中，就会出现一个新的特殊位置，如图乙：
图甲图乙
四、这个新的特殊位置，又成试题命制的一个好图，请看题：
【题7】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，△ADE的顶点D在BC上，若BD=2，CD=8。
求：（1）AD的长；（2）三角形重合部分的面积；（3）你能找出图中相似的三角形吗？
【题8】如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，AD=AE，F为斜边BC上一点，∠EFN＝90°，BF：FC=3:4，四边形AEFD的面积为25，求△ABC的面积。
若把【题8】的点D移动BC的中点，则产生了【题9】：
【题9】如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC 交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．
若把题【9】的条件改一改呢？则产生了【题10】。
【题10】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点。
（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证，△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
由于篇幅原因，不再放题。
下一篇会继续讲这些图的变化。
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