一个等腰直角三角形的旋转问题的探究

图 2 图 1 图 3 图 5 图4 图 6 图
7 一个等腰直角三角形旋转问题的探讨
原题：在△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90O
, △ADE 为等腰直角三角形，DE ⊥AD 。

M 为线段EB 的中点, 连结DM 、CM 。

请探究DM 与CM 的关系（如图1）。

证明分析：利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明DM 与CM 垂直且相等。

问题：把等腰直角△ADE 绕点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，其它条件不变，则上述命题的结论仍然成立吗？
一、特殊位置时结论的证明
旋转一：当线段AD 旋转到线段AC 上时（如图2）。

证明分析（如图3）：设线段AE 与线段BC 的延长线相交于点N 。

由直角三角形斜边中线性质可得，AM ＝EM ；由等腰直角三角形的定义可得，AD=ED ，所以，根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可得DM ⊥AE ，可证DM ∥AB 。

同理，CM ∥AN ，综合可证△CDM 是等腰直角三角形。

于是，命题得证。

旋转二：当E 、D 、B 三点旋转到同一条直线上时（如图4）。

证明分析（如图5）：延长AD 至N ，使DN=DM ，连结CN 。

△EDA 是等腰直角三角形，所以可证得AN=EM=BM 。

由三角形内角和可证∠NAC=∠CBM ，用“SAS ”证明△CBM ≌△CAN 。

得∠MCB=∠NCA ，证
出∠NCM=90O ，再由△CBM ≌△CAN 可得∠N=∠DMC,由四边形内角和可证得∠N=∠DMC =90O ，从而证明四边形DMCN 为正方形。

于是命题得以证明。

旋转三：当点E 、A 、B 三点在同一条直线上时（如图6）。

图8 图11
图10 图12 图13
图14
图15 证明分析(如图7)：作DF ⊥BE 于F ，CN ⊥AB 于点N ，设DF =a ，CN=b ，根据等腰直角三角形的定义与性质可得BE=2(a+b)，所以有EM=BM=a+b 。

计算证出DF=NM ，FM=CN 。

用“SAS ”证△MDF ≌△CMN ，可证结论成立。

下列四种情况，请读者证明结论的正确性。

已知△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形， M 为线段EB 的中点,
连结DM 、CM 。

请探究DM 与CM 的关系。

1）当D 、A 、B 三点在同一条直线上时（如图8）
2）当D 、A 、C 三点在同一条直线上时（如图9）
3) 当D 、E 、B 三点在同直线时（如图10）
4） 当A 、E 、B 三点在同直线时（如图11）
二、一般位置时结论的证明
旋转四：当旋转角度小于45O 时（如图12）。

证明分析：（如图13）作DN ⊥DM ，取DN=DM 。

连结AN 交BE 于点P,连结CN 。

用“SAS ”证△ADN ≌△EDM ， 则∠PNO=∠DMO ，在△NPO 和△ODM 中利用内角和定理证明∠NPO=90O ,同理在△PAQ 和△BQC 中证明∠
PAQ=∠CBQ 。

另一方面由△ADN ≌△EDM 可证明AN=EM=BM 。

用“SAS ”证明△CBM ≌△CAN ，仿前变式二
证明∠NCM=90O ，连结DC ，证∠DNC=∠DMC ，利用四边形内角和证∠DNC=∠DMC=90O ，于是可证四边形
DMCN 为正方形，得DM=CM,且DM ⊥CM 。

请读者证明下列几种变化情况。

如下列图14，图15，图16，其它条件不变，即：△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形， M 为线段EB 的中点, 连结DM 、CM 。

请探究DM 与CM 的关系。

图9
图
17 图
16
我们对于已做过的习题要有解题后反思。

本题变式多，证明方式也不尽相同，可以说是精彩纷呈，是复习备考中难得的一道好题。

借题发挥，拓宽视野，这样做不仅有助于学生综合而灵活的运用知识，而且能不断提高学生独立探究问题解决的能力，更有助于培养学生思维的深刻性与批判性。

有兴趣的读者可以探讨下列旋转问题。

（2011•黑河）在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图（1），易证 EG=CG 且EG ⊥CG.。

（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。

（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明。