专题47 三角形中的旋转综合问题(原卷版)
三角形40道压轴题型专训(8大题型)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册重难点(人教版)
三角形40道压轴题型专训（8大题型）【题型目录】题型一 与三角形的高有关的计算压轴题题型二 根据三角形中线求面积压轴题题型三 与平行线有关的三角形内角和问题题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题题型五 三角形折叠中的角度问题题型六 三角形内角和定理的应用题型七 三角形外角压轴题题型八 多边形内角和压轴题【经典例题一 与三角形的高有关的计算压轴题】1．（22-23七年级下·广东河源·期中）如图，已知ABC V 的面积为5，点M 在AB 边上移动（点M 与点A 、B 不重合），MN BC ∥，MN 交AC 于点N ，连接BN ．设AM x AB=，MBN S y =V ．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)点E 、F 分别是边AB ，AC 的中点，设MBN V 与EBF V 的公共部分的面积为S ，试用含x 的代数式表示S ．2．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上，点C 在y 轴上，若点(),0A a ，点(),0B b ，点()0,2C ，且22AO OB OC ==．(1)求a ，b 的值；(2)动点P 从点O 出发沿着y 轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接AP ，设APC △的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒，求S 与t 的关系式；(3)在（2）的条件下，点D 是直线BC 上一点，点D 的横坐标为1，连接OD ，DA ，若DOA △的面积为2S ，求点P 的坐标．3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），C （0，c ），()2430a c +++=，b 为7的整数部分．(1)a ＋b ＋c ＝ ；(2)点P 为坐标平面内的一个动点，若S △PBC ＝2S △ABC ，求点A 与点P 距离的最小值；(3)如图2，点D 在线段AB 上，将点D 向右平移4个单位长度至E 点，若△ACE 的面积等于14，求点D 坐标．4．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）设ABC V 的面积为a ．(1)如图1，延长ABC V 的各边得到111A B C △，且1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =，记111A B C △的面积为1S ，则1S =______．（用含a 的式子表示）(2)如图2，延长ABC V 的各边得到111A B C △，且12A B AB =，12B C BC =，12C A CA =，记111A B C △的面积为2S ，则2S =________．（用含a 的式子表示）(3)如图3，P 为ABC V 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把ABC V 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到ABC V 的面积=a ________．5．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()3,6A ，()9,6B ，连接AB ，将AB 向下平移10个单位得线段CD ，其中点A 的对应点为点C ．(1)填空：点C 的坐标为____________；(2)点E 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A B D C A ----…运动，设运动时间为t 秒，① 当2t =时，点E 坐标为__________，② 当E 点在BD 边上运动时，点E 坐标为_____________；（用含t 的式子表示）③当点E到y轴距离为7时，求t值；(3)在（2）的条件下，连接DE并延长，交y轴于点P，当PD将四边形ACDB的面积分成3:5两部分时，求点P的坐标．【经典例题二根据三角形中线求面积压轴题】6．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐-，点C在y轴的正半轴上，其坐标为(0,8)，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相标为(6,0)交于B．(1)点B坐标为（____，____）；(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿BA向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为AB中点，N为BP中点，用含t的式子表示MN的长；(3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着AO向终点O运动，连接CP，求t为何值时，CP把长方形OABC分成的两部分面积比为13:，并求出此时点P坐标．V的角平分线，点E、F分别在BC、AC上，7．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，BD是ABCÐ．∥，EF平分DECDE AB(1)判断EF与BD的位置关系，并说明理由；(2)若2CD AD =，2CE BE =，2CF DF =，且ABC V 的面积为27，求DEF V 的面积．8．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例：（1）如图1，AD 是ABC V 的中线，ABC V 与ABD △的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图2，AD 是ABC V 的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）迁移应用：（3）如图3，ABC V 的两条中线AD ，BE 相交于点G ，求证：AGE BGD S S D D =；（4）如图4，ABC V 的三条中线AD ，BE ，CF 相交于点G ，①请你写出所有与AGE V 面积相等的三角形；②写出AG 与GD 的数量关系式，并说明理由；拓展应用；（5）设ABC V 的面积为a ，如图①将边BC AC 、分别2等份，1BE 、1AD 相交于点O ，AOB V 的面积记为1S ；如图②将边BC AC 、分别3等份，1BE 、1AD 相交于点O ，AOB V 的面积记为2S ；……，以此类推，若43S =，则a 的值为__________．9．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，ABC V 中，90CAB Ð=°，AD BC ^于点D ，AE 为ABC V 的中线，6cm AB =，8cm AC =，10cm BC =．求：(1)AD 的长(2)ABE V 的面积(3)ACE △和ABE V 的周长的差10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）已知ABC V 的面积是60，请完成下列问题：(1)如图1，若AD 是ABC V 的BC 边上的中线，则ABD △的面积______ACD V 的面积．（填“>”“<”“=”）(2)如图2，若CD 、BE 分别是ABC V 的AB 、AC 边上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法，连接AO ，由AD DB =得：ADO BDO S S =V V ，同理：CEO AEO S S =V V ，设ADO S x =△，CEO S y =△，则BDO S x =V ，AEO S y =V 由题意得：1302ABE ABC S S ==V V ，1302ADC ABC S S ==V V ，可列方程组为：230230x y x y +=ìí+=î，解得______，则可得四边形ADOE 的面积为______．(3)如图3，:1:3AD DB =，:1:2CE AE =，则四边形ADOE 的面积为______．(4)如图4，D ，F 是AB 的三等分点，E ，G 是CA 的三等分点，CD 与BE 交于O ，且60ABC S =△，则四边形A DOE 的面积为______．【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】11．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，已知A 、B 两点坐标分别为(),4A a ，(),0B b ，且a ，b 满足60a -=，()280b -£，E 是y 轴正半轴上一点．(1)求A 、B 两点的坐标(2)若C 为y 轴上一点，且14AOC AOB S S =V V ，求C 点的坐标(3)过B 作BD y ∥轴，若13DBF DBA Ð=Ð，13EOF EOA Ð=Ð，求F Ð与A Ð间的数量关系12．（23-24七年级下·广东佛山·期中）综合探究：如图1，已知两条直线AB CD ，被直线EF 所截，分别交于点E ，点F EM ，平分AEF Ð交CD 于点M ，且FEM FME Ð=Ð．(1)直线AB 与直线CD 平行吗？说明你的理由；(2)点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分FEG Ð交CD 于点H ，过点H 作HN EM ^于点N ，设EHN EGF a b Ð=Ð=，．①当点G 在点F 的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当60b =°时α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由．13．（23-24七年级下·福建三明·期中）在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的ABC V ，30B Ð=°）摆放在画有两条平行直线PQ MN 、的纸面上进行操作探究．(1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出C Ð与1Ð，2Ð之间的数量关系；(2)小明移动三角板按如图2摆放，当DQ 平分ADE Ð时，发现MEC Ð和CDE Ð存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由；(3)小明继续移动三角板，使顶点A 落在直线PQ 上，如图3，分别画出QAC Ð和CBF Ð的平分线相交于点E ，多次移动三角板位置（保持顶点A 在直线PQ 上），经度量并计算发现2AEB BFN Ð+Ð都等于270°，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且2AEB BFN Ð+Ð又不等于270°的图形．14．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，AB CD ∥，E 是直线AB 上一点，F 是直线CD 上一点．问题提出（1）如图1，G 是直线AB 上一点，P 是线段EF 上一点，连接GP ，若60EGP Ð=°，50EFD Ð=°，则GPF Ð=问题探究（2）如图2，120EQF Ð=°，PE 平分BEQ Ð，PF 平分DFQ Ð，请计算EPF Ð的度数．问题解决（3）如图3，FG 平分CFP Ð，延长PE 到点H ，且EH 平分AEG Ð，若EGF P a Ð=-Ð，请你探究GEA Ð与GFC Ð之间的关系，并说明理由（用含a 的式子表示）．15．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知：AB CD ∥，E 、G 是AB 上的点，F 、H 是CD 上的点，12Ð=Ð．(1)如图1，求证：EF GH ∥；(2)如图2，点M 在GH 的延长线上，作BEF Ð、DFM Ð的角平分线交于点N ，EN 交GH 于点P ，设N a Ð=．①若45a =°，试判断直线GH 上是否存在一点K 使得FK FM <，并说明理由；②如图3，作AGH Ð的角平分线交CD 于点Q ，若32FEN HFM Ð=Ð，请直接回答GQD Ð与N Ð的数量关系：______．【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】16．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【认识概念】如图1，在ABC V 中，若BAD DAE EAC Ð=Ð=Ð，则AD ，AE 叫做BAC Ð的“三分线”．其中，AD 是“近AB 三分线”， AE 是“远AB 三分线”．【理解应用】（1）在ABC V 中，60A Ð=°，70B Ð=°，若A Ð的三分线AD 与B Ð的角平分线BE 交于点P ，则APB Ð= ____________；（2）如图2，在ABC V 中，BO 、CO 分别是ABC Ð的近AB 三分线和ACB Ð近AC 三分线，若BO CO ^，求A Ð的度数；【拓展应用】（3）如图3，在ABC V 中，BO 、CO 分别是ABC Ð的远BC 三分线和ACB Ð远BC 三分线，且A m Ð=°，直线PQ 过点O 分别交AC 、BC 于点P 、Q ，请直接写出12Ð-Ð的度数（用含m 的代数式表示）．（4）在ABC V 中，ACD Ð是ABC Ð的外角，ABC Ð的近BC 三分线所在的直线与ACD Ð的三分线所在的直线交于点P ．若A m Ð=，=60B а；直接写出BPC Ð 的度数（用含m 的代数式表示）．17．（2024七年级下·浙江·专题练习）【基础巩固】（1）如图1，已知AD EF BC ∥∥，求证：AEB DAE CBE Ð=Ð+Ð；【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点．7030AEB DAE Ð=°Ð=°，，求CBE Ð的度数；【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是线段CD 上一点．若AE 平分DAC CAB ABC ÐÐ=Ð，．①试求出BAE Ð的度数；②已知30AEB ABE EBC Ð=ÐÐ=°，，点G 是直线AD 上的一个动点，连接CG 并延长．2.1若CA 恰好平分BCD Ð，当CG 与四边形ABCD 中一边所在直线垂直时，ACG Ð=_____°；2.2如图4，若CG 是ACD Ð的平分线与BA 的延长线交于点F ，与AE 交于点P ，且BFC a Ð=°，则ADC Ð=______°（用含a 的代数式表示）．18．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在ABC V 中，P 为ABC V 内一点，BP 平分ABC Ð，CP 平分ACP Ð．(1)如图1，当100A Ð=°时，则BPC Ð的度数为__________．(2)如图2，过C 作CQ CP ^，交BP 延长线于点Q ，求证：12Q BAC Ð=Ð．(3)如图3，在（2）的条件下，过C 作CM PQ ^，延长CM 与BA 延长线交于点N ，若57ABP HCM Ð=Ð，且5AHQ PCB ABC Ð-Ð=Ð，求BNC Ð的度数．19．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与探究如图1，已知2AOB a Ð=Ð，P 是其内部一点，过点P 作PC OB ∥，PD OA ∥，分别交OA ，OB 于点C ，D ，CM 平分ACP Ð，DN 平分PDB Ð．图1 图2(1)①写出所有等于a Ð的角：______．②试猜想CM 与DN 的位置关系，并说明理由．(2)如图2，点E 在射线CA 上，连接PO ，PE ，且POE OPE Ð=Ð，PF 平分CPE ∠，交OA 于点F ，延长FP 交DN 于点G ，若50OPF Ð=°，求AFP NGP Ð+Ð的度数．20．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，90MON Ð=°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合），BC 是ABN Ð的平分线，BC 的反向延长线交OAB Ð的平分线于点D ．【特殊探究】（1）当60OAB Ð=°时，ADB =∠ °；【推理论证】（2）随着点A 、B 的运动，ADB Ð的大小会变吗？如果不会，求ADB Ð的度数，请说明理由；【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作DAO Ð与DBO Ð的平分线，交于点E ，则AEB Ð= °；【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“90MON Ð=°”拓展为一般情况，即MON a Ð=，连接BP ，OPB Ð与OBP Ð的平分线相交于点Q ，试判断PQG Ð与D Ð的数量关系，并说明理由．【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】21．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在ABC V 中，ABC ACB ÐÐ、的角平分线交于点P ，若50A Ð=°．则P Ð=______；(2)【问题推广】如图2，在ABC V 中，BAC Ð的角平分线与ABC V 的外角CBM Ð的角平分线交于点P ，过点B 作BH AP ^于点H ，若76ACB Ð=°，则PBH Ð=______；(3)如图3，如图3，在ABC V 中，ABC Ð、ACB Ð的角平分线交于点P ，将ABC V 沿DE 折叠使得点A 与点P 重合．①若110BPC Ð=°，则12Ð+Ð=______；②若PD PE =，求证：12Ð=Ð；(4)【拓展提升】在四边形BCDE 中，EB CD ∥，点F 在直线ED 上运动（点F 不与E ，D 两点重合），连接BF CF EBF DCF ÐÐ，，、的角平分线交于点Q ，若EBF DCF a b Ð=Ð=，，直接写出∠Q 和α，β之间的数量关系．22．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有点(,0),(0,)A a B b ，且a ，b 满足4|2|0a b -++=，将线段AB 向上平移k 个单位得到线段CD ．(1)求出点A 、B 的坐标；(2)如图1，若5k =，过点C 作直线l x ∥轴，点M 为直线l 上一点，若MAB △的面积为8，求点M 的坐标；(3)如图2，点E 为线段CD 上任意一点，点F 为线段AB 上任意一点，120EOF Ð=°．点G 为线段AB 与线段CD 之间一点，连接GE ，GF ，且13DEG DEO Ð=Ð，80EGF Ð=°．试写出AFG Ð与GFO Ð之间的数量关系，并证明你的结论；23．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究(1)如图1，将ABC V 沿着DE 第一次折叠，顶点B 落在ABC V 的内部点O 处，试探究12Ð+Ð与B Ð之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，将ABC V 沿着FG 第二次折叠，顶点C 恰好与点O 重合，若85A Ð=°，562Ð=°，求13Ð+Ð的度数．(3)如图3，将ABC V 沿着GH 第三次折叠，顶点A 恰好与点O 重合，若A a Ð=，5b Ð=，用含a ，b 的代数式表示()61AGO Ð-Ð+Ð．24．（22-23七年级下·四川成都·期中）直线MN 与直线PQ 垂直相交于点C ，点A 在射线CP 上运动（点A 不与点C 重合），点B 在射线CN 上运动（点B 不与点C 重合）．(1)如图1，已知AD 、CD 分别是BAC Ð和ACB Ð的角平分线，①当60BAC Ð=°时，求ADC Ð的度数；②点A 、B 在运动的过程中，ADC Ð的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出ADC Ð的大小；(2)如图2，将ABC V 沿AD 所在直线折叠，点B 落在PQ 的点F 处，折痕与MN 交于点E ，连接DF 、EF ，在CDF V 中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出BAC Ð的度数．25．（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D ，E 分别在边,AC BC 上，将C Ð沿DE 折叠，点C 落在点'C 的位置．(1)如图1，当点C 落在边BC 上时，若58ADC 'Ð=°，则C Ð＝ ，可以发现ADC 'Ð与C Ð的数量关系是 ；(2)如图2，当点C 落在ABC V 内部时，且42BEC 'Ð=°，20ADC 'Ð=°，求C Ð的度数；(3)如图3，当点C 落在ABC V 外部时，若设BEC 'Ð的度数为x ，ADC 'Ð的度数为y ，请求出C Ð与x ，y 之间的数量关系．【经典例题六 三角形内角和定理的应用】26．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，如图，AB CD P ，直线MN 交AB 于点M ，交CD 于点N ，点E 是线段MN 上一点，,P Q 分别在射线,MB ND 上，连接,,PE EQ PF 平分,MPE QF Ð平分DQE Ð．(1)如图1，当PE QE ^时，求PFQ Ð的度数；(2)如图2，求PEQ Ð与PFQ Ð之间的数量关系，并说明理由．27．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，(),0A a ，()0,B b ，且满足30a a b +++=，将线段AB 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点A 的对应点为C ，点B 的对应点为D ．(1)求AB 、两点的坐标．(2)连接AC BD 、，求平行四边形ACDB 的面积．(3)设M 为x 轴负半轴上一动点（异于点A ），连接CM ，BAO Ð的平分线与DCM Ð的平分线交于点N ，请你探究AMC Ð与ANC Ð的数量关系，并证明你的结论．28．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“宝藏角”．其中一个角叫做另一个角的“宝藏角”．例如70a =°，40b =°，30a b -=°，则a 和b 互为“宝藏角”，即a 是b 的“宝藏角”，b 也是a 的“宝藏角”．(1)已知1Ð和2Ð互为“宝藏角”，12Ð>Ð，且1Ð和2Ð互补，求1Ð的度数；(2)在ABC V 中，90ACB Ð=°，AE 是BAC Ð的角平分线，①如图1，点P 在射线AC 上，CN 平分BCP Ð，与射线AE 交于点N ，若ANC Ð与B Ð互为“宝藏角”，求ANC Ð的度数；②如图2，若CP AB ∥，射线CN 平分BCP Ð且与射线AE 交于点N ，若ANC Ð与ABC Ð互为“宝藏角”，则ABC Ð的度数为______；③如图3，若CP AB ^于点P ，AE CP 、相交于点F ，若FCE Ð与CEF Ð互为“宝藏角”，求出CEF Ð的度数．29．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，MN PQ ∥，点A 在MN 上，点B ，C 为PQ 上两点，60ABC Ð=°，40ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð交BC 于点D ．(1)求DAN Ð的度数；(2)射线BP 绕B 点每秒15°的速度顺时针旋转t 秒()0t >，当BP 转动至射线BQ 后立即以相同速度回转，当BP 第一次与AD 互相平行时，求t 的值；(3)当射线BP 绕B 点每秒15°的速度顺时针转动的同时，射线AB 绕A 点每秒5°的速度逆时针旋转，当AB 转动至射线AN 时，AB ，BP 同时停止转动，请求出BP 与AB 互相平行时t 的值．30．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知直线MN PQ ∥，点A 在直线MN 上，点B 、C 为平面内两点，AC DC ^于点C ．(1)如图1，当点B 在直线MN 上，点C 在直线MN 上方时，则CAB Ð和CDP Ð之间的数量关系是 ．(2)如图2，当点C 在直线MN 上且在点A 左侧，点B 在直线MN 与PQ 之间时，小明过点B 作BF MN ∥．请根据他的思路，写出ABC Ð与BDP Ð的关系；(3)如图3，在（2）的条件下，作ABD Ð的平分线交直线MN 于点E ，2AEB ABC Ð=Ð，直接写出ABC Ð的度数．(4)如图4，当点C 在直线MN 上且在点A 左侧，点B 在直线PQ 下方时，当2BDP BEN Ð=Ð时，请补充图形并直接写出ABC Ð的度数．【经典例题七 三角形外角压轴题】31．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）已知：点A 在直线DE 上，点B C 、都在直线PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD Ð，且ABC BAC Ð=Ð．(1)如图1，求证：DE PQ ∥；(2)如图2，点K 为线段AB 上一动点，连结CK ，且始终满足290EAC BCK Ð-Ð=°，①当CK AB ^时，在直线DE 上取点F ，连接FK ，使得12FKA AKC Ð=Ð，求此时AFK Ð的度数．②在点K 的运动过程中，AKC Ð与EAC Ð的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由．32．（2024七年级下·北京·专题练习）已知，直线AB CD ∥，点E 为直线CD 上一定点，射线EK 交AB 于点F ，FG 平分AFK Ð，FED a Ð=．(1)如图1，当60a =°时，GFK Ð= °；(2)点P 为线段EF 上一定点，点M 为直线AB 上的一动点，连接PM ，过点P 作PN PM ^交直线CD 于点N ．①如图2，当点M 在点F 右侧时，求BMP Ð与PNE Ð的数量关系；②当点M 在直线AB 上运动时，MPN Ð的一边恰好与射线FG 平行，直接写出此时PNE Ð的度数（用含α的式子表示）．33．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知：直线AB 与直线CD 平行，E 、G 是直线AB 上的点，F 、H 是直线CD 上的点，且FEG FHG Ð=Ð．(1)如图1，EN 为BEF Ð的角平分线，交GH 于点P ，连接FN ，猜测N Ð、HPN Ð，NFH Ð之间的等量关系并给出证明．(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FM GH ^于点M ，作AGH Ð的角平分线交CD 于点Q ．若3MFN NFH Ð=Ð，且2:5GQH N ÐÐ=，请直接写出GQH Ð的度数．34．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知：点A 在直线DE 上，点B C 、都在直线PQ 上（点B 在点C 的左侧），连接AB ，AC ，AB 平分CAD Ð，且ABC BAC Ð=Ð．(1)如图1，求证：DE PQ ∥；(2)如图2，点K 为线段AB 上一动点，连接CK ，且始终满足290EAC BCK Ð-Ð=°．①当CK AB ^时，在直线DE 上取点F ，连接FK ，使得12FKA AKC Ð=Ð，求此时AFK Ð的度数；②在点K 的运动过程中，AKC Ð与EAC Ð的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由．35．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图1，已知线段AB 、线段CD 被直线l 所截于点A 、点C ，150Ð=°，2Ð的度数是1Ð的3倍少20°．(1)求证：AB CD P ；(2)如图2，连接BD ，AB 沿BD 方向平移得到EF ，点F 在BD 上，点G 是BD 上的一点，连接AG 、EG ，30BAG Ð=°，20FEG Ð=°，求AGE Ð的度数；(3)如图3，点M 是线段BD 上一点，点N 是射线CD 上一点，CAM Ð度数为k ，AMN Ð度数为m ，MND Ð度数为n ，请直接写出k 、m 、n 之间的数量关系．（本题的角均小于180°）【经典例题八 多边形内角和压轴题】36．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在ABC V 中，AD 是BC 边上的高，AE 是ABC V 的角平分线．(1)如图1，若4060B C Ð=°Ð=°，，求EAD Ð的度数；(2)如图2，PE 平分AEC Ð交AC 于点F ，交ACB △外角ACM Ð平分线于点P ，过F 作FG PC ∥交BC 于G ，请猜想EFG Ð与BAC Ð的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA ，过点P 作PG BM ^于点G ，若EAD CAD Ð=Ð，且107B CPE CPG Ð+Ð=Ð，过点P 作PH AB ^交BA 的延长线于点H ，求EPH Ð的度数．37．（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索：(1)下列有A 、B 两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A 给分)．A ．如图①，1Ð和2Ð是ABC V 的两个外角，求证12180A Ð+Ð=°+Ð；B ．如图②D 、E 是ABC V 边AB 、AC 上的点，将ADE V 沿DE 翻折至FDE V ，若点F 在ABC V 内部，122A Ð+Ð=Ð．我选择 作答(2)如图③，BE 、CE 分别平分四边形ABCD 的外角CBM Ð、BCN Ð．已知100A Ð=°，120D Ð=°，求E Ð的度数；(3)如图④，已知五边形ABCDE ，延长AE 至F ，延长BC 至G ，连接CE ，点P 、Q 分别在边DE 、CD 上，将DPQ V 沿PQ 翻折至D PQ 'V ，若13DEF CEF Ð=Ð，13DCG ECG Ð=Ð，A m Ð=°，B n Ð=°．请你直接写出12Ð+Ð的度数(用含m 、n 的代数式表示)38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在ABC V 中，90,42C A Ð=°Ð=°．点D 、E 分别在ABC V 的边AC AB 、上，且均不与ABC V 的顶点重合，连接DE ，将ABC V 沿DE 折叠，使点A 的对称点A '始终落在四边形BCDE 的外部，A D '交边AB 于点F ，且点A '与点C 在直线AB 的异侧．(1)如图①，则B Ð=_______°．(2)如图②，则BED CDE Ð+Ð=_______°．(3)如图③，设图②中的1,2CDF A EF Ð=ÐÐ=Ð'．求12Ð-Ð的度数；(4)当A DE 'V 的某条边与AB 或AC 垂直时，直接写出ADE Ð的度数．39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和180°，四边形的内角和是360°．【问题思考】如图1，在ABC V 中，延长AB 到点D ，AM ，BM 分别平分CAB Ð和CBD Ð．（1）若58CAB Ð=°，40CBA Ð=°，求AMB Ð的度数；（2）设CAB x Ð=°，CBA y Ð=°，x 与y 都是变量，但x 与y 的和是个常量，即x y m +=，m 是常量．在x 与y 变化的过程中，AMB Ð的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m 的代数式表示AMB Ð；若变化，请说明理由．【问题拓展】在四边形ABCD 中，设ADC a Ð=，BCD b Ð=，延长AB 到点E ，AP ，BQ 分别平分DAB Ð和CBE Ð．（3）如图2，当180a b +=°，此时AP ，BQ 的位置关系为 ；（4）如图3，当180a b +>°，AP ，BQ 所在直线交于点N ，请说明ANB Ð与α，β的数量关系；（5）将（4）中的条件180a b +>°改为180a b +<°，其余条件不变，请画出简图，并直接写出ANB Ð与α，β的数量关系．40．（23-24八年级上·云南·阶段练习）（概念学习）在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若1Ð、2Ð互为组角，且1135Ð=°，则2Ð=_____°；（理解运用）习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形ABCD 中，优角BCD Ð与钝角BCD Ð互为组角，试探索内角A Ð、B Ð、D Ð与钝角BCD Ð之间的数量关系，（拓展延伸）（3）如图②，A B C D E F Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=______；（用含α的代数式表示）（4）如图③，已知四边形ABCD 中，延长AD 、BC 交于点Q ，延长AB 、CD 交于P ，APD AQB ÐÐ、的平分线交于点M ，180A QCP Ð+Ð=°；直接运用（2）中的结论，试说明：PM QM ^．。
【玩转压轴题】必考3：相似三角形的综合(原卷版)-浙教版2022年初三数学期末压轴题精选汇编
【玩转压轴题】必考3：相似三角形的综合（原卷版）一、单选题1．如图，C 是线段AB 上的任一点，分别以,,AB AC BC 为直径在线段AB 同侧作半圆，则这三个半圆周围成的图形被阿基米德称为“鞋匠刀形”（即图中阴影部分）．当“鞋匠刀形”的面积等于以BC 为直径的半圆的面积时，过C 作CD AB ⊥，交圆周于点D ，连结BD ，则CD 与BC 的比值为（ ）A ．12B C ．13D 2．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝45°，以其三边为边向外作正方形，连接GC 并延长交BH 于点L ，过点C 作CK ⊥DE 于点K ．若L 为BH 中点，则GL CK 的值为（ ）A ．1B ．98C D3．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（ ）A ．B ．CD 4．如图，在ABC 中，AE 和BD 是高，45ABE ∠=︒，点F 是AB 的中点，BD 与FE AE､分别交于点,G H ，CAE ABD ∠=∠．有下列结论：①FD FE =；②2BH CD =；③22BD BH BE ⋅=；④43ABC BCDFS S =△四边形．其中正确的有（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④5．如图，E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，连结EG ，HF 相交于点O ，//EG AD ，//FH AB ，矩形BFOE ∽矩形OGDH ，连结AC 交EG ，FH 于点P ，Q ．下列一定能求出BPQ ∆面积的条件是（ ）A ．矩形BFOE 和矩形OGDH 的面积之差B ．矩形ABCD 与矩形BFOE 的面积之差C ．矩形BFOE 和矩形FCGO 的面积之差D ．矩形BFOE 和矩形EOHA 的面积之差6．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以ABC 的各边为边分别作正方形ACDE ，正方形BCFG 与正方形ABMN ，AN 与FG 相交于点H ，连结NF 并延长交AE 于点P ，且2NF FP =．记ABC 的面积为1S ，FNH △的面积为2S ，若1221S S -=，则BC 的长为（ ）A ．6B ．C ．8D ．97．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF 沿HG 折叠，点B 恰好落在边AF 的中点上，延长B C ''交EF 于点M ，则C M '的长为（ ）A ．1B ．65C ．56D ．958．如图，等腰Rt ABC 中，90BAC AD BC ∠=︒⊥，于D ，ABC ∠的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM MC 、下列结论：①DF DN =；②ABE MBN ≌；③ CMN 是等腰三角形；④AE CN =，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．①③D ．②③9．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在Rt ABC 中，()90,,BAC AC a AB b a b ∠=︒==<．如图所示作矩形HFPQ ，延长CB 交HF 于点G ．若正方形BCDE 的面积等于矩形BEFG 面积的3倍，则ab的值为（ ）A B C D 35210．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且2CE DE =，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF AE ⊥，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作⊥OQ OP 分别交AE ，AD 于点N ，H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①45AFO ∠=︒；②2N P O D H H =⋅；③Q OAG ∠=∠；④OG DG =．其中正确的结论有（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =．连接BD ，DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE 为BC E ''△．当射线BE '和射线BC '都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ．若BFD △为等腰三角形，则线段DG 长为______．12．如图，点D 是等边ABC 边BC 上一点，将等边ABC 折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF （点E 在边AB 上）．（1）当点D 为BC 的中点时，:AE EB =__； （2）当点D 为BC 的三等分点时，:AE EB =__．13．小明想设计一款如图1所示的喷水壶，于是他绘制了如图2所示的设计图，壶身的主视图呈矩形ABCD ，壶把手呈圆弧状，圆心O 落在AD 上，圆弧交CD 于点E ．支撑架HF 所在直线恰好经过O ．壶嘴GI 的端点I 恰好在AD 所在直线上．已知258cm,4cm,cm, 6.5cm 12AD DE AF HF FG =====，则半径AO 的长为________cm ，壶嘴GI 的长度为________cm ．14．如图，AB 是半圆O 的直径．点C 在半径OA 上，过点C 做CD AB ⊥交半圆O 于点D ．以,CD CA 为边分别向左、下作正方形,CDEF CAGH ．过点B 作GH 的垂线与GH 的延长线交于点I ，M 为HI 的中点．记正方形,CDEF CAGH ，四边形BCHI 的面积分别为123,,S S S ．（1）若:2:3AC BC =，则12S S 的值为_______；（2）若D ，O ，M 在同一条直线上，则123S S S +的值为______．15．四个全等的直角三角形如图摆放成一个风车的形状，形成正方形ABCD 和正方形IJKL ．若BF 平分∠ABK ，AF ：FK ＝5：3，风车周长为面积和是___．16．用一张正方形纸片折成一个“小蝌蚪”图案（如图1）．如图2，正方形ABCD 的边长为2，等腰直角ACE 的斜边AE 过点D ．点F 为CE 边上一点，连结AF 交CD 于点G ，将AEF 沿AF 对称得AE F '，AE '与BC 交于点H ．当//FE CD '时，E FA '∠=______︒；当点G 为CD 的中点时，则CF 的长为______．17．如图，点A C 、分别是x 轴、y 轴正半轴上的点，矩形ABCO 的边,AB BC 分别交函数ky x=（0,0,x k k >≠为常数）的图象于点,P Q ，连接PQ ． （1）若P 为AB 中点，则BQBC=___． （2）若把BPQ ∆沿PQ 翻折，点B 恰好落在x 轴上的点E ，且6,2OE EA ==，则k =___．18．如图，在ABCD 中，E 是BC 边上的中点，AP CD ⊥于点P ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对称点B '落在AP 上，延长EB '恰好经过点D ，若4AB =，则折痕AE 的长为________．19．如图，点A ，B 分别是反比例函数(0,0)a y a x x =>>和(0,0)by b x x=<<图象上的点，且//AB x 轴，点C 在x 轴的正半轴上，连接AC 交反比例函数(0,0)ay a x x=>>的图象于点D ，已知20BOD S =△，8COD S =△，2AD CD =，则-a b 的值为______．20．如图1是护眼台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱6cm BC ，灯臂AC 绕着支点C 可以旋转，灯罩呈圆弧形（即弧AD 和弧EF ）．在转动过程中，AD （EF ）总是与桌面BH 平行．当AC BH ⊥时，51cm AB =．DM MH ⊥，测得42cm DM =（点M 在墙壁MH 上，且MH BH ⊥）；当灯臂AC 转到CE 位置时，FN MH ⊥，测得15cm FN =，则点E 到桌面的距离为______cm ．若此时点C ，F ，M 在同一条直线上，弧EF 的最低点到桌面BH 的距离为31cm ，则弧EF 所在圆的半径为_____cm （保留一位小数）．三、解答题 21．特例感知（1）如图，已知在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，取BC 边上中点D ，连结AD ，点E 为AB 边上一点，连结DE ，作DF DE ⊥交AC 于点F ，求证BE AF =；探索发现（2）如图，已知在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB AC ==，取BC 边上中点D ，连结AD ，点E 为BA 延长线上一点，1AE =，连结DE ，作DF DE ⊥交AC 延长线于点F ，求AF 的长；类比迁移（3）如图，已知在ABC 中，120BAC ∠=︒，4AB AC ==，取BC 边上中点D ，连结AD ，点E 为射线BA 上一点（不与点A 、点B 重合），连结DE ，将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°交射线CA 于点F ，当4AE AF =时，求AF 的长．22．（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长． 23．（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌． （运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长． （拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DEEC的值（用含k 的代数式表示）．24．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在直线AC 上，连结BD ，以BD 为边作等腰直角BDE （点E 在直线BD 右侧），连结CE ．（1）如图1，若45A ∠=︒，且点D 在AC 边上，求证：ABD CBE ∽△△； （2）如图2，若045A ︒<∠<︒，且12BC =，5CD =，求CE 的长；（3）如图3，若点D 在AC 的延长线上，BD ，CE 相交于点F ，设CDF 的面积为1S ，BEF 的面积为2S ，BCF △的面积为3S ，则2123122BC S S S =-+，请说明理由．25．如图，四边形ABCD 是矩形，20AB =，10BC =，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角CDG ，90G ∠=︒．点M 在线段AB 上，且AM a =，点P 沿折线AD DG -运动，点Q 沿折线BC CG -运动（P ，Q 与点G 不重合），在运动过程中终保持//PQ AB ．设PQ 与AB 之间的距离为x ，四边形AMQP 的面积为y ．（1）若12a =，回答下列问题：①当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x =______． ②求整个运动过程中，y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最大值；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．26．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 沿着边AB 从点A 运动到点B ，同时动点Q 沿着边BC ，CD 从点B 运动到点D ．它们同时到达终点，若点Q 的运动路程x 与线段BP 的长，满足487y x =-+，BD 与PQ 交于点E ． （1）求AB ，BC 的长．（2）如图2．当Q 在CD 上时，求BEDE． （3）将矩形沿着PQ 折叠，点B 的对应点为点F ，连结EF ，当EF 所在直线与BCD △的一边垂直时，求BP 的长．27．如图1，在ABC 中，90A ∠=︒，当点P 从点A 出发，沿着AB 方向匀速运动到点B 时，点Q 恰好从点B 出发，沿着BC 方向匀速运动到点C ，连结PQ ，记,AP x CQ y ==，已知554y x =-+．（1）求AB和BC的长．（2）当BPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．（3）如图2，直线l是线段PQ的垂直平分线．①若直线l过点B，交AC于点D，请判断四边形BQDP的形状，并说明理由；②A'是点A关于直线l的对称点，若点A'落在ABC的内部，请直接写出x的取值范围．28．如图，四边形ABCD为边长等于7的菱形，其中∠B=60°，点E在对角线AC上，且AE=1，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG=60°，交DC延长线于点G．（1）当点F与B点重合时，试判断△EFG的形状，并说明理由；（2）以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，当CF=10时，平面内是否存在一点M，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求M的坐标，若不存在，说明理由；（3）记点F关于直线AB的轴对称点为点N，若点N落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．29．如图，在△ABC中，AC＝BC＝tan∠CAB＝12，P为AC上一点，PD⊥AB交AB于点E，AD⊥AC交PD于点D，连结BD，CD，CD交AB于点Q．（1）若CD⊥BC，求证：△AED∽△QCB；（2）若AB平分∠CBD，求BQ的长；（3）连结PQ并延长交BD于点M．①当点P是AC的中点时，求tan∠BQM的值②当PM平行于四边形ADBC中的某一边时，求BMDM的值．30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．设∠B＝α，∠ADC＝β．（1）求∠BOD的度数（用含α，β的代数式表示）；（2）若α＝30°，当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．（3）若α＝β，连接AO，记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OC的长．。
人教版九年级上册数学《旋转》单元综合测试卷(带答案)
7.正方形 中的顶点 在平面坐标系中的坐标为 ，若将正方形 绕着原点 按逆时针旋转 ．则旋转后的点 坐标为()
A.(-1, 1)B.(1, -1)C.(0, - )D.(- , 0)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转中心为原点，旋转方向逆时针，旋转角度135°，作出点A的对称图形A′，求得OA的长度，也就求得了OA′的长度，可得所求点的坐标．
26.如图 ， 中， ， ， ， ，将 绕着点 旋转一定的角度，得到 .
(1)若点 为 边上中点，连接 ，则线段 的范围为________.
(2)如图 ，当 直角顶点 在 边上时，延长 ，交 边于点 ，请问线段 、 、 具有怎样的数量关系，请写出探索过程．
参考答案
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
【详解】根据题意，易得点(-2，3)与(2，-3)的纵横坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称．
故选A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，注意掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
9.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是()
A. B. C. D.
∵∠AOD=90°，
∴∠BOC=90°-38°-38°=14°．
故选B．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC=∠BOD是解题关键．
5.下面关于中心对称图形的描述，正确的是()
A. 中心对称图形与中心对称是同一个概念
B. 中心对称描述的是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质
C. 一个图形绕着某一点旋转的过程中，只要能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
最新九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(角度问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）1．如图① ，在①ABC 中，AB =AC =4，①BAC =90°，AD ①BC ，垂足为D ．(1)S △ABD = ．（直接写出结果）(2)如图①，将①ABD 绕点D 按顺时针方向旋转得到①A′B′D ，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ 的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ 是正方形．2．如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．3．如图1，在Rt △ABC 中，①A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =3，AB =7，请直接写出△PMN 面积的最大值．4．如图1，①ABC 为等腰直角三角形，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，AD ＝AE ，连接DE ，取BC 边的中点O ，连接DO 并延长到点F ，使OF ＝OD ，连接CF ． （1）请判断①CEF 的形状，并说明理由；（2）将（1）中①ADE 绕点A 旋转，连接CE ，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若AB ＝6，AD ＝4，将①ADE 由图1位置绕点A 旋转，当点B ，E ，D 三点共线时，请直接写出①CEF 的面积．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥．（1）如图1，若CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =；（3）如图3，在（2）的条件下，若CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．6．如图1，矩形ABCD 中，15,20AB BC ==，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转，得到矩形BEFG ．（1）当点E 落在BD 上时，则线段DE 的长度等于________； （2）如图2，当点E 落在AC 上时，求BCE 的面积；（3）如图3，连接AE CE AG CG 、、、，判断线段AE 与CG 的位置关系且说明理由，并求22CE AG +的值；（4）在旋转过程中，请直接写出BCE ABG S S +△△的最大值．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A -，点(0,3),B ABO 绕点B 顺时针旋转，得A BO ''△，点A O 、旋转后的对应点为A O ''、，记旋转角为α．（1）如图①，90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当1OM =时，点N 的坐标为_____； （2）90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当O M BN '+取得最小值时，在图①中画出点M 的位置，并求出点N 的坐标．（3）如图①，P 为AB 上一点，且:2:1PA PB =，连接PO PA ''、，在ABO 绕点B 顺时针旋转一周的过程中，PO A ''的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．8．如图1，①ABC 和①DEC 均为等腰三角形，且①ACB =①DCE =90°，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点P .（1）线段BE 与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由． （2）若已知BC =12，DC =5，①DEC 绕点C 顺时针旋转， ①如图2，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；①在旋转一周的过程中，设①P AB 的面积为S ，求S 的最值．9．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．()1如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：13MN AC =； ()2如图2，将EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边'DE 、'DF 分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当DGP 的面积等于10．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，①ABC=①DEF=90°，①EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 探究一：在旋转过程中， （1）如图2，当1CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．11．如图1，在①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD①DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；①如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．12．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤90°)，连结AE，CG（如图）．(1)求证：①ABE①①CBG．(2)当点E在BD上时，求CG的长．(3)当90∠时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：AEB=︒sin28︒≈，sin62︒≈tan28︒≈tan62︒≈）13．如图，矩形ABCD 中，5,6,==AB BC BCG 为等边三角形．点E ，F 分别为,AD BC 边上的动点，且EF AB ∥，P 为EF 上一动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60︒至BM ，连接,,,PA PC PM GM ．(1)求证：=GM PC ；(2)当,,PB PC PE 三条线段的和最小时，求PF 的长；(3)若点E 以每秒2个单位的速度由A 点向D 点运动，点P 以每秒1个单位的速度由E 点向F 点运动．E ，P 两点同时出发，点E 到达点D 时停止，点P 到达点F 时停止，设点P 的运动时间为t 秒． ①求t 为何值时，AEP △与CFP 相似； ①求BMP 的面积S 的最小值．14．如图1，在Rt ABC 中，90,5∠=︒==C AC BC ，点D 是边BC 上的一点，且BD =，过点D 做BC 边的垂线，交AB 边于点E ，将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，记旋转角为()0360αα︒≤<︒．(1)【问题发现】当0α=︒时，AECD的值为________，直线,AE CD 相交形成的较小角的度数为________； (2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)【问题解决】当BDE 旋转至A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出ACD △的面积．15．在中Rt ABC △中．90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接CF ．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当2BE=，BC=EAB∠=_________°；①猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．=，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出(3)点E在射线CB上运动，BC=，设BE xy与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．16．如图，在①ABC中，AB＝，①A＝45°，AC＝C作直线平行AB，将①ABC绕点A顺时针旋转得到①AB C''（点B，C的对应点分别为B'，C'），射线AB'，AC'分别交直线l于点P、Q．(1)如图1，求BC的长；(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan①APQ；(3)如图3，当点P，Q分别在线段AB'，AC'上时，试探究四边形PQC B''的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．17．已知Rt△ABC中，AC＝BC，①C＝90°，D为AB边的中点，①EDF＝90°，①EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．(1)如图1，当①EDF 绕D 点旋转到DE ①AC 于E 时，易证S △DEF ＋S △CEF 与S △ABC 的数量关系为__________；(2)如图2，当①EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的数量关系，不需证明．18．面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．(1)如图①，当点1O 恰好落在AB 上时， ①此时1CO 的长为__________；①点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标； (2)如图①，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．19．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3sin 5A =．点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD AB ⊥交折线AC ，CB 于点D ，连结BD ，将DBP 绕点D 逆时针旋转90︒得到DEF ．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)用含t 的代数式表示线段PD 的长． (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长． (3)当点F 在ABC 内部时，求t 的取值范围．(4)当线段DP 将ABC 的面积分成1:2 的两部分时，直接写出t 的值．20．如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，AB BC =，AO 是BC 边上的中线，点D 是AO 上一点，DE EO ⊥，E 是垂足，DEO 可绕着点O 旋转，点F 是点E 关于点O 的对称点，连接AD 和CF ．(1)问题发现：如图2，当1ADDO=时，则下列结论正确的是_______．（填序号）①BE CF =；①点F 是OC 的中点：①AO 是BAC ∠的角平分线；①AD ．(2)数学思考：将图2中DEO 绕点O 旋转，如图3，则AD 和CF 具有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)拓展应用：在图1中，若ADx DO=，将DEO 绕着点O 旋转． ①则AD =_______CF ；①若4AB =，1x =，在DEO 旋转过程中，如图4，当点D 落在AB 上时，连结BE ，EC ，求四边形ABEC 的面积．答案21．(1)4(2)四边形APDQ 的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当45α=︒时，四边形APDQ 是正方形．22．(1)AE BD =，AE BD ⊥； (2)结论仍成立23．(1)PM =PN ，PM ①PN ． (2)△PMN 是等腰直角三角形． (3)S △PMN 最大=25224．（1） ①CEF 是等腰直角三角形；（2）成立，（3）18-18+25．（1）（3）8 26．(1)10；(2)42；(3) AE ①CG 221250CE AG =+；(4)30027．（1）（-3，4）；（2）N （-3，92）；（3）最大值为283，最小值为8328．（1）BE =AD ，BE 与AD 互相垂直，（2）①AP =8413；①最小47，最大72 29．（2）顺时针或逆时针旋转60.30．探究一：（1）EP=EQ ；证明见解析；（2）1:2，（3）EP ：EQ=1：m ，①0＜（1）当50cm 2；当75cm 2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．31．(1)①ADF =45°，AD (2)①成立，；①1≤S △ADF ≤4.32．(3)3145S π=33．(3)①73；①34．，45︒；(2)无变化(3)121235．(1)①30；①AC +CF CE ；(2)CA -CF；(3)当点E 在点B 左侧运动时，y =21322x +；当点E 在点B 右侧运动时，y 32+．36．(3)存在；21-37．(1)S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC(2)上述结论S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC 成立(3)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC38．(1)①1.5 ①20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)存在最大值，最大值为6939．(1)3t (2)258 (3)355374t ≤≤40．(1)①①①(2)AD =，①465。
专题14 六种旋转全等模型归类训练(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优专题及提优测试
专题14 六种旋转全等模型归类训练（原卷版）类型一半角模型1．（2022秋•南海区期末）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交对角线BD于点M、N，则下列结论：①∠AEB＝∠AEF；②△ABN∽△MDA；③AM•AE ＝AN•AF；④BM2+DN2＝MN2.其中正确的结论有（）A．①②④B．②③④C．①③D．①②③④2．（2022秋•集贤县期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于点E、F．当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证：AE+CF＝EF．（不必证明）（1）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．类型二 对角互补模型3．（2021秋•越秀区期中）如图，等边△ABC 的边长为2，点O 是△ABC 的中心，∠FOG ＝120°，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB ，BC 于D ，E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ；②四边形ODBE 的面积始终等于√33；③S △ODE ＝S △BDE ；④△BDE 周长的最小值为3．其中正确的结论是 （填序号）．4．已知如图，点P 是∠MON 角平分线上的一点，∠APB 分别交直线OM ，ON 于点A ，B ，∠APB ＝120°，∠MON ＝60°．（1）求证：P A ＝PB ；（2）若OA ＝3，OB ＝6，求OP 的值；（3）当点A 在射线OM 的反向延长线上时，请探究线段OA ，OB ，OP 之间的数量关系．类型三“手拉手”模型——旋转全等5．（2022春•东营期末）（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，请求出∠AEB的度数，写出线段BE，AE，DE之间的数量关系，并给出证明．6．（2021秋•马尾区校级期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，AD＝AE＝2．连接CD，BE，F，G，H分别是BE，CD，DE的中点，连接GF，FH，GH．（1）如图1，当B，A，E三点共线，且D在AC边上时，求线段FH，GH的长；（2）如图2，当△ADE绕点A旋转时，求证：△GFH是等腰直角三角形，并直接写出△GFH面积的最大值．7．（2017•锦州）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．类型四中点旋转模型8．（2023春•宣汉县期末）如图所示，在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC外侧作等腰Rt △ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、DF、EF、FN、EN．则下列结论：①四边形ADFE是平行四边形；②MD＝EF；③∠DMF＝∠EFN；④FM⊥FN，其中正确结论的序号是．9．（齐齐哈尔中考）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．类型五错位手拉手模型10．（2021•徐州）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A、D重合），连接PB、PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF，连接EF、EA、FD．（1）求证：①△PDF的面积S=12PD2；②EA＝FD；（2）如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．类型六构造旋转模型11．（2022•回民区二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD的面积为（）A．28+8√3B．14+4√3C．12D．2412．等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，若∠BPC＝150°，BP＝3，AP＝5，则CP＝．13．（2020春•郫都区校级期中）如图，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝4√2．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．14．（2022春•顺德区月考）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．（1）则线段AP、BP、CP构成的三角形是三角形（填“钝角、直角、锐角”）；（2）将△BP A绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的△BP1A1，并由此求出∠BP1A1的度数；（3）求三角形ABC的面积．。
专题全等三角形中的动点运动问题(30题)(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形中的动点运动问题（30题）1．（2023春•横山区期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为．2．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．1、全等三角形中的动点运动问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题.2、解题策略：①明晰点的运动方向和速度；②根据已知和求证的目标，寻找线段或角之间的数量关系，进而解决问题；③有时要用到分类讨论的思想.典型题训练3．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为cm/s．4．（2023春•吴江区期末）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点E在AB边上，BE＝3cm，点F在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，到达点C后马上折返，向点B运动，点G在线段CD上以vcm/s的速度由C点向D点运动．点F，G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t＝秒．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（）A．3B．4C．2或4D．2或36．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．67．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（）A．2B．4C．6D．2或68．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为（不考虑两三角形重合的情况）．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QP A全等．11．（2022秋•昭阳区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C 运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）16．（2022秋•南召县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E为AB的中点，若点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．（1）若点Q运动的速度是5cm/s，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPE与△CQP全等时，求出点Q的运动速度．17．（2022春•二七区校级期中）如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．（1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G 从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，G点的移动距离为y．（1）请用含t的代数式表示以下线段：ED＝，当0＜t≤2时，BF＝，当2＜t≤4时，BF＝；（2）请猜想AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）在移动过程中，请你探究当t取何值时，△DEG与△BFG全等？并求出此时G点的移动距离y．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．24．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等．请说明理由．②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？相遇点在何处？25．（2022秋•红花岗区期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC 全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．26．如图，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动，同时，点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t （s）．（1）若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）设点Q的运动速度为xcm/s（x≠2），是否存在实数x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，请画出示意图，将全等的三角形用符号表示出来，并直接写出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．27.（2022秋•沭阳县校级月考）如图①，线段BC＝6，过点B、C分别作垂线，在其同侧取AB＝4，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线CD运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为t（s）．（1）当t＝1，CP＝，用含a的代数式表示CQ的长为；（2）当a＝2，t＝1时，①求证：△ABP≌△PCQ；②求证：AP⊥PQ；（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC＝∠DCB”，其它条件不变．若△ABP与△PCQ全等，直接写出对应的a的值．28．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，①如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．求证：△ACD≌△CBE；②如图2，过点A作AD⊥直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：DE＝AD+EF．（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当△MDC与△CEN全等时，求t的值．29．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•原平市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．。
2023年数学中考复习专题 三角形中的旋转模型(原卷)
2023年数学中考复习专题三角形中的旋转模型【题型一：常见旋转模型之邻补模型】条件构成：有两邻边相等的四边形，且四边形对角互补，且一般等腰三角形顶角为特殊角。
∠DAB+∠DCB=180°，AD=AB常见结论：1、有角平分线；2、有线段和差的倍数关系解题方法：1、作双垂；2、构造旋转全等①90°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=√2AC②60°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=AC③120°相关结论：1、AC平分∠BCD2、BC+CD=√3AC补充说明：对角互补、邻边相等、角平分线三个条件知到其中两个就可求另外第三个，辅助线的构造与三角形全等相同，但是全等判定会有差异，需要根据具体情况判断【例】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4√3，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．【练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．【练2】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．【练3】如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC>AC，点E在BC上，点D在AB上，CE=CA，连接DE，∠+∠=︒，CH⊥AB，垂足为H．证明：DE AD180ACB ADE+=．【题型二：旋转与全等三角形的构造】【例】问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：√2BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．【练1】如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD＝DE；（2）求∠DCE的度数；（3）若BD＝1，求AD，CD的长．【练2】如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．【练3】如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞√2AD．（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．创新应用：（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC ＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．【题型三：旋转与相似三角形的构造】【例】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【练1】如图，正方形ABCD的边长为8，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan∠ECB=______．【练2】如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．【练3】在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°．（观察猜想）（1）如图①，当α=60°时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为__________．（探究证明）（2）如图②，当α=90°时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2√5，请直接写出△BDE的面积．。
备战中考数学——旋转的综合压轴题专题复习含答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．【答案】(1)见解析（2）AD=BE+DE （3）8【解析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE．（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=1×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．12点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=23，∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．如图①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.（1）求证：△PCQ是等边三角形；（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（1）（2）（3）【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）∵旋转∴△PCE≌△QCB∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，∴∠PCQ=60°，∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°，∴△PCQ为等边三角形.（2）存在∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60 ，∵在平行四边形ABCD 中，∴AB∥CD∴∠ABC=180°﹣120°=60°∴△BCE为等边三角形∴BE=CB=4∵旋转∴△PCE≌△QCB∴EP=BQ，∴C△PBQ=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小当CP⊥AB时，CP=BCsin60°=∴△PBQ周长最小为4＋（3）①当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CPE=∠CQB，∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°则：∠BPQ+∠CQB＝60°，又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°∴∠QBP=60°，∠BPQ＜60°，所以∠PQB可能为直角由（1）知，△PCQ为等边三角形，∴∠PBQ=60°，∠CQB＝30°∵∠CQB＝∠CPB∴∠CPB=30°∵∠CEB＝60°，∴∠ACP＝∠APC=30°∴PA=CA=4，所以AP=AE-EP=6-4=2÷=s所以t＝212③当6＜t＜10时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在④当t＞10时，由旋转得：∠PBQ=60°，由（1）得∠CPQ=60°∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC，而∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°∴∠BPQ=90°，从而∠BCP=30°，所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。
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（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
9、如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
专题47 三角形中的旋转综合问题
1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．
（1）求证：PA＝PB；
（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．
（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？
4、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．
①求DE的长；
②证明：BF⊥CE．
2、（1）问题发现：
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．
填空：① 的值为；
②∠AMB的度数为．
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出 的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
3、已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c满足 ＝0．
（1）求△ABC的面积；
（2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
8、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．
5、问题发现：如图（1）在Rt△AB逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；
（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；
（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．
12、综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．
（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了度；
（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为．
7、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）问题发现
当α＝0°时， ＝；β＝°．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时， 和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
10、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，试用含α的代数式表示β；
②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S1，S2，试用含t的代数式表示S2﹣S1．
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．
11、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．
（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；
问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；
拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．
6、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．
（1）如图，旋转中心是，∠DAE＝°；