等腰直角三角形例题
专题11 存在性-等腰直角三角形(解析版)
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第11节等腰直角三角形的存在性方法点拨第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB （AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。
例题演练1．如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当a＝﹣时，①求点A、B、C的坐标；②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a 的值．【解答】解：对于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x ＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，﹣5a），当x＝2时，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，顶点的坐标为（2，﹣9a）．（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，2）；②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为（x，﹣（x+1）（x﹣5）），∵∠MPO＝90°，∴∠MPF+∠OPE＝90°，∵∠OPE+∠POE＝90°，∴∠POE＝∠MPF，∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，∴△PFM≌△OEP（AAS），∴PE＝MF，则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，故点P的坐标为（﹣，﹣）或（4，2）；（2）点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣5a），顶点D的坐标为（2，﹣9a）．当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，﹣a），则OQ＝DQ，即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，解得a＝±．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A、B两点代入到解析式中，得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；（2）设直线AB为：y＝k1x+1，代入点B，得，3k1+1＝4，解得k1＝1，∴直线AB为：y＝x+1，设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图1，则M（m，m+1），∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，∴S△ABC＝S△ACM+S△BCM＝＝，∵C为直线AB上方抛物线上一点，∴0＜m＜3，∴时，△ABC的面积最大值为，此时C（）；（3）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，∴将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，联立，解得，∴D（1，4），①如图2，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90°∴∠DAN＝∠EDF，又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，∴△DNA≌△EFD（AAS），∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，∴E（4，3），②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，同理可得，E（﹣2，5），③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，同理可得，E（﹣3，2），④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点E的坐标为（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在两种情况（如图2）．①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，∴点M1的坐标为（﹣1，0）；②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y 轴，交直线BC于点F2，∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′为等腰直角三角形，∵M2F2∥y轴，∴△M2BF2为等腰直角三角形．∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点M2的坐标为（﹣2，﹣5），综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点（2，5）．（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF 的最大值，及此时点P的坐标；（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN 为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵OB＝3，∴B（﹣3，0）把C（﹣3，0）和点（2，5），代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）延长PE与x轴交于点M，FM⊥x轴，PG⊥BD，如图所示，∠FMB＝90°，∠PGF＝90°，∵∠BFM＝∠PFG，∴∠MBF＝∠GPF，∴B（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD＝＝2，∴cos∠MBF＝cos∠GPF＝，∴2PG+EF＝EF+2FP，∴C（0，﹣3），设直线BC解析式为l BC：y＝kx+b（b≠0），把B（﹣3，0）和C（0，﹣3）代入得，，解得，∴l BC：y＝﹣x﹣3，同理，直线BD得解析式为：y＝﹣2x﹣6，设E（m，﹣m﹣3），P（m，m2+2m﹣3），F（m，﹣2m﹣6），∴EF+2FP＝[﹣m﹣3﹣（﹣2m﹣6）]+2[（﹣2m﹣6）﹣（m2+2m﹣3）]＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，EF+2FP有最大值，∵2PG+EF＝EF+2FP，∴此时，P点坐标为P（﹣，﹣）；（3）存在，设N（0，y1），M（x2，+2x2﹣3），当y＝0时，代入抛物线y＝x2+2x+3中，解得两根为﹣3和1，A在y轴右侧，∴A（1，0），∴AN2＝OA2+ON2＝1+y12，AM2＝（x2﹣1）2+（+2x2﹣3）2，MN2＝+（+2x2﹣3﹣y1）2，①当AN⊥MN时，此时由AN＝MN，等腰直角三角形各边比为1：1：，∴M点横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，将M的横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，代入y＝x2+2x﹣3中得，∴M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），②由AN⊥MA得：M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2，将M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2代入y＝x2+2x+3中，得M点坐标为（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），综上所述，M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），5．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x，∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）．（2）如图，∵抛物线C1的向右平衡m（m＞0）个单位得到抛物线C2，∴C2的解析式为y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠CDH+∠ADE＝90°，∴△HCD＝△ADE，∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，由OC＝EH得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去），∴抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1，∴D点坐标（2，2）．6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）如图，连接P A、PB．设△P AB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），∴可设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6），∴﹣12a＝6，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴A（0，6）∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+6），过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D（m，﹣m+6），∴S＝×OB×PD＝×6×（﹣m2+2m+6+m﹣6）＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S的值取最大，此时P（3，）；（2）存在，理由如下：由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，由（1）可得，PD＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，∵PE∥x轴，∴E（4﹣m，﹣m2+2m+6），∴PE＝|2m﹣4|，∴|2m﹣4|＝﹣m2+3m，解得m1＝﹣2（舍），m2＝4，m3＝5+（舍），m4＝5﹣，∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5﹣，3﹣5）．7．如图1．二次函数y＝﹣x2+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）连接AC，求直线AC的表达式；（3）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；（4）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6．∴C点坐标为（0，6）．当y＝0时，．解得x1＝﹣4，x2＝4．∵A点在B点左侧，∴点A坐标为（﹣4，0），点B坐标为（4，0）．（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b．∵点A坐标为（﹣4，0），点C坐标为（6，0）．∴．解得．∴直线AC的表达式为．（3）如答图1，过点D分别作DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于G. ∴四边形DGOF为矩形，∠FDG＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠GDB＝∠FDG﹣∠GDB．即∠EDG＝∠BDF．在△BDF和△EDG中，．∴△BDF≌△EDG（AAS）．∴DF＝DG．设点D的坐标为（m，）．∴．解得m＝，∴点D的坐标为（）．（4）由（2）可得直线AC的表达式为．∵点D在直线AC上，∴设点D坐标为（）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b．将B（4，0），C（0，6）代入得．解得．∴直线BC的解析式为．①当C位于斜边BE上时，∵点E在直线BC上，∴设点E坐标为（b，）．如答图2所示.作EM⊥x轴于点M，DQ⊥x轴于点Q，DN⊥EM于点N．易知四边形DQMN为矩形．∴∠QDN＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠NDB＝∠QDN﹣∠NDB．即∠EDN＝∠BDQ．在△BDQ和△EDN中，．∴△BDQ≌△EDN（AAS）．∴DN＝DQ，EN＝BQ．∵E坐标为（b，），D坐标为（）．∴DN＝b﹣a，EN＝．DQ＝，BQ＝4﹣a．∴．解得．∴＝．∴点E的坐标是（）．②当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示．∵∠CDF＝∠BOF＝90°，∠CFD＝∠BFO．∴∠DCF＝∠OBF．∴tan∠DCF＝tan∠OBF．即．亦即．∴OF＝．∴点F坐标为（0，）．设直线BF解析式为y＝kx+b．将B（4，0），F（0，）代入得．解得．∴直线BF解析式为y＝．∵B、F、D三点共线，亦即直线BD解析式为y＝．联立直线AC解析式得解得．故点D坐标为（）．∵BD⊥AC，BD＝DE，∴BD2＝DE2．∴．解得b＝．∴＝．∴点E的坐标为（）．③当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时．如答图4所示.作EG⊥y轴于点G．∵∠BCE＝90°．∴∠ECG+∠BCO＝90°．又∵∠ECG+∠GEC＝90°∴∠BCO＝∠GEC．在△GEC和△OCB中，．∴△GEC≌△OCB（AAS）．∴GE＝OC＝6，GC＝OB＝4．∴点E的坐标为（6，10）．由图知点E关于点C对称的点E'亦满足题意．则由中点坐标公式可得点E'的横坐标为2×0﹣6＝﹣6，纵坐标为2×6﹣10＝2．故点E'坐标为（﹣6，2）．综上所述，点E的坐标为（）或（）或（6，10）或（﹣6，2）．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上一点，当P A+PC达到最小值时，求点P的坐标；（3）M、N为线段BC上两点（N在M的右侧，且M、N不与B、C重合），MN＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0），B（5，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当x＝0时，y＝5，∴C（0，5），∵A与B关于抛物线的对称轴对称，∴直线BC与对称轴的交点就是点P，此时P A+PC达到最小值，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为直线x＝2，设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵点B坐标为（5，0），则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，与对称轴的交点为（2，3），∴点P的坐标（2，3）；（3）分三种情况：①以点M为直角顶点，如图1，∵MN＝2，∴RN＝MN＝4，∵C（0，5），B（5，0），∴OC＝OB＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠RNM＝45°＝∠BCO，∴RN∥OC，由（2）知：直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设R（m，﹣m2+4m+5），则N（m，﹣m+5），则RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4，解得m1＝4，m2＝1，∵点N在点M右侧，∴m＝4，∴R（4，5）；②以点R为直角顶点，如图2，∵MN＝2，∴RN＝MN＝2，设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5），∴RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2，解得m1＝，m2＝，∵点N在点M右侧，∴m＝，∴R（，）；③以点N为直角顶点，如图3，∵MN＝2，∴RM＝MN＝4，∵∠RMN＝∠OBC＝45°，∴MR∥OB，设R（m，﹣m2+4m+5），则M（m﹣4，﹣m2+4m+5），把M（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5，解得m1＝4，m2＝1，此时点M（0，5），因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；综上所述：当R（4，5）或（，）时，△MNR为等腰直角三角形．9．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．（1）如图（1），求抛物线的解析式；（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接P A交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），由题意：，解得，∴A（﹣2，0），B（8，0），把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣6ax+4，得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图2中，连接OP．设P（t，﹣t2+t+4），∵B（8，0），C（0，4），∴OB＝8，OC＝4，∴S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×4×t+×8×（﹣t2+t+4）﹣×4×8＝﹣t2+8t（0＜t＜8）．（3）存在．理由：如图3中，设P（t，﹣t2+t+4），∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴直线P A的解析式为y＝﹣（t﹣8）x﹣t+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵PE⊥x轴，∴F（t，﹣t+4），∵D（0，﹣t+4），∴FD∥AB，∴∠CFD＝∠CBA，∵∠APF+∠CFD＝90°，∠APF+∠P AE＝90°，∴∠P AB＝∠CFD＝∠CBO，∴tan∠CBO＝tan∠P AB＝＝，∴＝，∵OA＝2，∴OD＝1，∴﹣t+4＝1，∴t＝6，∴P（6，4），E（6，0），∵PN＝NE，∴N（6，2），∵C（0，4），△CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，设点Q（s，k），易证△QGC≌△NHQ（AAS），则GC＝QH，GQ＝HN，即s＝k﹣2，k﹣4＝6﹣s，解得，∴点Q的坐标为（4，6），∵当x＝4时，y＝﹣×42+×4+4＝6，∴点Q在抛物线y＝﹣x2+x+4上，∴满足条件的点Q的坐标为（4，6）．10．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标和△ABC的面积．（3）点P是抛物线对称轴上一点，且使得P A﹣PC最大，求点P的坐标．（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）如图1中，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴x＝2，∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），∴C（3，3），∴S△ABC＝×2×3＝3．（3）如图1中，∵A（4，0），C（3，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+12，∵P A﹣PC≤AC，∴当点P在直线AC上时，P A﹣PC的值最大，此时P（2，6）．（4）如图4﹣1中，如图，当∠CNM＝90°，NC＝NM时，可知N（4，0），M（1，﹣1），CN＝NM＝，∴S△MNC＝×CN×MN＝5．如图4﹣2中，当∠CMN＝90°，MN＝MC时，M（1，﹣2），N（﹣4，0），可知MN ＝MC＝＝，∴S△MNC＝．如图4﹣3中，当∠CMN＝90°，MC＝MN时，可知M（1，2），N（2，0），MN＝CM ＝＝，∴S△MNC＝××＝，如图4﹣4中，当∠CNM＝90°，CN＝MN时，N（﹣2，0），M（1，﹣5），可得S△MNC ＝17．综上所述，满足条件的△MNC的面积为5或或或17．。
专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)
专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。
专题16等腰三角形与直角三角形(共50题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练【原卷版】
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）一．选择题（共24小题）1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 2．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）5．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3D．∠1≠∠2，∠1＞∠36．（2022•广元）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）A．B．3C．2D．7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校8．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．9．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．10．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝911．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．1812．（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝，则正确的是（）A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整13．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④14．（2022•眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（）A．9B．12C．14D．1615．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）A．2B．C．D．16．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．17．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 18．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（）A．12B．9C．6D．319．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．420．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F 与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE 21．（2022•达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则∠PNM等于（）A．15°B．25°C．35°D．45°22．（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A．B．C．D．23．（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．B．C．4D．24．（2022•遂宁）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（）A．6B．8C．10D．12二．填空题（共15小题）25．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．28．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是．30．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为cm．31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c＝4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为．32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN ＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．33．（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为．34．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．36．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为．37．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件．38．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝度．39．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．三．解答题（共11小题）40．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．41．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？42．（2022•山西）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．43．（2022•武汉）问题提出如图（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值．问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC＝60°时，直接写出的值；（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝（n＜2），延长BC至点E，点DE＝DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．44．（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．45．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．46．（2022•陕西）问题提出（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为．问题探究（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．问题解决（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．47．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．48．（2022•扬州）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；①点E在线段AB的延长线上且BE＝BD；②点E在线段AB上且EB＝ED．（2）若AB＝6．①当＝时，求AE的长；②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．49．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．50．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；．（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
31 动点引起的等腰直角三角形存在性问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或312⎛⎫⎪⎪⎝⎭或31,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：（1）联立4yxy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：22xy=⎧⎨=⎩或22xy=-⎧⎨=-⎩即：函数4yx=上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立25y xy ax x c=⎧⎨=++⎩得ax2+4x+c=0∵这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=4c>1，即4c－1>0，4cc->0，解得：0<c<4.②由①知，E点坐标为：x=422a a-=-，即E22,a a⎛⎫--⎪⎝⎭在y=ax2+5x+4a中，当y=0时，得：x=－4a，x=－1a即M点坐标为（－4a，0），N点坐标为（－1a，0）过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=2a，MH=242()a a a---=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即P （32，154）.方法二设P （m ，－m 2+2m+3），同理，CH =PK ，HP =KB ，则C （m －m 2+2m+3，－m 2+2m+3+3－m ）∵C 为雁点∴m －m 2+2m+3=－m 2+2m+3+3－m ，解得：m=32，即P （32，154）.②如图所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP =JB ，KC =JP方法一设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x －m ，KC =y －m ，JB =y ，JP =3－x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则P 23(,)22或23(,)22方法二设P （m ，－m 2+2m+3），则C （m －（－m 2+2m+3），－m 2+2m+3－（3－m ））∴m －（－m 2+2m+3）=－m 2+2m+3－（3－m ），解得：③如图所示，此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为（32，154）或3()22，或23()22，.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，13313322Q⎫++⎪⎪⎝⎭或34141322Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ ≌△LQR∴RL=QK ，QL=CK ，设R （m ，0），Q （x ，y ）则m －x=8－y－x=y即－x=－x 2+2x+8，解得：x=32-或x=32+（舍）则Q （32-，32）②当点Q 在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x 2+2x+8，解得：x=12或x=12-（舍），∴Q ⎫⎪⎝⎭.综上所述，满足题意的Q 点坐标为1122⎛⎫ ⎪⎝⎭或3322⎛⎫- ⎪⎝⎭．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）【解析】解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （－1，0），则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =－x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE t ，即E （3－t ，0），又Q （－1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC －S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP ，∴MF =PE =t ，PF =QE =4－2t ，∴EF =4－2t +t =4－t ，又OE =3－t ，∴点M 的坐标为（3－2t ，4－t ），∴4－t =－（3－2t ）2+2（3－2t ）+3，解得：t，∴M．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线213y x bx c =++经过坐标原点和点A ，顶点为点M ．（1）求抛物线的关系式及点M 的坐标；（2）将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒．【答案】（1）y=13x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－12x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=13x2+bx+cx得：1260b cc++=⎧⎨=⎩，解得：2bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为y=13x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=1 2-，将点(3,－3)代入y=12-x+n得：n=32-，则直线CM的解析式为y=12-x32-，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立132224y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即H （1，－2），∴=，=即DH=MH ，又DH ⊥CM ，即三角形DHM 是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM －∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF的面积．【答案】（1）y=－x 2+6x －3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即232b a--=，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x 2+6x －3.（2）过点E 作EM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于N ，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴∴∠EDM=45°∴△EMD为等腰直角三角形∴EM=DM设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3，∴3－m=－m2+6m－3解得：m=1或m=6当m=1时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，MN=4，△DEF的面积为4当m=6时，E（6，－3），舍去，综上所述：△DEF的面积为4．。
初二等腰直角三角形类型题
初二等腰直角三角形类型题
在初二数学中，等腰直角三角形是一个重要的几何图形。
它包含了等腰三角形和直角三角形的特点，因此也被称为“两者兼备”的三角形。
在解题时，我们可以根据等腰直角三角形的特性，运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识来求解各种问题，如求斜边长、角度大小、面积等。
下面就让我们来看几道典型的初二等腰直角三角形类型题吧！
1. 已知等腰直角三角形的直角边长为3cm，求斜边长。
解：由勾股定理可知，斜边长为√(3+3)=√18=3√2 (cm)。
2. 已知等腰直角三角形斜边长为4√2 cm，求底边长。
解：同样由勾股定理可知，底边长为4√2/√2=4 (cm)。
3. 已知等腰直角三角形的底边长为6 cm，求面积。
解：由勾股定理可知，斜边长为6√2 cm。
面积为1/2×6×6=18 (cm)。
4. 已知等腰直角三角形的斜边长为10 cm，底边长为x cm，求x的值。
解：由勾股定理可知，x+ x=10，化简为2x=100，故x=√50 (cm)。
以上就是几道典型的初二等腰直角三角形类型题，希望能对大家的数学学习有所帮助。
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直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题
直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题(韩)(总39页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题一、直角三角形的性质1．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2= 度．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，求证：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角有4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，求证：△APQ是等腰直角三角形．二、含30°角的直角三角形的性质5．在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，求AD的长6．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=6，求PD的长7．如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，求∠EDC的度数8．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E 在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，求AF的长9．如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，求CD的长10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；三、直角三角形斜边中线问题11．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，求证：△PMN为等边三角形；12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．13．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，求AC的长14．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，E为AB 的中点，AD、CE相交于点F，求∠DFE等于多少16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，求∠ACB′=．17．如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，求BC的长度．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB 于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形证明你的猜想．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．四、等腰直角三角形问题21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB 中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．24．如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立请说明理由．25．已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗请画图说明理由．26．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD与CF的关系是；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗（填“可能”或“不可能”）．直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题参考答案与试题解析1．【解答】解：如图，∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案为：90．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵∠ABE+∠AEF=90°，∠CBE+∠BFD=90°，∴∠AEF=∠BFD，又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF=∠AFE，故②正确；∵∠ABE=∠CBE，∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；∵∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选C．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．3．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据已知条件CD，BE是两条高可知：∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，再根据同角的余角相等即可得到答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDH=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∠ABE+∠BHD=90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE=90°，∠CHE+∠HCE=90°，∴∠A=∠BHD=∠CHE，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是根据垂直得到有哪些角互余．4．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE、CF都是△ABC的高，P是BE上一点且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连接AP、AQ、QP，判断△APQ的形状．【分析】利用BE、CF都是△ABC的高，求证∠1=∠2，然后求证△ACQ≌△PBA，利用AQ=AP，AQ⊥AP，即可证明△APQ是等腰直角三角形．【解答】解：△APQ是等腰直角三角形．∵BE、CF都是△ABC的高，∴∠1+∠BAE=90°，∠2+∠CAF=90°（同角（可等角）的余角相等）∴∠1=∠2又∵AC=BP，CQ=AB，在△ACQ和△PBA中，∴△ACQ≌△PBA∴AQ=AP，∴∠CAQ=∠BPA=∠3+90°∴∠QAP=∠CAQ﹣∠3=90°∴AQ⊥AP∴△APQ是等腰直角三角形【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌握，难度不大，属于基础题．5．（2016秋?泰山区期中）在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．【分析】根据直角三角形的性质求出∠A的度数，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，解答即可．【解答】解：∵∠ACB=60°，∠B=90°，∴∠A=30°，∵DE是斜边AC的中垂线，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=30°，∵BD=2，∴AD=4，故选B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．（2016秋?大丰市月考）如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD ⊥OA于D，若PC=6，则PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE=PC=3，∵AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3，故选B．【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键．7．（2015春?兰溪市期末）如图所示，矩形ABCD中，AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°【分析】根据矩形性质得出∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，推出AE=2AB，得出∠AEB=30°=∠DAE，求出∠EDC的度数，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠ABC=90°，AB=CD，DC∥AB，∵AB=AD，E为BC上的一点，且AE=AD，∴AE=2AB，∴∠AEB=30°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=30°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠EAD）=75°，∵∠ADC=90°，∴∠EDC=90°﹣75°=15°，故选D．【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．8．（2013春?重庆校级期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的中点，DF⊥AB于点F，点E在BA的延长线上，且ED=EC，若AE=2，则AF的长为（）A．B．2 C．+1 D．3【分析】过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，证明△ABH是等边三角形，求出CH，得到BD的长，根据直角三角形的性质求出BF，计算即可．【解答】解：过点E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠H=∠ACB=60°，又∠B=60°，∴△EBH是等边三角形，∴EB=EH=BH，∴CH=AE=2，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠H，∴∠BED=∠HEC，在△BED和△HEC中，，∴△BED≌△HEC，∴BD=CH=2，∴BA=BC=4，BF=BD=1，∴AF=3．故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的三个角都是60°是解题的关键．9．（2012春?古冶区校级期中）如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（）A．2 B．3 C．1 D．【分析】在Rt△AEC中，由于=，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．【解答】解：在Rt△AEC中，∵=，∴∠1=∠2=30°，∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°，∴∠ACD=180°﹣30°×3=90°，∴CD=AD=2．故选A．【点评】本题利用了：（1）直角三角形的性质；（2）三角形内角和定理；（3）等边对等角的性质．10．（2012秋?包河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，以下结论（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；（4）DE=AC中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE，AC=BE，结合含30°角的直角三角形的性质可得BD=2CD，而AC和BD不一定相等，所以可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC=DE，∠ADC=∠ADE=60°，∴AD平分∠CDE，∴AC=AE，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2CD，在Rt△ADE中，DE=AE=AC，∴正确的有（1）、（2）、（3），故选C．【点评】本题主要考查角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．11．（2015秋?江阴市期中）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②△PMN 为等边三角形；下面判断正确是（）A．①正确B．②正确C．①②都正确D．①②都不正确【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM，EM．（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=BM，EM=CM，推出∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，根据三角形内角和定理求出即可；（3）求出EM=EN，解直角三角形求出∠EMD度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵M是线段BC的中点，BC=8，∴DM=BC=4，EM=BC=4，∴△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）证明：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵∠BDC=∠BEC=90°，M是线段BC的中点，∴DM=BM，EM=CM，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠EMC+∠DMB=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠DME=180°﹣120°=60°；（3）解：过M作MN⊥DE于N，∵DM=EM，∴EN=DN=DE，∠ENM=90°，∵EM=DM=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，∴（2EM）2=2（2EN）2，∴EM=EN，∴sin∠EMN==，∴∠EMN=45°，同理∠DMN=45°，∴∠DME=90°，∴∠DMB+∠EMC=180°﹣90°=90°，∵∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠CEM，∴∠ABC+∠ACB=（180°﹣∠DMB+180°﹣∠EMC）=135°，∴∠BAC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=45°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．13．（2014春?永川区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF=2，则AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】连结AF．由AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4．【解答】解：如图，连结AF．∵AB=AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC=90°，E是AC的中点，EF=2，∴AC=2EF=4．故选B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．14．（2011秋?姜堰市期末）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．2 B．C．D．3【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【解答】解：连结AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，∴=，∴=，∴AP最短时，AP=∴当AM最短时，AM==．故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题．15．（2010?武隆县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC 上，AD=BD，E为AB的中点，AD、CE相交于点F，∠DFE等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据已知得，∠BAC=70°，∠BAD=∠B，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出∠ECB=∠B，从而得出∠ACE，再由三角形的内角和定理得∠AFC，根据对顶角相等求出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=20°，∴∠BAC=70°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=20°，∴∠DAC=50°，∵E为AB的中点，∴BE=CE，∴∠ECB=∠B=20°，∴∠ACE=70°，在△ACF中，∠ACF+∠AFC+∠FAC=180°，∴∠AFC=60°，∵∠DFE=∠AFC=60°（对顶角相等），故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是基础知识要熟练掌握．16．（2016?江岸区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=10°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．（2016秋?嵊州市期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为AB中点，E在AC 上，且BE⊥AC，若DE=5，AE=8，则BC的长度为2．【分析】由BE⊥AC，D为AB中点，DE=5，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长．【解答】解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵D为AB中点，∴AB=2DE=2×5=10，∵AE=8，∴BE==6．∴BC===2，故答案为：2．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．注意掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半定理的应用是解此题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．求证：AC=BD．【分析】连接EO，首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，即O为BD 和AC的中点，在Rt△AEC中EO=AC，在Rt△EBD中，EO=BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO=BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO=AC，∴AC=BD．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB 于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形证明你的猜想．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性质得到∠CAB=∠ACM，由余角的性质得到∠CAB=∠BCH，等量代换得到∠BCH=∠ACM，根据角平分线的性质得到∠ACD=∠BCD，即可得到结论；（2）根据EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行线的性质得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到结论；（3）根据 CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于 EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到结论．【解答】证明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵M是AB边的中点，∴AM=CM=BM，∴∠CAB=∠ACM，∴∠CAB=90﹣∠ABC，∵CH⊥AB，∴∠BCH=90﹣∠ABC，∴∠CAB=∠BCH，∴∠BCH=∠ACM，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ACD﹣∠ACM=∠BCD﹣∠BCH，即∠1=∠2；（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB，∴EM∥CH，∴∠HCD=∠MED，∵∠HCD=∠MCD，∴∠MCD=∠MED，∴CM=EM；（3）△AEB是等腰直角三角形，∵CM=EM AM=CM=BM，∴EM=AM=BM，∴△AEB是直角三角形，∵EM垂直平分AB，∴EA=EB，∴△AEB是等腰三角形，∴△AEB是等腰直角三角形．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．20．如图，已知在△ABC中，延长CA到D，使BA=BD，延长BA到E，使CA=CE，设P、M、N分别是BC、AD、AE的中点．求证：△PMN是等腰三角形．【分析】连接BM、CN，根据等腰三角形三线合一得到∠BMC=90°，根据直角三角形的性质得到MP=BC，同理NP=BC，得到答案．【解答】证明：连接BM、CN，∵BA=BD，DM=MA，∴BM⊥AD，∴∠BMC=90°，又BP=PC，∴MP=BC，同理，NP=BC，∴MP=NP，∴△PMN是等腰三角形．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形三线合一是解题的关键．21．如图，△ACB、△CDE为等腰直角三角形，∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，求证：AF⊥DF，AF=DF．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=BF=AE，DF=BF=AE，再根据等边对等角可得∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFD=2∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】证明：∵∠CAB=∠CDE=90°，F为BE的中点，∴AF=BF=AE，DF=BF=AE，∴AF=DF，∴∠ABF=∠BAF，∠DBF=∠BDF，由三角形的外角性质得，∠AFD=∠ABF+∠BAF+∠DBF+∠BDF=2∠ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥DF，综上所述，AF⊥DF，AF=DF．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．22．已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，AE平分∠CAB交CD于E，在DB上取点F，使DF=DE，求证：CF平分∠DCB．【分析】延长FE交AC于点G，利用角平分线的性质可知EG=ED，然后证明△CEG≌△FED，得出CE=FE，利用等腰三角形的性质，平行线的性质即可求出∠ECF=∠BCF．【解答】解：延长FE交AC于点G，∵DE=DF，CD是斜边AB上的高，∴∠DEF=45°，∵∠DCB=45°，∴EF∥BC，∴∠EFC=∠FCB，∠CGF=90°，∵AE平分∠CAB，∠CGF=∠BDC=90°，∴GE=DE，在△CGE与△FDE中，，∴△CGE≌△FDE（ASA），∴CE=FE，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECF=∠BCF，∴CF平分∠DCB．【点评】本题考查等腰三角形的性质，涉及全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，综合程度较高．23．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB 中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．【分析】由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形．【解答】解：△CDM为等腰直角三角形．理由如下：∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，而M为AB的中点，∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，∴∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°，即∠CMD=90°，∵CM=DM，∴△CDM为等腰直角三角形．同理可得：第2个图中△CDM为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键．24．（2010?渝中区模拟）如图①，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图②所示，则（1）题中的结论“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立请说明理由．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出BM=EN=MC，DM=EM=MC，然后根据等边对等角的性质可以证明∠BMD=90°，所以△BMD为等腰直角三角形；（2）延长DM交BC于N，先根据∠EDB=∠ABC=90°证明ED∥BC，然后根据两直线平行，内错角相等求出∠DEM=∠MCN，从而证明△EDM与△MNC全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=MN，然后即可证明BM⊥DM，且BM=DM．【解答】（1）证明：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，∴BM=EC=MC，∴∠MBC=∠MCB．∴∠BME=2∠BCM．（2分）同理可证：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD．∴∠BMD=2∠BCA=90°，（4分）∴BM=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（5分）（2）（1）题中的结论仍然成立．理由：延长DM与BC交于点N，（6分）∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴∠EDB=∠CBD=90°，∴DE∥BC．∴∠DEM=∠MCN．又∵∠EMD=∠NMC，EM=MC，∴△EDM≌△MNC．（8分）∴DM=MN．DE=NC=AD．又AB=BC，∴AB﹣AD=BC﹣CN，∴BD=BN．∴BM⊥DM．即∠BMD=90°．（9分）∵∠ABC=90°，∴BM=DN=DM．∴△BMD是等腰直角三角形．（10分）【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握判定定理及性质并灵活运用是解题的关键，难度中等．25．（2011秋?昌平区校级期中）已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D 是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗请画图说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证；（3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证．【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∴∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形；（2）解：同理可证，△ADE≌△CDF，所以，S四边形AEDF =S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF，即S四边形AEDF =S△BDE+S△CDF；（3）解：仍然成立．如图，连接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，∵∠DAF=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°，∠D BE=180°﹣∠ABC=180°﹣45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF，又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．26．（2016?汕头校级自主招生）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）欲证明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解决问题．（2）①根据条件画出图形即可．②数量关系是：GD+AE=BE．过点D作DH⊥DE交BE于点H，先证明△ADE≌△BDH，再证明四边形GEHD是平行四边形即可解决问题．【解答】证明：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴AD=BD，∵DF平分∠ADB，∴∠1=∠2，在△ADF和△BDF中，，∴△ADF≌△BDF．∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA．（2）补全图形如图2中所示，数量关系是：GD+AE=BE．理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H∴∠ADE+∠ADH=90°，∵AD⊥BC，∴∠BDH+∠ADH=90°，∴∠ADE=∠BDH，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，∴∠DAE=∠DBH，在△ADE和△BDH中，，∴△ADE≌△BDH．∴DE=DH，AE=BH，∵DH⊥DE，∴∠DEH=∠DHE=45°，∵BE⊥AC，∴∠DEC=45°，∵点G与点D关于直线AC对称，∴AC垂直平分GD，∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，∴∠GED=∠EDH=90°，∴GE∥DH，∴四边形GEHD是平行四边形∴GD=EH，∴GD+AE=BE．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练正确全等三角形判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．27．（2016春?东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC 中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）AD与CF的关系是AD=CF ；（3）求证：△ACF是等腰三角形；（4）△ACF可能是等边三角形吗不可能（填“可能”或“不可能”）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CBA=∠CAB=45°，根据平行线的性质得到∠FBE=∠CAB=45°，根据全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质定理得到答案；（3）根据线段垂直平分线的性质得到AD=AF，等量代换即可；（4）根据直角三角形的直角边小于斜边解答．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠FBE=∠CAB=45°，∴∠CBF=90°，又DE⊥AB，∴∠FDB=45°，∴∠DFB=45°，∴BD=BF，又D为BC中点，∴CD=BF，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF；（2）∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF，故答案为：AC=BF；（3）连接AF，∵DF⊥AE，DE=EF，∴AD=AF，∵AD=CF，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（4）在Rt△ACF中，AC＜AD，∴AC＜AF，∴△ACF不可能是等边三角形，故答案为：不可能．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．。
等腰直角三角形
举一反三
1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）
D 4 A
45° B 7 C
2.已知正方形EFGH的边长为7厘米，求正方形
ABCD的面积。
A E D
F
H
B
G
C
3.如图：ABCD是直角三角形，AD=4，AB=3，BC=6， 求阴影部分的面积。（单位：厘米）
A 4 A
3
B
E
6
C
融会贯通
《等腰直角三角形》
经典例题
一个等腰直角三角形，最长 的边是16厘米，这个三角形的面 积是多少平方厘米？
解题策略
方法一：这个三角形是等腰三角形，说明有一个角 是90°，另外两个角都是45 °，最长的边应是等腰 直角三角形的底边，不妨设底边上的高为AD，不难 发现得到的是两个完全一样的小等腰直角三角形。 底边上的高恰好是底边的一半，16÷2=8（厘米） 列式为：16× D
45 ° C
方法二：由于这个三角形最长边是16厘米，多以不 能用三角形面积公式来计算，可以假设有4个这样的 三角形，可以拼成一个变长为16厘米的正方形，这 个正方形的面积是16×16=256（平方厘米），即一 个三角形面积就为16×16÷4=64（平方厘米） 答：这个三角形面积是64平方厘米。
16
画龙点睛
在等腰三角形中，它的三个角的度数分别是45 ° 、 45 ° 、90 ° ，最长的边是直角三角形的斜边，也 称为等腰三角形的底边，斜边（底）的长度正好是 斜边（底）上高的2倍，4个完全相同的等腰直角三 角形可以拼成一个正方形，拼成的正方形的面积=斜 边×斜边。等腰直角三角形还是轴对称图形，对称 轴也是底边上的高所在的直线。
一次函数压轴题专题突破4：一次函数与等腰直角三角形(含解析)
一次函数压轴题之等腰直角三角形1．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．2．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣x﹣8交于点A，已知点A的横坐标为﹣5，直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l2与y轴交于点D．（1）求直线l1的解析式；（2）将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线l4，若点M为垂线l4上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当CM+MN+NA的值最小时，求此时点M的坐标及CM+MN+NA 的最小值；（3）在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线l1、l2上的两个动点，连接EP、EQ、PQ，是否存在点P、Q，使得△EPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线BD：y＝x﹣2与直线CE：y＝﹣x+4相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）点P是△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PB+PA+PC的最小值；（3）将点D向下平移一个单位得到点D1，连接BD1，将△OD1B绕点O旋转至△OB1D2的位置，使B1D2∥x轴，再将△OB1D2沿y轴向下平移得到△O1B2D3，在平移过程中，直线O1D3与x轴交于点K，在直线x＝3上任取一点T，连接KT，O1T，△O1KT能否以O1K为直角边构成等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的T点的坐标；若不能，请说明理由．6．如图1，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且∠CAO＝30°．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与△ACB重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点Q（1，0），点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．7．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P（x，2）为垂线上的一个点，Q是y轴上一动点，若S△CPQ＝5，求此时点Q的坐标；（2）若P在过A作x轴的垂线上，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时P的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B（4，3），点A、C在坐标轴上，点Q在BC边上，直线L1：y＝kx+k+1交y轴于点A．对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移．现将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2．（1）求直线L1与两坐标轴围成的面积；（2）求直线L2与AB的交点坐标；（3）在第一象限内，在直线L2上是否存在一点M，使得△AQM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝与x轴交于点A，且经过点B（2，m），已知点C（3，0）．（1）求直线BC的函数解析式；（2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标；（3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M 的坐标；（4）如图2，E为线段AC上一点，连结BE，一动点F从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位运动到点E 再沿线段EA以每秒个单位运动到A后停止，设点F在整个运动过程中所用时间为t，求t的最小值．10．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1，l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q（0，2），若S△CPQ＝4，求此时点P 的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M 点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的纵坐标为﹣4．（1）求△ABC的面积；（2）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q（0，2），若S△CPQ＝2，求此时点P 的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C顺时针旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E．过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M 点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，直线y＝kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且OA＝OC，∠CBA ＝45°，点P是直线BC上的一点．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P从点B出发沿射线BC方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接AP，设△PAC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+与直线AC：y＝+8交于点A，直线AB分别交x轴、y轴于B、E，直线AC分别交x轴、y轴于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）在y轴左侧作直线FG∥y轴，分别交直线AB、直线AC于点F、G，当FG＝3DE时，过点G作直线GH ⊥y轴于点H，在直线GH上找一点P，使|PF﹣PO|的值最大，求出P点的坐标及|PF﹣PO|的最大值；（3）将一个45°角的顶点Q放在x轴上，使其角的一边经过A点，另一边交直线AC于点R，当△AQR为等腰直角三角形时，请直接写出点R的坐标．14．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED 于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA．模型应用：（1）已知直线l1：y＝x+4与y轴交与A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．15．如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′与E点关于y轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．（1）当t＝1时，AC＝，点D的坐标为；（2）设四边形BDCO的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；（3）当直线EF与△AOB的一边垂直时，求t的值；（4）当△EFE′为等腰直角三角形时，直接写出t的值．16．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10．（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求点P的坐标．（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．（3）若在直线y＝﹣x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值．18．如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2﹣14x+4（AB+2）＝0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA 于点Q．（1）求tan∠BAO的值；（2）若S△PAQ＝S四边形OQPB时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；（3）当点P在线段AB上运动时，在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°又∵AD⊥CD，BE⊥EC∴∠D＝∠E＝90°又∵∠EBC+∠BCE＝90°∴∠ACD＝∠EBC在△ACD与△CBE中，∠D＝∠E，∠ACD＝∠EBC，CA＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）过点B作BC⊥AB交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°∴△ABC为等腰Rt△由（1）可知：△CBD≌△BAO∴BD＝AO，CD＝OB∵l1：，令y＝0，则x＝﹣3∴A（﹣3，0），令x＝0，则y＝4∴B（0，4）∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4∴OD＝4+3＝7．∴C（﹣4，7），设直线l2的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣3，0），C（﹣4，7）代入y＝kx+b中，得解得，k＝﹣7，b＝﹣21，则l2的解析式：y＝﹣7x﹣21；（3）如下图，设点Q（m，2m﹣6），当∠AQP＝90°时，由（1）知，△AMQ≌△QNP（AAS），∴AM＝QN，即|8﹣m|＝6﹣（2m﹣6），解得：m＝4或，故：Q（4，2），．2．【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）联立y＝﹣x+6、y＝x并解得：x＝3，故点C（3，），S△AOC＝8×＝15＝S△BCP＝BP×（yP﹣yC）＝BP×（6﹣），解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）（3）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，如左图，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即|m﹣n|＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝或16，故点E（，）或（16，20）；②当∠EAP＝90°时，如右图，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14，故点E（2，）或（14，）；综上，E（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）．3．【解答】解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3；（2）设点P（m，﹣m+3），S△COP＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，解得：m＝4或0（舍去0），故点P（4，1）；（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝；②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝y N＝3﹣＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝；综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．4．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为﹣5，∴A（﹣5，﹣3），将点A代入y＝x+b，∴b＝4，∴直线l1的解析式y＝x+4；（2）l2：y＝﹣x﹣8与y轴的交点D（0，﹣8），∵将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，∴E（0，﹣2），∵过点E作y轴的垂线l4，点D是点C关于直线l4的对称点，作点A关于x轴的对称点A′（﹣5，3），连接AD′交x轴、l4于点N、M，则此时CM+MN+NA最小，最小值为：A′D，CM+MN+NA＝MD+MN+A′N＝A′D，A′D＝＝；∴CM+MN+NA的值最小为；（3）存在，理由：设点P、Q的坐标分别为：（m，m+4）、（n，﹣n﹣8），当点E在点P右边时，过点Q作x轴的平行线交y轴于点M，过点P作PN⊥QM于点N，PN交l4于点K，则△PNQ≌△EKP（AAS），∴PN＝KE，QN＝PK，即：m+4+n+8＝﹣m，m﹣n＝m+4+2，解得：m＝﹣3，∴点P（﹣3，﹣）当点E在点P的左侧时，同理可得：（﹣，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣）或（﹣，﹣5），5．【解答】解：（1）直线，则点B、D的坐标分别为：（，0）、（0，﹣2）；直线，则点C、E的坐标分别为：（4，0）、（0，4）；联立BD、CE的表达式并解得：x＝2，故点A（2，2）；（2）如图，将△APB绕点C逆时针旋转60°得到△EFC，则△BFP是等边三角形，∠ECB＝90°，BC＝3，AC＝＝CE，在Rt△EBC中，BE＝＝，∵PA+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，∴PA+PB+PC≥，∴PA+PB+PC的最小值为；（3）存在，理由：点D1（0，﹣3），点B（，0），则∠BD1O＝30°，B1D2∥x轴，则直线OD2的倾斜角为30°，设直线O1K的表达式为：y＝x+m，则点O1（0，m），点K（﹣m，0），则MO1＝﹣m，MK＝﹣m，KN＝﹣m，TN＝|﹣m﹣3|，则点T（3，﹣m）△O1KT能否以O1K为直角边构成等腰直角三角形，则O1K＝TK，TK⊥O1K，过点K作y轴的平行线分别交过点O1、T与x轴的平行线于点M、N，∵∠NKT+∠NTK＝90°，∠NKT+∠O1KM＝90°，∴∠O1KM＝∠NTK，∠KNT＝∠O1MK＝90°，O1K＝TK，∴△KNT≌△O1MK（AAS），∴TN＝KM，即：|﹣m﹣3|＝﹣m，解得：m＝，故点T（3，）或（3，）．6．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），∵∠CAO＝30°，则AC＝2OC＝6，则OA＝3，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线AC的表达式为：y＝x+3；（2）如图2所示：①当0≤t≤3时，（左侧图），正方形的DA边交AC于点H，点A运动到点M处，则点M（﹣3+t，0），则点H（﹣3+t，t），S＝S△AHM＝×AM×HM＝×t×t＝t2，②当3＜t≤3时，（右侧图），正方形的DA边交AC于点H，点A运动到点G处，E、F交直线AC于点R、S，AG＝t，则AS＝t﹣3，则RS＝（t﹣3），同理HG＝t，同理可得：S＝S梯形RSHG＝×3×（t+t﹣）＝t﹣；故：S＝；（3）∵点M为线段AC上一动点，经画图，∠MQN分别为90°时，点M不在线段AC上，①NMQ＝90°时，三角形QMN为等腰直角三角形，过点M作y轴的平行线交x轴于点G，过点N作x轴的平行线交MG于点R、交y轴于点H，设点M、N的坐标分别为（m，m+3）、（n，3﹣n），∵∠NMR+∠RNM＝90°，∠MNR+∠GMQ＝90°，∴∠GMQ＝∠RNM，∠NRM＝∠MGO＝90°，MR＝MQ，∴△NRM≌△MGO（AAS），则MG＝RN，GQ＝RM，即：n﹣m＝m+3，3﹣n﹣（m+3）＝1﹣m，解得：m＝﹣2，故点M的坐标为（﹣2，1）；②当∠MNQ＝90°时，同理可得：点M（﹣，2）；综上，点M的坐标为：（﹣2，1）或（﹣，2）．7．【解答】解：（1）直线l2：y＝x﹣，令x＝1，则y＝﹣4，故C（1，﹣4），把C（1，﹣4）代入直线l1：y＝﹣x+b，得：b＝﹣3，则l1为：y＝﹣x﹣3，所以A（﹣3，0），所以点P坐标为（﹣3，2），如图，设直线AC交y轴于点M，设y PC：y＝mx+t得：，解得，∴y PC＝﹣1.5x﹣2.5，即M（0，﹣2.5）．S△CPQ＝QM×（x C﹣x P）＝（y Q+2.5）×4＝5，解得：y Q＝0或﹣5，∴Q的坐标为（0，0）或（0，﹣5）；（2）确定C关于过A垂线的对称点C′（﹣7，﹣4）、A关于y轴的对称点A′（3，0），连接A′C′交过A点的垂线与点P，交y轴于点Q，此时，CP+PQ+QA的值最小，将点A′、C′点的坐标代入一次函数表达式：y＝k′x+b′得：则直线A′C′的表达式为：y＝x﹣，即点P的坐标为（﹣3，﹣），（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为：y＝﹣x﹣①当点M在直线l4上方时，设点N（n，﹣4），点M（s，﹣s﹣），点B（4，0），过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，∴∠SMR＝∠RNM，∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，∴△MSB≌△NRM（AAS），∴RN＝MS，RM＝SB，即，解得：，故点N的坐标为（﹣16，﹣4），②当点M在l4下方时，同理可得：N（﹣，﹣4），即：点N的坐标为（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）．8．【解答】解：（1）将点A（0，3）代入直线L1：y＝kx+k+1并解得：k＝2，故L1的表达式为：y＝2x+3，设：L1与x轴交点坐标为D，则其坐标为（﹣，0），直线l1与两坐标轴围成的面积＝OD×AO＝×3＝；（2）将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2：y＝2（x﹣2）+3﹣2＝2x﹣3，当y＝3时，x＝3，即直线L2与AB的交点坐标为（3，3）；（3）①当∠QAM为直角时，点M在第四象限，舍去；②当∠AQM为直角时，对于L2，当x＝4时，y＝5，故点M（4，5）（舍去）；③当∠AMQ为直角时，AM＝MQ，过点M作x轴的平行线分别交AO、BC于点G、H，设点M（m，2m﹣3），点Q（4，n），∵∠AMG+∠GAM＝90°，∠AMG+∠QMH＝90°，∴∠QMH＝∠GAM，∠AGM＝∠MHQ＝90°，AM＝MQ，∴△AGM≌△MHQ（AAS），∴AG＝MH，即：|3﹣2m+3|＝4﹣m，解得：m＝2或，故点M（，）或（2，1），故点M（，）或（2，1）．9．【解答】解：（1）将点B坐标代入直线l的表达式得：m＝＝3，点B（2，3），令y＝0，则x＝﹣2，即点A（﹣2，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故：直线BC的表达式为：y＝﹣3x+9；（2）过点O作OD∥AB交BC于点D，则D点为所求，直线AB表达式得k值为，则直线OD的表达式为y＝x，将直线BC与OD表达式联立并解得：x＝，即：点D的坐标为（，）；（3）过点P作x轴的平行线分别于过点A、M与y轴的平行线于点G、H，设点P的坐标为（0，n）、点M（m，9﹣3m），∵∠GPA+∠GAP＝90°，∠GPA+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GAP，又PA＝PM，∠G＝∠H＝90°，∴△AGP≌△PHM（AAS），GP＝HM＝2，GA＝PH，即：，解得：m＝或，即点M的坐标为（，）或（，﹣）；（4）t＝+＝BE+AE，过点A作倾斜角为45度的直线l2，过点E作EF⊥l2交于点F，则：EF＝AE，即t＝BE+EF，当B、E、F三点共线且垂直于直线l2时，t最小，即：t＝BF′，同理，直线l2的表达式为：y＝﹣x﹣2，直线BF表达式为：y＝x+1，将上述两个表达式联立并解得：x＝﹣，即：点F′（﹣，﹣），t＝BF′＝＝．10．【解答】解：（1）直线l2：y＝，令x＝1，则y＝﹣4，故点C（1，﹣4），把点C（1，﹣4）代入直线l1：y＝﹣x+b，得：b＝﹣3，则直线l1的表达式为：y＝﹣x﹣3，（2）对于直线y＝﹣x﹣3，当y＝0时，有﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣3，即A（﹣3，0），如图，设直线AC交y轴于点M，设点P坐标为（﹣3，m），将点P、C的坐标代入一次函数表达式y＝sx+t得：，解得，即M．S△CPQ＝QM×（x C﹣x P）＝•|2﹣+3|•（1+3）＝4，解得：m＝12或28，即点P的坐标为（﹣3，12）或（﹣3，28）；（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为①当点M在直线l4上方时，设点N（n，﹣4），点M（s，﹣s﹣），点B（4，0），过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，∴∠SMR＝∠RNM，∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，∴△MSB≌△NRM（AAS），∴RN＝MS，RM＝SB，即，解得．故点N的坐标为（﹣16，﹣4），②当点M在l4下方时，如图1，过点M作PQ∥x轴，与过点B作y轴的平行线交于Q，与过点N作y轴的平行线交于P，同①的方法得N（﹣，﹣4），③如图2中，当点N在y轴的右侧，△BMN是等腰直角三角形时，同法可得N（，﹣4）即：点N的坐标为（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）或（，﹣4）．11．【解答】解：（1）直线l2：y＝x﹣，令y＝4，则x＝1，则点C（1，﹣4），令y＝0，则x＝4，即点B（4，0），把点C坐标代入直线l1：y＝﹣x+b得：b＝﹣3，则直线l1的表达式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，即点A（﹣3，0），S△ABC＝AB×|y C|＝7×4＝14；（2）如下图，设直线AC交y轴于点M，设点P坐标为（﹣3，m），将点P、C的坐标代入一次函数表达式y＝sx+t得：，解得：，即：点M坐标为（0，），S△CPQ＝QM×（x C﹣x P）＝（2﹣+3）×（1+3）＝2，解得：m＝16，即点P的坐标为（﹣3，16）当PC与y轴交于x轴上方时，同理可得：点P（﹣3，24），故点P（﹣3，16）或（﹣3，24）；（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为：y＝﹣x﹣，设点N（n，﹣4），点M（s，﹣s﹣），点B（4，0），过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，∴∠SMR＝∠RNM，∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，∴△MSB≌△NRM（AAS），∴RN＝MS，RM＝SB，即：，解得：，故点N的坐标为（﹣16，﹣4）．12．【解答】解：（1）直线y＝kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，则点A（﹣1，0），且OA＝OC，则点C（0，3），则k＝3，故直线AC的表达式为：y＝3x+3，∵∠CBA＝45°，∴OB＝OC＝3，∴点B（3，0），∵点C（0，3）、点B（3，0），则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；（2）当点P在线段BC时，过点P作PH⊥x轴于点H，∵∠CBA＝45°，PH＝PBsin45°＝t×＝t，S＝S△ABC﹣S△ABP＝×BA×（OC﹣PH）＝4×（3﹣t）＝6﹣2t，（0≤t≤3）；当点P在y轴右侧的射线BC上时，同理可得：S＝S△ABP﹣S△ABC＝2t﹣6，（t＞3）；故S＝；（3）设点M（0，m），点Q（n，3n+3），①如图2（左侧图），当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方），分别过点Q、P作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H，∵∠GMQ+∠MQG＝90°，∠GMQ+∠HMB＝90°，∴∠HMB＝∠GQM，∠MHB＝∠QGM＝90°，MB＝MQ，∴△MHB≌△QGM（AAS），∴GQ＝MH，BH＝GM，即：m＝﹣n，m﹣3n﹣3＝3，解得：m＝，n＝﹣；故点M（0，）、点Q（﹣，﹣）；同理当点M在x轴下方时，3n+3﹣m＝3且﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）；②当∠MQB＝90°时，同理可得：﹣n＝﹣3n﹣3，3n+3﹣m＝3﹣n，解得：m＝﹣6，n＝﹣，故点M（0，﹣6）、点Q（﹣，﹣）；③当∠QBM＝90°时，同理可得：﹣3n﹣3＝3，m＝3﹣n解得：m＝5，n＝﹣2，点M（0，5）、点Q（﹣2，﹣3）；综上，M（0，）、Q（﹣，﹣）或M（0，﹣6）、Q（﹣，﹣）或M（0，5）点Q（﹣2，﹣3）．13．【解答】解：（1）联立，解得：，故点A的坐标为（﹣2，7）；（2）由题意得：点E、D、B、C的坐标分别为（0，）、（0，8）、（，0）、（﹣16，0），过点A作MN∥x轴，分别交FG、DE于点M、N，则：AN＝2，∵FG∥DE，∴△AFG∽△AED，∴＝3，则AM＝6，∴点M的横坐标为：﹣8，则点F、G的坐标分别为（﹣8，）、（﹣8，4），在y轴上找到点O关于直线GH的对称点O′（0，8），连接FO′并延长，交直线GH于点P，此时，|PF﹣PO|的值最大，最大值为PO′，直线O′F的表达式为：y＝﹣x+8，当y＝4时，x＝，即点P坐标为（，4），|PF﹣PO|＝FO′＝＝，故：点P坐标为（，4），|PF﹣PO|＝；（3）△AQR为等腰直角三角形，有如下图所示的两种情况，①当AQ⊥AC，当点R在点A下方时，∴直线AQ的表达式为：y＝﹣2x+b，将点A坐标代入得：7＝﹣2×（﹣2）+b，解得：b＝3，故：直线AQ的表达式为：y＝﹣2x+3，则点Q坐标为（，0），过点A作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，围成矩形GMQH，∠GAR+∠QAH＝90°，∠QAH+∠AQH＝90°，∴∠AQH＝∠GAR，∠AGR＝∠QHA＝90°，AR＝AQ，∴△AGR≌△QHA（AAS），∴HQ＝GA＝7，GR＝AH＝2+＝，OM＝2+GA＝9，∴RM＝7﹣＝故点R的坐标为（﹣9，），当点R在点A上方时，同理可得点R坐标为（5，）；②当R′Q′⊥AC时，同理，点R′的坐标为（12，14）或（﹣，），故：点R的坐标为（﹣9，）或（5，）或（12，14）或（﹣，）．14．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△EBC（AAS）；（2）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图1，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰Rt△，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝x+4，∴A（0，4），B（﹣3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣7，3），设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，∴，∴l2的解析式：y＝x+4；（3）当点D位于直线y＝2x﹣6上时，分两种情况：①点D为直角顶点，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x﹣6）；则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x；则△ADE≌△DPF，得DF＝AE，即：12﹣2x＝8﹣x，x＝4；∴D（4，2）；当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x﹣6）；则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x；同1可知：△ADE≌△DPF，∴AE＝DF，即：2x﹣12＝8﹣x，x＝；∴D（，）；②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；设点D（x，2x﹣6），则CF＝2x﹣6，BF＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12；同（1）可得，△APB≌△PDF，∴AB＝PF＝8，PB＝DF＝x﹣8；∴BF＝PF﹣PB＝8﹣（x﹣8）＝16﹣x；联立两个表示BF的式子可得：2x﹣12＝16﹣x，即x＝；∴D（，）；综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；且D点的坐标为：（4，2），（，），（，）．15．【解答】解：（1）如图1，过D作DH⊥AC于H，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A，A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴AO＝3，BO＝4，∴AB＝＝＝5，当0≤t≤3时，如图1，∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3﹣t，DH＝AD•sin∠BAO＝t，AH＝ADcos∠BAO＝t，当t＝1时，AC＝3﹣1＝2，点D的坐标为（，）；（2）∵AO＝3，BO＝4，AB＝5∴sin∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝过D作DH⊥AC于H，当0≤t≤3时，如图1，∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3﹣t，DH＝AD•sin∠BAO＝t，∴S＝S△ABO﹣S△ADC＝×3×4﹣•（3﹣t）•t，S＝t2﹣t+6（0＜t＜3）．（3）如图2，当EF⊥BO时，∵EF⊥CD，∴CD∥BO，∴∠ACD＝90°，在Rt△ADC中，＝cos∠BAO，∴＝，t＝，当EF⊥AB时，如图3，∵EF⊥CD，∴直线CD和直线AB重合，∴C点和A点重合，∴t＝3．（4）①如图4，当0＜t＜，且且重叠部分为等腰梯形PEQM时，则∠PEQ＝∠MQE，∵菱形CDMN，∴CD∥MN，∴∠MQE＝∠CEQ，∵EF⊥CD，即∠CEF＝90°，∴∠CEQ＝45°，∴∠ACD＝∠CEQ＝45°，过D作DH⊥AC于H，则△DHC是等腰直角三角形，∴DH＝HC，∴t＝3﹣t﹣t，∴t＝；②如图5，当＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK时，同理可得∠CHE＝45°，连接DHDH，∵EF垂直平分CD，∴CH＝DH，∠DHE＝∠CHE＝45°，∴∠DHC＝90°，∴DH＝t，而CH＝CO﹣HO＝CO﹣（AO﹣AH）＝t﹣（3﹣t），∴t﹣（3﹣t）＝t，∴t＝．16．【解答】解：（1）∵CD＝10，点C的坐标为（﹣4，﹣4），∴点D的坐标为（﹣4，6），把点D（﹣4，6）代入得，m＝4．∴直线l的解析式是；（2）∵，∴A（8，0），B（0，4），过点C画CH⊥y轴于H，则CH＝OH＝4，BH＝8．在△AOB和△BHC中，∵AO＝BH，∠AOB＝∠BHC，BO＝CH，∴△AOB≌△BHC，∴AB＝BC，∠HBC＝∠OAB，∴∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（3）p（﹣4，﹣）或（﹣4，8）或（﹣4，﹣12）或（﹣4，﹣4）或（﹣4，4）．17．【解答】解：（1）作PK⊥MN于K，则PK＝KM＝NM＝2，∴KO＝6，∴P（6，2）；（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S＝0；②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA＝AH＝2b﹣4，∴S＝（2b﹣4）2＝2b2﹣8b+8，③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN＝AH＝8﹣2b，∴S＝S△PMN﹣S△ANH＝4﹣2（4﹣b）2＝﹣2b2+16b﹣28，④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S＝4；（3）以OM为直径作圆，当直线y＝﹣x+b（b＞0）与圆相切时，b＝+1，如图（五）；当b≥4时，重合部分是△PMN，S＝4设Q（x，b﹣x），因为∠OQM＝90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ2+QM2＝OM2，即[x2+（b﹣x）2]+[（x﹣4）2+（b﹣x）2]＝42，整理得x2﹣（2b+8）x+2b2＝0，x2﹣（b+4）x+b2＝0，根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即（b+4）2﹣5b2≥0，﹣b2+2b+4≥0，b2﹣2b﹣4≤0，可以解得 1﹣≤b≤1+，由于b＞0，所以0＜b≤1+．故0＜b≤+1；（4）b的值为4，5，．∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b）当PC＝PD时，b＝4；当PC＝CD时，b1＝2（P、C、D三点共线，舍去），b2＝5；当PD＝CD时，b＝8±2．18．【解答】解：（1）∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2﹣14x+4（AB+2）＝0的两个根，∴OA+OB＝﹣＝14，由已知可得，又∵OA2+OB2＝AB2，∴（OA+OB）2﹣2OA•OB＝AB2，即142﹣8（AB+2）＝AB2，∴AB2+8AB﹣180＝0，∴AB＝10或AB＝﹣18（不合题意，舍去），∴AB＝10，∴x2﹣14x+48＝0，解得x1＝6，x2＝8，∵OB＞OA，∴OA＝6，OB＝8，∴tan∠BAO＝．（2）∵S△PAQ＝S四边形OQPB，∴S△PAQ＝S△AOB，∵PQ∥BO，∴△PQA∽△BOA，∴，∴．∵AB＝10，∴AP＝5，又∵tan∠BAO＝，∴sin∠BAO＝，∴PQ＝PA•sin∠BAO＝．（3）存在，设AB的解析式是y＝kx+b，则，解得：，则解析式是：y＝﹣x+8，即4x+3y＝24（*）①当∠PQM＝90°时，由PQ∥OB且|PQ|＝|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）有（a，a）代入（*）得a＝．②当∠MPQ＝90°，由PQ∥OB且|MP|＝|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a＝247．③当∠PMQ＝90°，由PQ∥OB，|PM|＝|MQ|且|OM|＝|OQ|＝|PQ|设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a＝125．综上所述，y轴上有三个点M1（0，0），M2（0，247）和M3（0，125）满足使△PMQ为等腰直角三角形．。
中考数学专题16等腰三角形与直角三角形(共5题)(全国通用解析版)
等腰三角形与直角三角形一．选择题（共24小题）1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm.则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm.而没有明确腰、底分别是多少.所以要进行讨论.还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当3cm是腰长时.3.3.5能组成三角形.当5cm是腰长时.5.5.3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况.分类进行讨论.还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.这点非常重要.也是解题的关键．2．（2022•泰安）如图.l1∥l2.点A在直线l1上.点B在直线l2上.AB＝BC.∠C＝25°.∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°.利用平行线的性质得到∠BEA＝95°.再根据三角形外角的性质即可求解．【解析】如图.∵AB＝BC.∠C＝25°.∴∠C＝∠BAC＝25°.∵l1∥l2.∠1＝60°.∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°.∵∠BEA＝∠C+∠2.∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.平行线的性质以及三角形外角的性质.解决问题的关键是注意运用两直线平行.同旁内角互补．3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°.则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据三角形内角和是180°列出方程.解方程即可得出答案．【解析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据题意得：x+x+2x+20＝180.解得：x＝40.故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.考查了方程思想.掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．4．（2022•天津）如图.△OAB的顶点O（0.0）.顶点A.B分别在第一、四象限.且AB⊥x轴.若AB＝6.OA＝OB＝5.则点A的坐标是（）A．（5.4）B．（3.4）C．（5.3）D．（4.3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC.根据勾股定理求出OC.根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解析】设AB与x轴交于点C.∵OA＝OB.OC⊥AB.AB＝6.∴AC＝AB＝3.由勾股定理得：OC＝＝＝4.∴点A的坐标为（4.3）.故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2022•台湾）如图.△ABC中.D点在AB上.E点在BC上.DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C.且∠EAC＞90°.则根据图中标示的角.判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2.∠1＜∠3B．∠1＝∠2.∠1＞∠3C．∠1≠∠2.∠1＜∠3D．∠1≠∠2.∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质.等腰三角形的性质解答即可．【解析】∵DE为AB的中垂线.∴∠BDE＝∠ADE.BE＝AE.∴∠B＝∠BAE.∴∠1＝∠2.∵∠EAC＞90°.∴∠3+∠C＜90°.∵∠B+∠1＝90°.∠B＝∠C.∴∠1＞∠3.∴∠1＝∠2.∠1＞∠3.故选：B．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．6．（2022•广元）如图.在△ABC中.BC＝6.AC＝8.∠C＝90°.以点B为圆心.BC长为半径画弧.与AB交于点D.再分别以A、D为圆心.大于AD的长为半径画弧.两弧交于点M、N.作直线MN.分别交AC、AB于点E、F.则AE的长度为（）A．B．3C．2D．【分析】利用勾股定理求出AB.再利用相似三角形的性质求出AE即可．【解析】在Rt△ABC中.BC＝6.AC＝8.∴AB＝＝＝10.∵BD＝CB＝6.∴AD＝AB＝BC＝4.由作图可知EF垂直平分线段AD.∴AF＝DF＝2.∵∠A＝∠A.∠AFE＝∠ACB＝90°.∴△AFE∽△ACB.∴＝.∴＝.∴AE＝.故选：A．【点评】本题考查勾股定理.相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.属于中考常考题型．7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图.建立平面直角坐标系后.学校和体育场的坐标分别是（3.1）.（4.﹣2）.下列各地点中.离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系.然后根据勾股定理.可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离.再比较大小即可．【解析】如右图所示.点O到超市的距离为：＝.点O到学校的距离为：＝.点O到体育场的距离为：＝.点O到医院的距离为：＝.∵＜＝＜.∴点O到超市的距离最近.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系.解答本题的关键是明确题意.作出合适平面直角坐标系．8．（2022•温州）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.以其三边为边向外作正方形.连结CF.作GM⊥CF于点M.BJ⊥GM于点J.AK⊥BJ于点K.交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.CE＝+.则CH的长为（）A．B．C．2D．【分析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.设正方形JKLM边长为m.根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.得AF＝AB＝m.证明△AFL ≌△FGM（AAS）.可得AL＝FM.设AL＝FM＝x.在Rt△AFL中.x2+（x+m）2＝（m）2.可解得x＝m.有AL＝FM＝m.FL＝2m.从而可得AP＝.FP＝m.BP＝.即知P为AB中点.CP＝AP＝BP＝.由△CPN∽△FP A.得CN ＝m.PN＝m.即得AN＝m.而tan∠BAC＝＝＝.又△AEC∽△BCH.得＝.即＝.故CH＝2．【解析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.如图：设正方形JKLM边长为m.∴正方形JKLM面积为m2.∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.∴正方形ABGF的面积为5m2.∴AF＝AB＝m.由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF.∠ALF＝90°＝∠FMG.AF＝GF.∴△AFL≌△FGM（AAS）.∴AL＝FM.设AL＝FM＝x.则FL＝FM+ML＝x+m.在Rt△AFL中.AL2+FL2＝AF2.∴x2+（x+m）2＝（m）2.解得x＝m或x＝﹣2m（舍去）.∴AL＝FM＝m.FL＝2m.∵tan∠AFL＝＝＝＝.∴＝.∴AP＝.∴FP＝＝＝m.BP＝AB﹣AP＝m﹣＝.∴AP＝BP.即P为AB中点.∵∠ACB＝90°.∴CP＝AP＝BP＝.∵∠CPN＝∠APF.∠CNP＝90°＝∠F AP.∴△CPN∽△FP A.∴＝＝.即＝＝.∴CN＝m.PN＝m.∴AN＝AP+PN＝m.∴tan∠BAC＝＝＝＝.∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形.∴△AEC∽△BCH.∴＝.∵CE＝+.∴＝.∴CH＝2.故选：C．【点评】本题考查正方形性质及应用.涉及全等三角形判定与性质.相似三角形判定与性质.勾股定理等知识.解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．9．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心.点P在△ABC外.△ABC.△P AB.△PBC.△PCA的面积分别记为S0.S1.S2.S3．若S1+S2+S3＝2S0.则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【分析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.证明△P AB的面积是定值.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．因为△P AB的面积是定值.推出点P的运动轨迹是直线PM.求出OT的值.可得结论．【解析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.∵S△P AB+S△ABC＝S△PBC+S△P AC.∴S1+S0＝S2+S3.∵S1+S2+S3＝2S0.∴S1+S1+S0＝2.∴S1＝S0.∵△ABC是等边三角形.边长为6.∴S0＝×62＝9.∴S1＝.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．∵△P AB的面积是定值.∴点P的运动轨迹是直线PM.∵O是△ABC的中心.∴CT⊥AB.CT⊥PM.∴•AB•RT＝.CR＝3.OR＝.∴RT＝.∴OT＝OR+TR＝.∵OP≥OT.∴OP的最小值为.当点P在②区域时.同法可得OD的最小值为.如图.当点P在①③⑤区域时.OP的最小值为.当点P在②④⑥区域时.最小值为.∵＜.故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质.解直角三角形.三角形的面积等知识.解题的关键是证明△P AB的面积是定值．10．（2022•南充）如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.∠BAC的平分线交BC于点D.DE∥AB.交AC于点E.DF⊥AB于点F.DE＝5.DF＝3.则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理.可以求得CD和CE的长.再根据平行线的性质.即可得到AE的长.从而可以判断B和C.然后即可得到AC的长.即可判断D.再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长.从而可以判断A．【解析】∵AD平分∠BAC.∠C＝90°.DF⊥AB.∴∠1＝∠2.DC＝FD.∠C＝∠DFB＝90°.∵DE∥AB.∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AE＝DE.∵DE＝5.DF＝3.∴AE＝5.CD＝3.故选项B、C正确.∴CE＝＝4.∴AC＝AE+EC＝5+4＝9.故选项D正确.∵DE∥AB.∠DFB＝90°.∴∠EDF＝∠DFB＝90°.∴∠CDF+∠FDB＝90°.∵∠CDF+∠DEC＝90°.∴∠DEC＝∠FDB.∵tan∠DEC＝.tan∠FDB＝.∴.解得BF＝.故选项A错误.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．11．（2022•宜昌）如图.在△ABC中.分别以点B和点C为圆心.大于BC长为半径画弧.两弧相交于点M.N．作直线MN.交AC于点D.交BC于点E.连接BD．若AB＝7.AC＝12.BC＝6.则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC.即可得到DB＝DC.然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.从而可以求得△ABD的周长．【解析】由题意可得.MN垂直平分BC.∴DB＝DC.∵△ABD的周长是AB+BD+AD.∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.∵AB＝7.AC＝12.∴AB+AC＝19.∴∵△ABD的周长是19.故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质.三角形的周长.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．12．（2022•河北）题目：“如图.∠B＝45°.BC＝2.在射线BM上取一点A.设AC ＝d.若对于d的一个数值.只能作出唯一一个△ABC.求d的取值范围．”对于其答案.甲答：d≥2.乙答：d＝1.6.丙答：d＝.则正确的是（）A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整【分析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.分这两种情况求解即可．【解析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.①当CA⊥BA时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴AC＝BC•sin45°＝2×＝.即此时d＝.②当CA＝BC时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴此时AC＝2.即d＞2.综上.当d＝或d＞2时能作出唯一一个△ABC.故选：B．【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识.熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•宜宾）如图.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形.∠BAC＝∠DAE＝90°.点D是BC边上的动点（不与点B、C重合）.DE与AC交于点F.连结CE．下列结论：①BD＝CE.②∠DAC＝∠CED.③若BD＝2CD.则＝.④在△ABC内存在唯一一点P.使得P A+PB+PC的值最小.若点D在AP的延长线上.且AP的长为2.则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS）.可得结论.②正确．证明A.D.C.E四点共圆.利用圆周角定理证明.③正确．设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.求出AO.CJ.可得结论.④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB ＝PC.AD⊥BC.设PD＝t.则BD＝AD＝t.构建方程求出t.可得结论．【解析】如图1中.∵∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC.AD＝AE.∴△BAD≌△DAE（SAS）.∴BD＝EC.∠ADB＝∠AEC.故①正确.∵∠ADB+∠ADC＝180°.∴∠AEC+∠ADC＝180°.∴∠DAE+∠DCE＝180°.∴∠DAE＝∠DCE＝90°.取DE的中点O.连接OA.OA.OC.则OA＝OD＝OE＝OC.∴A.D.C.E四点共圆.∴∠DAC＝∠CED.故②正确.设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.∵tan∠CDF＝＝＝2.∴CJ＝m.∵AO⊥DE.CJ⊥DE.∴AO∥CJ.∴＝＝＝.故③正确．如图2中.将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.∴BP＝BN.PC＝NM.∠PBN＝60°.∴△BPN是等边三角形.∴BP＝PN.∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN.∴当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB＝PC.AD⊥BC.∴∠BPD＝∠CPD＝60°.设PD＝t.则BD＝AD＝t.∴2+t＝t.∴t＝+1.∴CE＝BD＝t＝3+.故④错误．故选：B．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质.全等三角形的判定和性质.四点共圆.圆周角定理.解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线.构造特殊三角形解决问题.属于中考选择题中的压轴题．14．（2022•眉山）在△ABC中.AB＝4.BC＝6.AC＝8.点D.E.F分别为边AB.AC.BC 的中点.则△DEF的周长为（）A．9B．12C．14D．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边.并且等于第三边的一半.可得出△ABC的周长＝2△DEF的周长．【解析】如图.点E.F分别为各边的中点.∴DE、EF、DF是△ABC的中位线.∴DE＝BC＝3.EF＝AB＝2.DF＝AC＝4.∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．故选：A．【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．15．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时.用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图）.并用它证明了勾股定理.这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1.α为直角三角形中的一个锐角.则tanα＝（）A．2B．C．D．【分析】根据题意和题目中的数据.可以先求出大正方形的面积.然后设出小直角三角形的两条直角边.再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长.然后即可求得tanα的值．【解析】由已知可得.大正方形的面积为1×4+1＝5.设直角三角形的长直角边为a.短直角边为b.则a2+b2＝5.a﹣b＝1.解得a＝2.b＝1或a＝1.b＝﹣2（不合题意.舍去）.∴tanα＝＝＝2.故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形.解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．16．（2022•苏州）如图.点A的坐标为（0.2）.点B是x轴正半轴上的一点.将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m.3）.则m的值为（）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.可得△ABC是等边三角形.又A（0.2）.C（m.3）.即得AC＝＝BC＝AB.可得BD＝＝.OB＝＝.从而+＝m.即可解得m＝．【解析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.如图：∵CD⊥x轴.CE⊥y轴.∠DOE＝90°.∴四边形EODC是矩形.∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.∴AB＝AC.∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB＝AC＝BC.∵A（0.2）.C（m.3）.∴CE＝m＝OD.CD＝3.OA＝2.∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1.∴AC＝＝＝BC＝AB.在Rt△BCD中.BD＝＝.在Rt△AOB中.OB＝＝.∵OB+BD＝OD＝m.∴+＝m.化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0.解得m＝或m＝﹣（舍去）.∴m＝.故选：C．【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换.解题的关键是熟练应用勾股定理.用含m的代数式表示相关线段的长度．17．（2022•扬州）如图.小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了.需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据.为了方便表述.将该三角形记为△ABC.提供下列各组元素的数据.配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB.BC.CA B．AB.BC.∠B C．AB.AC.∠B D．∠A.∠B.BC 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.B．利用三角形两边、且夹角对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.C．AB.AC.∠B.无法确定三角形的形状.故此选项符合题意.D．根据∠A.∠B.BC.三角形形状确定.故此选项不合题意.故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用.正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．（2022•湖州）如图.已知在锐角△ABC中.AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.E 是AD上一点.连结EB.EC．若∠EBC＝45°.BC＝6.则△EBC的面积是（）A．12B．9C．6D．3【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3.AD⊥BC.根据等腰直角三角形的性质求出ED.根据三角形的面积公式计算.得到答案．【解析】∵AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.∴BD＝CD＝BC＝3.AD⊥BC.在Rt△EBD中.∠EBC＝45°.∴ED＝BD＝3.∴S△EBC＝BC•ED＝×6×3＝9.故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．19．（2022•宁波）如图.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.E为BD上一点.F为CE中点．若AE＝AD.DF＝2.则BD的长为（）A．2B．3C．2D．4【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长.再根据AE＝AD.可以得到AD的长.然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系.可以求得BD的长．【解析】∵D为斜边AC的中点.F为CE中点.DF＝2.∴AE＝2DF＝4.∵AE＝AD.∴AD＝4.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.∴BD＝AC＝AD＝4.故选：D．【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线.解答本题的关键是求出AD的长．20．（2022•云南）如图.OB平分∠AOC.D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点.D、E、F与O点都不重合.连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个.就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC.得∠DOE＝∠FOE.由OE＝OE.可知∠ODE＝∠OFE.即可根据AAS得△DOE≌△FOE.可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC.∴∠DOE＝∠FOE.又OE＝OE.若∠ODE＝∠OFE.则根据AAS可得△DOE≌△FOE.故选项D符合题意.而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE.故选项A不符合题意.增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE.故选项B不符合题意.增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE.故选项C不符合题意.故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定.解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．21．（2022•达州）如图.AB∥CD.直线EF分别交AB.CD于点M.N.将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若∠EMB＝80°.则∠PNM等于（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°.由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°.即可得到结论．【解析】∵AB∥CD.∴∠DNM＝∠BME＝80°.∵∠PND＝45°.∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°.故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质.等腰直角三角形的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（2022•金华）如图.圆柱的底面直径为AB.高为AC.一只蚂蚁在C处.沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”.在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线.正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形.而点B是展开图的一边的中点.再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”.侧面展开图为矩形.∵圆柱的底面直径为AB.∴点B是展开图的一边的中点.∵蚂蚁爬行的最近路线为线段.∴C选项符合题意.故选：C．【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图.最短路径问题.掌握两点之间线段最短是解题的关键．23．（2022•舟山）如图.在Rt△ABC和Rt△BDE中.∠ABC＝∠BDE＝90°.点A 在边DE的中点上.若AB＝BC.DB＝DE＝2.连结CE.则CE的长为（）A．B．C．4D．【分析】根据题意先作出合适的辅助线.然后根据勾股定理可以得到AB和BC 的长.根据等面积法可以求得EG的长.再根据勾股定理求得EF的长.最后计算出CE的长即可．【解析】作EF⊥CB交CB的延长线于点F.作EG⊥BA交BA的延长线于点G.∵DB＝DE＝2.∠BDE＝90°.点A是DE的中点.∴BE＝＝＝2.DA＝EA＝1.∴AB＝＝＝.∵AB＝BC.∴BC＝.∵＝.∴.解得EG＝.∵EG⊥BG.EF⊥BF.∠ABF＝90°.∴四边形EFBG是矩形.∴EG＝BF＝.∵BE＝2.BF＝.∴EF＝＝＝.CF＝BF+BC＝+＝.∵∠EFC＝90°.∴EC＝＝＝.故选：D．【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形.解答本题的关键是明确题意.求出EF和CF的长．24．（2022•遂宁）如图.D、E、F分别是△ABC三边上的点.其中BC＝8.BC边上的高为6.且DE∥BC.则△DEF面积的最大值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.根据DE ∥BC.证出△ADE∽△ABC.根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝a.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值即可．【解析】如图.过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.∵DE∥BC.∴∠ADE＝∠B.∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴＝.∴＝.∴DE＝a.∴△DEF面积S＝×DE×MN＝×a•（6﹣a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣3）2+6.∴当a＝3时.S有最大值.最大值为6．故选：A．【点评】本题考查了三角形的面积.平行线的性质.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值是解题的关键．二．填空题（共15小题）25．（2022•岳阳）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.若BC＝6.则CD＝3．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点.即可求出CD的长．【解析】∵AB＝AC.AD⊥BC.∴CD＝BD.∵BC＝6.∴CD＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍.这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”.底边BC的长为3.则腰AB的长为6．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”.可知AB＝2BC或BC＝2AB.若AB ＝2BC＝6.可得AB的长为6.若BC＝3＝2AB.因1.5+1.5＝3.故此时不能构成三角形.这种情况不存在.即可得答案．【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”.∴AB＝2BC或BC＝2AB.若AB＝2BC＝6.则△ABC三边分别是6.6.3.符合题意.∴腰AB的长为6.若BC＝3＝2AB.则AB＝1.5.△ABC三边分别是1.5.1.5.3.∵1.5+1.5＝3.∴此时不能构成三角形.这种情况不存在.综上所述.腰AB的长是6.故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系.涉及新定义.解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°.则△ABC的顶角度数是40°或100°．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论.即可解答．【解析】当∠A是顶角时.△ABC的顶角度数是40°.当∠A是底角时.则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°.综上.△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.此类题目.难点在于要分情况讨论．28．（2022•滨州）如图.屋顶钢架外框是等腰三角形.其中AB＝AC.立柱AD⊥BC.且顶角∠BAC＝120°.则∠C的大小为30°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解析】∵AB＝AC且∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣.3）.则A点的坐标是（.﹣3）．【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称.进而可以解决问题．【解析】因为点A和点B关于原点对称.B点的坐标是（﹣.3）.所以A点的坐标是（.﹣3）.故答案为：（.﹣3）．【点评】本题考查了正六边形的性质.中心对称图形.解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．30．（2022•金华）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.连结CC'.则四边形AB'C'C的周长为（8+2）cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.求得四边形AB'C'C的四边即可求得结论．【解析】∵在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm.∴AB＝2BC＝4.∴AC＝＝2．∵把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.∴B′C′＝BC＝2.AA′＝CC′＝1.A′B′＝AB＝4.∴AB′＝AA′+A′B′＝5．∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．故答案为：（8+2）．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.熟练掌握平移的性质是解题的关键．31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂.余半之.自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之.为实．一为从隅.开平方得积．”若把以上这段文字写成公式.即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c ＝4：3：2.则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为3．【分析】根据题意先求出a、b、c.再代入公式进行计算即可．【解析】根据a：b：c＝4：3：2.设a＝4k.b＝3k.c＝2k.则4k+3k+2k＝18.解得：k＝2.∴a＝4k＝4×2＝8.b＝3k＝3×2＝6.c＝2k＝2×2＝4.∴S＝＝＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的运算.要注意运算顺序.解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握．32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①.四边形ABCD中.AB＝AD.∠B+∠D＝180°.点E.F分别在BC.CD上.若∠BAD＝2∠EAF.则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②.在某公园的同一水平面上.四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m.∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.道路AD.AB上分别有景点M.N.且DM＝100m.BN＝50（﹣1）m.若在M.N之间修一条直路.则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m（结果取整数.参考数据：≈1.7）．【分析】解法一：如图.作辅助线.构建直角三角形.先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°.分别计算AD.CG.AG.BG的长.由线段的和与差可得AM和AN 的长.最后由勾股定理可得MN的长.计算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：构建【阅读材料】的图形.根据结论可得MN的长.从而得结论．【解析】解法一：如图.延长DC.AB交于点G.∵∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°.∴∠G＝90°.∴AD＝2DG.Rt△CGB中.∠BCG＝180°﹣150°＝30°.∴BG＝BC＝50.CG＝50.∴DG＝CD+CG＝100+50.∴AD＝2DG＝200+100.AG＝DG＝150+100.∵DM＝100.∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100.∵BG＝50.BN＝50（﹣1）.∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50.Rt△ANH中.∵∠A＝30°.∴NH＝AN＝75+25.AH＝NH＝75+75.由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1）.∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图.延长DC.AB交于点G.连接CN.CM.则∠G＝90°.∵CD＝DM.∠D＝60°.∴△BCM是等边三角形.∴∠DCM＝60°.由解法一可知：CG＝50.GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50.∴△CGN是等腰直角三角形.∴∠GCN＝45°.∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°.∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD.由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50.∵AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质.勾股定理.二次根式的混合运算等知识与方法.解题的关键是作出所需要的辅助线.构造含30°的直角三角形.再利用线段的和与差进行计算即可．33．（2022•山西）如图.在正方形ABCD中.点E是边BC上的一点.点F在边CD 的延长线上.且BE＝DF.连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF.垂足为点M.交边CD于点N．若BE＝＝8.则线段AN的长为4．【分析】连接AE.AF.EN.由正方形的性质可得AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.可证得△ABE≌△ADF（SAS）.可得∠BAE＝∠DAF.AE ＝AF.从而可得∠EAF＝90°.根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点.由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.可得EN ＝FN.设DN＝x.则EN＝FN＝x+5.CE＝x+3.由勾股定理解得x＝12.可得AB＝CD＝20.由勾股定理可得AE＝5.从而可得AM＝EM＝FM＝.由勾股定理可得MN＝.即可求解．【解析】如图.连接AE.AF.EN.∵四边形ABCD为正方形.∴AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.∵BE＝DF.∴△ABE≌△ADF（SAS）.∴∠BAE＝∠DAF.AE＝AF.∴∠EAF＝90°.∴△EAF为等腰直角三角形.∵AN⊥EF.∴EM＝FM.∠EAM＝∠F AM＝45°.∴△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.∴EN＝FN.设DN＝x.∵BE＝DF＝＝8.∴CD＝CN+DN＝x+8.∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5.CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3.在Rt△ECN中.由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2.即82+（x+3）2＝（x+5）2.解得：x＝12.∴AB＝CD＝x+8＝20.EN＝x+5＝17.在Rt△ABE中.由勾股定理可得：AE＝＝＝5.∴AM＝EM＝FM＝＝.在Rt△EMN中.由勾股定理可得：MN＝＝＝.∴AN＝AM+MN＝+＝4.故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.等腰三角形的性质.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.构建全等三角形解决问题．34．（2022•武汉）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＞BC.分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL.ACDE.BCFG.连接DF．过点C作AB的垂线CJ.垂足为J.分别交DF.LH于点I.K．若CI＝5.CJ＝4.则四边形AJKL的面积是80．【分析】过点D作DM⊥CI于点M.过点F作FN⊥CI于点N.由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM.△BCJ≌△CFN.可得DM＝CJ.FN＝CJ.可证得△DMI ≌△FNI.由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI.由勾股定理可得MI.NI.从而可得CN.可得BJ与AJ.即可求解．【解析】过点D作DM⊥CI.交CI的延长线于点M.过点F作FN⊥CI于点N.∵△ABC为直角三角形.四边形ACDE.BCFG为正方形.过点C作AB的垂线CJ.CJ＝4.∴AC＝CD.∠ACD＝90°.∠AJC＝∠CMD＝90°.∠CAJ+∠ACJ＝90°.BC＝CF.∠BCF＝90°.∠CNF＝∠BJC＝90°.∠FCN+∠CFN＝90°.∴∠ACJ+∠DCM＝90°.∠FCN+∠BCJ＝90°.∴∠CAJ＝∠DCM.∠BCJ＝∠CFN.∴△ACJ≌△CDM（AAS）.△BCJ≌△CFN（AAS）.∴AJ＝CM.DM＝CJ＝4.BJ＝CN.NF＝CJ＝4.∴DM＝NF.∴△DMI≌△FNI（AAS）.∴DI＝FI.MI＝NI.∵∠DCF＝90°.∴DI＝FI＝CI＝5.在Rt△DMI中.由勾股定理可得：MI＝＝＝3.∴NI＝MI＝3.∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8.BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2.∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10.∵四边形ABHL为正方形.∴AL＝AB＝10.∵四边形AJKL为矩形.∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80.故答案为：80．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.利用全等三角形的性质进行求解．35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三.股修四.经隅五”．观察下列勾股数：3.4.5.5.12.13.7.24.25.….这类勾股数的特点是：勾为奇数.弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数.弦与股相差为2的一类勾股数.如：6.8.10.8.15.17.….若此类勾股数的勾为2m（m≥3.m为正整数）.则其弦是m2+1（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】∵m为正整数.∴2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理得.（2m）2+a2＝（a+2）2.解得a＝m2+1.综上所述.其弦是m2+1.故答案为：m2+1．【点评】本题考查了勾股数.勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键．36．（2022•台州）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.D.E.F分别为AB.BC.CA的中点．若EF的长为10.则CD的长为10．【分析】根据三角形中位线定理求出AB.根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解析】∵E.F分别为BC.CA的中点.∴EF是△ABC的中位线.∴EF＝AB.∴AB＝2EF＝20.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.D为AB中点.AB＝20.。
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有关等腰直角三角形的几何证明题（2013.12.30FZX）
（郭方媛）
【知识要点】等腰直角三角形是几何证明的特殊图形，它的性质（两腰相等、两底角等于45°）在证明中作用重大，充分应用其性质能达到轻松解题的效果。
【例】、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，AC=BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．
（1）求证：DM=DN；
（2）若∠DMC=15°，BN=1，求MN的长．
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：（1）连接CD，求出CD=BD，∠CDM=∠BDN，∠MCD=∠
DBN，证△DCM≌△DBN，推出即可；
（2）求出CM=BN=1，∠MNC=30°，根据含30度角的直角三角形性质推出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
【1】已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【2】如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
【3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D
是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
【4】如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分线BD于D，AC，BD交于E．AF 为BC中线，交BE于G．
（1）求证：BE=2CD；
（2）CE和BG大小如何？不必证明．
【5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．（3）求证：BD=BF
【6】等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC 于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论
【7】已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM 和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
（2）分析：方法一：延长DM至F，使DM=MF 连接CF,BF,BD延长CF,AD交于G 则EM=MC 角EMD=角FMC ∴ED=CF ED∥FC ∵ED⊥AD∴CG⊥AG ∴角GAC+角GCA=90°∴角BAC-角BAD+角BCA+角FCB=90°∴角BAD=角FCB ∴△BAD≌△BCF ∴BD=BF 角ABD=角CBF ∴角DBF=90°又∵DM=MF ∴BM⊥DM DM=BM
方法二：取AE的中点G,AC的中点F,连接DG,MG,BF,MF. 又M为CE中点,则:MF=AE/2=DG;GM=AC/2=BF;GM∥AC;MF∥AE.(中位线的性质) 得:∠MFC=∠EAC=∠EGM;又∠BFC=∠EGD=90度.则∠MFB=∠DGM. ∴⊿BFM≌⊿MGD(SAS),BM=DM;∠FBM=∠GMD. 又GM平行AC,BF垂直AC,则GM垂直BF. 故∠FBM+∠BMG=90度=∠GMD+∠BMG,即∠BMD=90度,得:BM⊥DM.。