2019-2020学年湖南省株洲市第二中学高二下学期第一次月考数学(文)试题版[推荐]
湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析
湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 与()x g x a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称，则“()f x 是增函数”的一个充分不必要条件是( )A ．102a <<B ．01a <<C ．23a <<D ．1a >【答案】C【解析】分析：先求出()log a f x x =，再利用充分不必要条件的定义得到充分不必要条件.详解：因为函数()f x 与()x g x a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称， 所以()log a f x x =.选项A,1 02a <<是“()f x 是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的. 选项B, 01a <<是“()f x 是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.选项C, 23a <<是“()f x 是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的.选项D, 1a >是“()f x 是增函数”的充分必要条件，所以是错误的.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查充分条件必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 已知命题p 是条件，命题q 是结论,充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.2．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则（ ）A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩ 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可得出一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R 的等价条件.【详解】由于关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则二次函数2y ax bx c =++的图象恒在x 轴的下方，所以其开口向下，且图象与x 轴无公共点，所以00a <⎧⎨∆<⎩，故选：D. 【点睛】本题考查一元不等式在实数集上恒成立，要充分利用二次函数的开口方向和与x 轴的位置关系进行分析，考查推理能力，属于中等题.3．复数()21z i =+在复平面内对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点的位置．【详解】 ()221122z i i i i =+=++=Q ，对应的点的坐标为()0,2，所对应的点在虚轴上，故选B ． 【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题．4．如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．212π-B ．24π- C ．12π- D ．14π- 【答案】B【解析】分析：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为12，从而阴影部分的面积为2142S π=-，由此利用几何概型能求出在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率. 详解：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为12， 所以大正方形的面积为1，圆的面积为21()24S ππ=⨯=，小正方形的面积为212122S ==，则阴影部分的面积为2112424S S S ππ-=-=-=， 所以在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率22114S P π-==⨯. 点睛：本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中根据题意，准确求解阴影部分的面积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.5．椭圆2214x y +=的长轴长为（ ）A ．1B ．2C ．D ．4 【答案】D【解析】【分析】由椭圆方程得出2a =即可【详解】 由2214x y +=可得24a =，即2a =所以长轴长为24a =故选：D【点睛】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长，较简单6．若22199x x C C --= ，则x =( )A ．1-B ．4C ．1-或4D ．1或5【答案】B【解析】【分析】根据组合数的公式，列出方程，求出x 的值即可．【详解】∵22199x x C C --＝，∴221x x -=-，或2219x x -+-＝，解得1x =-（不合题意，舍去），或4x =；∴x 的值是1．故选：B ．【点睛】本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．7．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】 Q 23a =，12232<<，∴12a <<，Q 22log 5log 4b =>，∴2b >，Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.8．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值32 B ．有最大值52 C ．为定值3 D ．为定值2【答案】D【解析】【分析】 分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1，在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ，在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=1．故选D ．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．9．已知点()()3,0,3,0,4A B AC BC --=，则点C 轨迹方程是（ ）A ．()221045x y x -=< B ．22145x y -=C ．()221045x y x -=> D ．()220045x y x -=< 【答案】A【解析】 由双曲线的定义可知：点C 位于以()()3,0,3,0A B -为焦点的双曲线的左支上，且23,25c a b ==⇒=，故其轨迹方程为()221045x y x -=<，应选答案A 。
2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高二年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数12z i =-的虚部是（ ） A. 1B. -2C. -2iD. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接辨析即可. 【详解】复数12z i =-的虚部是2-. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数虚部的辨析，复数(),,z a bi a b R =+∈的虚部为b ， 属于基础题. 2.已知随机变量ξ服从正态分布()21,σN ，若()20.15ξP >=，则()01ξP ≤≤=（ ）A. 0.85B. 0.70C. 0.35D. 0.15【★答案★】C 【解析】试题分析：根据题意可得：(01)(12)0.5(2)0.35P P P ξξξ≤≤=≤≤=->=. 故选C. 考点：正态分布的概念3.下列四个命题正确的是（ ）①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合的效果越好； ④随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【★答案★】D 【解析】 【分析】根据线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好以及根据对于随机误差的理解即可得到★答案★.【详解】解：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；故①不正确. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；故②正确.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好；故③不正确. 随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =.故④正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查两个变量的线性相关和回归方程，解题关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题.4.某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率为（ ） A. 0.32 B. 0.4C. 0.5D. 0.6【★答案★】C 【解析】 【分析】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B ，由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ，则()=0.4P AB ，然后可算出★答案★.【详解】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B 由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ， 则()=0.4P AB由条件概率的计算方法可得()0.4==0.50.8P B A 故选：C【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.5.某市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括两名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有（ ） A. 60种 B. 300种 C. 150种 D. 540种【★答案★】D【解析】【分析】根据题意，分2步，先把医生分3组，每组2人，有22264233C C CA种方法，护士分3组，每组1人，有1种方法，再将分好的三组医生、护士分配到三地即可. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①，将6名主任医生分成3组，每组2人，有22264233C C CA种分组方法，将3名护士分成3组，每组1人，有1种方法；②，将分好的三组医生、护士全排列，对应甲、乙、丙，有A33种情况，则有22264233C C CA⨯A33×A33＝540种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合，考查了分组分配法，其指导思想是先分组后分配，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意如果一些组中元素的个数相等，就存在均分现象，需消序，本题属于平均分组，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A.14- B.45C. 4D. 5【★答案★】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得★答案★． 【详解】解：由题可知，输入45a =， 当1n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，2n =， 当2n =时，满足执行循环的条件，故5a =，3n =，当3n =时，满足执行循环的条件，故45a =，4n =， 当4n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，5n =，⋯当2015n =时，满足执行循环的条件，故5a =，2016n =， 当2016n =时，满足执行循环的条件，故45a =，2017n = 当2017n =时，不满足执行循环的条件， 故输出的a 值为45， 故选：B ．【点睛】本题考查根据循环结构程序框图求输出结果，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟循环的方法，考查理解和计算能力．7.在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的中间一项可用组合数表示为（ ） A. 52104C B. 52103CC. 52102CD. 51102C【★答案★】D 【解析】 【分析】先由第32项的系数与第72项的系数相等,再结合二项式的通项公式可得n 的值，从而可求得其中间项【详解】解：二项式1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为第32项的系数与第72项的系数相等，所以3171n n T T =，所以3171102n =+=，所以展开式的中间一项可用组合数表示为51102C 故选：D【点睛】此题考查的是二项式展开式的系数问题，属于基础题8.将,,,,A B C D E 排成一列，要求,,A B C 在排列中顺序为“,,A B C ”或“,,C B A ”（ ,,A B C 可以不相邻），这样的排列数有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 40种 D. 60种【★答案★】C 【解析】5533240A A ⨯= 9.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A. 1242610()C AB. 242610A A 个C. 12426()10C 个D. 242610A 个【★答案★】A 【解析】试题分析：第一步先排两个英文字母，可以重复，所以方法数有()2126C 种；第二步排4个数字，数字要互不相同，方法数有410A 种，按照分步计数原理，放法数一共有1242610()C A 种.考点：1、排列组合；2、分步计数原理． 10.1021001210(1)x a a x a x a x -=++++，则13579a a a a a ++++=（ ）A. 512B. 1024C. 1024-D. 512-【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意分别令1x =和1x =-得到的两个式子相减即可得到结论. 【详解】解：令1x =，得0123100a a a a a =+++++；令1x =-，得100123102a a a a a =-+-++；两式相减得，()101357922a a a a a -=++++，所以10913579225122a a a a a -++++==-=-.故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于基础题. 11.随机变量ξ的分布列如下，且满足()2E ξ=，则()E a b ξ+的值（ ）ξ1 2 3PabcA. 0B. 1C. 2D. 无法确定，与a ，b 有关【★答案★】B 【解析】 【分析】根据数学期望定义得到一个等式，概率和为1得到一个等式.计算()E a b ξ+代入前面关系式，化简得到★答案★. 【详解】()2E ξ=由随机变量ξ的分布列得到：232a b c ++=， 又1a b c ++=，解得a c =，∴21a b +=，∴()2(1)E a b aE b a b ξξ+=+=+=． 故选B ．【点睛】本题考查了数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.12.设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=. 随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也为0.2.若记1D ξ、2D ξ分别为1ξ、2ξ的方差，则 （ ）A. 1D ξ＞2D ξB. 1D ξ＝2D ξ.C. 1D ξ＜2D ξ.D. 1D ξ与2D ξ的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关. 【★答案★】A 【解析】 【详解】由已知条件可得12E E ξξ=,又4523345145121234510101022222x x x x x x x x x x x x x x x +++++≤<<<<<<≤<<<=，所以变量1ξ比变量2ξ的波动大，即12D D ξξ>. 故本题正确★答案★为A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.设m R ∈，复数22(21)(23)z m m m m i =+-+-++，若z 为纯虚数，则m =_____.【★答案★】12【解析】 【分析】直接由纯虚数的定义，得出z 实部为0且虚部不为0，从而求得实数m 的值． 【详解】解：复数22(21)(23)z m m m m i =+-+---为纯虚数，∴22210230m m m m ⎧+-=⎨---≠⎩，解得：12m =．故★答案★为：12． 【点睛】本题考查复数的基本概念，考查由复数为纯虚数求参数值，属于基础题． 14.随机变量X 服从二项分布134B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，若随机变量42X ξ=+，则()D ξ=________. 【★答案★】9 【解析】 【分析】先求解()D X ，再根据二项分布的方差性质求解即可. 【详解】由题，()119314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故()29424916D X +=⨯=.故★答案★为：9【点睛】本题主要考查了二项分布的方差与方差的性质以及计算，属于基础题.15.61x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中的常数项为______．（用数字作答） 【★答案★】-20 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到★答案★.【详解】61x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式的通项为：()()6316611rrr rrr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 取3r =得到常数项为：3620C -=-.故★答案★为：20-.【点睛】本题考查了二项式定理求常数项，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【★答案★】：35【解析】 【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ⨯，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故★答案★为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17.在甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27． 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？ P （K 2≥x 0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001x 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式及数据：K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++．【★答案★】（1） 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 3075105； （2）按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”. 【解析】 【分析】（1）根据随机抽取1人为优秀的概率为27，得出优秀的总人数，从而得出乙班优秀人数，同时也能得出甲班非优秀的人数，其余数据进而可求；（2）根据公式K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++，求出相关指数k 的值，然后进行对比临界值，即可得出结果.【详解】解：（1）优秀人数为105×27=30， ∴乙班优秀人数为30-10=20（人）， 甲班非优秀人数为105-30-30=45（人）， 故列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 3075105（2）根据列联表中的数据，2105(10302045)k 6.109 3.84155503075＞⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯所以若按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了古典概型、列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法，熟练掌握独立性检验的思想方法是解题的关键.18.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2322t x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是23sin ρθ=. （1）求出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||AB 的值.【★答案★】（1）l 普通方程为3230x y -+-=，曲线C 的直角坐标方程为22(3)3x y +-=；（2）2231- 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ，再利用互化公式转换，即可得到曲线C 的直角坐标方程； （2）由（1）知曲线C 的圆心为(0,3)，半径3r =，求出曲线C 的圆心到直线l 的距离d ，最后利用垂径定理求出||AB ．【详解】解：（1）12322t x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数），∴332x y -=-，即直线l 的普通方程为3230x y -+-=，由23sin ρθ=得223sin ρρθ=，即2223x y y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为2223x y y +=，即22(3)3x y +-=．（2）由（1）知曲线C 的圆心为(0,3)，半径3r =，∴曲线C 的圆心(0,3)到直线l ：3230x y -+-=的距离为：()()22303232323123+-1d ⨯-+--===-， 222||223(31)2231AB r d ∴=-=--=-．【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，以及点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系和圆的弦长问题，考查化简计算能力． 19.某单位利用周末时间组织职工进行一次“健康之路、携手共筑”徒步走健身活动，有n 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25,30),[30,35),[35,40),[40,45)，[45,50),[50,55]六组，其频率分布直方图如图所示，已知[35,40)岁年龄段中的参加者有8人.（1）求n 的值并补全频率分布直方图；（2）从[30,40)岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[30,35)岁的人数为ξ，求ξ的分布列. 【★答案★】（1）40；见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据[35,40)岁年龄段中的参加者有8人，再结合频率计算总人数，再根据频率之和为1求解第二组的频率，算出矩形的高补全即可.(2)根据分层抽样的性质可得[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人，再根据超几何分布的方法列出分布列即可.【详解】解：（1）年龄在[35,40)之间的频率为004502..⨯=，∵80.2n =，∴8400.2n ==. ∵第二组的频率为：1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，∴矩形高为0.30.065=.所以频率分布直方图如图所示.（2）由（1）知，[30,35)之间的人数为0.0654012⨯⨯=，又[35,40)之间的人数为8， 因为[30,35)岁年龄段人数与[35,40)岁年龄段人数的比值为12:83:2=，所以采用分层抽样抽取5人，其中[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人.由题意，随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===，2132353(2)5C C P C ξ===，3335(3)110C P C ξ===. 所以随机变量ξ的分布列为：ξ1 2 3P310 35 110【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样以及超几何分布，属于基础题. 20.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立， 课 程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率34232312（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望．【★答案★】(1)512;(2) 见解析. 【解析】 【分析】(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率. (2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答.【详解】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. (2)0337(0)()12P C ξ==，12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==,3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：ξ123P0337()12C12357()()1212C 22357()()1212C3335()12C因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.相互独立事件的概率.21.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判. （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 【★答案★】（Ⅰ）14（Ⅱ）98【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A 表示事件“第4局甲当裁判”和1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系；（2）明确X 的可能取值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.因当x=1时较为复杂，故采用对立事件概率问题进行求解，即(1)1(0)(2).P X P X P X ==-=-= 【详解】（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12=?A A A .12121()=P(?)()()4P A A A P A P A ==. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)(?•)()()()8P X P B B A P B P B P A ====13131(2)(?)()=4P X P B B P B P B ===（），115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=，9()0?(0)1?(=1)+2?(2)8E X P X P X P X ==+==.【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题和计算能力.22.某商店每天（开始营业时）以每件15元的价格购入A 商品若干（A 商品在商店的保鲜时间为8小时，该商店的营业时间也恰好为8小时），并开始以每件30元的价格出售，若前6小时内所购进的A 商品没有售完，则商店对没卖出的A 商品将以每件10元的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品）.该商店统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）. 前6小时内的销售量X（单位：件）34 5频数 30xy（1）若某天商店购进A 商品4件，试求商店该天销售A 商品获取利润ξ的分布列和期望；（2）若商店每天在购进4件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值集合. 【★答案★】（1）见解析（2）[45,70]，*x N ∈. 【解析】 【分析】（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ，分别可求得当需求量为3，4，5时的利润ξ的值，进而可得分布列和期望；（2）可得商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件．当购进A 商品3件时，45EY =，同理可得当购进A 商品4件时，54EY =，当购进A 商品5件时，630.2EY x =-，结合条件可得出x 的取值范围．【详解】解：（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ（单位：元） 当需求量为3时，1535(43)40ξ=⨯-⨯-=， 当需求量为4时，15460ξ=⨯=， 当需求量为5时，15460ξ=⨯=，ξ的分布列为 ξ40 60 p0.30.7则400.3600.754E ξ=⨯+⨯=（元），所以商店该天销售A 商品获得的利润均值为54元. （2）设销售A 商品获得的利润为Y ， 依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件, 当购进A 商品3件时，(3015)30.3(3015)30.4(3015)30.345EY =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品4件时，70[(3015)3(1510)1]0.3[(3015)4][(3015)4]54100100x xEY -=-⨯--⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品5件时，[(3015)3(1510)2]0.3[(3015)4(1510)1]100x EY =-⨯--⨯⨯+-⨯--⨯⨯70[(3015)5]630.2100xx -+-⨯⨯=- 即630.2EY x =-，由题意630.254x -≤，解得45x ≥，又知1003070x ≤-=， 所以x 的取值范围为[45，70]，*x ∈N ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，以及数学期望的实际应用和不等式的解法，属于中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
湖南省株洲市第二中学2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理(无答案)
株洲市二中2020年高二第一次月考理科数学总分：150 时量：120分钟一、选择题（50分）1．已知{}n a 为等差数列，若193a a π+=，则37cos()a a +的值为（ ）A.12 B. 12- C. 32 D. 322．已知,x y 的取值如表所示x 2 3 4 y 6 4 5如果y x 与线性相关，且线性回归方程为$132y bx=+$，则b$的值为（ ） A ．12- B ．12 C ．110- D ．1103．下列命题：① “在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③ “32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+>”； ④ “若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”； 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是（ ） A ．15 B ．13 C ．35 D ．235．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线30x y -=上，则3sin()2cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ++----等于 （ ）A ．32-B ．32C ．0D ．236．已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为( )A.32B.12C.2D.17．方程()22140x y x y +-+-=所表示的曲线是（ ）8．正项数列{a n }，a 1=1，前n 项和S n 满足)2(2111≥⋅=⋅-⋅---n S S S S S S n n n n n n ，则=10a （ ） A ．72 B ．80 C ．82 D ．909．已知0x >，0y >，21x y +=，若2240x y xy m -<++恒成立，则m 的取值范围是（ ）．A ．1617<m B ．1617≤m C ．1716m > D ．0>m10．如图，给定两个平面向量OA uu u r 和OB uuu r ，它们的夹角为23π，点C 在以O 为圆心的圆弧»AB上，且OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r（其中x ，y ∈R ），则满足2x y +≥的概率为（ ）A 21B ．4πC ． 3πD ．34二、填空题（25分） 11．在下列结论中，①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件正确的是 ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．13．某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：[)[)[)[)50,70,70,90,90,110,110,130，[]130,150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低于90分的人数是_____．14．已知钝角α满足83sin cos 5αα-=，则tan()6πα-= ． 15．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)23||2,0,11,x 1,22x x x x f x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是. 三、解答题（75分）16．（12分）甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.17．（12分）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.18．(12分)已知p ：28200x x -++≥，q ：22210(0)x x m m -+-≤>． （Ⅰ）若p 是q 充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“⌝p ”是“⌝q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19. （13分）已知圆C : x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l : x ＋2y －3＝0.(1) 若直线l 与圆C 没有公共点, 求m 的取值范围;(2) 若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点, O 为原点, 且OP ⊥OQ , 求实数m 的值.20．（13分）设各项均为正数的等比数列{}n a 中，133510,40.a a a a +=+= 2log n n b a = （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若111,nn n nb c c c a +==+，求证： 3n c <； （3）是否存在正整数k ，使得1111210n n n kb b b n ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>+++对任意正整数n 均成立？若存在，求出k 的最大值，若不存在，说明理由．21．（13分）已知函数kx x x x f ++-=221)(．（1）若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()2,0内有两个不同的零点21,x x ，求： ①实数k 的取值范围； ②2111x x +的取值范围．班级： 姓名： 考场号： 座位号：– — – — –– — – — – — 密 — – — – — – — – — – — – — – — – 封 — – — – — – — – — – — – — – — – 线 — – — – — – —– — – ——株洲市二中2020年高二第一次月考数 学 （理）答 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11． ； 12． ；13． ； 14． ；15． ；16．(12分)题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案座位号19.(13分)20.(13分)。
2019-2020学年湖南省株洲市醴陵一中高二(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年湖南省株洲市醴陵一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列2，5，10，17，…的一个通项公式为()A. 2nB. n2+nC. 2n−1D. n2+12.若a>b，则下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. ab>1 C. a+b>2√ab D. 2a>2b3.已知函数f(x)=ax2−2ax+c满足f(2017)<f(−2016)，则满足f(m)≤f(0)的实数m的取值范围是()A. (−∞,0]B. [0,2]C. (−∞,0]∪[2,+∞)D. [2,+∞)4.已知等差数列{a n}中，a4+a7=42，则前10项和S10=()A. 420B. 380C. 210D. 1405.在△ABC中，BC=8，B=60°，C=75°，则AC等于()A. 4√2B. 4√3C. 4√6D. 3236.设命题p：∀x∈R，e x≥x+1，则￢p为()A. ∀x∈R，e x<x+1B. ∃x0∈R，e x0<x0+1C. ∃x0∈R，e x0≤x0+1D. ∃x∈R，e x0≥x0+17.设x，y满足{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2，则z=x+y()A. 有最小值2，无最大值B. 有最小值−7，最大值3C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值8.已知f(x)=x+3+2xx(x>0)的最小值为()A. 2√3+2B. 2√3C. 2D. 2√69.若椭圆x29+y2m=1(0<m<9)的焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF2的周长为()A. 6B. 12C. 2√mD. 不确定10.等轴双曲线x2−y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积()A. 12B. 2C. 1D. 411.已知直线x−√3y+1=0与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为()A. 13B. 23C. √33D. √6312.已知数列{a n}为等比数列，且a4a6=2a5，且等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则S9=()A. 36B. 32C. 24D. 22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对于x∈R，不等式|x+10|−|x−2|≥8的解集为______ ．14.若中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(0,−2)，一条渐近线的方程是x−y=0，则双曲线C的方程为______．15.数列b n=a n cos nπ3的前n项和为S n，已知S2017=5710，S2018=4030，若数列{a n}为等差数列，则S2019=______．16.已知直线y=b2a 与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于P、Q两点，F是C的右焦点，若|PQ|=2|FQ|，则C的离心率为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)．(1)若f(2+x)=f(4−x)，且对任意的x∈[a,a+3]，f(x)≤ax2恒成立，求实数a的取值范围；(2)求f(1)=0，解关于x的不等式f(x)<0．18.设命题p：实数x满足x2−5ax+4a2<0(其中a>0)，命题q：实数x满足2<x≤5．(1)若a=1，p且q为真命题，求实数x的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.在△ABC中，已知a+ba =sinBsinB−sinA，且cos(A−B)+cosC=1−cos2C．(1)试确定△ABC的形状；(2)求a+cb的范围．20.已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F(−2,0)，一定点为P(−8,0)．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)过P的直线与椭圆交于P1，P2两点，求△P1F2F面积的最大值及此时直线的斜率．21.数列{a n}中，a1=2，a2=3，且{a n a n+1}是以3为公比的等比数列．(1)求a3，a4的值；(2)求数列{a n}的通项公式和前2n项和．,√3)．22.已知椭圆C的一个焦点为(0,√3)，且经过点P(12(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A(1,0)，直线l与椭圆C交于M，N两点，且AM⊥AN；(ⅰ)若|AM|=|AN|，求直线l的方程；(ⅰ)若AH⊥MN于H，求点H的轨迹方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了通过观察分析猜想归纳求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设此数列为{a n}，a1=1+1，a2=22+1，a3=32+1，a4=42+1，….即可得出．【解答】解：设此数列为{a n}，由已知，a1=1+1，a2=22+1，a3=32+1，a4=42+1，…．则a n=n2+1．故选D．2.答案：D解析：解：取a=2，b=−1时，A.B.C不成立；对于D.由指数函数y=2x在R上单调递增，a>b，可得2a>2b．故选：D．取a=2，b=−1时，即可判断出A.B.C不成立；根据指数函数y=2x在R上单调递增，即可判断出D的正误．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】根据函数f(x)=ax2−2ax+c的图象关于直线x=1对称，若f(2017)<f(−2016)，则函数f(x)的图象开口朝上，进而可得满足f(m)≤f(0)的实数m的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．【解答】解：函数f(x)=ax2−2ax+c的图象关于直线x=1对称，若f(2017)<f(−2016)，则函数f(x)的图象开口朝上，若f(m)≤f(0)，则|m−1|≤1，解得m∈[0,2]，故选：B．4.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的性质与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7=42，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7=42，∴S10=10(a1+a10)2=5×42=210．故选：C．5.答案：C解析：解：由题意可得A=180°−B−C=45°，再由正弦定理可得ACsinB =BCsinA，即ACsin60°=8sin45°，解得AC=4√6，故选C．由三角形内角和公式求得A，再由正弦定理求得AC的值．本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于中档题．6.答案：B解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，e x≥x+1，则￢p为∃x0∈R，e x0<x0+1，故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．7.答案：A解析：解：先根据约束条件{2x+y≥4x−y≥−1x−2y≤2画出可行域，由图知，当直线z=x+y过点A(2,0)时，z最小值为：2．当直线z=x+y没有最大值．故选：A．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A时，z的最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．8.答案：A解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为f(x)=x+3+2xx =x+3x+2≥2√3+2,(x>0)，当且仅当x=√3时，取等号，故选A．9.答案：B解析：解：椭圆x29+y2m=1(0<m<9)的焦点在x轴上，则a=3，设△PQF2的周长为l，则l=|PF2|+|QF2|+|PQ|，=(|PF1|+|PF2|)+(|QF1|+|QF2|)=2a+2a，=4a=12．∴△PQF2的周长为12，故选：B．利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a即可求得△PQF2的周长．本题考查椭圆定义的应用，考查椭圆的简单性质，属于基础题．10.答案：C解析：解：∵双曲线x2−y2=1中，a=b=1，∴c=√a2+b2=√2，得焦距|F1F2|=2√2设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，∴m2+n2=|F1F2|2=8…①由双曲线的定义，得|m−n|=2a=2…②①②联立，得mn=2∴△PF1F2的面积S=12mn=1故选：C．算出双曲线的焦距|F1F2|=2√2，利用勾股定理得出|PF1|2+|PF2|2=2，结合||PF1|−|PF2||=2联解得出|PF1|⋅|PF2|的值，即可算出△PF1F2的面积．本题给出等轴双曲线的焦点三角形为直角三角形，求三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、勾股定理与三角形的面积公式等知识，属于中档题．11.答案：D解析：【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设A(x1,y1)，B(x2,y2).线段AB的中点M(x0,y0).利用平方差法，利用中点坐标公式、斜率计算公式，即可得出a ，b 关系，再利用离心率计算公式即可得出． 【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).线段AB 的中点M(x 0,y 0).∵x 12a +y 12b =1，x 22a +y 22b =1， 相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，因为x 1+x 2=2x 0，y 1+y 2=2y 0，直线x −√3y +1=0， 所以y 1−y2x 1−x 2=k =√33，y 0x 0=tan150°=−√33，代入可得√33=−b 2a 2⋅√3)，解得b 2a 2=13．∴e =√1−b 2a 2=√63． 故选：D ． 12.答案：A解析： 【分析】本题考查等差数列与等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． 由等比数列的性质求得a 5，得到b 5，代入等比数列的前n 项和得答案． 【解答】解：∵a 4⋅a 6=2a 5，∴a 52=2a 5，则a 5=2， ∴b 5=2a 5=4， 则S 9=9(b 1+b 9)2=9b 5=9×4=36．故选A ．13.答案：[0,+∞)解析：解：不等式|x +10|−|x −2|≥8化为： {x >212≥8或{−10≤x ≤2x ≥0或{x <−10−12≥8， 解得x >2或0≤x ≤2或x ∈⌀， 即x ≥0故不等式的解集为[0,+∞)． 故答案为：[0,+∞)．将含有绝对值的不等式，通过分类讨论，转化为不含绝对值的不等式解，分类时按照绝对值内的值为0的点：−10，2进行分类讨论分三类，分别讨论，最后求出它们的并集即可．本小题主要考查含绝对值的不等式的解法，对学生灵活应用能力要求较高，但涵盖知识点少计算量小，属于基础性题目．14.答案：y 22−x 22=1解析：解：设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a,b>0)则c=2，由渐近线方程y=±abx，由题意可得a=b，又c2=a2+b2，解得a=b=√2，则双曲线的方程为y22−x22=1．故答案为：y22−x22=1．设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a,b>0)则c=2，由渐近线方程y=±abx，可得a=b，再由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程，属于基础题．15.答案：666解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，三角函数求值，属于较难题．求得数列{b n}的连续6项之和，再由S2017=5710，S2018=4030，表示数列{a n}的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和．【解答】解：设数列{a n}为公差d的等差数列，+a6k+4cos4π3+a6k+5cos5π3+a6k+6cos2π=12(a6k+1−a6k+2)+12(a6k+5−a6k+4)−a6k+3+a6k+6=−a 6k+3+a6k+6，，由S2017=5710，S2018=4030，可得5710=−(a3+a9+⋯+a2013)+(a6+a12+⋯+a2010+a2016)+12a2017，4030=−(a3+a9+⋯+a2013)+(a6+a12+⋯+a2010+a2016)+12a2017−12a2018，两式相减可得a2018=3360，由5710=1008d+12(3360−d)，解得d=4，则a2019=a2018+d=3364，可得S2019=4030−a2019=4030−3364=666．故答案为：666．16.答案：√5−12解析：解：由题意，y=b2a 与x2a2+y2b2=1联立解得，x=±C；故|PQ|=2c，|FQ|=b2a；则2c=2b2a；即a2−c2−ac=0；即1−e2−e=0；解得e=√5−12；故答案为：√5−12．由题意，y=b2a 与x2a2+y2b2=1联立解得x=±C；从而写出|PQ|=2c，|FQ|=b2a；从而解得．本题考查了椭圆的性质应用，属于基础题．17.答案：解：(1)若f(2+x)=f(4−x)，所以函数对称轴x=−b2a=3, b=−6a，f(x)≤ax2，即ax2−6ax+1≤ax2在x∈[a,a+3]恒成立，即6ax≥1在x∈[a,a+3]恒成立，所以6a2≥1，又a>0，故a≥√66；(2)f(1)=0，所以b=−a−1，原不等式变为(ax−1)(x−1)<0，因为a>0，所以a(x−1a)(x−1)<0，即(x−1a)(x−1)<0，所以当a>1，即1a <1时，解为1a<x<1，当a=1时，解集为⌀，当0<a<1，即1a >1时，解为1<x<1a，综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<1a}，当a=1时，不等式的解集为⌀，当a>1时，不等式的解集为{x|1a<x<1}．解析：本题考查函数恒成立问题解法，及转化思想和二次不等式恒成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题．(1)f(2+x)=f(4−x)，所以函数对称轴x=−b2a=3, b=−6a，f(x)≤ax2，即ax2−6ax+1≤ax2在x∈[a,a+3]恒成立d的问题．(2)原不等式变为(ax−1)(x−1)<0，因为a>0，所以a(x−1a)(x−1)<0，所以当a>1，即1a <1时，解为1a<x<1，当a=1时，0<a<1时两种情况即可．18.答案：解：(1)当a=1时，x2−5ax+4a2<0，即为x2−5x+4<0，解得1<x<4.当p为真时，实数x的取值范围是(1,4)．又p且q为真命题，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,4);(2)由x2−5ax+4a2<0，(其中a>0)可知a<x<4a，由于是的必要不充分条件，所以p是q必要不充分条件.故a⩽2且4a>5，解得54<a⩽2，所以实数a的取值范围是(54,2].解析：本题考查了不等式的解法及其性质，充分条件，必要条件的应用，简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属基础题．(1)本小题考查复合命题真假的应用，将a=1代入，求出命题p为真时x的取值范围及命题q为真时x的取值范围，由p∧q为真得出x的取值范围;(2)本小题考查充分不必要条件的应用，求出命题p为真时x的取值范围，由p是q的必要不充分条件求出a的取值范围．19.答案：解：(1)由a+ba =sinBsinB−sinA，可得cos2C+cosC=1−cos(A−B)得cosC+cos(A−B)=1−cos2C，cos(A−B)−cos(A+B)=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及(b+a)(sinB−sinA)=asinB可知b2−a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；(2)由正弦定理化简a+cb =sinA+sinCsinB=sinA+sinC=sinA+cosA=√2sin(A+45°)，∵√22≤sin(A+45°)≤1，A∈(0,π2)即1<√2sin(A+45°)≤√2，则a+cb的取值范围是(1,√2].解析：(1)利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1−cos(A−B)整理求得sinAsinB= sin2C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把(b+a)(sinB−sinA)=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得b2=a2+c2，推断出三角形为直角三角形．(2)利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F(−2,0)，一定点为P(−8,0)，∴{2a2c=21c=2，解得a=4，b2=16−4=12，∴椭圆E 的标准方程为x 216+y 212=1．(Ⅱ)设过P 的直线为y =k(x +8)交椭圆E 于P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)， 由{y =k(x +8)x 216+y 212=1，得(3+4k 2)x 2+64k 2x +256k 2−48=0，由题意△>0，解得−12<k <12，x 1+x 2=−64k 23+4k2，x 1x 2=256k 2483+4k 2，点F 到直线P 1P 2的距离为d =6|k|√1+k 2，且|P 1P 2|=√1+k 2|x 1−x 2|， ∴△P 1P 2F 的面积S =12|P 1P 2|⋅d =3|k||x 1−x 2| =3|k|√(−64k 23+4k2)2−4⋅256k 2−483+4k 2=72|k|√1−4k 2(3+4k 2)2 =72√−4k 4+k 2(3+4k 2)2，令3+4k 2=t(3≤t <4)，得：S =36√−12(1t)2+7⋅1t−1，(14<1t ≤13)，∴当1t =724时，S 取最大值为3√3． 由3+4k 2=247，解得k =±√2114， ∴当过P 点的直线斜率为±√2114时，△P 1F 2F 面积取最大值3√3．解析：(Ⅰ)由椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F(−2,0)，求出a ，c ，由此能求出椭圆E 的标准方程．(Ⅱ)设过P 的直线为y =k(x +8)，与椭圆联立，得(3+4k 2)x 2+64k 2x +256k 2−48=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△P 1F 2F 面积的最大值及此时直线的斜率．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值及其求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用． 21.答案：解：(1){a n a n+1}是以3为公比的等比数列， 即有a n a n+1=6⋅3n−1，则a 2a 3=6×3=18，解得a 3=6； a 3a 4=6×9，解得a 4=9；(2)由a n a n+1=6⋅3n−1，可得a n+1a n+2=6⋅3n ， 则有a na n+2=13，即有；前2n 项和为(a 1+a 3+⋯+a 2n−1)+(a 2+a 4+⋯+a 2n )=2(1−3n)1−3+3(1−3n )1−3=5(3n −1)2．解析：(1)分别令n =2，3，即可得到所求a 3，a 4的值； (2)由a n a n+1=6⋅3n−1，可得a n+1a n+2=6⋅3n ，则有a nan+2=13，由等比数列的通项公式和求和公式，前2项和即可得到．本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)由椭圆C 的一个焦点为(0,√3)，焦点在y 轴上，设椭圆C 为：y 2a +x 2b =1(a >b >0)， ∵椭圆C 过点P(12,√3)，且一个焦点为(0,√3)，∴{a 2=3+b 23a 2+14b2=1，解得：{a 2=4b 2=1． ∴椭圆C 的标准方程为y 24+x 2=1．(2)(Ⅰ)当l ⊥x 轴时，设l ：x =m ， 代入椭圆得y =±2√1−m 2，∵|MN|=4√1−m 2=2(1−m)，解得m =1(舍去)或m =−35， ∴直线l 方程为x =−35．当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =kx +m ． 由{y =kx +m y 24+x 2=1，整理得：(4+k 2)x 2+2kmx +m 2−4=0． △=4k 2m 2−4(4+k 2)(m 2−4)>0，解得：k 2+4>m 2． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，线段MN 的中点为Q(x 0,y 0). 则x 1+x 2=−2km4+k ，x 1x 2=m 2−44+k 2，∴x 0=−km 4+k 2，y 0=kx 0+m =4m4+k 2，由|AM|=|AN|，得AQ ⊥MN ，则k AQ ⋅k =−1， 化简得3km =k 2+4(∗)．由AM ⊥AN ，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0， ∴(x 1−1)(x 2−1)+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，化简得：(1+k 2)x 1x 2+(km −1)(x 1+x 2)+1+m 2=0． ∴(1+k 2)(m 2−4)4+k 2−2km(km−1)4+k 2+1+m 2=0，化简得5m 2+2km −3k 2=0，解得m =−k 或m =35k ．当m =−k 时，(∗)式不成立．当m =35k 时，代入(∗)式，得k 2=5，k =±√5． ∴直线l 的方程为y =√5x +35√5或y =−√5x −35√5．综上所述，直线l 的方程为√5x +y +35√5=0或√5x −y +35√5=0，或x =−35． (Ⅱ)当直线l 与x 轴不垂直时，由(Ⅰ)知，AM ⊥AN 时，m =−k 或m =35k ． 当m =−k 时，直线l 为y =k(x −1)过点A(1,0)，矛盾，故舍去． 当m =35k 时，直线l 为y =k(x +35)，且过定点Q(−35,0)． 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x =−35，也过定点Q(−35,0)． ∴点H 的轨迹就是以AQ 为直径的圆，但不含A 点， ∴点H 的轨迹方程为(x −15)2+y 2=1625(x ≠1)．解析：(1)由题意可知：设椭圆C 为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，c =√3，将点P(12,√3)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程； (2)(ⅰ)当l ⊥x 轴时，设l ：x =m ，代入椭圆得y =±2√1−m 2，求得∵|MN|=4√1−m 2=2(1−m)，m =−35，当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =kx +m 代入椭圆方程，求得x 0=−km4+k 2，y 0=kx 0+m =4m 4+k ，由|AM|=|AN|，得AQ ⊥MN ，则k AQ ⋅k =−1，求得3km =k 2+4(∗).由AM ⊥AN ，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0，代入即可求得m 的值，求得k ，即可求得直线l 的方程； (ⅰ)当直线l 与x 轴不垂直时，由(Ⅰ)知，AM ⊥AN 时，m =−k 或m =35k ，当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x =−35，也过定点Q(−35,0)．，点H 的轨迹就是以AQ 为直径的圆，但不含A 点，点H 的轨迹方程为(x −15)2+y 2=1625(x ≠1)． 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，弦长公式的应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．。
湖南省株洲二中高二数学下学期第一次月考试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某省株洲二中2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若z是复数，且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D． 3﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由（3+z）i=1，可得 z=，再利用两个复数代数形式的除法法则，运算求出z的值．解答：解：∵（3+z）i=1，∴z==﹣3﹣i，故选B．点评：本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．2．已知命题p：∀x∈R，sinx≤，则（）A．￢p：∃x∈R，sinx B．￢p：∃x∈R，sinx＞C．￢p：∀x∈R，sinx D．￢p：∀x∈R，sinx考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．解答：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，故￢p：∃x∈R，sinx＞，故选：B．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A． 2 B． 3 C． 4 D．5考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，z max=5，故选D．点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，2）∪（2，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣1，2]考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜2，故选：C．点评：本题考查了二次根式的性质，考查了对数函数的性质，是一道基础题．5．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．解答：解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．6．（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A． 2 B． 3 C．﹣2 D．﹣3考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2∴（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是5+（﹣2）=3故选B．点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．7．奇函数f（x）在（0，+∞）上的表达式为f（x）=x+，则在（﹣∞，0）上的f（x）的表达式为f（x）=（）A．﹣x+B．x﹣C．﹣x+D．﹣x﹣考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：可将x＜0转化为﹣x＞0，利用奇函数f（x）在（0，+∞）上的表达式为f（x）=x+，即可解决．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）在（0，+∞）上的表达式为f（x）=x+，∴f（﹣x）=，又f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=，f（x）=，故选B．点评：本题考查函数奇偶性的性质，关键在于将x＜0转化为﹣x＞0，再结合条件利用函数奇偶性的性质解决问题，属于中档题．8．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．9．在△ABC中，∠A=120°，=﹣1，则||的最小值是（）A．B． 2 C．D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设，则根据数量积的定义算出=2，即bc=2．由余弦定理得a2=b2+c2+bc，结合基本不等式b2+c2≥2bc可得a2=b2+c2+bc≥3bc=6，可得a的最小值为，即得||的最小值．解答：解：∵∠A=120°，=﹣1，∴=﹣1，解之得=2设，则bc=2由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos120°=b2+c2+bc∵b2+c2≥2bc∴a2=b2+c2+bc≥3bc=6，可得a的最小值为即||的最小值为故选：C点评：本题给出△ABC两边b、c的夹角，且在已知=﹣1的情况下求边a的最小值，着重考查了向量数量积的公式、余弦定理和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．10．设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种考点：组合及组合数公式．专题：压轴题；分类讨论．分析：解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．解答：解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．点评：本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用．11．有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（）A．B．C． D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正方体的几何特征，我们选取过E，B1，G三点的平面去截正方体，根据棱锥的体积公式，易求出切下的小三棱锥的体积，进而求出剩下的即容器可装水的容积，进而得到答案．解答：解：以E，B1，G三点组成的平面去截正方体截去一个三棱锥其底面为△EBB1，面积S=a×1×=高为h=1截去一个三棱锥体积为V=S•h=••1=当E，B1，G三点在同一水平面时，F点在水平面之上E，F，G三点都不漏水其可装水最大容积1﹣=故选C．点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据正方体的几何特征确定出选取过E，B1，G 三点的平面去截正方体时，该容器可装水的容积最大是解答本题的关键，本题易将该容器可装水的容积最大时的情况错理解过水面过EFG三点，而错解为B．12．设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（）A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1D．e2﹣k2＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设直线方程为：y=k（x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2=0，方程有两根，x1•x2=（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，由此能求出结果．解答：解：由题意可设直线方程为：y=k（x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：x1•x2=（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，b2﹣a2k2=c2﹣a2﹣a2k2=a2e2﹣a2﹣a2k2=a2（e2﹣1﹣k2）＞0e2﹣1﹣k2＞0，e2﹣k2＞1．故选c．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ=﹣．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量是两个不共线的向量，以、为基底，把、用坐标表示，利用共线的定义，求出λ的值．解答：解：∵向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则=（2，﹣1），=（1，λ）；又∵、共线，∴2λ﹣（﹣1）×1=0；解得λ=﹣．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应利用平面向量的坐标表示进行解答，是基础题．14．集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|mx+1=0}，若B⊈A，则实数m的值是．m．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：求出集合A={2，﹣3}，根据条件容易判断m≠0，从而B={x|x=}，根据B⊊A从而可得到，这样便可得出实数m的值．解答：解：A={2，﹣3}；若m=0，则B=∅，则B⊆A；∴m≠0，此时B={x|x=}；∵B⊈A；∴，且；∴．故答案为：m．点评：考查一元二次方程的解法，描述法表示集合，列举法表示集合，以及子集的概念，空集和任何集合的关系．15．若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0，则满足k≤x0的最大整数k= 2 ．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数零点的判定定理即可得出．解答：解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴函数y=lnx+2x﹣6的零点x0∈（2，3）．∴满足k≤x0的最大整数k=2．故答案为2．点评：熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．16．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值X围是1＜a＜或＜x＜2 ．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：作出f（x）的图象，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质即可．解答：解：作出f（x）的图象如图：设t=f（x），则方程等价为2t2﹣（2a+3）t+3a=0，由图象可知，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．所以有：1＜a＜2 ①．再根据2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，则判别式△=（2a+3）2﹣4×2×3a＞0，解得a≠，故1＜a＜或＜x＜2，故答案为：1＜a＜或＜x＜2点评：本题主要考查函数和方程的应用，利用换元法结合一元二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，已知△ABC的周长为+1，sinA+sinB=sinC，且△ABC的面积为sinC．（1）求边AB的长；（2）求tan（A+B）的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由三角形周长得到三边之和，已知等式利用正弦定理化简得到关系式，两式联立求出AB的长即可；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积代入求出BC•AC的值，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式变形后，把各自的值代入求出cosC的值，进而求出sinC与tanC 的值，原式利用诱导公式化简，把tanC的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵△ABC的周长为+1，∴AB+BC+AC=+1，又sinA+sinB=sinC，∴由正弦定理得：BC+AC=AB，两式相减，得AB=1；（2）由△ABC的面积BC•ACsinC=sinC，得BC•AC=，由余弦定理得cosC====，又C为三角形内角，∴sinC==，即tanC=2，则tan（A+B）=﹣tanC=﹣2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）求面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）通过DE⊥平面ABCD，证明DE⊥AC，推出AC⊥平面BDE，然后证明AC⊥BE．（Ⅱ）以DA，DC，DE为坐标轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=3，求出相关点的坐标，平面BEF的法向量，平面BDE的法向量，通过向量的数量积求解面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．…（1分）因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，所以AC⊥平面BDE，…（3分）从而AC⊥BE．…（4分）（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．…（5分）设AD=3，可知DE=3，AF=1．…（6分）则D（0，0，0），A（3，0，0），F（3，0，1），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），所以，，…（7分）设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=3，则=（2，1，3）．…（10分）因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，，所以cos==…（12分）所以面FBE和面DBE所形成的锐二面角的余弦值为．…（13分）点评：本题考查直线与平面垂直的判断与性质，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．某地区举行环保知识大赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选用选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题直接进入决赛，答错3次者则被淘汰，已知选手甲连续两次答错的概率为（已知甲回答每个问题的正确率相同，且相互之间没有影响）（I）求甲选手回答一个问题的正确率；（II）求选手甲进入决赛的概率；（III）设选手甲在初赛中的答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：综合题；分类讨论．分析：（I）甲答对一个问题的正确率为P1由题意，，解方程求出正答率（II）由题意进入决赛至少答对三道题，故进行决赛分为三类事件，答对三题入决赛，四题入决赛，五题入决赛，分别算出这三个事件的概率，求其和即可；（III）ξ的取值为3，4，5，对应的事件分别是前三个题全部答对，前四个题答对了三个，其中第四题一定对，前五个题答对了三个，第五个一定答对，分别求出它们的概率，列出分布列，求出期望．解答：解：（I）设甲答对一个问题的正确率为P1由题意：所以，甲答对一个问题的正确率为…（3分）（II）甲答了3道题进入决赛的概率为甲答了4道题进入决赛的概率为甲答了5道题进入决赛的概率为故选手甲进入决赛的概率为所以，选手甲进入决赛的概率为．…（7分）（III）ξ的取值为3，4，5，其中所以，ξ的分布列为其数学期望为点评：本题考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是根据概率公式求出分布列，再由求期望的公式求出期望．20．已知椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且经过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）A是椭圆Ω与y轴正半轴的交点，椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的a，b，c的关系和已知点在椭圆上，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于x轴，故可设AM所在直线的方程为y=kx+1，不妨设k＞0，联立直线方程和椭圆方程，消去y，解方程求得M的坐标，同样求得N 的坐标，由AM=AN，求得k，讨论k，即可判断符合条件的三角形的个数．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=4，b2=1，所以椭圆Ω的方程为．（Ⅱ）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于x轴，故可设AM所在直线的方程为y=kx+1，不妨设k＞0，则直线AM所在的方程为．联立方程，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx=0，解得，将，代入y=kx+1可得，，故点．所以．同理可得，由|AM|=|AN|，得k（4+k2）=1+4k2，所以k3﹣4k2+4k﹣1=0，则（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，解得k=1或．当AM斜率k=1时，AN斜率﹣1；当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率．综上所述，符合条件的三角形有3个．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，解交点，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．21．设函数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈，恒有成立，某某数m的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（Ⅱ）求导函数f′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在上单调递减，从而可得对任意a∈（3，4），恒有，等价于m＞，求出右边函数的值域，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f′（x）=令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；（Ⅱ）f′（x）=当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＞0，得综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a＞2时，f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增；当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在上单调递减∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值∴∴对任意a∈（3，4），恒有∴m＞构造函数，则∵a∈（3，4），∴∴函数在（3，4）上单调增∴g（a）∈（0，）∴m≥．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，分离参数是关键．四、选考解答题（本大题共3小题，任选一题作答，共10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．注意，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时在答题卡上所选题号下方打√）22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（I）先证明△BCD∽△CE D，可得，从而问题得证；（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O的半径．解答：（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE•DB．（II）解：设⊙O的半径为R∵D是弧AC的中点∴OD⊥AC，设垂足为F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．23．（2014•某某模拟）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）利用弦长|PQ|=2和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积．解答：解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等．24．（2015•某某二模）设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．考点：绝对值三角不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。
湖南省株洲市第二中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题(解析版)
数 学 试 题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卷的相应表格中）1.已知α为第四象限的角，且3cos 5α=，则tan α的值为（ ） A. 34 B. 34- C. 43 D. 43- 【答案】D【解析】【分析】根据α为第四象限的角，且3cos 5α=，求出sin α，即可求出tan α. 【详解】αQ 为第四象限的角，且3cos 5α=，4sin 5α∴===-. 4sin 45tan 3cos 35ααα-∴===-. 故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.2.下列函数[0,]π在内单调递增的函数的是（ ）A. 28y x x =-B. 2y sin x =C. ()4y ln x =-D. y cosx = 【答案】A【解析】【分析】对每一个选项的函数逐一分析判断得解.【详解】A. 28y x x =-，二次函数开口向下，对称轴为4x =，所以二次函数[]0,π在内单调递增，所以该选项符合题意；B. 2y sin x =，在[0,]4π内单调递增，在3[,]44ππ单调递减，在3[,]4ππ单调递增，所以该选项不符合题意； C. ()4y ln x =-在[]0,π内单调递减，所以该选项不符合题意；D. y cosx =在[]0,π内单调递减，所以该选项不符合题意.故选：A【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈n ※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】【分析】求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.【详解】当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B【点睛】本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.下列等式成立的是（ ）A. cos170=︒B. cos tan()sin βπββ⋅-=C. 4422sin cos sin cos αααα-=-D. ()()()sin 369cos99sin 171cos 2611︒︒︒︒-⋅--⋅-=【答案】C【解析】【分析】利用三角公式化简每一个选项再判断得解.【详解】A. cos170=-︒,所以该选项错误；B. ()cos tan sin βπββ⋅-=-，所以该选项错误；C. 4422sin cos sin cos αααα-=-，所以该选项正确；D. ()()()()()()sin 369cos99sin 171cos 261?sin 9sin9sin 9sin 9︒︒︒︒︒︒︒︒-⋅--⋅-=⋅-⋅=0，所以该选项错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x L ，其均值和标准差分别为x 和s ，若从下月起每位员工的月工资增加200元，则这10位员工下月工资的均值和标准差分别为（ ） A. x ，s B. 200x s +， C. 200200x s +， D. 2200200x s +，【答案】B【解析】【分析】直接利用均值和标准差的公式求解即可. 【详解】月工资均值和标准差分别为x 和s ，现在每个员工的月工资增加200元，则这10位员工下月工资的均值和标准差分别200x s +，.故选：B【点睛】本题主要考查均值和标准差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 13B. 1C. 3D.【答案】A【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再求几何体的体积得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P ABCD -，所以几何体的体积111)323V =⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.7.如图,执行该程序框图，若输入的6N =，则输出的i =（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】分析】 根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运行，可得6n =，1i =， 不满足条件n 是奇数，3n =，2i =，不满足条件1n =，执行循环体， 满足条件n 是奇数，10n =，3i =，不满足条件1n =，执行循环体， 不满足条件n 是奇数，5n =，4i =，不满足条件1n =，执行循环体， 满足条件n 是奇数，16n =，5i =，不满足条件1n =，执行循环体， 不满足条件n 是奇数，8n =，6i =，不满足条件1n =，执行循环体， 不满足条件n 是奇数，4n =，7i =，不满足条件1n =，执行循环体， 不满足条件n 是奇数，2n =，8i =，不满足条件1n =，执行循环体， 不满足条件n 是奇数，1n =，9i =，满足条件1n =，退出循环， 输出i 的值为9．故选：D ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.已知 182cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则 58sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）【A. 12-B. 12C. 2-D. 2【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式化简即得解. 【详解】58sin πα⎛⎫-=⎪⎝⎭1sin[()]cos()2882πππαα+-=-=. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知θ为直线3210x y ++=的倾斜角，若,(sin ,0),(2cos ,3sin cos )A B θθθθ- ,则直线AB 的斜率为（ ）A. 7B. -7C. 11 7D. 117- 【答案】D【解析】【分析】 先求出3tan 2θ=-，再根据3sin cos 3tan 12cos sin 2tan AB k θθθθθθ--==--即可得解. 【详解】由题得3tan 2θ=-. 所以33()13sin cos 3tan 111232cos sin 2tan 72()2AB k θθθθθθ⨯----====-----. 故选：D【点睛】本题主要考查直线的斜率的计算，考查同角的三角函数关系的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.10.已知圆 ()()22129x y -++= 的一条直径通过直线 240x y +-= 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 （ ）A. 250x y +-=B. 250? x y --=C. 250x y -+=D. 250x y ++=【答案】B【解析】【分析】求出圆心的坐标和直线的斜率，即得直线的方程.【详解】由题得圆的圆心坐标为(1,2)-，所求的直线的斜率为1122-=-， 所以所求直线的方程为12(1)2y x +=-，即250x y --=. 故选：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11.方程 31log x cosx -= 实数解的个数为 （ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】C【解析】【分析】如图，在同一坐标系下作出函数3log ,cos 1y x y x ==+的图象，得到两函数图象交点的个数，即得解. 【详解】由题得31log x cosx =+，如图，在同一坐标系下作出函数3log ,cos 1y x y x ==+的图象，得两个函数的图象有3个交点，所以方程 31log x cosx -= 实数解的个数为3个.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和三角函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析问题能力.12.若直线 y x b =-+ 与曲线 1y =有公共点，则 b 的取值范围是 （ ）A. 3? ⎡-+⎣B. 1,3⎡+⎣C. 3⎡⎤-⎣⎦D. []1,5 【答案】C【解析】【分析】作出直线 y x b =-+ 与曲线 1y =.【详解】由题得1y =22(2)(1)4(1,04)x y y x -+-=≤≤≤，作出直线 y x b =-+ 与曲线 1y =，如图所示，当直线y x b =-+经过点(4,1)时， 5.b =当直线y x b =-+和曲线1y =2,3b =∴=-所以b 的取值范围是3⎡⎤-⎣⎦.故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应横线上）. 13.计算：()()2sin960cos 1020tan 1740︒︒︒--+-=________________. 【答案】12-【解析】【分析】利用诱导公式化简求值即得解.【详解】由题得()()2sin960cos 1020tan 1740︒︒︒--+-=2sin 240cos60tan(60)---o o o1112sin 60tan 6022222=--+=-⨯-+=-o o . 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.设 ()f x 是周期为 2 的偶函数，当 01x ≤≤ 时，()2f x x sin x π=-+，则 92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________． 【答案】0【解析】【分析】 先转化成求1()2f -的值，再利用函数的奇偶性求1()2f -得解. 【详解】由函数的周期得92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭11(4)()22f f --=-， 因为函数是偶函数，所以1111()()2sin()1102222f f π-==-⨯+⨯=-+=. 故答案为：0【点睛】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.已知3522παπ<<,12cos sin αα-=,则,___________cos sin αα+=.【解析】【分析】先求出3sin 2,4α=求出cos sin αα+=，再通过角的范围分析得解. 【详解】因为12cos sin αα-=，所以131sin 2,sin 2,44αα-=∴=所以27(cos sin )1sin 2,cos sin 4ααααα+=+=∴+=.因为12cos sin αα-=， 所以1312sin cos ,sin cos 0,sin ,cos 48αααααα-=∴=>∴同号， 因为3522παπ<<，所以522αππ<<，所以cos sin 0αα+>，所以cos sin αα+=.故答案为：2【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.在直角边长分别为56，的三角形Rt ABC V 内任取一点 D ，则使点 D 到三个顶点的距离至少有一个小于2 的概率是_____________. 【答案】215π 【解析】【分析】如图所示，点D 分布在如图所示的阴影部分区域内，再根据几何概型的概率公式求解.【详解】如图所示，点D 分布在如图所示的阴影部分区域内，它们的面积和刚好等于以2为半径的圆的一半， 所以由几何概型的概率公式得使点D 到三个顶点的距离至少有一个小于2 的概率是21222=115652ππ⨯⨯⨯⨯.故答案为：215π 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设全集I R =，已知集合 (){}2|30M x log x =-≤,{|2sin [0,2]}N x x x π=≥∈（1）求 M N ⋂；（2）记集合()I A M N =⋂ð，集合{}|31,B x a x a a =-≤≤-∈R ，若 A B A ⋃=，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）32,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）(,3)-∞ 【解析】 【分析】（1）先化简集合,M N 再求M N ⋂得解；（2）先求出集合A ,由A B A ⋃=得B A ⊆,再对集合B 分两种情况讨论得解.【详解】（1）[23M =，），3,44N ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, M N ⋂所以=324π⎡⎤⎢⎥⎦⎣， . （2）()()324I A C M N π⎛⎫=⋂=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 由A B A ⋃=得B A ⊆若B =∅,则31a a ->-，即2a < 若B ≠∅,则31a a -≤-，即2a ≥,33124a a π->-<或 所以23a ≤< 综上所述：a 的取值范围为()3-∞，【点睛】本题主要考查对数不等式和三角不等式的求解，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知9sin(5)2cos(6)cos 2()5cos sin(11)2f ππαπαααπαπα⎛⎫---++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． （1）若 6πα=-，求 ()fα 值；,（2）若 α 为第三象限角，且 324cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求 ()f α 的值． 【答案】（1）（2）3【解析】 【分析】（1）先化简得()cos f sin ααα=，即得解； （2）由题得34sin α=-，再求cos α，即得解. 【详解】（1）()2sin cos sin cos f sin sin sin αααααααα--==--，因为6πα=-，所以 ()f α= ；（2）33244cos sin sin πααα⎛⎫+=-==- ⎪⎝⎭， α又因为为第三象限角，所以()cos f αα==. 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某校从高一年级期末考试学生中抽出 60 名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）估计这次考试的中位数（2）假设分数在[90,100]的学生的成绩都不相同，且都在95分以上，现用简单随机抽样方法，从96,97,98,99,100这 5 个数中任取 2 个数，求这 2 个数恰好是两个学生的成绩的概率.【答案】（1）73.33.（2）310【解析】的【分析】（1）先确定中位数在[)70,80内，再求出中位数； （2）利用古典概型的概率公式计算得解. 【详解】（1）左边第1个矩形面积为0.05，左边第2个矩形的面积为0.15，左边第3个矩形的面积为0.2，左边第4个矩形的面积为0.3，所以中位数在[)70,80内. 所以中位数为1701073.333+⨯≈. （2）成绩在[]90,100的人数为100.00560=3⨯⨯，记96,97,98,99,100 分别为1，2，3，4，5,所有的组合数：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），不妨设三个人得成绩分别为1，2，3，则符合条件的为：（1,2），（1,3），（2,3）， 所以P =310. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的中位数的求法和古典概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.如图，已知四棱锥S ABCD -，90SAB ADC DAB ∠=∠=∠=o ，322SA AD DC ===，，4AB =，二面角S AB C --的大小为90o ，连接SC ，点E ，F 分别在线段SB ，SC 上．（1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B AEC -的体积是四棱锥S ABCD -体积的15，求点E 到平面ABCD 的距离． 【答案】（1）证明见解析.（2）34【解析】 【分析】（1）先证明BD SAC ⊥平面，BD AF ⊥即得证；的（2）设点E 到平面ABCD 的距离为h ，因为B AEC E ABC V V --=，且15E ABC S ABCD V V --=，化简即得点E 到平面ABCD 的距离．【详解】（1） 90SAB ADC DAB ∠=∠=∠=o ，二面角 S AB C -- 的大小为 90o ， 所以 SA AD ⊥，又 SA AB ⊥，AB AD A ⋂=，所以 SA ABCD ⊥平面，又 BD ABCD ⊂平面，所以 SA BD ⊥， 在四边形 ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=o ，22AD CD ==，4AB =， 所以 12tan ABD tan CAD ∠=∠=，又 90DAC BAC ∠+∠=o ， 所以 90ABD BAC ∠+∠=o ，即 AC BD ⊥，又 AC SA A ⋂=， 所以 BD SAC ⊥平面，因为 AF SAC ⊂平面，所以 BD AF ⊥． （2） 设点 E 到平面 ABCD 的距离为 h ， 因为 B AEC E ABC V V --=，且15E ABC S ABCD V V --=，所以114213214152332ABC E ABC S ABCDABCD S h hV V S SA --⋅⨯⨯⨯===+⋅⨯⨯V 梯形，解得 34h =， 所以点 E 到平面 ABCD 的距离为34．【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知圆 22:16C x y +=，直线 :3460l x y -+=．（1）求与圆 C 相切，且与直线 l 平行的直线方程；（2）点 ()0,6A ，在直线 OA 上（O 为坐标原点），存在定点 B （不同于点 A ），满足对于圆 C 上任一点 P ，都有PB PA为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标．【答案】（1）34200x y -±=.（2）80,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设所求直线方程为340x y b -+=4=∣∣即得解；（2）假设存在这样的点()0B t ，，先求出83t =，再证明点803B ⎛⎫⎪⎝⎭，对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数．【详解】（1） 设所求直线方程为340x y b -+=．4=∣∣，得 20b =±，所以所求直线方程为 34200x y -±=． （2）假设存在这样的点()0B t ，，当P 为圆C 与y 轴的上交点()04，时，42PB t PA-=；当P 为圆C 与y 轴的下交点()04-，时，410PB t PA+=，依题意，44210t t -+=，解得 6t =（舍去）或 83t =． 下面证明点803B ⎛⎫⎪⎝⎭， 对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 一常数．设(),P x y ，则2216y x =-，所以()()222222845212439521296y x y PB PA y y x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭====--+， 从而23PB PA=为常数． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的求法，考查直线和圆中的定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22.设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[]1,1-上的最大值为M . （1）若2b =-，求M 的值；（2）若M k ≥对任意的,b c 恒成立，求k 的最大值.【答案】（1）{}2,()3max (1),(1){42,()33c c M g g c c ≤-=-=+≥-；（2）.【解析】试题分析：（1）根据1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-可知该函数是对勾函数作了左右和上下的平移变换，若2b =-，则可得到1()2f x x c x =+++在区间[]1,1-上是增函数，故的最大值就是，但是()()g x f x =，的图像是由的图像作了翻折变换，上不动而下翻折，要比较与两者的大小，所以{}2,()3max (1),(1){42,()33c c M g g c c ≤-=-=+≥-；（2）第二小题由于不能确定在区间[]1,1-上是递增的还是先减后增，因此要分类讨论，一种情况是是递增的，最大值在中产生，另一种情况是先减后增，最大值在或是中产生，通过三种情况分类，最后总结得到的最小值，也就是的最大值.试题解析：解：（1）当2b =-时，1()2f x x c x =+++在区间[]1,1-上是增函数， 所以4(1),(1)3g c g c =+-=， 所以{}2,()3max (1),(1){42,()33c c M g g c c ≤-=-=+≥-.（2）①当2b ≤-时，因为1(1)11M g c b ≥=+++，1(1)11M g c b≥-=+--， 所以112(1)(1)1111M g g c c b b≥+-=+-++++- 21124221113b b b ≥++=+≥+--，所以23M ≥. ②当2b -<≤(1)(1)(1)f b f f +<-<，则{}1max (1),(1)max 1,21M g g b c b c b ⎧⎫=+=++++⎨⎬-⎩⎭12(1)(1)121M g b g c b c b≥++=+++++-， 1121b b≥++≥-，所以1M ≥. ③当1b <≤-时，有(1)(1)(1)f b f f +<<-， 则{}1max (1),(1)max 1,21M g g b c b c b ⎧⎫=-+=-++++⎨⎬--⎩⎭， 所以12(1)(1)121M g b g c b c b≥++-=-+++++-- 1321b b ≥++≥+，所以1M ≥.综上可知，对任意的,b c 都有1M ≥.考点：对勾函数的单调性，函数图像的对称变化和平移变化，绝对值不等式求最值的应用.【方法点晴】本题主要考查的是函数的综合性大题，主要涉及的函数是对勾函数的模型，在此基础上作一定的变化，包括平移变化和对称变化，从图形的特征出发，求该函数的最大值，根据该图像的变化规律，分析最大值只可能在端点的地方或者顶点的地方取到，根据，对进行分类讨论，第一种是最大值在两个端点处取大的，第二种是最大值在一个端点和一个顶点出取大的，其中第二种又要分成两种情况，结合图形，可以得到的最小值，也就是题中所要求的的最大值.。
湖南省株洲市第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(文)试题 PDF版缺答案
）
42
A． 3 2
B． 2 3
C． 30 3
D． 3 6 2
12．已知函数 f x sin(2 x) 1, x 0 ( a 0 且 a 1 )的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数
loga x, x 0
a 的取值范围是（ ）
A．
0,
5
5
度为 4，则实数 a 的值为(
)
A．﹣2
B．﹣4
C．﹣6
D．﹣8
5．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与右图相似．执行
该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6． 欧阳修《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，
（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95) 内的零件中，采用分层抽样的方法抽取 5 件，从这 5 件中任
选 2 件进行质量分析，求这 2 件都是乙机床生产的概率．
20． （本小题满分 12 分）如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ADC 90 , CD / / AB , AB 2, AD CD 1. 将 ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC 平面 ABC ,得到几何体 D ABC ,如图 2 所示. (1) 求证: BC 平面 ACD ； (2) 求几何体 D ABC 的体积．
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的
三个顶点，且长轴长为 4。
（1）求椭圆 E 的方程； （2）若 A 是椭圆 E 的左顶点，经过左焦点 F 的直线 l 与椭圆 E 交于 C ，D 两点，求 OAD 与 OAC 的 面积之差的绝对值的最大值．（ O 为坐标原点）
精编湖南省株洲市第二中学2019-2020学年高一12月月考数学试题
株洲市二中2019年下期高一年级月考数学试题时量：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ，{}5,2,1=A ，{}4,3,2=B ，则)(B C A U =( )． A ．{}6,2 B ．{}5,1 C ．{}6,1 D ．{}6,52.12164lg 2lg 5049-⎛⎫++=⎪⎝⎭（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 3.l 1、l 2、l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（） A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面4. 设214.0213,)21(,3log ===c b a 则c b a ,,的大小关系是（ ）A ． a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 5.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1直线AD 1平面A 1C 1的夹角为 （ ） A ．030 B ．045 C ．060 D ．0906.设||1()(),2x f x x R =∈，那么()f x 是（ ）A ．奇函数且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数且在(0,)+∞上是增函数C ．奇函数且在(0,)+∞上是减函数D ．偶函数且在(0,)+∞上是减函数 7.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（ ） A. π B. 2π C ．4π D. 8π8.函数34log )(2+⋅+=xa x a x f 在区间)1,21(上有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3-<a B ．4323-<<-a C ．433-<<-a D ．2123-<<-a 9.函数y=234x x --的单调递增区间是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-23,B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,23C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,4D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2310.已知定义域为R 的偶函数)(x f 在[)+∞,0上是增函数，若实数a 满足)1(2)(log )(log 5.02f a f a f ≤+，A 1CBAB 1C 1D 1 D则a 的最小值是（ ） A.21 B.1 C.23D.2 11.设函数21212)(-+=xx x f ，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[])(x f y =的值域是（ ） A ． {0，1}B ． {0，﹣1}C ． {﹣1，1}D ． {1，1}12.21log (1)21(,1)2在-+<-a x x x 内恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．43[,1)2-⎛⎫⎪⎝⎭B ．43(,1)2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．43(1,)2⎛⎫⎪⎝⎭D ．43(1,]2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．函数22)32(log +-=x y a 的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）的图象上，则f （9）=__________． 14．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45°，腰和上底均为1（如图），则平面图形的实际面积为__________．15.函数[]2,3,124-∈+-=x y xx的最大值为__________．16.设集合A=10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 函数()f x =()1,221,,x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若0x A ∈， 且0[()]f f x ∈A ，则0x 的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知全集R U =，函数()()x x x f -++=3lg 21的定义域为集合A ,集合B ={2-x|＜x ＜}a .（1）求集合A C U ； （2）若A B B =，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，S 为B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别为BC ，DC 和SC 的中点，(1)求证：EG ∥面BDD 1B 1； (2)求证：面EFG ∥面BDD 1B 1．19．（本小题满分12分）下图是一个几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．20．（本小题满分12分）已知函数[)+∞∈++=,1,2)(x xax x f ． （Ⅰ）当21=a 时，利用函数单调性的定义判断并证明)(x f 的单调性，并求其值域； （Ⅱ）若对任意[)0)(,,1>+∞∈x f x ,求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度()v x （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数． 当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0； 当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度()v x 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大值，并求出这个最大值．（精确到1辆/小时）22．（本小题满分12分）已知函数2()(0)1xf x x x =>+ （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数； （2）设2()log ()g x f x =，求()g x 的值域；（3）对于（2）中函数()g x ，若关于x 的方程2()()230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围．。
湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析
湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某同学从家到学校要经过两个十字路口.设各路口信号灯工作相互独立，且在第一个路口遇到红灯的概率为23，两个路口都遇到红灯的概率为25，则他在第二个路口遇到红灯的概率为（ ） A ．110 B ．25 C ．35 D ．910【答案】C【解析】【分析】 记在两个路口遇到红灯分别为事件A ，B ，由于两个事件相互独立，所以()()()P A P B P AB =，代入数据可得解.【详解】记事件A 为：“在第一个路口遇到红灯”，事件B 为：“在第二个路口遇到红灯”，由于两个事件相互独立，所以()()()P A P B P AB =，所以2()35()2()53P AB P B P A ===. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率问题，考查运用概率的基本运算.2．已知抛物线的焦点和双曲线的右焦点重合，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，进而可得到双曲线的右焦点坐标，然后利用，可得到答案.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，则双曲线的右焦点为， 则，故选A. 【点睛】本题考查了抛物线、双曲线的焦点坐标的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.3．运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．0B ．12C ．-1D ．32- 【答案】B【解析】 由题设中提供的算法流程图可知22017cos cos cos 333S πππ=++⋅⋅⋅+，由于()cos 3f x x π=的周期是263T ππ==，而201763361=⨯+，所以220171cos cos cos cos 33332S ππππ=++⋅⋅⋅+==，应选答案B ．4．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，若1n n a a +>对任意*N n ∈成立，则111n n a q a q ->对任意*N n ∈成立，若10a >，则1q >；若10a <，则01q <<；所以由“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”不能推出“1q >”；若1q >，10a <，则111n n a q a q -<，即1n n a a +<；所以由“1q >”不能推出“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”； 因此，“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.5．5(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ）A ．100B ．80C ．60D ．40【答案】D【解析】【分析】由二项式项的公式，直接得出x 2的系数等于多少的表达式，由组合数公式计算出结果选出正确选项．【详解】因为5(12)x +的展开式中含2x 的项为2225C (2)40x x =,故2x 的系数为40. 故选：D【点睛】本题考查二项式系数的性质，根据项的公式正确写出x 2的系数是解题的关键，对于基本公式一定要记忆熟练．6．设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.7．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【解析】【分析】【详解】 试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为()U C A B ⋂,故选A ．考点：集合的运算8．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有A ．540种B ．240种C ．180种D ．150种【答案】D【解析】分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解． 详解：由题意不同方法数有1223335425331502!C C C C A A +⨯=． 故选D ．点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为22422!C C ，不是2242C C ，否则就出错． 9．在62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154- B ．154 C ．38- D ．38【答案】C【解析】【分析】【详解】因为1r T +=66()()r r r x C x-⋅⋅-,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确. 10．给出下列三个命题：①“若，则1x ≠”为假命题；②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】试题分析：“若，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则”，为真命题；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B.考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q”“p ∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可.11．已知0.13a =，3log 2b =，cos4c =，则（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】C【解析】【分析】通过0,1分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出10a b c >>>>，由此选出正确结论.【详解】解：∵0.10331>=，3330log 1log 2log 31=<<=，342ππ<<，cos40<； ∴c b a <<.故选C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查0,1分段法比较大小，属于基础题.12．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种 【答案】A【解析】本小题主要考查组合知识以及转化的思想.只在A 中选有33C 种，只在B 中选有34C 种，则在两类课程中至少选一门的选法有333734C C C 351430--=--=种. 二、填空题：本题共4小题13．已知x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为________.【答案】4【解析】【分析】此题考查线性规划问题，只需认真作出不等式表示的平面区域，把目标函数转化为截距式求值即可.【详解】作出不等式表示的平面区域，如图所示：令3z x y =-，则3y x z =-，作出直线l: 3y x =,平移直线l ，由图可得，当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时3z x y =-取得最小值，得B(2，2),代入故填4.【点睛】本题主要考查学生的作图能力及分析能力，难度较小.14．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________. 【答案】3)a【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果.详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则2VD VC a == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos 2222VC a a a VDC ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯∠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.15．已知2921101211(1)(2)x x a a x a x a x +-=++++，则1211a a a +++的值为_____________.【答案】1【解析】【分析】用赋值法，在所给的等式中，分别令0x =和1，即可求出对应的值．【详解】在2921101211(1)(2)x x a a x a x a x +-=+++⋯+中，令0x =，得90(01)(02)a +⨯-=，即0512a =-；令1x =，得901211(11)(12)2a a a a +⨯-=+++⋯+=-，123112(512)510a a a a ∴+++⋯+=---=．故答案为：1．【点睛】本题考查二项式定理展开式的系数问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意赋值法的应用．16．已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为________.【答案】13arcsin 或2π 【解析】【分析】 根据A 、B 两点与平面α的位置分类讨论，再解三角形求线面角.【详解】A,B 两点在平面α同侧时，如图：1,2,3,AC BD AB BOD ===∠为AB 所在直线与平面α所成角,因为11//3,sin arcsin 33AC AC BD AB AO BOD BOD AO ∴==∴∠==∴∠=A,B 两点在平面α异侧时，AB α⊥，所以AB 所在直线与平面α所成角为2π 故答案为：13arcsin或2π 【点睛】 本题考查线面角以及直线与平面位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省株洲市2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案 (1)
文数试卷总分：150分 时量：120分一、选择题（每小题5分，共12小题）1.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6},A ＝{1,3,5},B ＝{3,4,5},则∁U (A ∪B )＝( ) A.{2,6} B.{3,6} C.{1,3,4,5} D.{1,2,4,6}2.若p 是真命题,q 是假命题,则( )A.p ∧q 是真命题B.p ∨q 是假命题C.﹁p 是真命题D. ﹁q 是真命题 3. 直线1sin 403cos40x t y t ⎧=-+⎨=+⎩（t 为参数）的倾斜角是（ ）A 20B 70C 50D 404. 在数列{a n }中,已知a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋1,则其通项公式为a n ＝( ) A.2n－1 B.2n －1＋1 C.2n －1 D.2(n －1)5. 在极坐标系下，极坐标方程(ρ－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．一个圆和一条射线 C ．两条直线 D ．一条直线和一条射线6. 过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为 （ ） A.4sin =θρ B.θρsin 4= C. 4cos =θρ D. θρcos 4=7. 11×4＋14×7＋…＋1n －n ＋＝( )A. n 3n ＋1B. n ＋13n ＋1C. 2n －13n ＋1D. 2n －23n ＋18.已知数列{a n }是等差数列,且a 7－2a 4＝6,a 3＝2,则公差d ＝ ( ) A.2 2 B.4 C.8 D.169.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若6a 3＋2a 4－3a 2＝5，则S 7＝( ) A ．28 B ．21 C ．14 D ．710. 曲线C 1:⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x (θ为参数)上的点到曲线C 2:⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t y t x 2112122(t 为参数)上的点的最短距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D.411. 已知等比数列{a n }中,a 2＝1,则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A.(－∞,－1] B.(－∞,0)∪(1,＋∞) C.[3,＋∞) D.(－∞,－1]∪[3,＋∞)12. 已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f－2－a n(n ∈N *)，则a 2 017的值为( )A ．2 209B ．3 029C ．4 033D ．2 249 二、填空题（每小题5分，共4小题）13. 已知命题p ：“∃x 0∈R ,|x 0|＋x 20<0”,则﹁p 为________。
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分
（ 2）设 A(x1, y1), B(x2 , y2) , AB 的方程为： y x 4 y2 4x 得： y2 4 y 16 0 y x4
得 | y1 y2 | ( y1 y2 )2 4y1y2
42 4 ( 16) 4 5,
1
1
S AOB
| OM || y1 y2 |
4 4 5 8 5 -------------12
ab
曲线的右支有且只有一个交点， 则此双曲线离心率的取值范围是
（D
）
A． (1,2]
B． (1,2)
C． [2, )
D ． (2, )
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、 y x3 2x 4 在点 (1，3) 处的切线的倾斜角为 ____________________. 45
（ 1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m的取值范围；
（ 2）若 m=5，“ p q ”为真命题， “ p q ”为假命题，求实数 x 的取值范围。
-2-
【答案】（ 1） 4， ； --------------------------------5
分
（ 2） - 4，-1 5,6 .---------------------------------10
株洲二中 2019-2020 学年高二下学期第一次月考 文科数学试题
一 . 选择题 ( 本大题共 12 题, 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符 合题目要求 )
1、下列集合中，是集合 A { x | x2 5x 0} 的真子集的是
（D
）
A. {2,5}
B.
(6, ) C.
(0,5)
D.
(1,5)
2、已知条件 p: m
A．充分不必要条件
3，条件 q： x2 m
y2 1 表示焦点在
2
B ．必要不充分条件
C
x 轴上的椭圆， 则 p 是 q 的（ A
）
．充要条件 D ．既非充分也非必要
条件
3、命题“ x R, x 2 2 x 4 0 ”的否定为
A、 x R, x2 2x 4 0
分
18、（本小题满分 12 分）已知抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的焦点 F 与双曲线 x2 y2 1 的一个 3
顶点的重合 , 过点 M (4,0) 作倾斜角为 45 的直线 l 与抛物线交于 A、 B 两点 ,
（ 1）求抛物线方程 ; （2）求 AOB 的面积 .
解：（ 1）
2
y
4 x -----------------------------------6
因此由 AB CD AB CD 知
8 k2 1 1 2k 2 ；
11
1 2k 2
2 k2
3 3k 2
32
AB CD 4 2 1 k 2 4 2 k 2 1 4 2 k2 1
。
8
所以存在常数
32 ，使得 AB CD
8
AB CD 恒成立。
…………… 12 分
-6-
y2 1 D ． x2 4
y2 1
6、设双曲线
x2
2
y2
1a
0 的渐近线方程为 3x 2 y
0 ，则 a 的值为（
C
a9
A．4
B． 3
C
．2
D．1
7、设抛物线 y2 8 x上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到抛物线焦点距离是（
D
） ）
A ．4
B
． 12
C
．8
D
．6
2x y 0 8、已知变量 x、y 满足 x 2y 3 0 ，则 z 2 x y 的最大值为
B
C、 x R, x2 2x 4 0
D
（B ）
、 x R, x2 2x 4 0 、 x R, x2 2x 4 0
x2 y2
4、已知椭圆方程为
1 中， F1, F2 分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有
25 9
①焦点在 x 轴上，其坐标为 ( ± 4, 0) ；② 若椭圆上有一点 P 到 F1 的距离为 6，则 P到 F2 的距 离为 4；
a2 a3 45 a1 a4 a2 a3 14
a2
5 或
a2
9
………………………… 2 分
a3 9 a3 5
d 0 ， a2 5, a3 9 。
a n 4n 3 ………………………… 5 分
（2）
1
1
11 (
1)
an an 1 (4n 3)( 4n 1) 4 4n 3 4n 1
-3-
分 12 分
Sn 1 [( 1 1) ( 1 1) 41 5 5 9
14、若
( , ),cos 2
15 、 与 椭 圆 x 2 y 2 49 24
___________. x 2
y2 1
9 16
3
，则 tan(
)=
5
4
1 有 公共 焦 点， 且离心率 e
24
。
25
5 的双曲线方程是 3
16、已知 F 是双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1 (a
0, b
0) 的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂
x0
（C ）
A． 1
B． 2
C． 4
D． 8
9、f ( x) ax3 3x2 2 , 若 f ' ( 1 ) 4 , 则 a 的值等于
（D
）
-1-
A 19
B
16
C
13
D
10
3
3
3
3
10、已知函数 f (x) sin x
( 0) 的最小正周期为 ，则该函数的图象（ A
）
A．关于点 ，0 对称 B ．关于直线 x 对称 C．关于点 ，0 对称 D．关于直线 x 对
若不存在，请说明理由。
y P
A M C
F1
O
B
F2
x
D
-5-
x2 y2
解析】（ Ⅰ ）由题意知，双曲线的 a=b=2 ，方程为：
1
44
椭圆 : c=2 ，即 a 2 2 。
x2
于是椭圆方程为
8
y2 1；
4
…………………… 4 分
（ Ⅱ）（ ⅰ ）设点 P x0 , y0 ，则 k1
y0 ， k2 x0 2
称
x2 y2
11、已知双曲线
1 的左右焦点分别是 F1、F2 , 过 F1 的直线 l 与双曲线相交于 A 、B 两
23
点，则满足 AB 3 2 的直线 l 有
(C )
A、 条
D
、4 条
12、已知双曲线
x2
2
y2
2
1(a
0, b
0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双
左、右顶点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线
PF1 , PF2 的斜率分别为 k1, k2 ，且
直线 PF1和 PF2 与椭圆的交点分别为
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）（ⅰ）证明： k1k2 1 ；
A、B 和 C、D。
（ⅱ）是否存在常数 ，使得 AB CD
AB CD 恒成立？若存在，求 的值；
分
2
2
19、（ 本题满分 12 分）已知等差数列 { an} 中，公差 d 0 ，且满足： a2 a3 45 ，a1 a4 14 ．
（ 1）求数列 { an } 的通项公式；
1
（ 2）若数列
an an 1
值.
．解：（1）由题设知：
的前 n 项和为 Sn ，令 f (n)
Sn （ n n 16
N * ），求 f (n) 的最大
解答：（1）略 --------------5
分
（ 2） 2 3 ---------------------12
分
3
22、（本小题满分
12 分）如图，椭圆
x2 a2
y2 b2
1（ a b 0 ）与一等轴双曲线相交，
M是其
中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点
F1( 2,0), F2 (2,0) ，双曲线的焦点是椭圆的
③长轴长为 5，短轴长为 3；
④ a = 5, b=3, c = 4 ，
( C)
A ．1个
B. 2
个
C. 3
个
D. 4
个
5、已知椭圆的中心在原点，离心率
则
此
椭
（A
）
1 e ，且它的一个焦点与抛物线
2
圆
方
y 2 4x 的焦点重合，
程
为
A． x2 4
y2 1 3
B． x 2 8
y2 1 6
C． x 2 2
线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B， F 在线段 AB 上， O 为坐标原点，若 | OB | 2 | OA | ，
则双曲线 C的离心率是 _________________. 2 3 3
三、解答题（共 6 小题，总计 70 分）
17、（本题满分 10 分）已知命题 p : (x 1)(x 5) 0 ，命题 q :1 m x 1 m(m 0) 。
y0 x0
2
，则
k1k2
而由点 P 在双曲线上，可知 x02 4
从而
y02 x02 4
1，故 k1k 2
1。
y02 4
1 ，即有 x02
4
y02 ；