解直角三角形的应用典型习题(方位角)
课时练习：解直角三角形的应用(方位角问题)
方位角问题知识点一 与方位角有关的问题1．如图，B 点在A 点的南偏西 或 ；A 点在B 点的北偏东 或 ． 2．如图，小明从A 地沿北偏东030方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．3．两座灯塔A 和B 与海洋观测站的距离相等,灯塔A 在观测站的北偏东40°,灯塔B 在观测站的南偏东60°,那么灯塔A 在灯塔B 的（ ）. A.北偏东10° B.南偏东10° Ｃ.北偏西10° Ｄ.南偏西20°4．小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为___________米．5．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500m 的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ m ．（用根号表示） 技能点一 利用方位角解决与航海、航空有关的实际问题6．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）. A ．156kmB ．152kmC ．15(62)+kmD ．5(632)+km7．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，PA B C30°60°北第5题图030第2题图40第1题图 北东ABC第6题图 第7题图在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）技能点二 解决底部不能到达的测量问题8．燕尾槽的横断面是等腰梯形．如图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 是55，外口宽AD 是16cm ，燕尾槽的深度是6cm ，求它的里口宽BC (精确到cm ．9．某电视发射塔BC ，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图线段AB ），若AB =60m ，并且AB 与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB /，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米（即BB /的高度）（精确到0.01m ）.参考答案1．040 西偏南050 040 东偏北050第8题图A /ACBB / 第9题图2．100 3．C4．5．6．D7．轮船与灯塔C 的距离为8．作AE BC DF BC ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ，在Rt ABE △中，tan AEB BE=，∴ tan AE BE B ==6tan55．∴6221624.4tan55BC BE AD =+=⨯+≈（cm ）．答：燕尾槽的里口宽BC 约为24.4cm ．9．解：在Rt △ACB 中，因为∠BAC=450，AB=60m ，所以BC=AB·sin ∠BAC=60×sin450=302（m ）．在Rt △A /B /C 中，A /B /=60m ，∠B /A /C=600，所以B /C=A /B /·sin600=60×33023=（m ）．所以电视塔升高的高度： BB /=B /C-BC。
解直角三角形的应用(2方位角)
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三、解答题(共 40 分)
4 9．(12 分)如图所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南偏东
30°，在 M 的南偏东 60°方向上有一点 A，以 A 为圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民 区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 75° ，已知 MB＝ 400 m，通过计算回答， 如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化
为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去
解直角三角形；
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（3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里
练习1
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2. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由 西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里 到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变 航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
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解：依题意得：∠AMN＝30°，∠ABN＝45°，过点 A 作 AC⊥MN 于点 C，在 Rt△ AC ABC 中， tan∠ABC＝ ， ∴BC＝AC， 由 MB＝MC－BC， 得 3AC－AC＝400， ∴AC＝200( 3 BC ＋1)≈546＞500，∴不改变方向，输水路线不会穿过居民区．
F
30°
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
解直角三角形的应用-方向角问题-初中数学习题集含答案
一．填空题（共 5 小题） 1．（2018 秋•顺义区期末）轮船从 B 处以每小时 50 海里的速度沿南偏东 30 方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于
南偏东 75 方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在观测灯塔 A 北偏东 60 方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 海里．
2．（2019 秋•东城区校级期中）如图，某货船以 24 海里 / 时的速度从 A 处向正东方向的 D 处航行，在点 A 处测得某 岛 C 在北偏东 60 的方向．该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时测得该岛在北偏东 30 的方向上．则货船在航行中 离小岛 C 的最短距离是 ．
3．（2017 春•西城区校级期中）如图，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60 方向上，且距 A 点18 3 海里，某船以每小时 36 海里的速度从点 A 向正东方向航行，航行半小时后到达 B 点，此时测得岛 C 在北偏东 30 方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁． B 点与 C 岛的距离是 B 点暗礁区域 （填内或外）
7．（2016•延庆县一模）如图，甲船在港口 P 的南偏西 60 方向，距港口 86 海里的 A 处，沿 AP 方向以每小时 15 海 里的速度匀速驶向港口 P ．乙船从港口 P 出发，沿南偏东 45 方向匀速驶离港口 PC 2x ，现两船同时出发，2 小 时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236)
【分析】根据题中所给信息，求出 BCA 90 ，再求出 CBA 45 ，从而得到 ABC 为等腰直角三角形，然后根据 解直角三角形的知识解答．
【解答】解：根据题意，得 1 2 30 ， Q ACD 60 ， ACB 30 60 90 ， CBA 75 30 45 ， ABC 为等腰直角三角形， Q BC 50 0.5 25 ， AC BC 25 （海里）． 故答案为：25．
解直角三角形方位角问题
小结:
1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
2.实际问题向数学模型的转化 3.解直角三角形的边角关系
成功就是99%的汗水， 加上1%的灵感。 ------爱迪生
如图，我校九（4）班的一个学习小组进行测量 孤山高度的实践活动。部分同学在山脚点A测得 山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为 180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的 俯角为45°，山腰点D的俯角为60°。请你帮助 他们计算出小山的高度BC（计算过程和结果都 B H 不取近似值）。
A 60° B
12 30° 30°
D
F
3. 外国船只，除特许外，不得进入我国海洋 100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观 察站，A和B 之间的距离为150海里，海岸线是 过A、B的一条直线，一外国船只在P点，在A点 测得p点在北偏东600，同时在B点测得p点在北 偏西450， ，问此时是否要向外国船只发出警 告，令其退出我国海域. P
A
D
B
4.如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N 的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点 A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取 MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°。已知 MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管 道是否会穿过居民区。
5.由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频 频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴 中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时 12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中 心150km的范围为受影响区域。 1）A城是否受到这次沙尘暴的 影响，为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴的影响， 那么遭受影响的时间有多长？
60° P C A
25.4 解直角三角形的应用(2)
25.4 解直角三角形的应用（2）[方位角]第一组 25-151、某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔C 在北偏西30º处，下图25-15-1正确的是（ ）2、海面上有A 、B 两个灯塔，已知灯塔A 位于B 的北偏东30º方向，那么灯塔B 位于灯塔A 的（ ）A 、南偏西60ºB 、南偏西30ºC 、北偏东30ºD 、北偏东60º3、某人在离水平面a m 的山上测得地面B 点的俯角为α，此时此人与地面B 点之间的水平距离是（ ）m 。
A 、a cot α B 、a sin αC 、a tan αD 、acos α4、如图25-15-2，已知小明外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40º，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A 、南偏东50º B 、南偏东40º C 、北偏东50º D 、北偏东40º5、如图25-15-3，当太阳光线与地面成30º时，测得旗杆AB 在地面上的影子BC 长为15m ，那么旗杆AB 的高度是 m 。
（保留根号）图 25 - 15 - 1(D)A CA C CA CA 图 25 - 15 - 2小明家学校北北图 25 - 15 - 3BA太阳光C6、某人从A 点出发，向北偏东45º方向走到B 点，再从B 点出发，向南偏西15º方向走到C 点，那么∠ABC= 。
7、如图25-15-4，点B 在点A 北偏西30º方向，且AB=5km ，点C 在点B 北偏东60º方向，且BC=12km ，则A 到C 的距离是 。
8、如图25-15-5，一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30º的B 处，上午9时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里。
解直角三角形的应用(方位角)
解直角三角形的应用1.居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.（1）该超市以上的居民住房采光是否有影响？请说明理由。
（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数）2.学校准备在相距5km的A、B两地之间修筑一条笔直的公路，经测量，在A地的北偏东60°、B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为1.8km的湖泊，计划修筑的这条公路是否会穿过湖泊？请说明理由。
3．如图，海上有一灯塔P，在它周围的3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，航行到A处测得P在它的北偏东60︒方向，继续航行20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45︒方向，若该客轮不改变方向，继续前行有无触礁的危险？请说明理由。
4.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向80m的A处有一所小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50m的范围内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么拖拉机沿ON方向行驶将给小学带来噪音影响的时间有多长？5.如图，A城气象部门测得今年第九号台风上午8时在A城南偏东22.5°的海面B点生成，并以每小时640千米的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°方向，若台风中心140千米的范围内将受台风影响，则A城是否会受九号台风影响？请说明理由。
6．根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，台风中心现正以15千米/小时的速度沿北偏东30°方向往C移动，但台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到台风的影响？请说明理由。
解直角三角形第三课时(方位角)
A
N1
NБайду номын сангаас
D X
C
24海里
B
答：货轮无触礁危险。
课堂检测：1、.海中有一个小岛A，它的周围8海里范 围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得 小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这 时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航 线继续向东航行，有没有触礁的危险？
A
B
12
D
F
2、王英同学从A地沿北偏西60º 方向走100m到B地， 再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同 学离A地多少距离？
北 E B 西 D
100m 600
东 A
200m
南 C
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
解直角三角形的应用（第三课时）
方位角问题
北
西
东
南
方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
探究一例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东
65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确 到0.01海里）
解直角三角形 的应用(方位角)
D
450
B
拓展提高
今年5、6月份，某省各地、市普遭暴雨袭击，某市抗洪抢险救 援队伍在B处接到报告，有受灾群众被困于一座水淹的楼顶A处， 情况危急，救援队伍在B处测 得A在B的北偏东600的方向上， 队伍决定分成两组，第一组马上下水游向A处救人，同时第二组 从陆地往正东方向奔跑120米到达C处,再从C处下水游向A处救 人，已知A在C的北偏东300的方向上，且救援人员在水中游泳 的速度为每秒1米，在陆地上奔跑的速度为每秒4米，试问那组 先到处?请说明理由。
∴ EF = 2CE = 2 x 90 = 180 M ∴ A城受到沙尘暴影响的时间为 180÷12 = 15小时 答：A城将受到这次沙尘暴影响， 影响的时间为15小时。 B E A C F
例4：我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路， 但在A地的北偏东600方向，B地的北偏西450方向的C处，有一个半 径为0.6千米的圆形住宅小区，问修公路时，这个小区是否有 居民 需要搬迁？（参考数据：2 1.41, 3 1.73 ） C 600
解直角三角形的应用(1)
1、解直角三角形的思想
B
c a C
模型思想
2、解直角三角形的依据 ⑴ 三边之间的关系 ⑵ 锐角之间的关系 ⑶ 边角之间的关系 A
b
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
a b a sin A , cos A , tan A , c c b
特殊角： 30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值.
例3
解:
过A作AC⊥BM,垂足为C, 在Rt△ABC中， ∠B = 30°, 1 1 ∴AC= 2 AB = x 240 = 120 2 ∵AC = 120 < 150 ∴A城受到沙尘暴影响 M A C
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1.如下图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B 测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁。
（1）说明点B 是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由。
2.如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60˚，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西15˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险
3.如图所示，
A 、
B 两城市相距
100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段
AB ），经测
量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在
以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路
会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：
3 1.7322 1.414≈，≈）
4.为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航
舰正在某小岛A 北偏西45°并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位）
5.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.
6.如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60º
的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
（1） 问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？
7． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83km 的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正
好行至码头MN 靠岸？请说明理由．
A
B
F E P
45°
30° N
M 东
北
B
C
A
l。