等腰直角三角形中的常用模型

--
等腰直角三角形中的常用模型
模型一:一条直线(不与三角形的边重合)过等腰直角三角形的直角顶点
(1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边,必定可以构造一对全等的直角三角
形:
例１.如图：Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90º,AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作ＢE
⊥ＡＤ于点E ，过C 作C Ｆ⊥A Ｄ于点F 。

（1)求证：BE －ＣＦ=EF ；
(2)若D 在BC 的延长线上(如图（2）)，（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出
新的结论并证明。

１．如图1,等腰Rt △ABC 中，A Ｂ=CB ,∠ABC =90º,点P 在线段BC 上(不与B 、C 重合）,以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ,连CQ 交ＡB 于M 。

(１)求证:M 为B Ｅ的中点
(２）若P Ｃ＝２ＰB,求MB
PC
的值
（２）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边,必定可以构造一对全等的直角
三角形:
3、如图:Rt ΔＡBC 中,∠BAC =90º,ＡＢ=ＡＣ，点D 是ＢC 上任意一点,过B 作B Ｅ⊥A Ｄ于点Ｅ，交ＡC 于点Ｇ,过C 作CF ⊥AC 交A Ｄ的延长线与于点Ｆ。

(1)求证:BG=AF ；
（2)若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1)中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式１：如图,在R t △ＡＢC 中，∠ＡC Ｂ＝45º，∠BAC ＝90º,AB=AC ,点Ｄ是A Ｂ的
中点，A Ｆ⊥ＣＤ于H 交BC 于Ｆ，B Ｅ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证:BC 垂直且平分ＤE ．
G G B A
C
D E F (2)(1)F
E D C B A D
E F F
E
D (2)(1)C C A B B A (2)F
E
D
C B A A B C D
E F (1)(2)(3)(1)D
D E E
C E
A A
A
B
--
变式2:等腰Ｒt △AB Ｃ中,AC=ＡＢ，∠B ＡC ＝90°，点D 是ＡＣ的中点,AF ⊥BD 于
点E,交ＢＣ于点F ,连接ＤF ,求证:∠1=∠2。

变式3:等腰Ｒｔ△A ＢC 中，AC=AB,∠BAC =90°,点D 、Ｅ是AC 上两点且ＡD=CE ，AF ⊥BD 于点G,交BC 于点F 连接DF ,求证:∠１=∠２。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全
等三角形
例1：等腰Ｒt △ABC 中,ＡC=AB,∠BAC =90°，Ｅ是AC 上一点,过C 作CD ⊥BE 于
D ，连接ＡD ，求证：∠ADB =4５°。

变式1:等腰Ｒt △ABC 中，AC=AB ，∠BA Ｃ=9０°，Ｅ是AC 上一点,点Ｄ为ＢE 延
长线上一点，且∠ADC ＝135°求证：ＢD ⊥DC 。

变式2:等腰Rt △A ＢC 中，A Ｃ=A Ｂ，∠ＢAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作ＣD ⊥ＢE 于D ，ＤM ⊥AB 交B Ａ的延长线于点Ｍ,
（1）求BC AB BM +的值；（2）求AB BC AM
-的值。

A B
C
D
E F
(2)
(1)
F
E D
C
B
A
--
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
(1)两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形
例1、如图1,△ABC 、△BE Ｆ都是等腰直角三角形，∠ＡBC =∠BE Ｆ=90º,连接ＡF 、ＣF ，M 是ＡF 的中点,连ME ，将△BE Ｆ绕点B 旋转。

猜想C Ｆ与EM 的数量关系并证明; (2)两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形: 如图,△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠ＢAC =∠BED =9０º。

把DE 平移到CF ,
使E 与Ｃ重合，连接ＡE 、ＡF ，则△A ＥB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ＡB Ｅ=∠ACF ）
例．如图:两个直角三角形A ＢＣ、AD Ｅ的顶点A 重合,P 是线段BD 的中点,连P Ｃ、
PE 。

（1)如图1，若∠BAC =∠D ＡE =45°，当A 、C 、D 在同一直线上时，线段ＰC 、P Ｅ的关系是 ;
（2)如图2、3,将⊿B ＡC 绕A 旋转α度,(1)中的结论是否仍然成立?任意选择一个证明你的结论。

三【巩固练习】
1.已知:Ｒt ⊿ABC 中，AB=AC ，∠B ＡC =９0°,若O 是BC 的中点，以O 为顶点作∠MON ,交A Ｂ、AC 于点M 、N 。

(1）若∠M ＯN =90°（如图1）,求证：OM=ON ；
(２)若∠MON =4５°（如图2)，求证：①AM+M Ｎ＝CN ;
图2
N
M
O
C B
A 图1N
M C B A A B
C
D
E
P 图3A B C D E P 图2
图1P E D C
B
A (3)(1)图（1）
M
F
E B
C A B (1)(2)
(3)
--
2、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A(４，4）。

（1）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△A ＣD,∠ＡC Ｄ＝90°,连O Ｄ,求∠A ＯＤ的度数;
（2）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，Ｆ为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上,以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交E Ｈ于点M ，连F Ｍ，等式
1=-OF
FM
AM 是否成立?若成立，请证明;若不成立,说明理由。

3.在△ABC 和△DCE 中，AB ＝AC ，ＤC =ＤＥ，∠BAC ＝∠ＥD Ｃ=90°，点E 在AB 上,连ＡD ，DF ⊥AC 于点Ｆ。

试探索AE 、ＡF 、AC 的数量关系；并求出∠ＤAC 的度数。

4．如图：等腰R ｔ△AB Ｃ和等腰R ｔ△ＥＤB ,ＡＣ=BC ,DE=ＢD ，∠ACB ＝∠ＥD Ｂ=９０°,E 为AB 是一点，P 为AE 的中点。

⑴连接ＰC,P Ｄ；则ＰＣ，ＰD 的位置关系是 ;数量关系是 ；并证明你的结论。

⑵当E 在线段AB 上变化时,其它条件不变，作ＥF ⊥BC 于F ,连接PF ,试判断△PC Ｆ的形状;在点E 运动过程中，△P ＣF 是否可为等边三角形？若可以，试求△ＡCB 与△E ＤB 的两直角边之比。

6.已知两个共一个顶点的等腰R ｔ△ＡＢC ，Ｒt △CEF,∠A ＢC ＝∠C ＥＦ=90°，连接AF ，M 是AF 的中点,连接MB 、M Ｅ.
（1)如图1，当CB 与ＣE 在同一直线上时，求证:MB ∥CF ；(2）如图１,若CB=a ，CE ＝2ａ，求B Ｍ，ME 的长; （3）如图2，当∠ＢCE=45°时，求证:BM=ＭE.
F
A
D
B
C
E
--
7、如图，在平面直角坐标系中，A (4,0),Ｂ (0,4)。

点N 为OA 上一点，ＯＭ⊥BN 于Ｍ,且∠O ＮB=45°+∠ＭON 。

（1）求证：ＢN 平分∠OBA ； （2
）求
BN
MN
OM 的值;
（3）若点Ｐ为第四象限内一动点，且∠A ＰO =1３５°,问AP 与BP 是否存在某种确定的位置关系?请证明你的结论。