2019江淮十校理科数学试卷含答案
数学理科
1.已知集合?
?????≠+
==0,1|x x x y y A ，集合{}04|2≤-=x x B ,若P B A = 则集合P 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16
2．复数 满足2|43|=++i z ，则z z ?的最大值是( ) A ．7
B ．49
C ．9
D ．81
3.设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知向量,a b 均为非零向量，()
2,a b a a b -⊥=，则,a b 的夹角为（） A ．
6πB ．3
π
C ．23π
D ．56π
5.已知1
3
3
1ln ,,log x y e z ππ-===,则( )
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y x <<
D ．y z x <<
6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德
国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为( )
A
B
C
D
7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）
A ．对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线
B ．对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线
C ．当点F 从1A 运动到1
D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变．小．
8..某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在()
s x s x +-,内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）
A ．56%
B ．14%
C ．25%
D ．67%
9..将余弦函数的图像向右平移
2
π
个单位后，再保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半,得到函数)(x f 的图像，下列关于)(x f 的叙述正确的是（ ）
A.最大值为1，且关于??
?
??0,43π对称； B.周期为π，关于直线2π=x 对称；
C.在??? ??-8,6ππ上单调递增，且为奇函数；
D.在??
?
??40π，上单调递减，且为偶函数.
10..对任意实数x ，恒有01≥--ax e x
成立，关于x 的方程01ln )(=---x x a x 有两根为
)(,2121x x x x <，则下列结论正确的为（ ）
A ．221=+x x
B ．121=?x x
C ．
22
1
=x x D ．12x e x =
11.已知双曲线C:122
22=-b
y a x 的两条渐近线分别为,21l l 与A 与B 为1l 上关于坐标原点对称
的两点，M 为2l 上一点且e k k BM AM =?，则双曲线离心率e 的值为（ ） A. 5 B. 2
1
5+ C. 2 D. 2
12.在四面体ABCD 中，若AD DB AC CB 1====，则当四面体ABCD 体积的最大时其外接球表面积为（） A ．π35 B ．
π3
4
C ．π
D ．π2 二．填空题(每题5分，共20分)
13已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥??
-≤??+-≤?
，则目标函数2z x y =+的最小值为________
14．已 知 5(1)(2)x x a ++的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 2, 则 其 展 开 式 中 含2x 项 的 系 数 是 _______
15.关于x 的方程0c o s 2s in =++a x x 在??
?
??20π，内有解，则实数a 的取值范围是__________
16. 已知抛物线C :y x 42
=的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线与B A ,两点且FB AF 2
λ=
()为非零常数λ，以A 为切点作抛物线C 的切线交直线：1-=y 与M 点，则MF 的长度
为__（结果用含λ式子表示）
17. 数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()1216++=n n n S n （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141
n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：2
1<
n T
18ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若C B A 2
2
2
s i
n 3s i
n s i n
=-,3
2
2sin =
A ，且0>?AC BA ， （1）求C
B
sin sin ； （2）若2=a ，求ABC ?的面积。
19如图，四面体ABCD 中,ABC ?是正三角形，ACD ?是直角三角形，
,ABD CBD AB BD ∠=∠=．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）若点E 为DB 中点，求二面角D AE C --的正弦值.
20．如图，已知()()0,1,0,1B A -Q 、G 分别为 的外心、重心， . （1）求点C 的轨迹E 的方程.
（2）是否存在过)1,0(P 的直线L 交曲线E 与M,N 两点且满足2=，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由。
21.已知函数()14
1cos 2
-+=x x x f
(1) 证明:0)(≤x f , ???
??
?-
∈2,2ππx (2) 判断()x f y =的零点个数，并给出证明过程。
22.棋盘上标有第0，1，2，???，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P .
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X 的分布列与数学期望；
（3）求,99P ,100P 的值.
理科数学参考答案
一．选择题 1.B
解析：{}22|≥-≤=y y y A 或 ，{}22≤≤-=x B 则{}2,2-=?B A 所以P 的子集个
数为四个,选B. 2.B
解析：令yi x z += 则有()()4432
2
=+++y x ，2
2y x z z +=?所以其最大值为
()49522=+选B.
3. B
.∵,,a b c 为正数，∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则()2
22+->a b ab c ，即()2
222+>+>a b c ab c ，
>a b c +>，成立，即必要性成立，
则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 4.B
解析：∵()
2a b a -⊥ ∴2
2
20,2cos ,0a b a a b a a b -=-=即,
∵=a b ,
∴1cos ,2a b =
，∴,a b 的夹角为3
π
故选：B 5．C
解析：根据对数函数的单调性可以得到113
3
ln ln 1,log log 10,x e z ππ=>==<=根据指数函
数的性质可得()1
3
0,1,y e z y x -
=∈∴<<，故选C .
6 A
解析：如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是
2
226
3
ππ?=
，
ABC ?的面积是1222??=
所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，
即
2323
π
π?-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率是
()
3
23
3232231--=
--
πππ故选A
7.C
解析：因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误； 平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交， 所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误； F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大 故C 正确；
平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误. 故选C. 8.A 解析：363637374440434443
409
x ++++++++=
=,
21616991609169100
99
s ++++++++==
103s =
,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,3
3??
???内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于5
05609
≈，故选A.
9 C
解析：由题意可知()x x f 2sin =则只有C 选项符合 答案：C 10.B
解析：对任意实数x ，恒有01≥--ax e x
成立，则可得1=a ，关于x 的方程
01ln )(=---x x a x 转化为1
1
ln -+=x x x ，若1x 满足11ln 111-+=x x x ，则有1111
1ln 1
11-+=x x x 结合原方程有两根
为)(,2121x x x x <，所以即1
21
x x =121=?x x 故选B 11.B
解析：a
c
e a b k k BM AM ===?22，由于222a c b -=则解得215+=e ，选B
12.A
解析：如图，取AB 中点E ，连接CE ，DE ，设2(01)A B x x =<<，
则C E D E ==
∴当平面ABC ⊥平面ABD 时，四面体体积最大，
四面体的体积
3111123233V x x x =??=-．21
'3V x =-，
当x ?∈ ??
时，V
为增函数，当
x ?∈????时，V 为减函数，
则当x =
V 有最大值 ABC ?与ABD ?外接圆的半径4
6
=r ，则四面体ABCD 的外接球半径12
52222=
-=x r R 所以时其外接球表面积为π3
5 ，选A
二．填空题 13：
2
3 14. -30 15[)
1,5-- 16.λ
λ1
+
17.(1) ① ②............3分 ①-②得
（2）
()()6121n S n n n =++()()16121,2n S n n n n -∴=--≥2
1211n n a n n a a n ===∴=当时，符合上式.2111114122121411111111233521
21111221n n n
b a n n n T n n n n N +
??
===- ?
--+-??
??
∴=-+-++- ?-+?
?
??=
- ?+??∈
....................................................................10分 18.
解
析
：
（
1
）
由
>?可得