数学分析6.3泰勒公式(练习详解)
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第六章 微分中值定理及其应用
3 泰勒公式练习题
(下载后用WORD 打开就能看到公式，谁知道怎么解决这个问题，加QQ12332954教我，谢谢~)
1、求下列函数带佩亚诺余项的麦克劳林公式. (1)f(x)=
√1+x
; (2)f(x)=arctanx 到含x 5的项; (3)f(x)=tanx 到含x 5的项.
解：(1)f ’(x)=2√(1+x)3, f ”(x)=
4√(1+x)5
, …, f (n)
(x)=
n 2n √(1+x)2n+1
.
∴f (n)(0)=
(−1)n (2n−1)!!
2n
,
∴√1+x
=1+(−12)x+3
4·2！x 2+…+(-1)n (2n−1)!!2n n!x n +o (x n ).
(2)∵f ’(x)=(1+x 2)-1, f ”(x)=-2x(1+x 2)-2,
f ”’(x)=-2(1+x 2)-2+8x 2(1+x 2)-3, f (4)(x)=24x(1+x 2)-3-48x 3(1+x 2)-4, f (5)(x)=24(1+x 2)-3-288x 2(1+x 2)-4+384x 4(1+x 2)-5.
∴f(0)=0, f ’(0)=1, f ”(0)=0, f ”’(0)=-2, f (4)(0)=0, f (5)(0)=24. ∴arctanx=x −x 33
+x 5
5+o (x 5).
(3)∵f ’(x)=sec 2x, f ”(x)=2sec 2xtanx,
f ”’(x)=4sec 2xtan 2x+2sec 4x, f (4)(x)=8sec 2xtan 3x+16sec 4xtanx, f (5)(x)=16sec 2xtan 4x+88sec 4xtan 2x+16sec 6x.
∴f(0)=0, f ’(0)=1, f ”(0)=0, f ”’(0)=2, f (4)(0)=0, f (5)(0)=16. ∴tanx=x +x 33
+
2x 515
+o (x 5).
2、求下列极限. (1)lim
x→0
e x sinx−x(1+x)
x 3
; (2)lim x→∞[x −x 2ln (1+1x )]; (3)lim x→0
1x (1
x
−ctanx).
解：(1)∵e x
sinx =[1+x+x 22
+x 3
6
+o (x 3
)][x −x 36
+o (x 3
)]=x+x 2+x
3
3
−
x 512
−
x 636+o (x 3),
∴lim
x→0
e x sinx−x(1+x)
x 3
=lim
x→0
x 33−x 512−x 6
36
+o(x 3)x 3
=lim x→0(1
3
−
x 212
−
x 336
+
o(x 3)x 3
)=1
3.
(2)∵ln(1+1x
)=1x
−
1
2x
2
+o (1
x 2)， ∴lim x→∞
[x −x 2ln (1+1
x )]=lim x→∞
[x −(x −1
2
)+
o(1
x
2)
1x 2]=1
2.
(3)lim x→0
1x (1x
−ctanx)=lim
x→0
sinx−xcosx x 2sinx =lim
x→0
x−x 36+o (x 3)−x[1−x 22
+o (x 3)]x 2sinx
=lim x→0x
3
+o (x )sinx
=lim
x→0
x sinx (1
3
+o(x)x
)=1
3.
3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式: (1)f(x)=x 3+4x 2+5, 在x=1处; (2)f(x)=
11+x
, 在x=0处.
解：(1)f ’(x)=3x 2+8x, f ”(x)=6x+8, f ”’(x)=6, f (n)(x)=0, (n ≥4). ∴f(1)=10, f ’(1)=3+8=11, f ”(1)=6+8=14, f ”’(1)=6, f (n)(1)=0, (n ≥4). ∴f(x)=10+11(x-1)+7(x-1)2+(x-1)3. (2)f ’(x)=−1(
1+x )2
, f ”(x)=2
(
1+x )3
,…, f (n)
(x)=(−1)n n!(
1+x )n+1
, f
(n+1)
(x)=
(−1)n+1(n+1)!(1+x )n+2
.
∴f(0)=1, f ’(0)=-1, f ”(0)=2,…, f (n)(0)=(-1)n n!, f (n+1)(0)=(-1)n+1(n+1)!. ∴f(x)=1-x+x 2
+…+(-1)n x n
+(−1)n+1
(1+θx
)n+2
x n+1
, (0<θ<1).
4、估计下列近似公式的绝对误差.
(1)sinx ≈x −x 3
6
, 当|x|≤1
2
; (2)√1+x =1+x
2
−x 2
8
, 当x ∈[0,1].
解：(1)sinx=x −x 36
+
x 5
sin(θx+5π
2)
120
, (0<θ<1).
∴公式的绝对误差：|R 4(x)|=|x 5sin(θx+
5π2
)120
|≤|x|5
120=13840, |x|≤1
2.
(2)√1+x =1+x
2−x 2
8+
3
16√(1+θx )5
, (0<θ<1).
∴公式的绝对误差：|R 2(x)|=|316√(1+θx )
5
|≤1
16, x ∈[0,1].