泰勒公式与极值问题
数学分析刘玉琏17-4
f ( n1) ( x0 h) n1 h . ( n 1)!
3
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
定理17.9(泰勒定理,P134) 设函数 f 在点P0(x0,y0)的某邻域 U(P0)有直到n+1 阶连续偏导数，则对U(P0)内任一点(x0+h , y0+k), 存在相应的θ∈(0,1)，使得 f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 1 n ( h k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) 2! x y n ! x y 1 n1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ). ( n 1)! x y m m m i 其中 h k f ( x0 , y0 )= C m i m i f ( x0 , y0 )hi k m i . y x y i 0 x 2 如 ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y
9
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
一般地(P138)，设P0是函数 f 的稳定点，并且
f xx ( x0 , y0 ) A,
则有：
f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
(1) AC－B2 > 0 时具有极值，且 当 A < 0 时有极大值，
因此 x y z 3 V . 由题知使材料最省，只须表面积最小.
S有最小值， 而S(x,y)仅有一个稳定点，故当 x y z 3 V 时， 从式与极值问题
例 某厂生产甲产品x吨，乙产品y吨时，总成本为
泰勒公式与极值问题
纯偏导
2 z 2 z z z f ( x , y ), f yx ( x , y ) xy y x xy x y yx
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 1 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1，
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
f x ( x 0 , y0 ) 0 ，
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
证
不妨设 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有极大值,
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0,
C f yy (0,0) 0.
AC B 2 9 0.
因此，驻点 (0, 0) 不是极值点.
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0,
B f xy (1,1) 3, C f yy (1,1) 6.
f ( x0 h , y0 k ) 1 1 h k f ( x0 , y0 ) h k y (n 1)! x y i 0 i ! x
n i n 1
f ( x0 h , y0 k ).
得驻点 ( 1 , 1 ) 和 ( 1 , 1 ) , 2 2 2 2
因为 lim
x y
x y 0 2 2 x y 1
即边界上的值为零.
x y 因为 lim 2 0 2 x x y 1
y
即边界上的值为零.
9.二元函数泰勒公式
二元函数的泰勒公式
型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) y x n 1 h k f ( x 0 , y0 ) n! x y
1 h k ( n 1)! x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
二元函数的泰勒公式 显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ). 利用一元函数的麦克劳林公式, 得
泰勒公式与极值问题
⎧ x2 − y2 2 2 , x + y ≠0 ⎪ xy 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪0, 2 2 + =0 x y ⎩
4. 混合偏导
f xyx ( x , y ), f xxy ( x , y ), f yxx ( x , y ).
是否一定相等?何时相等?
若Z=f(x,y)的两个偏导函数 fx(x,y)与fy(x,y)关于x和y存在偏导数，则称 f(x,y)具有二阶偏导数。 z=f(x,y)的二阶偏导数有四种情形：
分析:
f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ) f x ( x , y ) = lim , Δx →0 Δx
Δy →0
f xy ( x , y ) = lim
Δy →0
f x ( x , y + Δy ) − f x ( x , y ) Δy
f y ( x + Δx , y ) − f y ( x , y ) Δx
§4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 问题：
1. 以下符号的含义:
∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2 z , f xy ( x , y ), , f yx ( x , y ), , f yy ( x , y ). , f xx ( x , y ), 2 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x
2. 二阶偏导数的定义(极限形式). 3. 典型例子:求二元函数f(x,y)在的二阶偏导数:
ϕ ( x ),ψ ( y )
问题答：
5. 若记 则
ϕ ( x ) = f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ), ψ ( y ) = f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ),
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件泰勒公式是利用多项式函数在某一点处的极限，展开它(函数)成无穷多个加和，使得函数值在这一点变得更加精确，或让这一点附近的计算更加容易，从而计算出更接近函数真实值的近似值。
泰勒公式是在多项式函数中提出来的极大极小值判定的一种常用充分条件。
一、泰勒公式泰勒公式通常用来计算多项式函数在某一特定点处的极限值，也可以用来估计函数的值。
它由物理学家、数学家泰勒提出，展开它一般有两种形式，即展开到第n项，前n项和后n项各自构成一种展开形式。
1. 展开到第n项：f(x)=f(a)+[f'(a)](x-a)+[f”(a)]/2!(x-a)2+……+[f(n)(a)]/n!(x-a)n。
2. 前n项展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"/2!(x-a)2+……+f(n)(a)(x-a)n-o(x-a)n+1。
二、极值判定的充分条件极值判定的充分条件是当函数的一阶导数或二阶导数等于零时，函数就可能有极值。
根据极值的定义，可以得出三类极值判定充要条件:1. 一阶导数判定：f′(x)=0或无限大无限小，则此点可能是极大值点，或者极小值点。
2. 二阶导数判定：当二阶导数f″(x)存在，若此点是极大值点，则f″(x)<0，反之，若此点是极小值点，则f″(x)>0。
3. 三阶导数判定：当函数的三阶导数f‴(x)存在，若此点是极大值点，则f‴(x)>0；反之，若此点是极小值点，则f‴(x)<0。
总结：1. 泰勒公式是一种可以解决多项式函数某一特定点处极限值的计算方法，展开形式有展开到第n项和前n项展开两种形式。
2. 极值判定的充分条件是函数的一阶导数或双阶导数等于零时，函数就可能有极值，根据此定义，可以得出判定极值的一阶，二阶及三阶导数判定条件。
泰勒公式例题
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos x x x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限 。
第三节++泰勒定理+函数极值判定
第三节 泰勒定理，函数极值判定§3.1 泰勒定理当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。
如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。
若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x０）２＋……＋a n (x-x ０)n (1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a２，……，f(n) (x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n ( 因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢， 由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则 f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１ k 与f（n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒( Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n (1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。
泰勒公式极限
泰勒公式极限泰勒公式极限数学中，泰勒公式是一种重要的公式，在微积分和数学分析中被广泛地应用。
其本质是利用函数在某个点的各阶导数与函数在该点的极限值之间的关系，来近似表示函数在该点附近的值。
而泰勒公式的极限是一个有趣的话题。
泰勒公式的类型泰勒公式分为多项式型和幂级数型两种类型。
多项式型泰勒公式是指用n 阶多项式近似表示函数的值，具体表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
当 n 取值较大时，该近似表示的精度越高。
而一阶泰勒公式时，相当于是对函数做一次线性近似。
幂级数型泰勒公式是指利用某个点的无限阶导数来表示函数的无限项幂级数。
在数学分析中，幂级数是一种连续的函数。
具体的幂级数公式为：f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
泰勒公式的极限极限是微积分的一个关键概念，泰勒公式的极限即为函数在某个点处的极限值。
当在某个点a 处用多项式或幂级数来近似表示函数f(x) 时，通过取极限可以得到函数在该点a 的精确值。
对于多项式型泰勒公式，当 n 取无穷大时，其极限即为 f(a)。
而对于幂级数型泰勒公式，在无限项求和的情况下，如果幂级数在某个范围内收敛，那么极限即为函数在该点的值。
泰勒公式的应用泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，并且在理论和实际应用中都有广泛的用途，如：1. 极值问题：通过泰勒公式，可以求得函数在某个点的各阶导数，进而计算函数在该点处的极值。
2. 近似计算：利用泰勒公式，可以将函数在某个点处的值近似为一阶或多阶导数的线性组合。
3. 系数计算：幂级数型泰勒公式将函数展开成无限项幂级数，提供了一种求函数系数的重要方法。
4. 函数逼近：泰勒公式可以在不需要求解函数在某个点的极限值的情况下，通过对各项导数的计算，逼近函数在该点的值。
总结泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，其极限是近似表示函数在某个点的精确值。
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
2z x 2z y x z 2x
x2
s
x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
y s
z y
2y s2
2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
z y
2y s2
.
同理可得
(4)
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
( x0 x) ( x0 ) ( x0 1 x) x
[ f x ( x0 1 x, y0 y) f x ( x0 1 x, y0 ) ] x.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
§4 泰勒公式与 极值问题
就本节自身而言， 引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰 劳公式除了用于近似计 算外, 又为建立极值判 别准则作好了准备.
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题
*点击以上标题可直接前往对应内容
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
lim
x0
f ( x0
x,
y0
y) x
f
( x0,
y0
y)
lim x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) x
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
f x y ( x0 ,
y0 )
lim lim
fx y ( x0 1 x, y0 2 y) f y x ( x0 3 x, y0 4 y)
(0 1,2 ,3 ,4 1).
(7)
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
由定理假设 fx y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连 续, 故当 x 0, y 0时, (7) 式的两边的极限存
fx yz ( x, y, z), fxz y ( x, y, z), f yz x ( x, y, z),
f y xz ( x, y, z), fz x y ( x, y, z), fz y x ( x, y, z)
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高阶偏导数解因为z 来自xy x2 y2,
z y
x2
x
y2
,
所以二阶偏导
数为
2z x2
x
y x2 y2
2xy ( x2 y2 )2
,
2z x 2 x y
y2
y
x2
y2
(x2
y2 )2
.
2z x y
y
y x2 y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
,
2z x
x2 y2
f y( x,0) x
f y (0,0)
x lim x0 x
1.
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此
先按定义把 f x y ( x0, y0 ) 与 f y x ( x0, y0 ) 表示成极限形 式.
x(x4 4x2 y2 y4)
f
y
(
x,
y)
( x2 y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0; x2 y2 0, x2 y2 0.
f x y (0,0)
lim
y0
fx (0, y) y
f x (0,0)
y lim y0 y
1,
f yx (0,0)
lim
x 0
x, y 的函数, x , x , y , y 是 s, t 的函数. 继续求 z s t s t
关于 s, t 的二阶偏导数:
2z s2
s
z x
x
s
z x
s
x s
s
z y
y s
z y
s
y s
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§4 泰勒公式与极值问题
x
z x
,
fx y(x, y)
2z x y
y
z x
,
2z z
f y x ( x,
y)
y x
x
y
,
2z z
fy y(x,
y)
y2
y
y
.
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
z 3z
x
这两个累次极限相等.
下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
定理17.7
若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续，则
fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) .
(3)
证令
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0, y0 ),
于是有 ( x) f ( x, y0 y) f ( x, y0 ).
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
2z t2
2z x2
x t
2
2z 2
xy
x t
y t
2z y 2 z 2x z 2 y
y2
t
x
t2
y
t2
;
2z s t
2z x2
x s
x t
2z x
y
x s
y t
yx
x
x2
y2
(x2
y2 )2
,
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
注意 在上面两个例子中都有 2z 2z ,
xy yx 即先对 x、后对 y 与先对 y、后对 x 的两个二阶偏导
数相等. 但是这个结论并不对任何函数都成立，例如
偏导数. 具体计算如下: z z x z y, z z x z y; s x s y s t x t y t
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
显然 z 与 z 仍是 s,t 的复合函数, 其中 z , z 是
s t
x y
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例1 求函数 z 解 由于 z
e x2y ex2y
的所有二阶偏导数和 , z 2e x2 y ,
3z y x2
.
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
( 0 1,2 1).
(5)
为了得到 f yx ,再令
( x) f ( x0 x, y) f ( x0, y),
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中值定理和泰勒公式
极值问题
则有
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
y
3
z x
22yz2x
yy(22zexx2 y)x (42eexx22yy;)
2e
x
2
y
.
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中值定理和泰勒公式
极值问题
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
x t
y s
2z y y z 2x z 2y y2 s t x s t y s t ;
2z 2z . t s s t
数学分析 第十七章 多元函数微分学