泰勒公式与极值问题
泰勒公式在考研数学的常见应用
泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式在解题中的妙用——从几道数学考研题说起泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它反映了函数在某一点处的局部行为。
在很多数学问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更简洁高效的解题方法。
本文将从几道数学考研题入手，详细阐述泰勒公式在解题中的应用，同时介绍一些应用技巧和注意事项，并进一步拓展泰勒公式在更高维度和更复杂问题中的应用。
求limx→0(1+x+x2/2−−−−−−−√)−1x−−−−−−−−−−−−−−−√ex−1ex−1这道考研题中，我们可以将函数f(x)=(1+x+x2/2)−−−−−−−−−−−−−−−√ex −1在x=0处展开成泰勒级数，然后利用级数求和的方法得到答案。
具体步骤如下：f(x)=ex−1+xex−1+x22ex−1=(x+1)+x22+O(x3)因此，limx→0f(x)=limx→0(x+1)+limx→0x22+O(x3)=12+1+0=32这道考研题可以利用泰勒公式将sinxx展开成幂级数，然后求导n 次得到答案。
具体步骤如下：y=sinxx=∑k=0∞(−1)k×x2k+O(x3)y(n)=∑k=n∞(−1)k×2k×x2k−n+O(x3)因此，y(n)(0)=∑k=n∞(−1)k×2k×1=(−1)n×2n×1=2n×(−1)n证明：(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)这道考研题可以利用泰勒公式将等式中的函数展开成幂级数，然后进行恒等变形得到答案。
具体步骤如下：f(x)=(1+x)ln(1+x)−xx=(1+x)(ln1+ln(1+x))−xx=x+x2+O(x3)−ln(1+x)+O(x3)=O(x3)因此，f(x)(0)=0+0+…=0，即(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)成立。
泰勒公式在很多数学问题中都有着广泛的应用，例如在微积分、线性代数、概率论等领域。
考研数学极值用到的不等式
考研数学极值用到的不等式
在考研数学中，求解极值问题时常常会用到以下不等式：
1.拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）：在约束优化问题中，通过引入拉格朗日乘子来构造拉格朗日函数，并利用临界点求解极值。
2.泰勒公式（Taylor's Formula）：在判断局部极值时，可以通过函数在某一点的泰勒展开，特别是二阶导数判据来分析极值性质。
如果一阶导数为0且二阶导数在该点大于0，则可能是局部最小值；若二阶导数小于0，则可能是局部最大值。
3.Jensen不等式：当处理某些期望或积分形式的函数极值问题时，可以借助Jensen不等式进行初步判断和推导。
4.均值不等式：包括算术-几何平均不等式、Holder不等式、Cauchy-Schwarz不等式等，这些不等式在证明或计算过程中经常用于估计函数值域或者确定极值的存在性。
5.KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）：非线性规划问题中的约束优化问题也可以使用KKT条件来寻找可能的全局最优解或局部最优解。
6.不等式链（Inequality Chain）：在一些复杂问题中，需要通过一系列不等式变换和应用已知的经典不等式（如AM-GM不等式、琴生不等式等）来缩小函数取值范围，进而找到极值点。
7.函数单调性的判定：根据函数的一阶导数判断函数的增减性，从而确定极大值或极小值的位置。
8.二重积分中的极值问题：可能需要用到格林定理、高斯积分以及相关的曲面积分理论，结合区域边界条件求解极值。
以上列举了考研数学中涉及求解极值问题时可能会用到的一些不等式和方法。
具体运用哪一种不等式取决于问题的具体类型和结构。
泰勒公式与极值问题
⎧ x2 − y2 2 2 , x + y ≠0 ⎪ xy 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪0, 2 2 + =0 x y ⎩
4. 混合偏导
f xyx ( x , y ), f xxy ( x , y ), f yxx ( x , y ).
是否一定相等?何时相等?
若Z=f(x,y)的两个偏导函数 fx(x,y)与fy(x,y)关于x和y存在偏导数，则称 f(x,y)具有二阶偏导数。 z=f(x,y)的二阶偏导数有四种情形：
分析:
f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ) f x ( x , y ) = lim , Δx →0 Δx
Δy →0
f xy ( x , y ) = lim
Δy →0
f x ( x , y + Δy ) − f x ( x , y ) Δy
f y ( x + Δx , y ) − f y ( x , y ) Δx
§4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 问题：
1. 以下符号的含义:
∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2 z , f xy ( x , y ), , f yx ( x , y ), , f yy ( x , y ). , f xx ( x , y ), 2 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x
2. 二阶偏导数的定义(极限形式). 3. 典型例子:求二元函数f(x,y)在的二阶偏导数:
ϕ ( x ),ψ ( y )
问题答：
5. 若记 则
ϕ ( x ) = f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ), ψ ( y ) = f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ),
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用在数学领域中，泰勒展开和泰勒公式是非常重要的概念。
它们不仅仅是数学的基本理论，还有广泛的应用，涉及到数学、物理、工程等各个领域。
本文将对泰勒展开和泰勒公式的原理和应用进行详细的讲解。
一、泰勒展开的原理泰勒展开是将一个函数在某点进行展开，使得该函数在该点处的函数值等于其展开式中前几项的和。
具体来说，泰勒展开的原理是利用函数的导数来逼近函数的值。
泰勒展开公式如下：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+…$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$a$表示展开点，$f'(a)$表示$f(x)$在$a$点的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f'''(a)$表示三阶导数，$…$表示高阶导数。
展开式总共有无限项，即展开式中包含了函数的所有导数。
如果只取展开式中的前$n$项，则可以得到如下式子：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$这就是泰勒展开的$n$阶近似公式。
二、泰勒公式的原理泰勒公式是将一个函数在某个区间内进行展开，使得该函数在这个区间内的函数值可以用展开式中的前几项来近似表示。
具体来说，泰勒公式的原理是通过多项式逼近原函数。
泰勒公式与泰勒展开的区别在于，泰勒公式是在一个区间内进行展开，而泰勒展开一般是在某一点进行展开。
泰勒公式可以表示为：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$n$表示要展开的级数，$x_0$表示展开的中心点，$R_n(x)$表示余项，表示展开式与原函数之间的误差。
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件泰勒公式是利用多项式函数在某一点处的极限，展开它(函数)成无穷多个加和，使得函数值在这一点变得更加精确，或让这一点附近的计算更加容易，从而计算出更接近函数真实值的近似值。
泰勒公式是在多项式函数中提出来的极大极小值判定的一种常用充分条件。
一、泰勒公式泰勒公式通常用来计算多项式函数在某一特定点处的极限值，也可以用来估计函数的值。
它由物理学家、数学家泰勒提出，展开它一般有两种形式，即展开到第n项，前n项和后n项各自构成一种展开形式。
1. 展开到第n项：f(x)=f(a)+[f'(a)](x-a)+[f”(a)]/2!(x-a)2+……+[f(n)(a)]/n!(x-a)n。
2. 前n项展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"/2!(x-a)2+……+f(n)(a)(x-a)n-o(x-a)n+1。
二、极值判定的充分条件极值判定的充分条件是当函数的一阶导数或二阶导数等于零时，函数就可能有极值。
根据极值的定义，可以得出三类极值判定充要条件:1. 一阶导数判定：f′(x)=0或无限大无限小，则此点可能是极大值点，或者极小值点。
2. 二阶导数判定：当二阶导数f″(x)存在，若此点是极大值点，则f″(x)<0，反之，若此点是极小值点，则f″(x)>0。
3. 三阶导数判定：当函数的三阶导数f‴(x)存在，若此点是极大值点，则f‴(x)>0；反之，若此点是极小值点，则f‴(x)<0。
总结：1. 泰勒公式是一种可以解决多项式函数某一特定点处极限值的计算方法，展开形式有展开到第n项和前n项展开两种形式。
2. 极值判定的充分条件是函数的一阶导数或双阶导数等于零时，函数就可能有极值，根据此定义，可以得出判定极值的一阶，二阶及三阶导数判定条件。
第三节++泰勒定理+函数极值判定
第三节 泰勒定理，函数极值判定§3.1 泰勒定理当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。
如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。
若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x０）２＋……＋a n (x-x ０)n (1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a２，……，f(n) (x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n ( 因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢， 由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则 f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１ k 与f（n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒( Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n (1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。
泰勒公式极限
泰勒公式极限泰勒公式极限数学中，泰勒公式是一种重要的公式，在微积分和数学分析中被广泛地应用。
其本质是利用函数在某个点的各阶导数与函数在该点的极限值之间的关系，来近似表示函数在该点附近的值。
而泰勒公式的极限是一个有趣的话题。
泰勒公式的类型泰勒公式分为多项式型和幂级数型两种类型。
多项式型泰勒公式是指用n 阶多项式近似表示函数的值，具体表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
当 n 取值较大时，该近似表示的精度越高。
而一阶泰勒公式时，相当于是对函数做一次线性近似。
幂级数型泰勒公式是指利用某个点的无限阶导数来表示函数的无限项幂级数。
在数学分析中，幂级数是一种连续的函数。
具体的幂级数公式为：f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
泰勒公式的极限极限是微积分的一个关键概念，泰勒公式的极限即为函数在某个点处的极限值。
当在某个点a 处用多项式或幂级数来近似表示函数f(x) 时，通过取极限可以得到函数在该点a 的精确值。
对于多项式型泰勒公式，当 n 取无穷大时，其极限即为 f(a)。
而对于幂级数型泰勒公式，在无限项求和的情况下，如果幂级数在某个范围内收敛，那么极限即为函数在该点的值。
泰勒公式的应用泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，并且在理论和实际应用中都有广泛的用途，如：1. 极值问题：通过泰勒公式，可以求得函数在某个点的各阶导数，进而计算函数在该点处的极值。
2. 近似计算：利用泰勒公式，可以将函数在某个点处的值近似为一阶或多阶导数的线性组合。
3. 系数计算：幂级数型泰勒公式将函数展开成无限项幂级数，提供了一种求函数系数的重要方法。
4. 函数逼近：泰勒公式可以在不需要求解函数在某个点的极限值的情况下，通过对各项导数的计算，逼近函数在该点的值。
总结泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，其极限是近似表示函数在某个点的精确值。
多元函数的Taylor公式与极值
矩阵为: H f ( x0 )
f11 f21
f12
f
22
f1n
f
2n
设u f (P)在点
f
n1
f
n
2
f
nn
x0
P0 ( x01 , x02 , , x0n ) 的所有二阶偏导数
f11
f12
f1n
f 在点P0的 Hessian
H
f
(P0 )
f21
f
22
f
2n
矩阵为:
f
n1
f
x
, y)2
3 f
2! ,
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
20
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
由假设， (t) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式的条件
于是有 (1) (0) (0) (0)
1!
2!
(n) (0) (n1) ( )
(0
1) .
n!
(n 1)!
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
11
（4）在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
f (x, y)
f
(0,0)
x
x
y
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纯偏导
2 z 2 z z z f ( x , y ), f yx ( x , y ) xy y x xy x y yx
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 1 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1，
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
f x ( x 0 , y0 ) 0 ，
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
证
不妨设 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有极大值,
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0,
C f yy (0,0) 0.
AC B 2 9 0.
因此，驻点 (0, 0) 不是极值点.
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0,
B f xy (1,1) 3, C f yy (1,1) 6.
f ( x0 h , y0 k ) 1 1 h k f ( x0 , y0 ) h k y (n 1)! x y i 0 i ! x
n i n 1
f ( x0 h , y0 k ).
得驻点 ( 1 , 1 ) 和 ( 1 , 1 ) , 2 2 2 2
因为 lim
x y
x y 0 2 2 x y 1
即边界上的值为零.
x y 因为 lim 2 0 2 x x y 1
y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
1 1 1 z( , ) , 2 2 2
2u 2 ax b e cos by, 2 y u abeax sin by. yx
2
2u 2 ax a e cos by, 2 x
u abeax sin by, xy
2
问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
定理 如果函数z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
AC B 2 6 6 ( 3)2 27 0.
因此，驻点 (1, 1) 是极小值点.
极小值 f (1,1) 13 13 3 1 1 1.
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，
偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如，显然函数 z
x2 y2
2 3
2
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
导二 函阶 数混 图合 形偏
例2
设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, 3 x 2 3 y 0, 求解方程组： 2 3 y 3 x 0.
得驻点 (0, 0), (1, 1).
2 x y, 2 y x.
f xx ( x , y ) 6 x ,
f xy ( x , y ) 3,
f yy ( x , y ) 6 y . B f xy (0,0) 3,
f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ，
f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 注意： 偏导数存在的极值点
例如，点 ( 0, 0) 是函数 z xy 的驻点，
驻点
z x y, z x (0,0) 0;
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 3 验证函数 u( x , y ) ln x 2 y 2 满足拉普拉 2u 2u 斯方程 2 2 0. x y
1 2 2 ln x y ln( x y ), 解 2 u x u y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
令
f xx ( x0 , y0 ) A ，
f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，则 (1) AC B 2 0 时具有极值，且
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； (2) AC B 2 0 时没有极值； (3) AC B 2 0 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
二 中值定理和泰勒公式
.
系
fx
若函数 f 在区域 D 上存在偏导数 , 且
f y 0 , 则 f 是 D 上的常值函数.
Taylor公式 Th 17.9 (Taylor 定理) 若函数 f 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某邻域 ( P0 ) 内有直到 n 1 阶连续偏导数 , 则 对 ( P0 ) 内任一点 ( x0 h , y0 k ) ,存在相应的 (0 , 1 ) , 使
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0,
C f yy (0,0) 0.
AC B 2 9 0.
因此，驻点 (0, 0) 不是极值点.
f xx ( x , y ) 6 x ,
f xy ( x , y ) 3,
f yy ( x , y ) 6 y . B f xy (0,0) 3,
在(0, 0) 处取得极小值. 但函数在(0, 0) 处偏导数
不存在。
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
例4
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
2 2 函数 z 3 x 4 y 例1 在 (0,0) 处有极小值．
(1)
2 2 函数 z x y 例２
在 (0,0) 处有极大值．
(2)
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
2z 2z 3z 2z 2z 求 2、 、 、 2及 3. yx xy y x x
z z 3 2 2 2 3 解 2 x y 9 xy x; 3 x y 3 y y, y x
z z z 2 3 2 6 xy , 2 x 18 xy; 6 y , 2 2 x y x 3 2 2 z z 2 2 2 2 6 x y 9 y 1, 6 x y 9 y 1. xy yx
必有
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
类似地可证
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
推广：如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必 要条件为
f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ，
1 1 所以最大值为 ，最小值为 . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.
2 条件极值拉格朗日乘数法
实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急
需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny ．设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果．
2 2
2u ( x 2 y 2 ) x 2 x y2 x2 2 2 , 2 2 2 2 2 x (x y ) (x y ) 2u ( x 2 y 2 ) y 2 y x2 y2 2 . 2 2 2 2 2 2 y (x y ) (x y ) 2u 2u y2 x2 x2 y2 2 2 2 2 2 2 2 2 0. x y (x y ) (x y )
求 z
x y 的最大值和最小值. 2 2 x y 1
解 令
( x 2 y 2 1) 2 x ( x y ) zx 0, 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)
§4 泰勒公式与极值问题
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式
一、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z 2 z z z f ( x , y ), 2 f yy ( x , y ) xx 2 x x x y y y
z y x , z y (0,0) 0.
但点 (0, 0) 不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连 续，有一阶及二阶连续偏导数，又 f y ( x 0 , y0 ) 0 ， f x ( x 0 , y0 ) 0 ,
问题的实质：求
U ( x , y ) ln x ln y
在条件
8 x 10 y 200 下的极值点．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x , y ) 0 下的可能 极值点,
先构造函数 F ( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ，其中 为某一常数，可由