泰勒公式与极值问题.37页PPT
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第三节泰勒公式-PPT精选文档
从几何上来讲，就是在 x0 点的附近可以用曲线在该 点处的切线来拟合曲线。--------以直代曲 不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。
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因此 对于精确度要求较高且需要估计误差时候 就必须用高次多项式来近似表达函数 同时给出 误差公式。 问：若f (x)在 x0 处二阶可导, 会不会有一个二次多项式来近似表示？ 若f (x)在 x0 处 n 阶可导, 结果又会如何？
π
π
x
O
-1
p2(x)
. p8( x)比 p2(在更大的范围内更接近余弦函数 x)
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lim f( x )f( x ) (1) 若 f (x )在 x 连续 , 则有 x 0 0 x
0
由极限和无穷小量间的关系
f ( x ) f ( x ) 0
f( x )f( x ) 用常数代替函 0
第三章
第三节 泰勒公式
一、问题的提出 二、泰勒公式
三、麦克劳林公式
四、泰勒公式的应用
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一、问题的提出
1、关于多项式
2 n 1 n ( x ) a a x a x a x a x 多项式 P 是最 n 01 2 n 1 n
简单的一类初等函数. 由于它本身的运算仅是 有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面， 多项式是人们乐于使用的工具. 因此我们经常用多项式来近似表达函数
O
x
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八次逼近
2 8 p ( x ) a a x a x a x 八次多项式 8 逼近 0 1 2 8 y1 p y=1 1( x) f ( x ) cos x p (x) p ( 0 ) f ( 0 ) 令： ,求出a0 1 8
多元函数的Taylor公式与极值问题课件
实际应用中的考虑因素
实际问题的背景
在应用极值理论时，需要考虑实际问题的背景和限制条件，如物 理定律、约束条件等。
数据的不确定性
在实际问题中，数据往往存在不确定性，需要考虑这些不确定性 对极值分析的影响。
模型的适用性
在应用极值理论时，需要考虑模型的适用性，确保模型能够准确 地反映实际情况。
07
与望
05
利用Taylor公式求解极
方法概述
定义
Taylor公式是用于近似表达一 个多元函数在某点附近的行 为
的公式。
形式
Taylor公式的一般形式为 f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)+12f''(a) (x−a)2+…+1n!f(n)(a)(x−a)n
+…。
应用
利用Taylor公式，我们可以找 到函数在某点的极值。
06
极求解的注事与 技巧
常见错误分析
忽视函数的定义域
在求解极值问题时，必须先确定函数的定义域，否 则可能导致错误的结论。
对导数的理解不足
导数描述了函数在某一点的切线斜率，若对导数的 理解不准确，可能导致错误的极值点判断。
未考虑多极值点的情况
在某些情况下，函数可能有多个极值点，需要全面 考虑，避免遗漏。
定义
一元函数在某点的Taylor公式是 该函数在该点附近的一个多项式 近似表示。
形式
一元函数的Taylor公式的一般形 式为 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x -a)^n/n! + Rn(x)
§4泰勒公式与极值问题
为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 17.7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0, y0 ) 连续，则
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一切 (0 1), 恒有 P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
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D
•
P1 •
•
P2
P D
凸
图 17 - 6
• P2 P D
•
D
P1•
非凸
定理17.8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两 点 P(a,b), Q(a h,b k) int D , (0 1),使得
y s
z y
s
y s
2z x 2z y x z 2x
x2
s
x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
y s
z y
2y s2
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2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 f
u2
y
uv
y
y2
v
1 y
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 17.7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0, y0 ) 连续，则
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一切 (0 1), 恒有 P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
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D
•
P1 •
•
P2
P D
凸
图 17 - 6
• P2 P D
•
D
P1•
非凸
定理17.8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两 点 P(a,b), Q(a h,b k) int D , (0 1),使得
y s
z y
s
y s
2z x 2z y x z 2x
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x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
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2z x 2
2z x y
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2
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2z y2
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1 y2
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f v
2 f u 2 f v 1 f
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y
uv
y
y2
v
1 y
《泰勒公式》PPT课件
Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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18
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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10
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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16
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
--泰勒公式与极值问题页课件 (一)
--泰勒公式与极值问题页课件 (一)泰勒公式与极值问题是高等数学中的重要内容，它们分别是函数求导和函数逼近的重要工具。
在数学的各个领域中都有广泛的应用，本文将从以下几个方面进行探讨。
一、泰勒公式泰勒公式是将一个函数表示为无穷阶可导的多项式，从而用一系列简单的函数来逼近原函数，而泰勒公式的基本形式为：$$ f(x)=f(a)+f\prime(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+R_n(x) $$其中$R_n(x)$是余项，表示当x在[a,x]之间时，函数f(x)与其在a点处的$n$阶泰勒多项式之差，可以用拉格朗日余项公式来计算。
使用泰勒公式可以方便地求解函数的导数、高阶导数，也可以用于解决一些复杂的极限问题，因此其在数学和科学中的应用非常广泛。
二、极值问题极值问题是函数研究中的重要方向之一，其主要研究对象是函数的最大值和最小值，通过研究函数的极点、导数等性质来确定其极值。
在求解一元函数的极值问题时，我们需要通过求导的方法来获得该函数的导函数，然后通过求导函数的零点来确定原函数的极值点。
而对于多元函数的极值问题，我们需要通过偏导数的方法来求解，求得函数在某一点的偏导数为0时，则该点为该函数的驻点，通过进一步研究可确定该点的极值。
在实际生活中，极值问题也有着广泛的应用，比如在工程中的优化设计问题中，可以通过求解函数的极值来确定最优解，提高工程的效率和经济效益。
三、泰勒公式与极值问题的应用泰勒公式和极值问题在工程、物理、生物、经济等领域都有着广泛的应用。
比如在金融领域中，我们需要通过泰勒公式来进行股票的预测分析，同时可以通过极值问题来寻找最优的投资方案。
在物理学中，我们需要通过泰勒公式来求解物质运动的轨迹，而极值问题则可以用于求解一些多维度的物理模型，深入研究物理运动的规律。
泰勒公式与极值问题
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f 22 x y
二、中值定理和泰勒公式
凸区域：若区域 D 上任意两点的连线都含于 D 内，则称 D 为凸区域. 若 D 为区域，则对任何 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) D 0 1 恒有 P( x1 , ( x2 x1 ), y1 ( y2 y1 )) D
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r2
注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分
方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧 与常用导数符号.
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x z z 例3 设z f ( x , )，求 2 ， . y x xy x 解 设 u x , v , 于是 z f (u, v ), y
x x 1 2 f12 3 f 22 2 f 2 y y y
f11 0 f12 1 1 f2 2 ( f 0 f x ) 21 22 y 2 y y
x 2 y
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x u x, v y
例 设 2 w . 求 xz 解:
高阶偏导数 中值定理和泰勒公式
极值问题
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一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
若这两个偏导函数仍存在偏导数， 四个二阶偏导数:
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列
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f 22 x y
二、中值定理和泰勒公式
凸区域：若区域 D 上任意两点的连线都含于 D 内，则称 D 为凸区域. 若 D 为区域，则对任何 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) D 0 1 恒有 P( x1 , ( x2 x1 ), y1 ( y2 y1 )) D
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注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分
方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧 与常用导数符号.
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x z z 例3 设z f ( x , )，求 2 ， . y x xy x 解 设 u x , v , 于是 z f (u, v ), y
x x 1 2 f12 3 f 22 2 f 2 y y y
f11 0 f12 1 1 f2 2 ( f 0 f x ) 21 22 y 2 y y
x 2 y
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x u x, v y
例 设 2 w . 求 xz 解:
高阶偏导数 中值定理和泰勒公式
极值问题
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一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
若这两个偏导函数仍存在偏导数， 四个二阶偏导数:
z f x ( x, y) , x
z f y ( x, y) y
则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列
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高中数学(人教版)泰勒公式课件PPT课件演示文稿
第22页，共27页。
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间
上用近似公式
计算Байду номын сангаас
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
A可取多大？ (1)
y
x
x3 3!
4 yx
2
y
x
x3 3!
x5 5!
(2)
6 4 2 024 6
(3)
2
4
第23页，共27页。
三、泰勒公式的应用
(一) 近似计算
(二) 求极限 (三) 其它应用
x0 )n2
用 洛 必 达
Rn( x0 ) 0
lim
R(n1) n
(
x)
xx0 n!( x x0 )
法
则
R(n1) n
(
x0
)
0
1 lim
n! x x0
R(n1) n
(
x)
R(n1) n
(
x0
)
x x0
1 n!
R(n) n
(
x0
)
0
第7页，共27页。
➢ 泰勒(Taylor)中值定理1
如果函数
(1在x0与x 之间)
用 柯
Rn (1 ) Rn ( x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
西 中 值
( 2在x0与1之间)
定 理
R(n) n
(n
)
Rn( n )
(
x0
)
(n 1)2(n x0 ) 0
R(n1) n
(
)
(n 1) !