2020年重庆八中八年级(上)能力测试数学试卷
能力测试数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列实数中，无理数是（）
A. B. C. D.
2.已知是二元一次方程mx-y=-4的解，则m的值为（）
A. 1
B. -1
C. 7
D. -7
3.已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是
（）
A. ∠A+∠B=∠C
B. a=3，b=4，c=5
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
D. a2-b2=c2
4.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图中的（）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将点A（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）
A. m＜2，n＞3
B. m＜2，n＞-3
C. m＜-2，n＜-3
D. m＜-2，n＞-3
6.关于x，y的二元次方程2x+3y=20的非负整数解的个数为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：
①k＜0：②a＞0：③当x＜3时，y1＜y2；④当x＞3时，
y1≥y2中正确的个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8.已知点（-2，y1），（-1，y2），（1，y3）都在直线y=-x+b上，则y1，y2，y3的值
的大小关系是（）
A. y1＞y2＞y3
B. y1＜y2＜y3
C. y3＞y1＞y2
D. y1＞y3＞y2
9.若直线y=-x+m与直线y=x+n的交点坐标为（a，4），则m+n的值为（）
A. 4
B. 8
C. 4+a
D. 0
10.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，
D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为
（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共10小题，共36.0分）
11.在函数y=中，自变量x的取值范围是______．
12.已知2x-y=2，则2y-4x+1=______．
13.若点A（2，n）在x轴上，则点B（n-1，n+1）在______象限．
14.一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限，化简+|3-a|=______．
15.若直线y=x+2m与直线y=2x-6的交点在y轴上，则m等于______．
16.如图，将月牙①绕点A按逆时针方向旋转得到月牙②，线段AB
与线段AC重合，连接BC，过B点作BD⊥AC于点D，若CD长
为3，BC长为，则AD的长为______．
17.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI
的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3= ．
18.已知关于x，y的二元一次方程组，则4x2-4xy+y2值为______．
19.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，
A3，…在直线上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…
依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则△A6B5B6的直角顶点B5的横坐标为______．
20.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k≠0）经过
点（m，m）（m＜0）．线段BC的两个端点分别
在x轴与直线y=kx上滑动（B、C均与原点O不重合），
且BC=．分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y=kx，直线
BP、CP交于点P．经探究，在整个滑动过程中，O、
P两点间的距离为定值，则该距离为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
21.计算：+（-1）5+（-）-1-|-|．
22.解方程组：．
23.已知一次函数图象y=kx+b经过点A（-3，1）和点B
（0，-2）．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）已知点C的纵坐标为-3，且在这个一次函数图
象上，求△AOC的面积．
24.
原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270
500餐椅b70
若购进3张餐桌18张餐椅需要1170元；若购进5张餐桌25张餐椅需要1750元．（1）求表中a，b的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将全部餐桌配套销售（一张餐桌和四张餐椅配成一套），其余餐椅以零售方式销售．设购进餐桌的数量为x（张），总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出总利润最大时的进货方案．
25.如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示
甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：
①乙晚出发1小时：②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地，其中正确的是______（填序号）．
26.我们把能被13整除的数称为“自觉数”，已知一个整数，把其个位数字去掉，再
从余下的数中加上个位数的4倍如果和是13的倍数，则原数为“自觉数”，如果数字仍然太大不能直接观察出来就重复此过程．如416：41+4×6=65，65÷13=5，所以416是自觉数；又如25281：2528+4×1=2532，253+4×2=261，26+4×1=30，因为30不能被13整除，所以25281不是“自觉数”．
（1）判断27365是否为自觉数______（填“是”或者“否”）．
（2）一个四位数n=，规定F（n）=|a+d-b×c|，如：F（2019）=|2+9-0×1|=11，
若四位数n能被65整除，且该四位数的千位数字和十位数字相同，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位数n中，F（n）的最大值．
27.△ABC是等腰直角三角形，点E为线段AC上一点（E点不和A、C两点重合），连
接BE并延长BE，在BE的延长线上找一点D，使AD⊥CD，点F为线段AD上一点（F点不和A、D两点重合），连接CF，交BD于点G
（1）如图1，若AB=，CD=1，F是线段AD的中点，求CF；
（2）如图2，若点E是线段AC中点，CF⊥BD，求证：CF+DE=BE．
28.将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（，0），B（0，1），
O（0，0）．
（1）点P为边OA上一点（点P不与A，O重合），沿BP将纸片折叠得A的对应点A′．边BA′与x轴交于点Q．
①如图1，当点A′刚好落在y轴上时，求点A′的坐标．
②如图2，当A′P⊥OA，若线段OQ在x轴上移动得到线段O′Q′（线段OQ平
移时A′不动），当△A′O′Q′周长最小时，求OO′的长度．
（2）如图3，若点P为边AB上一点（点P不与A，B重合），沿OP将纸片折叠得A的对应点A″，当∠BPA″=30°时，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
本题考查了无理数，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数含有①含π的，
②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．
2.【答案】B
【解析】解：把代入方程得：m-3=-4，
解得：m=-1，
故选：B．
把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3.【答案】C
【解析】解：A、∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
D、∵a2-b2=c2，∴b2+c2=a2，故△ABC为直角三角形．
故选：C．
根据三角形内角和定理可得A、C是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、D是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
4.【答案】B
【解析】解：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴-k＞0，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．5.【答案】D
【解析】解：将点A（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点A′（m+2，n+3），
∵点A′位于第二象限，
∴，
解得：m＜-2，n＞-3，
故选：D．
根据点的平移规律可得向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到（m+2，n+3），再根据第二象限内点的坐标符号可得．
此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
6.【答案】C
【解析】解：方程2x+3y=20，
解得：y=，
当x=1时，y=6；x=4，y=4；x=7，y=2；x=10，y=0，共4个，
故选：C．
把x看做已知数表示出y，即可确定出非负整数解．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．7.【答案】B
【解析】解：∵y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，
∴k＜0；故①正确
∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴，
∴a＜0；
当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，
∴y1＞y2，故②③错误，④错误．
故选：B．
根据y1=kx+b和y2=x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．
本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．
8.【答案】A
【解析】解：∵点（-2，y1），（-1，y2），（1，y3）都在直线y=-x+b上，
∴y1=+b，
y2=+b，
y3=-+b，
∵＞＞-，
∴+b＞+b＞-+b，
即y1＞y2＞y3．
故选A．
根据一次函数图象上点的坐标特征，将点（-2，y1），（-1，y2），（1，y3）代入直线方程y=-x+b，求得y1，y2，y3的值，然后比较y1，y2，y3的值的大小．
本题考查的是一次函数图象上的坐标特征．即在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．解答此题时，借用了不等式的基本性质来比较y1，y2，y3的值的大小．9.【答案】B
【解析】解：把（a，4）分别代入y=-x+m、y=x+n得-a+m=4，a+n=4，
所以-a+m+a+n=8，
即m+n=8．
故选：B．
把点（a，4）分别代入两直线解析式，然后把两式相加即可得到m+n的值．
本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．10.【答案】C
【解析】解：
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，AD2=12+32=10，BC2=52=25，CD2=12+32=10，BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选：C．
先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．11.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围．
此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.【答案】-3
【解析】解：∵2x-y=2，
∴原式=-2（2x-y）+1=-4+1=-3，
故答案为：-3
原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.【答案】二
【解析】解：由点A（2，n）在x轴上，得
n=0．
点B（n-1，n+1）的坐标即为（-1，1），
点B（n-1，n+1）在二象限，
故答案为：二．
根据x轴上点的纵坐标等于零，可得n的值，根据第二象限的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
14.【答案】5-2a
【解析】解：∵一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限，
∴a-2＜0，
∴a＜2，
∴+|3-a|
=+|3-a|
=2-a+3-a
=5-2a，
故答案为：5-2a．
根据一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限，可以得到a-2＜0，从而可以求得a 的取值范围，进而可以对题目中的式子化简，本题得以解决．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15.【答案】-3
【解析】解：∵直线y=x+2m与直线y=2x-6的交点在y轴上，
∴x=0，
即x+2m=2x-6
2m=-6，
m=-3．
故答案为-3．
根据一次函数的性质两条直线的交点在y轴上可得x=0，进而列方程求解．
本题考查了两条直线相交或平行问题，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
16.【答案】12
【解析】解：∵线段AB与线段AC重合，
∴AB=AC，
∵∵CD=3，BC=3，BD⊥AD
∴BD===9，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD2+81=（AD+3）2，
∴AD=12
故答案为：12
由旋转的性质可求AB=AC，由勾股定理可求BD的长，AD的长．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，求出BD的长是本题的关键．
17.【答案】18
【解析】解：过点A作AJ⊥EH，交HE的延长线于点J，
∴∠J=∠DFE=90°，
∵∠AEJ+∠DEJ=∠DEJ+∠DEF=90°，
∴∠AEJ=∠DEF，
∵AE=DE，
∴△AEJ≌△DEF（AAS），
∴AJ=DF，
∵EH=EF，
∴S△AHE=S△DEF，
同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，
S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF，
∵正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，
可得DE=5,DF=3,EF=4,
,
故△DEF是直角三角形，
S△DEF=×3×4=6，
∴S1+S2+S3=18．
故答案为：18．
正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，故直角三角形的三边分别为5、3、4，通过求△DEF的面积求出△BDC，△GFI，△AEH的面积即可．
本题考查了正方形的性质，考查了三角形面积的计算，解本题的关键是找到：
S△AHE+S△BDC+S△GFI=3×S△DEF．
18.【答案】36
【解析】解：，
①+②得：2x-y=6，
则原式=（2x-y）2=36，
故答案为：36
方程组两方程相加表示出2x-y，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】26-2
【解析】解：由题意得OA=OA1=2，
∴OB1=OA1=2，
B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2=22-2，6=23-2，14=24-2，…
∴B n的横坐标为2n+1-2，
∴点B5的横坐标为26-2，
故答案为26-2．
先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】
【解析】解：∵直线y=kx（k≠0）经过
点（m，m）（m＜0）．
∴tan∠COB==，
∴∠COB=60°，
过点C作CE⊥x轴于点E，延长CP
交x轴于点F，连接OP，如图，
则∠OCE=∠CFE=30°，
设P点坐标为（x，y）（不妨设点P
在第二象限，其他同理可求得），则OB=x，PB=y，
在Rt△PBF中，可得BF=y，
∴OF=OB+BF=-x+y，
在Rt△OCF中，OC=OF=（-x+y），
在Rt△OCE中，OE=OC=（-x+），
则CE=OE=（-x+y），BE=OB-OE=-x-（-x+y）=-x-y，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得CE2+BE2=BC2，
∴（-x+y）2+（-x-y）2=5，
整理可求得x2+y2=，
∴OP==，
即O、P两点的距离为定值，
故答案为：．
过C作CE⊥x轴，垂足为E，设P（x，y），由条件可知∠COE=60°，根据直角三角的性质可分别表示出CE和BE的长，在Rt△BCE中，可求得x2+y2的值，则可求得PO的长，可得出答案．
本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有三角函数的定义、直角三角形的性质、勾股定理、两点间的距离等．解题的关键是用P点的坐标表示出OP的距离，所以用P 点的坐标分别表示出CE、BE的长是突破口．注意方程思想的应用．
21.【答案】解：+（-1）5+（-）-1-|-|
=2-1-3-2
=-2-2
【解析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
22.【答案】解：方程组整理得：，
①+②×3得：5x=15，
解得：x=3，
把x=3代入②得：y=5，
则方程组的解为．
【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23.【答案】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，1）和点B（0，-2），
则，
解得：，
故这个一次函数的解析式为：y=-x-2；
（2）∵点C的纵坐标为-3，且在这个一次函数图象上，
∴-3=-x-2，
解得：x=1，
故C（1，-3），
故△AOC的面积为：S△AOB+S△BOC=×2×3+×2×1=4．
【解析】（1）根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-3，1）和点B（0，-2），可以求得一次函数的表达式；
（2）根据题意，求出点C的坐标，然后根据三角形面积求法得出答案．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24.【答案】解：（1）由题意得：
解得：
∴a=150，b=40．
（2）∵x+5x+20≤200，x＞0
∴0＜x≤30
由题意得：W=x（500-150-4×40）+（5x+20-4x）×（70-40）
=190x+30x+600
=220x+600
∵k=220＞0
∴W的值随x的增大而增大
当x=30时，总利润最大，最大值为：220×30+600=7200（元），5×30+20=170
∴W关于x的函数关系式为：W=220x+600 （0＜x≤30）总利润最大时的进货方案为：购进30张餐桌，170张餐椅．
【解析】（1）根据“购进3张餐桌18张餐椅需要1170元；若购进5张餐桌25张餐椅需要1750元”，列二元一次方程组求解即可；
（2）根据“该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张”得出x的取值范围，根据成套卖出获得的利润加上单张餐椅的获利额得出利润函数，再根据一次函数的性质得何时取得最大利润及利润的最大值，同时也可以明确此时的购买方案；
本题综合考查了一次函数的应用，解二元一次方程组，解一元二次方程，具有一定的综合性，难度中等略大．
25.【答案】①③④
【解析】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3-1=2小时后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3=4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3-1）=6（千米/小时），
则甲到达B地用的时间为：20÷4=5（小时），
乙到达B地用的时间为：20÷6=（小时），
∵1+=＜5，
∴乙先到达B地，故④正确；
故答案为：①③④
观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．
26.【答案】是
【解析】解：（1）2736+4×5=2756，
275+4×6=299，
29+4×9=65，
而65能被13整除，
所以，27365是自觉数，
故答案为是；
（2）∵四位数n=能被65整除，
∴四位数n=既能被13整除也能被5整除，
∵四位数n能被5整除，
∴四位数n的个位数字是0或5，
即：d=0或d=5，
∵四位数n的千位数字和十位数字相同，
∴a=c，
当d=0时，n=，
去掉个位数字0，得到三位数，
∵四位数n=能被13整除，
∴三位数能被13整除，
再去掉个位数字a，得到两位数，
则10a+b+4a=14a+b能被13整除，
∵b是四位数字的百位数字，
∴0≤b≤9，
∵1≤a≤4，
∴14≤14a+b≤65，
∴14a+b=26或39或52或65，
当14a+b=26时，b=26-14a，不存在符合题意的a，b的值，
当14a+b=39时，b=39-14a，不存在符合题意的a，b的值，
当14a+b=52时，b=52-14a，不存在符合题意的a，b的值，
当14a+b=65是，b=65-14a，此时，a=4，b=9，
即：n=4940，
∴F（4940）=|4+0-9×4|=32；
当d=5时，n=，
去掉个位数字5得到三位数，
∵四位数n=能被13整除，
∴100a+10b+a+4×5=100a+10b+20+a=100a+10（b+2）+a能被13整除，
而100a+10（b+2）+a的个位数字是a，
再去掉个位数字，得到的两位数的个位数字为（b+2），十位数字是a，
则10a+（b+2）+4a=14a+b+2能被13整除，
∵0≤b≤9，1≤a≤4，
∴16≤14a+b+2≤67，
∴14a+b+2=26或39或52或65，
当14a+b+2=26时，b=24-14a，不存在符合题意的a，b的值，
当14a+b+2=39时，b=37-14a，此时，a=2，b=9，
即：n=2925，
∴F（2925）=|2+5-9×2|=11；
当14a+b+2=52时，b=50-14a，此时，a=3，b=8，
∴n=3835，
∴F（3835）=|3+5-8×3|=16，
当14a+b+2=65是，b=63-14a，此时，a=4，b=7，
∴n=4745，
∴F（4745）=|4+5-7×4|=19，
∴F（n）的值为32或11或16或19，
即：F（n）最大为32．
（1）根据“自觉数”的方法计算即可得出结论；
（2）先确定出n既能被5整除也能被13整除，进而确定出d=0或d=5，分两种情况，利用n能13整除计算即可得出结论．
此题主要考查了新定义，数的整除问题，确定出d=0或5是解本题的关键．
27.【答案】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AB=，
∴AC=AB=，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∵CD=1，
∴AD==5，
∵F是线段AD的中点，
∴DF=，
∴CF==；
（2）过A作AH∥CD交BD于H，
∴∠AHD=∠CDH，
∵点E是线段AC中点，
∴AE=CE，
在△AEH与△CED中，，
∴△AEH≌△CED（AAS），
∴DE=EH，AH=CD，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴∠HAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠FAC，
∵DE⊥CF，
∴∠DFG=∠CDG，
∴∠AHE=∠DFG，
∴∠AHB=∠AFC，
在△ABH与△ACF中，，
∴△ABH≌△ACF（AAS），
∴BH=CF，
∵BE=BH+EH，
∴CF+DE=BE．
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=AB=，根据勾股定理得到
AD==5，根据线段的中点的定义得到DF=，于是得到结论；
（2）过A作AH∥CD交BD于H，得到∠AHD=∠CDH，根据全等三角形的性质得到DE=EH，AH=CD，推出四边形AHCD是矩形，得到∠HAD=90°，根据全等三角形的性质得到
BH=CF，于是得到结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：（1）∵A（，0），B（0，1），
∴OA=，OB=1，根据勾股定理得，AB=2，
①由折叠知，BA'=BA=2，PA=PA'，
∴OA'=BA'-OB=1，
∴A'（0，-1）；
②∵A′P⊥OA，
∴∠APA'=90°，
由折叠知，∠BPA=∠BPA'=（360°-∠APA'）=135°，
∴∠BPO=45°，
∴OP=OB=1，
∴PA'=PA=OA-OP=-1，
∴A'（1，1-），
∵B（0，1），
∴直线A'B的解析式为y=-x+1，
令y=0，得，-x+1=0，
∴x=，
∴Q（，0），
∴OQ=，
∵线段OQ在x轴上移动得到线段O′Q′（线段OQ平移时A′不动），要△A′O′Q′周长最小，
则有，PA'是O'Q的垂直平分线，P是垂足，
∴PO'=O'Q'=OA=，
∴OO'=OP-PO'=1-；
（2）如图，在Rt△AOB中，OA=，OB=1，
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=30°
∵∠BPA''=30°，
∴∠APA''=150°，
由折叠知，∠APO=∠A''PO=（360°-150°）=105°，
过点P作PG⊥OA于G，
在Rt△PGA中，∠APG=60°，
∴∠OPG=45°，
设PG=m，
在Rt△POG中，AG=PG=m，
在Rt△PGO中，OG=PG=m，
∴OA=OG+AG=m+m=，
∴m=，
∴OG=PG=，
∴P（，）．
【解析】先利用勾股定理求出AB=2，
（1）①利用折叠求出BA'，再利用线段的和差求出OA'即可得出结论；
②先由折叠求出∠BPA=135°，进而求出OP=1，即可求出PA'，求出点A'的坐标，从而求出直线A'B的解析式，求出OQ的长度，最后用等腰三角形的三线合一即可得出结论；（2）先求出∠OPA=105°，再构造直角三角形，建立方程即可求出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理，待定系数法，直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形求出点P的坐标．