保险精算学-趸缴纯保费(1)
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所谓生者利，指生存者对共有财产中 死者权利部分的享有权.
纯粹生存年金的现值
生者利原理
0时刻此 人群共 缴纳钱
数
t时刻还存 活的人所领 取的保险金 在0时刻的
现值
t
5.2.1 1元保险金的终身寿险
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
dx 1 dx+1 1 dx+2 1
年龄 x
x+1 x+2 x+3
共交 0.25 4 1.00（元）
假设利率i 100%，则1 年末变为 0.25 4 (1100%) 2(元）
假设死亡率 50%, 则共死亡２人 .
则保险费支出１２ （ 2 元）
令
预备2: 纯粹生存年金与生者利原理
生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金.
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
解 ：x 50, i 3% .
P
10000
A50
10000
M 50 D50
10000 1,028,986 1,998,744
5148.16（ 元 ）
练习：变额保险金的终身寿险
5.2.2 定期寿险年末付的趸交纯保费
n1
A1 x ;n|
k1 k | qx
k0
n1
d k 1 xk
k0
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现
1 dx+n-1 1
x+n-1 x+n dx+n-1
dx+1(1+i)n-2 dx(1+i)n-1
另一种解法：
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险
延期m年的终身寿险
n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
趸缴纯保费的厘定 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E(zt )
第二节
死亡年末理赔的死亡保 险的现值
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年 年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随 机变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正 好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。
保险赔付金额和赔பைடு நூலகம்时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
第五章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构
人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 递归方程
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为 保险标的的一种保险。它包括以保障期内被 保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保 障期内被保险人生存为标底的生存保险和两 全保险。
A1
m x:n
A1 x:mn
A1 x:m
m
Ax
Ax
A1 x:m
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
A m x:n
m
A1 x:n
m
A1 x:n
A1 x:m
A xm:n
1
(IA)x kvk k1 px qxk
A1
j x: j
k 1
j0
n
n1
(DA)1 x:n
(n k 1)vk k1 px qxk
Ax lx= v dx+v2 dx+1+…+vn+1 dx+n +… Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
终身寿险年末付的趸交纯保费：
Ax k 1 k | qx
k0
k1 d xk
k0
lx
x k 1d x k
k0 xlx
Mx Dx
终身寿险精算现值的例子
例：假设50岁的人投保了 10000元的终身寿险，保险费 在死亡年末支付，假设年利 率按3%计算，试根据表IV计 算其精算现值.
Ax
nIqx
1 dx+n 1
x+n x+n+1
总收费：Axlx
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
dx 1 dx+1 1 dx+2 1
n|qx = dx+n/lx
nIqx
… 1 dx+n 1
年龄 x 各 支 vdx 出 V2dx+1
Vn+1dx+n
x+1 x+2 x+3
……..
x+n x+n+1
…
A1 x:n j
k 1
j0
寿险现值与终值计算的一般公式
n : 延期年数 特别：n = 0
m ：定期年数 特别：m = ∞
M∞ = 0
A Mxn Mxnm Dxnm
Dz
z : 计算价值的 时间点
0 纯 寿 险 1 双 保 险
时值正好等于将来的保险赔付金的期望 现时值。它的实质是在统计意义上的收 支平衡。是在大数场合下，收费期望现 时值等于支出期望现时值
主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
缴纯保费的差额。则，
所求趸缴纯保费=
2000
A30-1000
A1
30:5|
2000 M30 1000 M30 M35
D30
D30
622.09
5.2.3 延期的终身寿险
5.2.4 n年生死两全保险
它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终 时，都支付给付金的一种保险形式。
例：假设20年生死两全保险的保额为1000元， 试求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。
解: 所求趸缴纯保费
1000A
20:20|
1000A1
20:20|
100020
E20
1000 M20 M40 1000 D40
D20
D20
561.18
5.2.5 寿险的累积费用
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
1
1 1
dx
dx+1
dx+2
年龄 x x+1 x+2 x+3
n-1Iqx
lx
n1
d xk1 xk
k0 xl x
M x M xn Dx
例：假设30岁的人投保。保单规定: 被保险人在保 险开始5年内死亡时，给付1000元，5年后死亡之时， 给付2000元。求其趸缴纯保费。
解: 所求趸缴纯保费可以看作保额2000元的终身
寿险趸缴纯保费与保额1000元的5年定期寿险趸
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,
纯粹生存年金的现值
生者利原理
0时刻此 人群共 缴纳钱
数
t时刻还存 活的人所领 取的保险金 在0时刻的
现值
t
5.2.1 1元保险金的终身寿险
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
dx 1 dx+1 1 dx+2 1
年龄 x
x+1 x+2 x+3
共交 0.25 4 1.00（元）
假设利率i 100%，则1 年末变为 0.25 4 (1100%) 2(元）
假设死亡率 50%, 则共死亡２人 .
则保险费支出１２ （ 2 元）
令
预备2: 纯粹生存年金与生者利原理
生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金.
生存年金的精算原理是“生者利”原 则.
解 ：x 50, i 3% .
P
10000
A50
10000
M 50 D50
10000 1,028,986 1,998,744
5148.16（ 元 ）
练习：变额保险金的终身寿险
5.2.2 定期寿险年末付的趸交纯保费
n1
A1 x ;n|
k1 k | qx
k0
n1
d k 1 xk
k0
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现
1 dx+n-1 1
x+n-1 x+n dx+n-1
dx+1(1+i)n-2 dx(1+i)n-1
另一种解法：
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
终身寿险
延期m年的n年定期寿险
延期m年的终身寿险
n年期两全保险 延期m年的n年期两全保 险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义 在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值
趸缴纯保费的厘定 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E(zt )
第二节
死亡年末理赔的死亡保 险的现值
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年 年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随 机变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正 好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。
保险赔付金额和赔பைடு நூலகம்时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
第五章
人寿保险趸缴纯保费的厘定
本章结构
人寿保险趸缴纯保费厘定原理 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定 递归方程
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为 保险标的的一种保险。它包括以保障期内被 保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保 障期内被保险人生存为标底的生存保险和两 全保险。
A1
m x:n
A1 x:mn
A1 x:m
m
Ax
Ax
A1 x:m
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
A m x:n
m
A1 x:n
m
A1 x:n
A1 x:m
A xm:n
1
(IA)x kvk k1 px qxk
A1
j x: j
k 1
j0
n
n1
(DA)1 x:n
(n k 1)vk k1 px qxk
Ax lx= v dx+v2 dx+1+…+vn+1 dx+n +… Ax= v qx+v2 1|qx+…+vn+1 n|qx +…
终身寿险年末付的趸交纯保费：
Ax k 1 k | qx
k0
k1 d xk
k0
lx
x k 1d x k
k0 xlx
Mx Dx
终身寿险精算现值的例子
例：假设50岁的人投保了 10000元的终身寿险，保险费 在死亡年末支付，假设年利 率按3%计算，试根据表IV计 算其精算现值.
Ax
nIqx
1 dx+n 1
x+n x+n+1
总收费：Axlx
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
dx 1 dx+1 1 dx+2 1
n|qx = dx+n/lx
nIqx
… 1 dx+n 1
年龄 x 各 支 vdx 出 V2dx+1
Vn+1dx+n
x+1 x+2 x+3
……..
x+n x+n+1
…
A1 x:n j
k 1
j0
寿险现值与终值计算的一般公式
n : 延期年数 特别：n = 0
m ：定期年数 特别：m = ∞
M∞ = 0
A Mxn Mxnm Dxnm
Dz
z : 计算价值的 时间点
0 纯 寿 险 1 双 保 险
时值正好等于将来的保险赔付金的期望 现时值。它的实质是在统计意义上的收 支平衡。是在大数场合下，收费期望现 时值等于支出期望现时值
主要险种的趸缴纯保费的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
缴纯保费的差额。则，
所求趸缴纯保费=
2000
A30-1000
A1
30:5|
2000 M30 1000 M30 M35
D30
D30
622.09
5.2.3 延期的终身寿险
5.2.4 n年生死两全保险
它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终 时，都支付给付金的一种保险形式。
例：假设20年生死两全保险的保额为1000元， 试求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。
解: 所求趸缴纯保费
1000A
20:20|
1000A1
20:20|
100020
E20
1000 M20 M40 1000 D40
D20
D20
561.18
5.2.5 寿险的累积费用
死亡率 死亡数
qx
1Iqx
2Iqx
1
1 1
dx
dx+1
dx+2
年龄 x x+1 x+2 x+3
n-1Iqx
lx
n1
d xk1 xk
k0 xl x
M x M xn Dx
例：假设30岁的人投保。保单规定: 被保险人在保 险开始5年内死亡时，给付1000元，5年后死亡之时， 给付2000元。求其趸缴纯保费。
解: 所求趸缴纯保费可以看作保额2000元的终身
寿险趸缴纯保费与保额1000元的5年定期寿险趸
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
预备1： 延期t 年的1年定期的死亡保险
若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。
死者保单对全体保单共有财产的分享
初始人数
t 年末的 投资积累
1元赔偿
每人交的净保费
死亡人数
计算原理解释： 假设 lx 4（人）, 每人交 0.25 元,