第九讲 趸缴纯保费
第二章趸缴纯保费2
A
1 x:n
——趸缴纯保费
2－4
定期寿险趸缴纯保费的厘定
（x）在x+k到x+k+1 岁之间死亡的概率。
厘定： A
1 x:n
= E ( zk ) = ∑ v ⋅ px ⋅ qx + k
k =0 k ＋1 k 1 x:n
n −1
⇒ lx A
在x岁时lx个 参保人缴纳 的总保费
= ∑ v ⋅ d x+k
k ＋1 k =0
n −1
未来n年内保险人 赔付所有保险金 的总现值
2－5
现值随机变量的方差
公式：
Var ( zk ) = E ( z ) − E zk ) = ∑ v ⋅ px ⋅ qx + k − E ( zk ) 2 (( EZ ( EZ
2 k 2 2 k =0 n −1
2(k+1) 2 k k
第二节
死亡年末赔付 趸缴纯保费的厘定
1
死亡年末赔付
死亡年末赔付的含义
死亡年末赔付是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件 发生的当年年末给予保险赔付。 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年 末，所以死亡年末赔付时刻是一个离散随机变 量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人 签约时的“整值剩余寿命加1”。 这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险 精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方 式。
2－2
定期寿险趸缴纯保费：基本符号
设(x)投保n年定期寿险，保险金额为1元，保险 金在死亡年度末给付。 K = [T ] —— x 岁投保的人取整余寿 bK +1 —— 保险金在死亡年末给付函数，即
实验_趸缴纯保费的计算1
实验 趸缴纯保费的计算实验目的：掌握趸缴纯保费的相关知识。
要求学生熟悉死亡即付寿险、死亡年末给付的寿险的计算，同时了解死亡即付寿险与死亡年未给付寿险的趸缴纯保费的关系以及递增型寿险与递减型寿险的关系，要求学生掌握利用Excel 计算趸缴纯保费的方法。
基本假设纯保费(net prenuim)是指只覆盖保障风险的费用，不包含经营管理费用和附加利润。
在厘定纯保费时要遵循纯保费均衡原理，纯保费均衡原理是指保险人收取的纯保费应该恰好等未来的保险赔付金。
各种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都应该遵循这条基本原则。
趸缴是一种缴费形式，是指将所有的费用一次性缴清。
趸缴纯保费(net single prenuim)是指在保单生效日，被保险人一次性缴付的，恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。
运用均衡原则厘定纯保费时，一般遵循如下三条假定：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立、同分布； 假定二：实保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合； 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
以上三条假定的意义是将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故加以考虑。
对于单个被保险人而言，他何时发生风险事故，他和保险人约定的受益金额等于多少都是无法预测的，但是对于一个大数总体而言，剩余寿命的分布是有稳定的统计规律的，可以用生命表很好地测度。
所以可以用总体的剩余寿命分布来测度在各个时点的索赔发生的概率，再根据约定的各个时点的赔付额以及考虑利息因素的影响，就可以综合测定纯保费了。
趸缴纯保费的定义 赔付额现值Z 的概率分布若被保险人t 时刻死亡即刻给付1元保险赔付额，设赔付额现值变量为Z ，则x t e v Z t t -<≤==-ωδ0,其中，t 为(x)的余命，余命随机变量T(x)的概率密度函数为)()(t f x T 。
那么赔付额现值Z 小于P 的概率这：)Pr()Pr()Pr(P e P v P Z t t <=<=<-δ不等号两边同时取对数，得)ln Pr()ln Pr()Pr(δδPt P t P Z ->=<-=<也就是说，求赔付额现值Z 小于P 的概率可以转换为求余命t 大于δPln -的概率，或通过余命t 的分布可以求得保险赔付额现值Z 的概率分布。
三章寿险趸缴纯保费MicrosoftPowerPoippt课件-文档资料
10Ax
et 10
fx(t)d t 1 e 0 t0.0e4 0.0t4 d t0.4e 1
2）
2
10 Ax
e2t
10
fx(t)dt0.25e1.6
Va(z)r210Ax(10Ax)2 0.2e 5 1.60.1e6 2
四、n年期两全保险的趸缴纯保费
2） 2A310 ： 10 ＝0 10e2t fx(t)d t
。
1 e 10 2tdt
70 0
710 (21 )e2t
100.063803
0
Va (Z)r2A3 1:0 10(A3 1:0 10)20.055321
二、终身寿险趸缴纯保费
设： bt 1
2）
2Ax＝06 0e2t
1d t 60
1
e120 120
Va(zr)2Ax(Ax)2
1
e120 120
1 e6 ( 60
0
)2
三、、延期寿险的趸缴纯保费
1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费
bt
0
1
tm tm
Z
0
v T
0
fx(t)dt
2）定期寿险纯保费
( I A )1 x:n
E(Z)
n[t1]vt
0
fx(t)dt
2、保险金连续增加 bt t
1）终身寿险
（
I
A
)
x
tvt
0
fx(t)dt
2）定期寿险
（ I A ) 1 x:n
ntvt
0
t
第七章 人寿保险的趸缴纯保费(2)
• 趸缴纯保费的厘定
– 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E ( zt )
11
死亡即刻赔付
• 死亡即刻赔付的含义
– 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。 – 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
12
1．定期寿险
假设 A 表示即时给付的n年定期寿险的趸缴 纯保费，则
1 x:n
A
1 x:n
E ( zt ) zt fT (t )dt
0
n
v t t px x t dt
0
n
13
2、终身寿险
• 定义 – 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保 险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 (x • 假定： ) 岁的人，保额1元终身寿险 • 基本函数关系
20
趸缴纯保费递推公式
• 公式三：
Ay v
x y
x y 1
q x (1 Ax 1 )
解释 –(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险 成本的现值之和。
21
例7.3
• 设
x S ( x) 1 100 i 0.1
, 0 x 100
• 计算
（1 A30:10 ） 1 (2)Var ( zt )
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
zt bt vt vt , t 0
14
终身寿险趸缴纯保费的厘定
保险精算学-趸缴纯保费
保险精算学-趸缴纯保费一、介绍保险精算学是一门研究如何根据统计学和数学原理来评估和管理保险风险的学科。
其中，趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念。
本文将介绍趸缴纯保费的含义、计算方法以及在保险业中的应用。
二、趸缴纯保费的含义趸缴纯保费是指被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
这意味着保险公司承当了保险风险，并且不提供任何现金价值或投资回报。
趸缴纯保费通常应用于寿险和意外险等风险较高的保险产品。
三、趸缴纯保费的计算方法趸缴纯保费的计算方法主要基于统计模型和风险评估。
以下是常用的计算方法：1. 人寿保险中的趸缴纯保费计算方法在人寿保险中，趸缴纯保费的计算通常基于年龄、性别、保额和保险期限等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 预期死亡率 × 保额 × 保险期限其中，预期死亡率是根据历史数据和统计模型计算得出的，它表示了某一年龄段人群的平均死亡概率。
2. 意外险中的趸缴纯保费计算方法在意外险中，趸缴纯保费的计算通常基于被保险人的职业、年龄、性别和保险金额等因素。
常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 根底保费 × 职业系数 × 年龄系数其中，根底保费是根据保险公司的费率表确定的，职业系数和年龄系数是根据不同职业和年龄段的保险风险进行评估得出的。
四、趸缴纯保费的应用趸缴纯保费在保险业中有着广泛的应用。
以下是一些应用场景：1. 个人寿险在个人寿险中，趸缴纯保费常用于购置寿险保单。
被保险人一次性支付趸缴纯保费后，保险公司承当了与被保险人生命风险相关的保险责任。
2. 团体意外险在团体意外险中，趸缴纯保费通常用于覆盖公司员工的意外风险。
员工支付趸缴纯保费后，保险公司将提供相应的意外保障。
3. 旅行险在旅行险中，趸缴纯保费可用于购置旅行期间的保险保障。
旅客支付趸缴纯保费后，保险公司将承当与旅行相关的风险，例如医疗费用、航班延误等。
五、结论趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念，它是被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。
《趸缴纯保费》PPT课件_OK
解：
1 Ax
0 zt . fT (t )dt
1 60
60 e t dt
0
1 [ 1
60
e t
/
60 0
]
1 e 60
60
(
0)
9
2Var(Z ) 2 A ( A)2
1 e 120
(1 e60t )2 (
0)
120
60
3P ( Z
0.9 )
P(vT
0.9 )
P(T
ln 0.9 )
为10元的终身寿险，随机变量T的概率密度函数是fT (t) e－t , 0.04, t 0。保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项 基金中按利息力＝0.06计息支付。试计算这项基金在最初（t 0)时
的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人 的死亡给付的概率达到95％。
范围内的死亡，保险人均给付保险金。
➢ 假定：（x)岁的人投保终身寿险，保险金额为1元
bt 1, t 0 vt vt ,t 0
Z bT vT vT ,T 0
终身寿险的趸缴纯保费：
Ax E(Z )
7
Ax E(Z )
0 zt . fT (t )dt
0
v
t
.t
p
x
.
x
t
dt
解：令Zj表示第j个被保险人的死亡给付在签单时的现值( j 1,..100)
对每个被保险人都有：
vt
bt 10, t 0 v t , t 0, v e0.06
Z j 10vT
100
令Z Z j j 1
11
Ax
0 zt . fT (t )dt
保险精算学趸缴纯保费
一年递增m次
将每一个保单年度分为均等的m个时间段， 如被保险人在第一保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
21
Ax:n
1
( Ax:n
)2
5、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死 亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期 满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生 存保险加上n年定期寿险的组合。
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例4.3.3答案
(1)
保险利益： 如被保险人在第一保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金1元， 如被保险人在第二保单年度内死亡，
则在死亡时立即给付保险金2元， 。。。。。
《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费
《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费第一节保费简介一、保费的构成二、保费的分类1、按保费缴纳的方式分：一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费2、按保险的种类分：只覆盖死亡的保险：纯寿险保费只覆盖生存的保险：生存险保费既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费在前两章中，我们已经学过各险种场合趸缴纯保费的确定：（1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）终身寿险趸缴纯保费：年延期终身寿险趸缴纯保费：年定期寿险趸缴纯保费：年延期年定期寿险趸缴纯保费：（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）年定期生存险趸缴纯保费：终身生存年金趸缴纯保费：年延期终身生存年金趸缴纯保费：年定期生存年金趸缴纯保费：年延期年定期生存年金趸缴纯保费：（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）年定期两全险趸缴纯保费：第二节净均衡保费一、净均衡保费与趸缴纯保费的关系1、纯保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。
L=给付金现值-纯保费现值E（L）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）二、各险种净均衡保费的厘定1、完全连续净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全连续净均衡年保费总结完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险2、完全离散净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险3、半连续纯年保费的厘定（1）终身寿险半连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式）Ø厘定过程：完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定Ø 终身寿险年缴 次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年缴费 次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）Ø 厘定过程：二、毛保费的确定1、毛保费的定义：保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为：G2、毛保费厘定原则基本原则：精算等价原则毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用的精算现值=各种给付精算现值+各种费用支出精算现值三、单位保单费用1、保单费用：在保险费用中，有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。
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纯保费厘定的基本假定
三个基本假定条件:
同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿 命是独立同分布的。 被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行 拟合。 保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定 利率）。
净保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质 是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时值
1 = ( M x + M x+1 + M x+2 + ... + M x+n−1 − nM x +n ) Dx 1 ( Rx − Rx+n − nM x +n ) = Dx
( IA) 1
x: n
1 = ( Rx − Rx + n − nM x + n ) Dx
2 递增的终身寿险
( IA) x = ∑ (k + 1)v k +1 k qx
× d x +k n−1 Cx+k = ∑ (k + 1) x v lx Dx k =0
1 (Cx + 2Cx+1 + 3Cx +2 + ... + nCx+ n−1 ) = Dx
1 = [(Cx + Cx+1 + ... + Cx +n−1 ) + (Cx +1 + Cx+2 + ... + Cx +n−1 ) + ... + Cx+n−1 ] Dx = 1 ( M x − M x+ n + M x+1 − M x +n + ... + M x +n−1 − M x+ n ) Dx
= = = = =
1 [n( M x − M x+n ) − (Cx+1 + Cx+2 ... + Cx+n−1 ) − (Cx+2 + Cx+3 + ... + Cx+n−1 ) − ... − Cx+n−1 ] Dx 1 [nM x − nM x+n − ( M x+1 − M x+n ) − ( M x+2 − M x+n ) − ... − ( M x+n−1 − M x+n )] Dx 1 [nM x − nM x+n − ( M x+1 + M x+2 + ... + M x+n−1 ) + (n − 1) M x+n ] Dx 1 [nM x − ( M x+1 + M x+2 + ... + M x+n−1 + M x+n )] Dx nM x − ( Rx+1 − Rx+ n+1 ) Dx
t 0 0
n
n
2
A
1
= e
x:n
∫
n
0
v
2t t
p x µ x + t dt
=
∫
2
n
−2δ t t
0
p x µ x + t dt
2 T 2
Var ( Z T ) = E ( Z = A
第二章 趸缴纯保费
2.1 离散型的人寿保险模型 2.2 连续型的人寿保险模型 2.3 生存年金
保险费的种类: (1)纯保费:与死亡给付金对应的保险费 (2)总保费:包括纯保费、经营费用和利润。 纯保费又分为: (1)趸缴纯保费 (2)均衡纯保费
第一节 离散型的人寿保险模型 概念:
是以离散型未来寿命K(x)为基础,保 险金是在被保险人死亡所处的保单 年度末支付而建立的各种人寿保险 的数学模型.
( DA)
1
x:n
nM x − ( Rx +1 − Rx + n +1 ) = Dx
例题
设年龄30岁的人投保离散型的递减的20年定 期保险,保险利益是:被保险人在第一个保单年 度内死亡,给付保险金5000元;在第二个保单 年度内死亡,给付4900元;在第三个保单年度 内死亡给付4800元,依次下去,直到第20个保 单年度内死亡给付3100元,试求该保单的趸缴 纯保费.
( IA) 1
x: n
1 = ( Rx − Rx + n − nM x + n ) Dx
3递减的n年保险
( DA )
n −1
1
x :n
= nvq x + ( n − 1) v 2 1 q x + ( n − 2) v 3 2 q x + ... + 1 ⋅ v n ( n −1) q x
n −1
v x + k +1 d x + k = ∑ ( n − k ) v k +1 k q x = ∑ ( n − k ) v xlx k =0 k =0
解:保费为 P=1000A30=1000M30/D30=86.63 基金S=100P=8663 令Fk表示第k年末的基金值,则运行结果为: F0=8663 F1=8663(1+6%)=9182.78 F2=9182.78(1+6.5%)-1000=8779.66 F3=8779.66(1+6.5%)=9350.34
k =0 ∞
Rx = Dx ( IA) x = ∑ k Ax
k =0 ∞
例题
设年龄为30岁的人,购买离散的递增的30年定期保 险,保险利益是:被保险人在第一个保单年度内死亡, 则给付1000元;在第二个保单年度内死亡则给付 1100元;第三个保单年度内死亡给付1200元,依次 下去直到第30个保单年度内死亡给付3900元.试求 该保单的趸缴纯保费 .
n −1 n −1 C x+k 1 = ∑ (n − k ) = ( n ∑ C x + k − ∑ kC x + k ) Dx D x k =0 k =0 k =0 n −1
=
1 [ n ( M x − M x + n ) − ( C x +1 + 2 C x + 2 + 3C x + 3 + ... + ( n − 1) C x + n −1 )] Dx
第二节 连续型的人寿保险模型
概念:保险金是在被保险人的未来寿命 T=T(x)时给付的,即在被保险人死亡时立即 给付.
2.2.1 死亡保险
1 n年定期死亡保险
E ( ZT ) = A 1 = ∫ v t fT (t )
x:n 0 n
= ∫ v t px µ x +t dt = ∫ e −δ t t px µ x +t dt
x:n
1
x:n
= ( M x − M x + n ) / Dx + Dx + n / Dx M x + n = Dx
Ax:n = A1 + A
x:n n −1
1
x:n
= ∑ v k +1 × k qx + v n × n px
k =0
n −1
d x+n lx + n n −1 k +1 d x + n × v x v x + n × lx + n = ∑ v k +1 × + vn × = ∑v × + x x lx lx lx v lx v k =0 k =0 = ∑ Cx + k / Dx + Dx + n / Dx
n + h −1
∞
例题
证明：
h
A
1 x:n
=A
1 x:h + n
−A
1 x:h
= Ax:1 ⋅ A
h
1 x + h:n
A = =
1 x:h + n n + h −1 k =0
−A
k +1
1 x:h
∑v ∑v
k =h
×k q x − ∑ v
k =0
h −1
k +1
×k q x
n + h −1
k +1
t +1 t =0
n −1
= Ax:1 × A
h
1 x + h:n
延期终身寿险
h
Ax = ∑ v k +1 ⋅ k qx
k =h +∞ k +1
+∞
= ∑v
k =h h
d x+k M x+h ⋅ = lx Dx
h
Ax = Ax:1 ⋅ Ax + h
1 Ax:h
= Ax −
延期两全保险
h
Ax:n
h
h
A
1 x:n
=A
1 x:h + n
−A
1 x:h
= Ax:1 ⋅ A
h
1 x + h:n
h年延期的n年定期保险
h
A1 =
x:n
n + h −1 k =h
∑v
k +1
×k q x =
n + h −1
∑
k =h
v
k +1
× d x+k lx
∞
1 1 = ( ∑ Cx+k ) = (∑ C x + k − ∑ C x + k ) Dx k =h Dx k =h k =h+ n M x+h − M x+h+n = Dx