生存保险趸缴纯保费的计算公式
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寿险精算 第四讲 生存年金
《寿险精算数学》 §2.5 生存年金
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
保险精算学-趸缴纯保费(2)
i 0.1
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
寿险精算 第三讲 人寿保险的趸缴纯保费
《寿险精算数学》
人寿保险的分类
--02趸缴纯保费
• 受益金额是否恒定 • 保障标的的不同 定额受益保险 – 人寿保险（狭义） 变额受益保险 – 生存保险 • 保单签约日和保障期期始日 – 两全保险 是否同时进行 • 保障期是否有限 – 非延期保险 – 定期寿险 – 延期保险 – 终身寿险
《寿险精算数学》
《寿险精算数学》
0． 1． 2．
--02趸缴纯保费
3. 4. …… n. …… y．
x岁
x 1
x2
xn
↑
x y岁
S
图 4-5
0．
1．
x 1
2．
x2
3．
x3
×
x y
↑
4．
x4
……
n．
x岁
xn岁
S
图 4-6
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费
2.1.2 两全保险
• n年期两全保险是由n 年期生存保险和n 年定期保险 组成，假设(x)投保离散型的保额为1单位的两全保 险，则其有关函数为：
《寿险精算数学》 定期寿险
• 则其有关函数为：
未来寿命 K(x) 给付数额 B 贴现系数 V 给付现值 Z 给付概率 p
--02趸缴纯保费
0 1
1 1
2 1
… …
n-1 1
v1
v2
v3
… … …
n 1
vn
v1
v2
1|
v3
2|
vn
n 1|
qx
qx
qx
qx
•
则其趸缴纯保费为： A
1 x:n
E ( z ) v k 1 k px qx k
生存保险趸缴纯保费的计算公式
期末付定期生命年金的现值的简化计算公式:
a x:n
v
l x1 x
1
vx2lx2 L vxlx
v
l xn xn
Dx1 Dx2 L Dxn Dx
N x1 N xn1 Dx
期末付终身生命年金的现值的简化计算公式:
ax
v
l x1 x1
v x2lx2 vxlx
第一节 生命年金概述
一、生命年金 （一）生命年金的概念 （二）生命年金的趸缴纯保费 二、生命年金与确定年金的区别
第二节 期末付生命年金的现值
一、期末付定期生命年金的现值 （一）定期生命年金的概念 （二）期末付定期生命年金的现值 （三）期末付定期生命年金的现值的计算方法 二、期末付终身生命年金的现值 （一）期末付终身生命年金的概念 （二）期末付终身生命年金现值的计算方法 三、期末付延期终身生命年金的现值 （一）期末付延期终身生命年金的概念 （二）期末付延期终身生命年金现值的计算方法 四、期末付延期定期生命年金的现值 （一）期末付延期定期生命年金的概念 （二）期末付延期定期生命年金现值的计算方法
答案:545.29元。
关键概念:
生命年金 生命年金精算现值 期末付生命年金现值 期首付生命年金现值 定期生命年金 终身生命年金 延期终身生命年金 延期定期生命年金 生存保险
练习题:
1．某25岁的女性，购买一份3年期生命年金，每年末付款1000元，试根据附录中 的生命表计算在预定利率6%下的年金现值。 2．某人60岁，购买一个每年末付款1000元的终身生命年金，计算此年金的现值。 3．某人60岁，打算拿出3229元购买一个从61岁开始付款的终身生命年金，其每 年可领取多少钱？ 4．某人35岁，购买一个终身生命年金，第一次付款从50岁开始，每次付款在年 末，付款金额为1000元，计算此年金的现值。 5．某30岁的被保人，一次缴费847元，购买从60岁开始支付的终身生命年金，计 算其每年末能领取的金额。 6．某55岁的被保人购买一个10年期生命年金，每年末付款200元，第一次付款从 60岁开始，试根据附表计算此年金的现值。 7．某人40岁，欲一次缴费841.81元，购买10年期生命年金，要求每年末付款一 次，第一次付款从55岁开始，计算其能够领取的年金额。 8．某人55岁，购买终身生命年金，每年初支付年金100元，直至死亡为止，计算 此年金的现值。 9．某人46岁，投保10年期生存保险，保险金额1000元，计算其趸缴纯保费。
实验_趸缴纯保费的计算1
实验 趸缴纯保费的计算实验目的：掌握趸缴纯保费的相关知识。
要求学生熟悉死亡即付寿险、死亡年末给付的寿险的计算，同时了解死亡即付寿险与死亡年未给付寿险的趸缴纯保费的关系以及递增型寿险与递减型寿险的关系，要求学生掌握利用Excel 计算趸缴纯保费的方法。
基本假设纯保费(net prenuim)是指只覆盖保障风险的费用，不包含经营管理费用和附加利润。
在厘定纯保费时要遵循纯保费均衡原理，纯保费均衡原理是指保险人收取的纯保费应该恰好等未来的保险赔付金。
各种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都应该遵循这条基本原则。
趸缴是一种缴费形式，是指将所有的费用一次性缴清。
趸缴纯保费(net single prenuim)是指在保单生效日，被保险人一次性缴付的，恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。
运用均衡原则厘定纯保费时，一般遵循如下三条假定：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立、同分布； 假定二：实保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合； 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
以上三条假定的意义是将单个被保险人的风险事故转化为一个同质总体的风险事故加以考虑。
对于单个被保险人而言，他何时发生风险事故，他和保险人约定的受益金额等于多少都是无法预测的，但是对于一个大数总体而言，剩余寿命的分布是有稳定的统计规律的，可以用生命表很好地测度。
所以可以用总体的剩余寿命分布来测度在各个时点的索赔发生的概率，再根据约定的各个时点的赔付额以及考虑利息因素的影响，就可以综合测定纯保费了。
趸缴纯保费的定义 赔付额现值Z 的概率分布若被保险人t 时刻死亡即刻给付1元保险赔付额，设赔付额现值变量为Z ，则x t e v Z t t -<≤==-ωδ0,其中，t 为(x)的余命，余命随机变量T(x)的概率密度函数为)()(t f x T 。
那么赔付额现值Z 小于P 的概率这：)Pr()Pr()Pr(P e P v P Z t t <=<=<-δ不等号两边同时取对数，得)ln Pr()ln Pr()Pr(δδPt P t P Z ->=<-=<也就是说，求赔付额现值Z 小于P 的概率可以转换为求余命t 大于δPln -的概率，或通过余命t 的分布可以求得保险赔付额现值Z 的概率分布。
第三节 利用换算函数计算生存年金的趸缴纯保费
(4 103)
1
a x:n 1
1 A x:n
i
(1
i
A1 A x:n
x:
1 n
)
2
M x M xn 1 Dx n Dx Dx
(4 104)
续：
a m x
m
1
( Ax:m Ax )
1 i M x M x m Dx m i M x [ ] Dx Dx Dx 1 Dx m i M x m [ ] Dx Dx a x:n 1
N x m 1 ax m Dx
m
ax:n
N x m 1 N x m n 1 Dx S x 1 Dx S x 1 S x n 1 nN x n 1 Dx nN x 1 S x 2 S x n 2 Dx
( Ia ) x
( Ia ) x:n
1
i
ax ] ax ] d
id
1
i
1
i
( ax 1) ax d
ax ]
ax ]
v l
k k 1
xk
1 Dx
D
k 1
xk
ax
D
k 1
xk
Dx
N x 1 N x n 1 Dx
(4 97) (4 98) (4 99) (4 100) (4 101) (4 102)
或：
6000a60 100( Ia)60:19 2000 20 a60 N 60 S61 S81 20 N 81 N 81 6000 100 2100 D60 D60 D60 1 [6000 N 60 100S61 100S81 ] D60 90215.08(元)
第七章 人寿保险的趸缴纯保费(2)
• 趸缴纯保费的厘定
– 按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
E ( zt )
11
死亡即刻赔付
• 死亡即刻赔付的含义
– 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。 – 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
12
1．定期寿险
假设 A 表示即时给付的n年定期寿险的趸缴 纯保费，则
1 x:n
A
1 x:n
E ( zt ) zt fT (t )dt
0
n
v t t px x t dt
0
n
13
2、终身寿险
• 定义 – 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保 险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。 (x • 假定： ) 岁的人，保额1元终身寿险 • 基本函数关系
20
趸缴纯保费递推公式
• 公式三：
Ay v
x y
x y 1
q x (1 Ax 1 )
解释 –(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险 成本的现值之和。
21
例7.3
• 设
x S ( x) 1 100 i 0.1
, 0 x 100
• 计算
（1 A30:10 ） 1 (2)Var ( zt )
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
zt bt vt vt , t 0
14
终身寿险趸缴纯保费的厘定
两全保险趸缴净保费
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服 务费用、合同成立后的维持费、投资费用等
保险机构费用开支的一种分类方案
费用分类
投资费用
成分
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
保 险 2、维持费 费 用
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2） 风险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录 （1）保费收取及会计 （2）给付变更及理陪选择权准备 （3）与保单持有人进行联络
常见险种的半连续均衡净保费总结
险种
终身人寿保险
n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险
h
保费公式
P( Ax ) Ax ax
1 1 P( Ax ) A ax： ： n x： n n
P( Ax： ) Ax： ax： n n n
P( Ax ) Ax ax： h
i ( )(M 35 M 45 ) D45
每年缴纳数次的净保费厘定
条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。 厘定过程：（终身寿险为例）
( m) k （ 1 ）L l (T ) v t P ( m ) ( Ax ) a 1
(2) E ( L) 0 Ax P
完全离散均衡净保费
半连续均衡净保费
完全连续年缴均衡净保费的厘定 （以终身人寿保险为例）
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险 人从保单生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也 连续） 厘定过程：
（ 1 ）L l (T ) v t P ( Ax )at Ax (2) E ( L) 0 Ax P ( Ax )a x 0 P ( Ax ) ax (3)Var ( L) Var[v (1
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答案:1176.22元。
第四节 生存保险
一、生存保险的概念 二、生存保险趸缴纯保费的计算方法
生存保险趸缴纯保费的计算公式 :
n Ex
vnlxn lx
v xnlxn vxlx
Dxn Dx
知识运用 • 某人40岁，投保10年期生命保险，保险
金额1000元，利率6%，计算其趸缴纯保 费。
答案:545.29元。
关键概念:
生命年金 生命年金精算现值 期末付生命年金现值 期首付生命年金现值 定期生命年金 终身生命年金 延期终身生命年金 延期定期生命年金 生存保险
练习题:
1．某25岁的女性，购买一份3年期生命年金，每年末付款1000元，试根据附录中 的生命表计算在预定利率6%下的年金现值。 2．某人60岁，购买一个每年末付款1000元的终身生命年金，计算此年金的现值。 3．某人60岁，打算拿出3229元购买一个从61岁开始付款的终身生命年金，其每 年可领取多少钱？ 4．某人35岁，购买一个终身生命年金，第一次付款从50岁开始，每次付款在年 末，付款金额为1000元，计算此年金的现值。 5．某30岁的被保人，一次缴费847元，购买从60岁开始支付的终身生命年金，计 算其每年末能领取的金额。 6．某55岁的被保人购买一个10年期生命年金，每年末付款200元，第一次付款从 60岁开始，试根据附表计算此年金的现值。 7．某人40岁，欲一次缴费841.81元，购买10年期生命年金，要求每年末付款一 次，第一次付款从55岁开始，计算其能够领取的年金额。 8．某人55岁，购买终身生命年金，每年初支付年金100元，直至死亡为止，计算 此年金的现值。 9．某人46岁，投保10年期生存保险，保险金额1000元，计算其趸缴纯保费。
第一节 生命年金概述
一、生命年金 （一）生命年金的概念 （二）生命年金的趸缴纯保费 二、生命年金与确定年金的区别
第二节 期末付生命年金的现值
一、期末付定期生命年金的现值 （一）定期生命年金的概念 （二）期末付定期生命年金的现值 （三）期末付定期生命年金的现值的计算方法 二、期末付终身生命年金的现值 （一）期末付终身生命年金的概念 （二）期末付终身生命年金现值的计算方法 三、期末付延期终身生命年金的现值 （一）期末付延期终身生命年金的概念 （二）期末付延期终身生命年金现值的计算方法 四、期末付延期定期生命年金的现值 （一）期末付延期定期生命年金的概念 （二）期末付延期定期生命年金现值的计算方法
L
vl
Dx1 Dx2 L D Dx
N x1 Dx
期末付延期终身生命年金的现值的简化计算公式:
m ax
v l xm1 xm1
v l xm2 xm2
L
vxlx
vl
Dxm1 Dxm2 L D Dx
N xm1 Dx
期末付定期生命年金的现值的简化计算公式:
a x:n
v
l x1 x
1
vx2lx2 L vxlx
v
l xn xn
Dx1 Dx2 L Dxn Dx
N x1 N xn1 Dx
期末付终身生命年金的现值的简化计算公式:
ax
v
l x1 x1
v x2lx2 vxlx
年末付款100元，计算此年金的现值。
答案:420.3元
第三节 期首付生命年金的现值
一、各种期首付生命年金的现值 二、期首付定期生命年金的现值 三、其他期首付生命年金的现值的公式 四、生命年金之间的关系
知识运用 • 某人60岁，购买一个每年初付款100元终
身生命年金，利率6%，计算此年金的现 值。
期末付延期定期生命年金的现值的简化计算公式:
a m x:n
v l xm1 xm1
v
l xm2 xm2
L
vxlx
v
l xmn x
mn
Dxm1 Dxm2 L Dxmn Dx
N xm1 N xmn1 Dx
知
第四节 生存保险
一、生存保险的概念 二、生存保险趸缴纯保费的计算方法
生存保险趸缴纯保费的计算公式 :
n Ex
vnlxn lx
v xnlxn vxlx
Dxn Dx
知识运用 • 某人40岁，投保10年期生命保险，保险
金额1000元，利率6%，计算其趸缴纯保 费。
答案:545.29元。
关键概念:
生命年金 生命年金精算现值 期末付生命年金现值 期首付生命年金现值 定期生命年金 终身生命年金 延期终身生命年金 延期定期生命年金 生存保险
练习题:
1．某25岁的女性，购买一份3年期生命年金，每年末付款1000元，试根据附录中 的生命表计算在预定利率6%下的年金现值。 2．某人60岁，购买一个每年末付款1000元的终身生命年金，计算此年金的现值。 3．某人60岁，打算拿出3229元购买一个从61岁开始付款的终身生命年金，其每 年可领取多少钱？ 4．某人35岁，购买一个终身生命年金，第一次付款从50岁开始，每次付款在年 末，付款金额为1000元，计算此年金的现值。 5．某30岁的被保人，一次缴费847元，购买从60岁开始支付的终身生命年金，计 算其每年末能领取的金额。 6．某55岁的被保人购买一个10年期生命年金，每年末付款200元，第一次付款从 60岁开始，试根据附表计算此年金的现值。 7．某人40岁，欲一次缴费841.81元，购买10年期生命年金，要求每年末付款一 次，第一次付款从55岁开始，计算其能够领取的年金额。 8．某人55岁，购买终身生命年金，每年初支付年金100元，直至死亡为止，计算 此年金的现值。 9．某人46岁，投保10年期生存保险，保险金额1000元，计算其趸缴纯保费。
第一节 生命年金概述
一、生命年金 （一）生命年金的概念 （二）生命年金的趸缴纯保费 二、生命年金与确定年金的区别
第二节 期末付生命年金的现值
一、期末付定期生命年金的现值 （一）定期生命年金的概念 （二）期末付定期生命年金的现值 （三）期末付定期生命年金的现值的计算方法 二、期末付终身生命年金的现值 （一）期末付终身生命年金的概念 （二）期末付终身生命年金现值的计算方法 三、期末付延期终身生命年金的现值 （一）期末付延期终身生命年金的概念 （二）期末付延期终身生命年金现值的计算方法 四、期末付延期定期生命年金的现值 （一）期末付延期定期生命年金的概念 （二）期末付延期定期生命年金现值的计算方法
L
vl
Dx1 Dx2 L D Dx
N x1 Dx
期末付延期终身生命年金的现值的简化计算公式:
m ax
v l xm1 xm1
v l xm2 xm2
L
vxlx
vl
Dxm1 Dxm2 L D Dx
N xm1 Dx
期末付定期生命年金的现值的简化计算公式:
a x:n
v
l x1 x
1
vx2lx2 L vxlx
v
l xn xn
Dx1 Dx2 L Dxn Dx
N x1 N xn1 Dx
期末付终身生命年金的现值的简化计算公式:
ax
v
l x1 x1
v x2lx2 vxlx
年末付款100元，计算此年金的现值。
答案:420.3元
第三节 期首付生命年金的现值
一、各种期首付生命年金的现值 二、期首付定期生命年金的现值 三、其他期首付生命年金的现值的公式 四、生命年金之间的关系
知识运用 • 某人60岁，购买一个每年初付款100元终
身生命年金，利率6%，计算此年金的现 值。
期末付延期定期生命年金的现值的简化计算公式:
a m x:n
v l xm1 xm1
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l xm2 xm2
L
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N xm1 N xmn1 Dx
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