2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(Word解析版)2014.4
2017年温州市摇篮杯数学竞赛 高一数学试卷
浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2017.4本试题卷分填空题和解答题两部分。
全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟第1卷填空题（共80分）一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分）1.设集合，满足，则实数的取值范围是___________.2.设点是的外心，则为______________。
3.函数的值域为_________________。
4.已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值是________5.已知函数满足,且方程有5个不同的实根,则______________。
6.已知当时，函数取最大值，则函数图像的对称轴为_____________。
7. 的值等于___________。
8.设表示不超过的最大整数，为实数，且.则_______。
9.已知平面向量，满足，且，则的最小值为_____________。
10.设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个整数，则实数的取值范围_____。
第2卷（解答题，共120分）二、解答题（本大题共5个小题，前三个小题每题20分，后两个小题每题30分，共120分）11.已知实数满足关系式（1）令，求得表达式；（2）在（1）的条件下，若时，，求和的值。
12.已知，函数的最大值是。
（1）求得值及函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。
13.定义在实数集上的函数满足：，且。
（1）求；（2）若方程在区间上有个根，求得最小值。
14.已知非零向量，。
（1）若，且为单位向量，求的最大值；（2）若对任意单位向量，均有，求的取值范围。
15.已知函数，记。
（1）求的最小值，并求实数的值；（2）在（1）的条件下，请问函数在上是否都有定义，并求出它在有定义部分的值域。
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)
2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）1、已知集合{}|1,A x x x R =≠∈，A B R =，则集合B 不可能．．．是（ ）A 、{}|1,x x x R >-∈B 、{}|1,x x x R <-∈C 、{}|1,x x x R ≠-∈D 、{}0,1 2、已知sin36a ︒=，则sin108︒等于（ ）A 、3aB 、334a a -C 、334a a +D 、2-3、已知c b a ,,均为正数,且都不等于1,若实数z y x ,,满足0111,=++==zy x c b a zyx,则abc 的值等于（ ） A 、1B 、2C 、3D 、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则100a 等于（ ） A 、114B 、115C 、116D 、1175、今有一组实验数据如下：最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（ ） A 、x y b a =∙B 、21y bx ax =++C 、2()y x x a b =-+D 、sin()y A x B ωϕ=++6、已知函数()2f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则（ ）A 、对一切实数x ，不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦都成立B 、对一切实数x ，不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦都成立C 、存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立D 、不存在实数b 和c ，使得不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切实数x 都成立 7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A 、2()f x x = B 、()1sin f x x =+ C 、()ln 26f x x x =+- D、())f x x =8、已知点O 是ABC ∆所在平面内的一点，3260OA OB OC +-=且::5:4:3AB BC CA =，下列结论错误．．的是 （ ）A 、点O 在ABC ∆外；B 、::6:3:2AOB BOC COA S S S ∆∆∆=C 、点O 到,,AB BC CA 距离的比是72:45:40D 、,,,O A B C 四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2014年浙江温州高级中等学校招生考试数学试卷
2014年浙江省初中毕业生学业考试(温州市试卷) 数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)1.计算:(-3)+4的结果是()A.-7B.-1C.1D.72.下图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值),则捐款人数最多的一组是()A.5~10元B.10~15元C.15~20元D.20~25元3.如图所示的支架是由两个长方体构成的组合体,则它的主视图是()有意义,则x的取值应满足()4.要使分式-A.x≠2B.x≠-1C.x=2D.x=-15.计算:m6·m3的结果是()A.m18B.m9C.m3D.m26.小明记录了一星期每天的最高气温如下表,则这个星期每天的最高气温的中位数是()A.22℃B.23℃C.24℃D.25℃7.一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是()A.(0,-4)B.(0,4)C.(2,0)D.(-2,0)8.如图,已知点A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C9.20位同学在植树节这天共种了52棵树苗,其中男生每人种3棵,女生每人种2棵.设男生有x人,女生有y人.根据题意,列方程组正确的是()A. B. C. D.10.如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴,AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例函数y=(k≠0)中k的值的变化情况是()A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.因式分解:a2+3a=.12.如图,直线AB,CD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3=度.13.不等式3x-2>4的解是.14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.15.请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是正数”是假命题.你举的反例是x= (写出一个x的值即可).16.如图,在矩形ABCD中,AD=8,E是边AB上一点,且AE=AB.☉O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG∶EF=∶2.当边AD或BC所在的直线与☉O相切时,AB的长是.三、解答题(本题有8小题,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(本题10分)(1)计算:+2×(-5)+(-3)2+20140;(2)化简:(a+1)2+2(1-a).18.(本题8分)如图,在所给方格纸中,每个小正方形边长都是1,标号为①,②,③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处).请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①,②,③的三个三角形分别对应全等.(1)图甲中的格点正方形ABCD;(2)图乙中的格点平行四边形ABCD.注:分割线画成实线.19.(本题8分)一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球,其中5个黄球,8个黑球,7个红球.(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率;(2)现从袋中取出若干个黑球,搅匀后,使从袋中摸出一个球是黑球的概率是.求从袋中取出黑球的个数.20.(本题10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E 作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数;(2)若CD=2,求DF的长.21.(本题10分)如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A,B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作ME⊥y轴于点E,连结BE交MN于点F.已知点A的坐标为(-1,0).(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标;(2)求△EMF与△BNF的面积之比.22.(本题8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.图1证明:连结DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a).∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.图2证明:连结.∵S五边形ACBED=,又∵S五边形ACBED=,∴.∴a2+b2=c2.23.(本题12分)八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题,规定每题答对得5分,答错扣2分,未答得0分.赛后A,B,C,D,E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答),具体如下表:(1)根据以上信息,求A,B,C,D四位同学成绩的平均分;(2)最后获知A,B,C,D,E五位同学成绩分别是95分,81分,64分,83分,58分.①求E同学的答对题数和答错题数;②经计算,A,B,C,D四位同学实际成绩的平均分是80.75分,与(1)中算得的平均分不相符,发现是其中一位同学记错了自己的答题情况.请指出哪位同学记错了,并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).24.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO.设点P运动的时间为t秒.(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标;(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形;(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M、N分别在一、四象限.在运动过程中,设▱PCOD的面积为S.①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.答案全解全析：一、选择题1.C原式=+(4-3)=1,故选C.2.C根据题图所给出的数据可得捐款15~20元的有20人,人数最多,则捐款人数最多的一组是15~20元.故选C.3.D从几何体的正面看,可得此几何体的主视图是,故选D.4.A由题意得x-2≠0,解得x≠2.故选A.5.B同底数幂相乘,底数不变,指数相加,∴m6·m3=m9.故选B.6.B将数据从小到大排列:21,22,22,23,24,24,25,中位数是23℃.故选B.7.B令x=0,得y=2×0+4=4,则函数图象与y轴交点的坐标是(0,4).故选B.8.A由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.9.D因为男生有x人,女生有y人,根据题意得,故选D.10.C在矩形ABCD中,设AB=2a,AD=2b.∵矩形ABCD的周长始终保持不变,∴2(2a+2b)=4(a+b)为定值,∴a+b为定值,设a+b=t,则b=t-a.∵矩形ABCD的对角线的交点与原点O重合,∴k=AB·AD=ab=a(t-a)=-a2+ta.∴k关于a的函数图象是开口向下的抛物线,且当a=,即a=b时,k最大,∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中,k的值先增大后减小.故选C.评析本题考查了矩形的性质,反比例函数中比例系数k的几何意义及不等式的性质,属中等难度题.根据题意得出k=AB·AD=ab是解题的关键.二、填空题11.答案a(a+3)解析a2+3a=a(a+3).12.答案80解析∵AB∥CD,∠1=45°,∴∠C=∠1=45°.∵∠2=35°,∴∠3=∠2+∠C=35°+45°=80°.评析本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质,解此题的关键是求出∠C的度数,进而得出∠3的度数.13.答案x>2解析移项得,3x>4+2,合并同类项得,3x>6,把x的系数化为1得,x>2.14.答案解析tan A==.15.答案-2(答案不唯一)解析当x=-2时,原式=4-10+5=-1,不是正数.16.答案4或12解析如图,连结EO,连结GO并延长,交EF于N点,则GN⊥AB.∴EN=NF.又∵EG∶EF=∶2,∴EG∶EN=∶1.又∵GN=AD=8,∴设EN=x,则GE=x,根据勾股定理得(x)2-x2=64,解得x=4,∴GE=4.设☉O的半径为r,由OE2=EN2+ON2得r2=16+(8-r)2,∴r=5.设BC所在的直线与☉O相切于K点,连结OK.∴OK=NB=5,∴EB=9.又AE=AB,∴AB=12.当AD与☉O相切时,同理可求出AB=4.评析本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用,解答本题的关键在于正确添加辅助线,并进行分类讨论,利用勾股定理求出对应圆的半径.三、解答题17.解析(1)原式=2-10+9+1=2.(2)原式=a2+2a+1+2-2a=a2+3.18.解析(1)如图甲所示.(2)如图乙所示.图甲图乙19.解析(1)∵一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球,其中5个黄球,8个黑球,7个红球,∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为=.(2)设从袋中取出x个黑球,=,根据题意得--解得x=2,经检验,x=2是原分式方程的解.∴从袋中取出黑球的个数为2.20.解析(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.21.解析(1)由题意可得-(-1)2+2×(-1)+c=0,解得c=3.∴y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点的坐标为M(1,4).(2)∵A(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴点B(3,0).∴EM=1,BN=2.易知EM∥BN,∴△EMF∽△BNF.∴===.22.证明连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.评析本题主要考查了勾股定理的证明,表示出五边形面积是解题关键.23.解析(1)=-=82.5(分).答:A,B,C,D四位同学成绩的平均分是82.5分.(2)①设E同学答对x题,答错y题.-由题意得解得答:E同学答对12题,答错1题.②C同学.他实际答对14题,答错3题,未答3题.评析本题考查加权平均数的求法、二元一次方程组的解法,注意理解题意,正确列式解答.24.解析(1)∵OB=6,C是OB的中点,∴BC=OB=3,∴2t=3,即t=,∴OE=+3=,∴E.(2)证明:如图,连结CD交OP于点G,在平行四边形PCOD中,CG=DG,OG=PG,∵AO=PE,∴AG=EG,∴四边形ADEC为平行四边形.(3)①(i)当点C在BO上时,第一种情况:如图,当点M在CE边上时,∵MF∥OC,∴△EMF∽△ECO,=,∴=,即-∴t=1.第二种情况:如图,当点N在DE边上时,∵NF∥PD,∴△EFN∽△EPD,∴===,-∴t=.(ii)当点C在BO的延长线上时,第一种情况:当点M在DE边上时,∵MF∥PD,∴△EMF∽△EDP.=,∴=,即-∴t=.第二种情况:当点N在CE边上时,∵NF∥OC,∴△EFN∽△EOC,=,∴=,即-∴t=5.②<S≤或<S≤20.提示:当1≤t<时,S=t(6-2t)=-2-+,∵t=在1≤t<范围内,∴<S≤.当<t≤5时,S=t(2t-6)=2--,∴<S≤20.评析本题主要考查了平行四边形的知识,解题的关键是分几种不同的情况讨论.。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
2014年温州中学提前招生数学测试模拟试题
2014年温州中学提前招生数学模拟测试卷2014.3考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分）1、关于x 的不等式组⎩⎨⎧<+⋅+>--05)52(20222k x k x x x 的整数解只有2-=x ，则实数k 的取值范围是（ ）A 、2<kB 、23<<-kC 、23<≤-kD 、23≤≤-k2、已知△ABC 的两条中线的长分别为5、10。
若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值为（ ） 。
A 、7B 、8C 、14D 、153、有下列四个命题中，真命题的有（ ）个 。
①过直线上一点有且只有一条直线垂直于这条直线；②方程012(2=++）x x 有三个不同的实数解；③非菱形的平行四边形被两条对角线分成了全等的两对三角形，一对是钝角三角形，另一对是锐角三角形；④若二次函数a ax x y ++=2与坐标轴只有一个交点，则a=0或4。
A 、0 B 、1 C 、2 D 、34、一条线段AB ，绕点A 逆时针连续旋转9次，恰好旋转了一周回到原来的位置，如果每一次旋转α°或90－α°（其中0＜α＜90°），那么α有（ ）种可能的取值。
A 、4 B 、6 C 、8 D 、105、已知平行四边形的对角线交于点O ，∠ADC=40°，E 是边BC 上一点，AD －AB=2BE 。
则∠BEO 的度数为（ ）。
A 、140°B 、150°C 、160°D 、165°6、若互不相等的实数a 、b 、c 满足ac c cb a ++=++22，ba a a cb ++=++22，则（a+b ）（b+c ）（c+a ）等于（ ）。
A 、1B 、22C 、1±D 、22±7、点D 、E 分别是等边△ABC 的边AB 、AC 上的点，满足BD=AE ，联结CDBE 交于点O ，已知BO=2，CO=5。
2014年全国高中数学联赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛(B 卷)一 试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1.函数xx x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值围是 .3.双曲线122=-y x的右半支与直线100=x 围成的区域部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4.已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7.正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8.方程2010=++z y x满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 .二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r .解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41- 提示：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g . 综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-. 6.1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .设分别与平面PBA 1、平面PA B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α.OEPC 1B 1A 1A解法二：如图，PB PA PC PC==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结EB 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B OB .4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一：,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得 )21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=，01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离22029)0()25(y y CM h+=-+-==.2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC+⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=.当且仅当222249yy-=+，即0y=,66((33A B+-或66((33A B-时等号成立.所以，ABC∆面积的最大值为7314.11.令252)(3-+=xxxf，则056)(2>+='xxf，所以)(xf是严格递增的.又43)21(,02)0(>=<-=ff，故)(xf有唯一实数根1(0,)2r∈.所以32520r r+-=，3152rr-=4710r r r r=++++.故数列),2,1(23=-=nnan是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列<<<<naaa21和<<<<nbbb21满足52321321=+++=+++bbbaaa rrrrrr，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321tttsss rrrrrr，这里<<<<<<321321,tttsss，所有的is与jt都是不同的.不妨设11ts<，则++=++<21211ttsss rrrrr，112111111121211=--<--=++≤++<--rrrrr stst，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．2. （40分）设k 是给定的正整数，12rk =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 3. （50分）给定整数2n>，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）()()2222POr KO r =-+-，同理()()22222QKQO rKOr=-+-，所以 2222PO PK QO QK-=-，故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ①由梅劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③M由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PKPE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v=时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． 假设命题对1(1)v v-≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是FE QPONMK DCBA()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v fr +是一个整数，这就完成了归纳证明． 3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i ii i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k n k n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1kn=-， 故111nnnk kn kk k k a AnA A ===-=-∑∑∑()1111n n nk n kk k AA A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<-⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则DOC 专业资料. 标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i j n i n ij C -⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)n n kn k k n k k n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．。
2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈二、填空题2．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量(1,2)OA =， (2,1)OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则点P 所有可能的位置所构成的区域面积是 ． 4．某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减； ②点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心； ③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立．其中正确的结论是 ．参考答案1．D【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．2．20462047【解析】3．52【详解】解：作22OG OAOE OB ==，，22OF OA OB =+,M N 为,OF EF 中点，则P 在MNF ∆内， 面积为524．④【解析】解：()2cos f x x x =⋅为奇函数，则函数()f x 在 [],0π-，[]0,π上单调性相同，所以①错； (0)0,()2f f ππ==-，所以②错； (0)0,(2)4f f ππ==，所以③错； ()2cos 2cos 2f x x x x x x =⋅=⋅≤，令2M =，所以④对。
2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题范文
2011年温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2011年4月10日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ▲ ） A ．.72B ．.72-C ．3D ．0.3- 2．设集合12{|log (1)2}A x x =+>-，2{|21}x x B x -=<，则AB 等于（ ▲ ）A ．{|0,13}x x x <<<或B ．{|3}x x >C ．{|10,13}x x x -<<<<或D ．{|01}x x <<3．已知sin sin αβ=，则α与β的关系是（ ▲ ） A ．αβ=或απβ=- B ．2,k k Z απβ=+∈ C ．(21),k k Z απβ=+-∈D ．(1),k k k Z απβ=+-∈4．下列函数中在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（ ▲ ）A ．21log sin 62y x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B ．21log sin 262y x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦C ．yD ．3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．若()()()()sin 50tan 50sin 50tan 50yxxy--︒︒-︒≤-︒则（ ▲ ）A ．0x y +≥B ．0x y -≥C ．0x y +≤D ．0x y -≤6．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．记O 为坐标原点，已知向量(3,2)OA =，(0,2)OB =-，又有点C ，满足52AC =，则ABC ∠2的取值范围为（ ▲ ）A ．06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ． 03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ． 02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ． 3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，68．已知k Z ∈，(2,2)AC =，(,2)AB k =，5AB ≤，则A B C ∆是直角三角形的概率是（ ▲ ）A ．19B ．29C ．18D ．149．设222221S x xy y x =++++，其中,x R y R ∈∈，则S 的最小值为（ ▲ ）A ．1B ． 1-C ．34-D ．010．点Q 在x 轴上，若存在过Q 的直线交函数2x y =的图象于,A B 两点，满足QA AB =，则称点Q 为“Ω点”，那么下列结论中正确的是 （ ▲ ）A ．x 轴上仅有有限个点是“Ω点”；B ．x 轴上所有的点都是“Ω点”；C ．x 轴上所有的点都不是“Ω点”；D ．x 轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 ▲ ．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为 ▲ ． 13．函数[sin ]()3x f x =的值域是 ▲ ．（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）14. 已知定义域为R 的函数()y f x =对任意x R ∈都满足条件 4f x f x -（）+（）=0与22f x f x +--（）（）=0，则对函数()y f x =，下列结论中必定正确的是 ▲ ．（填上所有正确结论的序号） ①()y f x =是奇函数； ②()y f x =是偶函数； ③()y f x =是周期函数； ④()y f x =的图象是轴对称的．15．若n 为整数，关于x 的方程2011(2011)()10x x n --+=有整数根，则n = ▲ ． 16．()y f x =是定义域为R 的函数，(1)5g x f x f x =++-（）（），若函数y g x =（）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为 ▲ ． 17．求值：sin 6sin 78sin 222sin 294︒+︒+︒+︒= ▲ ．(12题图)高一数学竞赛试卷第3页（共6页）2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛答题卷2011年4月10日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．11．12．13．14．15．4高一数学竞赛试卷 第5页（共6页）16．17．三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．（本题满分16分） 已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期和()f x 的值域；⑵若0x x =002x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，求0(2)f x 的值．619．（本题满分17分）设函数2()3f x x bx =+-，对于给定的实数b ，()f x 在区间[]2,2b b -+上有最大值()M b 和最小值()m b ，记()()()g b M b m b =-． ⑴求()g b 的解析式；⑵问b 为何值时，()g b 有最小值？并求出()g b 的最小值．高一数学竞赛试卷 第7页（共6页）20. （本题满分18分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ；②对任意实数m , 当x R +∈时，有()()m f x mf x =． ⑴求证：对于任意正数,x y ，()()()f xy f x f y =+； ⑵证明：()f x 在正实数集上单调递减；⑶若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．。
2018 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷答案
f (x0 ) ax02 bx0 c 0 ，消去 a, c 得
0 ax02 bx0 c (1 b c)x02 bx0 c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )c (1 b)x02 bx0 (1 x02 )
1
故b
4 ，即 b 5 ．
22
2
a 1
a 1
a2 6a 7
减， ( , 2) 递增，因为 f ( ) f (2)
0 ， f (2) f (a) ，所以要使
2
2
4
1
1
得 g(x) m 在 [2, 2] 上 有 6 个 互 不 相 同 的 解 ， 只 需 f (a) f (2) ， 解 得
2a 0
∴ 存 在 实 数 a (0,3 2 2) ， 使 得 f (x) 的 定 义 域 为 [m, n] ， 值 域 为
[1 loga n,1 loga m] ．
2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷参考答案 第 2 页 共 2 页
p1
2p
12、（1） f (x) sin(2wx ) ，而周期T p ，所以 w 1，即
x 1
11、（1） b 1， f (x) loga
f (x) 的定义域为 (,1) (1,) ；
x 1
（2）假设存在实数 a ，使得 f (x) 的定义域为[m, n] ，值域为[1 loga n,1 loga m] ，
由 m n ，及1 loga n 1 loga m ，得 0 a 1，
∴ f (m) 1 loga m, f (n) 1 loga n ， ∴ m, n 是方程 f (x) 1 loga x 的两个根，
高中数学竞赛试题及解题答案
浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（....）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....）A.4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）A.22z i =+B. 22z i =-- .C. 22,z i =-+或22z i =-D. 22,z i =+或22z i =--5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB •=•，则下列一定成立的是（ ）。
A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ）A. 20B. 22 ...C. 24 .D. 25,7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。
A.4B. 6 ...C. 7 .D 88. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。
A.. ..9. 设函数234()(1)(2)(f x x x x x =--()f x =A.0x =B.1x = .C. 2x =10. 已知(),(),()f x g x h x21,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）。
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2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 1 页 共 4 页 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2014.4 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．设集合{|41}AxxkkZ，，{|42}BxxkkZ，，
{|43}CxxkkZ，，若aA，bB，cC，则（ ▲ ）
A．abcA B．abcB C．abcC D．abcABC 2．函数1yxxx的定义域为（ ▲ ）
A．|0xx≥ B．|1xx≥ C.|10xx≥ D．|01xx≤≤ 3．设lnx，2log5y，12ze，则（ ▲ ） A．xyz B．zxy C．zyx D．xzy
4．若直线6x是函数3sincosfxxx的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，fx在（ ▲ ）单调递减
A． ,36 B．,63 C．,06 D．0,6 5．若3sin5()2，cos()sin，则tan()（ ▲ ） A．2 B．1 C．2 D．258 6．设a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共线，则关于x的方程2xx0abc的解的情况是（ ▲ ） A．至多有一个解 B．至少有一个解 C．至多有两个解 D．可能有无数个解
7．设函数()sin1fxxx，若过点(0,1)P的动直线与该函数图像交于k个点，则这k个点的纵坐标之和为（ ▲ ） A．1 B．3 C．2k D． k
8．设函数243fxxx，2010xxgxxx≤，，，，则关于x的方程1gfx的实根个数为（ ▲ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 2 页 共 4 页
9．设Q是有理数集，集合2XxxababQ，，，在下列集合： （1）21xxX，（2）2xxX，（3）12xxX，（4）2xxX中，和X相同的集合有（▲）
A． 1个 B．2个 C． 3个 D．4个
10．在平面直角坐标系xOy中，将函数31yxx的图像绕坐标原点O顺时针旋转角0≤，得到曲线C，若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，记0为
的最大值，则0tan（▲） A．12 B．13 C．12 D．13 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分. 11．设扇形的周长为8cm，面积为24cm，则该扇形的圆心角的弧度数是 ▲ . 12．已知1e，2e均为单位向量，且1e，2e的夹角为60，若12=+aee，12=-4+2bee， 则a与b的夹角为 ▲ . 13．方程26211xxxx的解集为 ▲ . 14．如图，扇形OAB的半径为2，圆心角为120，Q为AB上一点， 点P为线段OQ上一点，且(1)(1)OPtOAtOBOt≤≤，
则||||OPOQ的最小值为 ▲ . 15．若关于x的方程21axbxc0a 有且仅有四个实根1234xxxx，，，，其中 1234xxxx，且412xx，则a的取值范围为 ▲ .
16．求值：2222sin10sin30sin50sin70= ▲ .（用数字作答） 17．函数1sin22sinfxxx的值域是 ▲ .
三、解答题：本大题共3小题，共51分．
BOAQ
P 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 3 页 共 4 页
18．（本题满分15分）已知函数243()2sintancos632xfxx，0，， 且()322f.（I）求；
（II）当,2x时，求函数()yfx的值域.
19．（本题满分18分）已知向量cos,sinaxxm，1,0n，函数||fxmn. （I）当2a时，求fx的值域； （II）当且仅当2xkkZ时，fx取最小值，求正数a的取值范围；
（III）是否存在正数a，使得对于任意的x，cosfxax为定值？若存在，求出a的值； 若不存在，说明理由. 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 4 页 共 4 页
20．（本题满分18分）已知、是关于x的二次方程210xtx的两个实根，且，函数22()1xtfxx．
（I）求)()(ff的值； （II）试判断fx在区间,内的单调性，并说明你的理由； （III）求证：对任意的正数，，都有||ff． 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 5 页 共 4 页 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．设集合{|41}AxxkkZ，，{|42}BxxkkZ，，
{|43}CxxkkZ，，若aA，bB，cC，则（▲）
解析：设41ak，42bm，43cn，kmnZ，，，则 416481263212abckmnmnkmkmkmn，故选B.
2．函数1yxxx的定义域为（▲） A．|0xx≥ B．|1xx≥ C.|10xx≥ D．|01xx≤≤
解析：100xxx≥，≥ ，即1x≥或0x，故选C. 3．设lnx，2log5y，12ze，则（▲） A．xyz B．zxy C．zyx D．xzy
解析：1221ln2log5e，故选B. 4．若直线6x是函数3sincosfxxx的图像的一条对称轴，则当取最小正数时，fx在（ ▲ ）单调递减
A． ,36 B．,63 C．,06 D．0,6
解析：2sin6fxx，2626662fkk，故的最小正值为2，此时2sin26fxx，在,36 上单调递增，在2,63上单调递减，故选B. 5．若3sin5()2，且cos()sin，则tan()（ ▲ ）
A．2 B．1 C．2 D．258 解析：由题意4cos5， 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 6 页 共 4 页
cossinsincossincos
故1sintan2cos，选A. 6．设a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共线，则关于x的方程2xx0abc的解的情况是（▲） A．至多有一个解 B．至少有一个解 C．至多有两个解 D．可能有无数个解
解析：由平面向量基本定理知，存在唯一确定的,，使得cab，故选A.
7．设函数()sin1fxxx，若过点(0,1)P的动直线与该函数图像交于k个点，则这k个点的纵坐标之和为（▲） A．1 B．3 C．2k D． k
解析：函数()fx关于点0,1中心对称，故选D.
8．设函数243fxxx，2010xxgxxx≤，，，，则关于x的方程1gfx的实根个数为（▲） A．2 B．3 C．4 D．5
解析：由题意知，0fx或1，又2430xx 或1，故根集为1,3,22，选C ．
9．设Q是有理数集，集合2XxxababQ，，，在下列集合：
（1）21xxX，（2）2xxX，（3）12xxX，（4）2xxX 中，和X相同的集合有（▲） A． 1个 B．2个 C． 3个 D．4个 解析：易证集合（1）（2）（3）都与X相同，但集合（4）与X不同，因为集合（4）中的元素必为非负数，选C．
10．在平面直角坐标系xOy中，将函数31yxx的图像绕坐标原点O顺时针旋转角0≤，得到曲线C，若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图像，记0为
的最大值，则0tan（▲） A．12 B．13 C．12 D．13 2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷 第 7 页 共 4 页
解析：31yxx可分三段画出图像，有两部分图像平行于x轴，逆时针旋转坐标轴，由图像可知选C. 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.
11．设扇形的周长为8cm，面积为24cm，则扇形的圆心角的弧度数是 ▲ .
解析：设半径为r，圆心角为，则2288rrr，解得2r 12．已知1e，2e均为单位向量，且1e，2e的夹角为60，若12=+aee，12=-4+2bee， 则a与b的夹角为 ▲ . 解析：||3a，||23b，3ab，1cos2，ab ，故a与b的夹角为120
13．方程26211xxxx 的解集为 ▲ . 解析：若211xx，解得2x 或1；若211xx，解得0x或1，验证成立；若260xx，解得3x 或2，故解集为0,1,2,3
14．如图，扇形OAB的半径为2，圆心角为120，Q为AB上一点，点P为线段OQ上一点，且(1)(1)OPtOAtOBOt≤≤，
则||||OPOQ的最小值为 ▲ . 15．若关于x的方程21axbxc0a 有且仅有四个实根1234xxxx，，，，其中 1234xxxx，且412xx，则a的取值范围为 ▲ .
解析：由题意知结论与b无关，不妨设0b，则23,xx为方程210axc的两个实根，故
10c，即1c.而14,xx为方程210axc的两个实根，故411222cxxaa，
故222a，即2a，故答案为2,. 16．求值：2222sin10sin30sin50sin70= ▲ （用数字作答） 解析：222211cos201cos1001cos140sin10sin30sin50sin704222