【小初高学习】2018版高中数学第二章函数2.3映射的概念学业分层测评苏教版必修1

合集下载

苏教版高中数学必修一 2.3 映射的概念(共22张PPT)

A
B
a
1
b
c
22
（１）
ABLeabharlann 1a23
b
2020/7/5
(3)
1
a
b
2
c
（２）
A
B
a
1
b
c
2
（4）
变式练习：说出下图所示的对应中，哪些是Ｂ到Ａ的映射？
A
B
A
B
a
1
b
c
22
（１）
A
B
1
a
2
3
b
2020/7/5
(3)
1
a
b
2
c
（２）
A
B
a
1
b
c
2
（4）
知识应用
• 2. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)， • (1)求点（２，３）在映射f下的像； • （２）求点(4，6)在映射f下的原象.
②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；
③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.
2020/7/5
例1 试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合 B的映射？（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
( 1 ) A R ,B { y |y 0 } ,f:x |x |;
(2 )A R ,B R ,f:x x2;
(3)AZ,BR ,f:xx; (4 )A Z ,B N ,f:x x 2 3
2020/7/5
小结：
1、映射的概念 2、映射与函数的区别与联系

苏教版数学高一必修1学案 2.3映射的概念

2．3映射的概念教学目标1．理解映射的概念及表达方法．2．会判断一个对应是否为映射．教学过程映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B．若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有m n个．【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素．(1)(2)答案：(1)135(2)45 6【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是________．答案：41．怎样理解映射的概念？剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的．(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B 中的元素b．(4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．(5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．2．为什么说映射是一种特殊的对应？剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：A→B 实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素．但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应．题型一映射的概念【例1】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|；(2)A＝B＝N*，f：x→|x－2|；(3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±x．解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射．(2)中，当x＝2∈A时，|x－2|＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射．(3)中，因为y＝(x－1)2≥0，所以对任意x，总有y≥0；又当x∈N时，x2－2x＋1必为整数，即y∈Z．所以当x∈A时，x2－2x＋1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射．(4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射．反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射．题型二映射的个数问题【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f 的个数为__________．解析：因为从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，所以，(1)当f (a )＝2时，有⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝0或⎩⎨⎧ f (b )＝－2，f (c )＝－2或⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝－2.(2)当f (a )＝0时，有⎩⎨⎧f (b )＝－2，f (c )＝－2. 综上，从M 到N 满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射f 的个数是4．答案：4反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况．【例3】已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{6,7}，则以A 为定义域，B 为值域的不同函数的个数为__________．解析：当A 中有三个元素对应B 中元素6时，另一个元素必须对应B 中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有三个元素对应B 中元素7时，另一个元素必须对应B 中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有两个元素对应B 中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数．所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数．答案：14反思：求解此题要特别注意集合B 必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B 恰好是集合A 中的所有元素所对应的元素组成的．题型三映射的应用【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组．例如I am your f riend 添一个o ，分组为：Ia my ou r f ri en do ，得到⎩⎨⎧⎭⎬⎫91，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，⎩⎨⎧⎭⎬⎫186，⎩⎨⎧⎭⎬⎫189，⎩⎨⎧⎭⎬⎫514，⎩⎨⎧⎭⎬⎫415．其中9表示I 在26个英文字母中的序号，1表示a 在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x y ⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2x ＋3y y ′＝x ＋4y 来进行变换．由⎩⎨⎧⎭⎬⎫91⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×9＋3×1＝21y ′＝9＋4×1＝13＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2113， 21÷26＝0余21,21对应字母u,13÷26＝0余13,13对应字母m ，即Ia 变成um ．将⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325变成x ′＝2×13＋3×25＝101除以26得余数为23，即w ；y ′＝13＋4×25＝113除以26得余数为9，即i ．试按上述方法及变换公式将明文I am your f riend 写成密文．解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×15＋3×21＝93≡15(mod 26)y ′＝15＋4×21＝99≡21(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，即ou 不变； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫186⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×6＝54≡2(mod 26)y ′＝18＋4×6＝42≡16(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫216，即rf 变成bp ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫189⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×9＝63≡11(mod 26)y ′＝18＋4×9＝54≡2(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即ri 变成kb ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫514⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×5＋3×14＝52≡0(mod 26)y ′＝5＋4×14＝61≡9(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫09，即en 变成zi ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫415⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×4＋3×15＝53≡1(mod 26)y ′＝4＋4×15＝64≡12(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即do 变成al ．故密文为umwioubpkbzial ．反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算．1下图中表示的是从集合X 到集合Y 的对应，其中能构成映射的是__________．解析：图象中必须满足对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应．答案：①2若A ＝{(x ，y )|x ∈Z ，|x |＜2，y ∈N *，x ＋y ＜3}，B ＝{0,1,2}，从A 到B 的对应关系f ：(x ，y )→x ＋y ，说明f 是A 到B 的映射，并画出对应图，指出B 中的元素2与A 中的哪个元素对应．分析：按照映射的定义，对于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A中的多个元素是可以对应于B中的同一个元素的．解：集合A的元素共有六个，用列举法表示为{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．对应图如下图所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素与之对应，∴f是A到B的映射．2与A中对应的元素有三个，即(－1,3)、(0,2)、(1,1)．3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？(2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之．解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4个不同的映射(见下图)．(2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情况考虑．A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A中2个元素同时对应B 中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9个．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，规定为：f：x→(x＋1，x 2＋1)，试求2在B 中的对应元素及35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素．解：由条件知当x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3．所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)；再由⎩⎨⎧ x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12，说明点35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素为12． 5已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射是f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A ．解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素在B 中都有惟一元素与它对应，但1|x |－1≠0， ∴0在集合A 中不存在元素与它对应．当1|x |－1＝1时，得x ＝±2；当1|x |－1＝12时，得x ＝±3；当1|x |－1＝13时，得x ＝±4． ∴A 中元素最多只能有6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。

[推荐学习]2018版高中数学第二章函数2.2.1第2课时函数的最大值最小值学业分层测评苏教版必修1

2.2.1 第2课时函数的最大值、最小值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则关于f (x )的最值的说法正确的是________．(填序号)①只有最大值； ②只有最小值；③既有最大值，又有最小值； ④既无最大值，又无最小值．【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ，－x 2x ，画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．【答案】 ④2．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是________. 【解析】由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.【答案】 ±23．函数f (x )＝|x －2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________．【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[0，2]，x －4，x ∈[2，3]，图象如图．由图可知，x ＝2时，f (x )min ＝－2；x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝0.【答案】－2 04．下列函数在[1,4]上最大值为3的是________．(填序号) ①y ＝1x＋2；②y ＝3x －2；③y ＝x 2；④y ＝1－x .【解析】 ②③在[1,4]上均为增函数，①④在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．【答案】 ①5．函数f (x )＝|1－x |－|x －3|，x ∈R 的值域是________．【解析】 f (x )＝|1－x |－|x －3|＝|x －1|－|x －3|，利用绝对值的几何意义可知f (x )表示x 到1的距离与x 到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．【答案】 [－2,2]6．已知函数f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．【解析】 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.【答案】 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫347．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1，图象如下：∴f (x )的最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a <－x 2＋2x 恒成立，∴a <0. 【答案】 a <08．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，x ∈[0，m ]．由最小值为1知m ≥2.由最大值为5知f (0)＝5，f (4)＝5. 所以2≤m ≤4. 【答案】 2≤m ≤4 二、解答题9．若函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a ＜b ＜3)上有最大值9，最小值－7，求a 和b 的值．【解】 y ＝－x 2＋6x ＋9＝－(x －3)2＋18，图象对称轴为直线x ＝3，开口向下，因为a ＜b ＜3，所以[a ，b ]是函数的单调递增区间，故f (a )＝－a 2＋6a ＋9＝－7，解得a ＝－2或a ＝8(舍去)；f (b )＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得b ＝0或b ＝6(舍去)．所以a 和b 的值分别为－2和0.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x(x ∈[2，＋∞)),(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．【解】 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－3x 1x 2.∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1≥2，x 2≥2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴当x ＝2时，f (x )有最小值，即f (2)＝112.(2)∵f (x )的最小值为f (2)＝112，∴f (x )>a 恒成立，只须f (x )min >a ，即a <112.[能力提升]1．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．【解析】由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 【答案】 62．对任意的两个实数a ，b ，定义min(a ，b )＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ＜bb a ≥b ，若f (x )＝4－x 2，g (x )＝3x ，则min(f (x )，g (x ))的最大值为________．【解析】 f (x )－g (x )＝4－x 2－3x ，当4－x 2－3x ＝－(x －1)(x ＋4)≥0，即－4≤x ≤1时，f (x )≥g (x )．当4－x 2－3x ＝－(x －1)(x ＋4)＜0，即x ＞1或x ＜－4时，f (x )＜g (x )，所以min(f (x )，g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，－4≤x ≤1，4－x 2，x ＞1或x ＜－4，作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A 处取得，最大值为f (1)＝3. 【答案】 33．如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 016＝________.【解析】 ∵f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1－x 21＋x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝f (1)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f2 016＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 016＝0.【答案】 04．已知二次函数y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2. (1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最值； (2)当x ∈[2,3]时，求f (x )的最值；(3)当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )．【解】 y ＝f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. (1)∵对称轴x ＝1∈[0,4]， ∴当x ＝1时，y 有最小值，y min ＝f (1)＝1.∵f (0)＝2<f (4)＝10， ∴当x ＝4时，y 有最大值，y max ＝f (4)＝10.(2)∵1∉[2,3]，且1<2，∴f (x )在[2,3]上是单调增函数，∴当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝2，当x ＝3时，f (x )max ＝f (3)＝5.(3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在[t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1，当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1，当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数，g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2. ∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，1，t 2－2t ＋2，t <0，0≤t <1，t ≥1.。

2018版高中数学第二章函数2.1.1第2课时函数的图象学业分层测评苏教版

2.1.1 第2课时函数的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝|x ＋1|的图象为________．(填序号)【解析】将y ＝|x |左移1个单位即得到y ＝|x ＋1|的图象．【答案】 ①2．函数y ＝|x |x＋x 的图象是________．(填序号)【解析】函数y ＝|x |x＋x 的定义域为{x |x ≠0}，故图象与y 轴交点处应为空心小圆圈，故排除①②.当x <0时，y ＝－1＋x <0，故排除④. 【答案】 ③3．已知函数y ＝ax 2＋b 的图象如图214所示，则a ＝________，b ＝________.图214【解析】由图象可知，当x ＝1时，y ＝0；当x ＝0时，y ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.【答案】 1 －14．如图215，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值等于________．图215【解析】由题意知，f (3)＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f＝f (1)＝2. 【答案】 2 5．函数y ＝1－1x －1的图象是________．(填序号)【解析】 y ＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．【答案】 ②6．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[0,3]的值域为________．【解析】 ∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∴函数的图象是以直线x ＝2为对称轴，以(2,2)为顶点的开口向上的抛物线，如图所示，由图可知，函数的值域为[2,6]．【答案】 [2,6]7．如图216是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．图216【解析】根据图象可知，张大爷开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家，中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合．【答案】 ④8．若函数y ＝f (x )的图象经过点(0,1)，那么函数y ＝f (x ＋4)的图象经过点________．【解析】 y ＝f (x ＋4)可以认为把y ＝f (x )左移了4个单位，由y ＝f (x )经过点(0,1)，易知f (x ＋4)经过点(－4,1)．【答案】 (－4,1) 二、解答题9．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x (元)与日销售量y (件)之间有如下关系：(1)确定商品销售价x(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中关系写出关于P 的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？【解】 (1)∵f (x )为一次函数，∴设y ＝ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，故所求的函数关系式为y ＝162－3x .又∵y ≥0，∴0≤x ≤54.(2)依题意，得P ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432.当x ＝42时，P 最大，P 最大＝432.即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．10．已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值.【解】已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)，∵1ax ＋1≥0，a <0，∴x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1，即a ≤－1， ∴a 的取值范围是(－∞，－1]．[能力提升]1．若f (x )＝x 2＋ax －3a －9的值域为[0，＋∞)，则f (1)＝________. 【解析】由题知f (x )min ＝－3a －－a24×1＝0，∴a 2＋12a ＋36＝0，∴a ＝－6，∴f (1)＝1－6＋18－9＝4. 【答案】 42．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m ＋1)与0的大小关系是________．【解析】因为二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)的对称轴是x ＝－12，且与y 轴正半轴相交，所以由图象可知f (x )<0的解集的区间长度小于1，故若f (m )<0，则必有f (m ＋1)>0.【答案】 f (m ＋1)>03．如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．【解析】 ①由抛物线的对称轴是y 轴可知b ＝0，而此时直线应该过原点，故不可能；②由抛物线图象可知，a >0，由直线的图象知a ＜0矛盾，故不可能；③由抛物线图象可知，a <0，由直线的图象a ＞0矛盾，不可能；由此可知④可能是两个函数的图象．【答案】 ④4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)就a 的取值范围讨论方程f (x )＝a 的解的情况．【解】 (1)先作出y ＝x 2－4x ＋3的图象，然后将其在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，原x 轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象．(2)由图象易知，当a<0时，原方程无解；当a＝0与a>1时，原方程有两个解；当0<a<1时，原方程有四个解；当a＝1时，原方程有三个解.。

高中数学苏教版必修一《2.3映射的概念》教学课件

y
x O (2)
y
x O (3)
y
x
x
O
(4)
A b是4的原象 a
b c 一对一
对应多对一
f 单值对应
一对多一一对应一定是映射，且存在逆映射．
B 1 2 4叫做b的象 3 4
映射
两个数集之间的对应
函数
课本P47练习1，2题，P48第5，6题．
2.3谢谢大家Fra bibliotek苏教版高中数学
2.3
映射的概念
苏教版高中数学
情境问题：
函数的本质是建立在两个非空数集A、B上的单值对应，在我们的周围，还存在着不是数与数的对应关系，比如： (1)A＝{P|P是数轴上的点}，B＝R，f：点的坐标； (2)对于任意的△ABC，B＝R，f：三角形的面积．如何刻画这些对应关系呢？
1．映射的定义．
f：该生对应的QQ号； (4)A＝{x|x是我校高一年级的班级}，B＝{x|x是我校高一年级的学
生}，f：该班级对应的学生．
2．已知M＝{x|0≤x≤2}，N＝ {y|0≤y≤2}，下列图中表示从M到N的映射共有多少个？
y
y
y
2
2
2
1
O 1 2x
y
2
1
O
1 2x
y
2
1
O
1 2x
y
2
1
1
1
O
1 2x
2．映射的类型．映射可以是“一对一”或“多对一”的对应，但
不能是“一对多”．即映射应是单值对应，或称单射．
1．请分析下列对应，哪些是A到B的映射？ (1)A＝R，B＝{x|x是数轴上的点}，f：实数与数轴上的点对应； (2)A＝{中国，日本，韩国}，B＝{北京，东京，汉城，华盛顿}，

苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 2.3 映射的概念

第10课时映射的概念教学过程一、问题情境函数是建立在两个非空数集之间的单值对应,而对于某班级全体同学组成的集合与其体重数组成的集合之间的对应,又该如何定义呢?二、数学建构(一)生成概念问题1对应是什么?函数是什么?(对应是两个集合元素之间的一种关系,对应关系可用图示或文字描述来表示)问题2讨论“即时体验”中两个例子的区别与联系.(引导学生发现与函数概念的区别,总结出不同之处的关键词)通过讨论,结合函数的概念,给出映射的定义.一般地,设A,B是两个非空集合,如果按某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射,记作f:A→B.(二)理解概念1.函数是映射,但映射不一定是函数.映射是函数概念的推广,特殊之处是在函数的概念中,A,B为两个非空数集.2.单值对应的理解:对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应.三、数学运用【例1】(教材P46例1)下图所示的对应中,哪些是从A到B的映射?(1)(2)(3)(4)(见学生用书课堂本P29) [处理建议]引导学生比较、分析、归纳,从而使他们更好地理解映射的概念.[规范板书]解根据映射的定义,可以知道,(4)的对应是从A到B的映射,(1)、(2)、(3)的对应不是从A到B的映射.[题后反思]映射中的对应可以是一对一或多对一,但不能一对多.变式下列从集合M到集合P的对应f中,是映射的是①.(填序号)①M={-2, 0, 2},P={-1, 0, 4},f:M中的数的平方;②M={0, 1},P={-1, 0, 1},f:M中的数的平方根;③M=Z,P=Q,f:M中的数的倒数;④M=R,P={正实数},f:M中的数的平方.[处理建议]判定对应f:M→P是否是映射,关键是看是否符合映射的定义,即集合A中的每一个元素在集合B中是否有象并且唯一,若不是映射只要举一反例即可.【例2】设集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A→B是从集合A到集合B的映射,且f:(x,y)→(x+y,x-y).求:(1)在B中与A的元素(2, 3)对应的元素;(2)在A中与B的元素(2, 3)对应的元素.(见学生用书课堂本P29)[处理建议]指导学生分清集合A,B中x与y之间的对应关系.[规范板书]解(1)A中的元素(2, 3),对应B中的元素为(2+3, 2-3),即为(5,-1).(2)设B中的元素(2, 3)对应A中的元素为(x,y),则根据题意得解得所以在A中与B的元素(2, 3)对应的元素为.【例3】已知集合A=R,B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A→B是从集合A到集合B的映射,且f:x→(x+1,x2+1).求:(1)A的元素在B中对应的元素;(2)B的元素在A中对应的元素.(见学生用书课堂本P30)[规范板书]解(1)A的元素在B中对应的元素为(+1,()2+1),即(+1, 3).(2)由题意得解得x=,所以B的元素在A中对应的元素为.【例4】给出下列四个对应关系:①A=N*,B=Z,f:x→y=2x-3;②A={1, 2, 3, 4, 5, 6},B={y|y∈N*,y≤5},f:x→y=|x-1|;③A={x|x≥2},B={y|y=x2-4x+3},f:x→y=x-3;④A=N,B={y|y=2x-1,x∈N*,且y∈N*},f:x→y=2x-1.其中是函数的对应有①③.(填序号)(见学生用书课堂本P30) [处理建议]弄清函数的概念,弄清什么样的对应是函数.对于②,A中的1在B中无对应的实数;对于④,A中的0在B中无对应的实数.*【例5】设集合A={2, 4, 6},B={1, 9, 25, 49, 81, 100},给定下列对应:①f:x→(2x-1)2;②f:x→(2x-3)2;③f:x→-2x-1;④f:x→(2x-1)3.其中对应关系f能构成从A到B的映射是②.(填序号)[处理建议]通过具体例子,让学生体会映射概念中“任一”、“→”、“唯一”的含义.在②中,2→1, 4→25, 6→81,符合映射的定义.四、课堂练习1.已知从集合A到集合B的映射f,给定下列说法:①B中某一元素b在A中与之对应的元素可能不止一个;②A中某一元素a在B中对应的元素可能不止一个;③A中两个不同元素在B中对应的元素必不相同;④B中两个不同元素在A中与之对应的元素可能相同.其中说法正确的是①.(填序号)2.已知集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},给定下列对应:①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=x2.从A到B的对应f不是映射的是③.(填序号)3.点(a,b)在映射f的作用下对应的元素是(a-b,a+b),则点(3, 1)是由点(2, -1)在f的作用下得到的.提示根据题意得a-b=3且a+b=1,所以a=2,b=-1.五、课堂小结1.映射是从集合A到集合B的某种对应关系,这种对应只能是“一对一”或“多对一”,而不能是“一对多”.2.函数是特殊的映射;函数与映射的区别在于构成函数的两个集合是非空数集.。

2018-2019学年高中数学必修一苏教版课件：第2章2.3映射的概念

(3)集合 A 中的 0 在 B 中没有元素和它对应，故不是映射．
(4)在 f 的作用下，A 中的 0，1，2，9 分别对应到 B 中的 1，0，1，64，所以是映射．
规律方法判断一个对应是不是映射，应从两个角度去分析： 1．是否是“对于 A 中的每一个元素”． 2．在 B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．
(3)当 f(3)＝1 时，f(1)＝1，f(2)＝0 或 f(1)＝0，f(2)＝1. 综合(1)(2)(3)知有 7 个．答案：D
规律方法 1．解答此类问题的主要方法，依据映射的定义，列举出满足一定条件的所有映射的个数． 2．列举时，需根据条件，找到分类列举的标准，避免重复与遗漏．
[即时演练] 3.已知 A＝{a，b，c}，B＝{1，2}，从 A 到 B 的映射 f：A→B，满足 f(a)＋f(b)＋f(c)＝5 的映射共有________个．
其次，要准确把握映射与函数的关系．
(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义的)的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射；而对于映射而言，A 和 B 不一定是数集．
二、一一映射
所以 A 中元素(1，3)在集合 B 中对应元素为(－2，4)．
x－y＝2， x＝3，
(2)依题意可得
所以
x＋y＝4， y＝1.
所以集合中元素(2，4)在 A 中对应的元素为(3，1)．
题型三映射个数的确定 [例 3] 已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1}，满足条件 f(3)＝f(1)＋f(2)的映射 f：A→B 的个数是( ) A．2 B．4 C．6 D．7 分析：f(1)，f(2)，f(3)都是象，根据 B 中的元素－1，

江苏省徐州市高中数学第二章函数 2.3 映射的概念学

映射的概念 1.在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系 ②对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应 ③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应2.函数的概念3.映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的____________________，在集合B 中都有________的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射记作：____________.象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象.二、学习交流与问题探讨例1. 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？a e a e a eb f b f b fc g c g c gd d(是) （不是）（是）是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的例2.下列各组映射是否同一映射？a e a e d eb f b f b fc g c g c g本课时学习目标或学习任务1.了解映射的概念及表示方法2.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.3.会结合简单的图示，了解一一映射的概念本课时重点难点映射的概念每日一言一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步.——马克思学习过程例3.判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f（2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f →（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →:（5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:三、练习检测与拓展延伸书本P47页练习1、2、3、4、5；书本P47页习题2.3 【当堂达标】1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？（A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个（B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个（C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同（D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同四、课后反思。

江苏省徐州市高中数学第二章函数 2.3 映射的概念学案(无答案)苏教版必修1

高中数学必修一苏教版课件第2章2.3映射的概念精选ppt课件

(3)当 f(3)＝1 时，f(1)＝1，f(2)＝0 或 f(1)＝0，f(2)＝1. 综合(1)(2)(3)知有 7 个．答案：D
规律方法 1．解答此类问题的主要方法，依据映射的定义，列举出满足一定条件的所有映射的个数． 2．列举时，需根据条件，找到分类列举的标准，避免重复与遗漏．
[即时演练] 3.已知 A＝{a，b，c}，B＝{1，2}，从 A 到 B 的映射 f：A→B，满足 f(a)＋f(b)＋f(c)＝5 的映射共有________个．
所以 A 中元素(1，3)在集合 B 中对应元素为(－2，4)．
x－y＝2， x＝3，
(2)依题意可得
所以
x＋y＝4， y＝1.
所以集合中元素(2，4)在 A 中对应的元素为(3，1)．
题型三映射个数的确定 [例 3] 已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1}，满足条件 f(3)＝f(1)＋f(2)的映射 f：A→B 的个数是( ) A．2 B．4 C．6 D．7 分析：f(1)，f(2)，f(3)都是象，根据 B 中的元素－1，
所以集合 P 中与集合 Q 中元素(3，2)对应的元素为(2， 1)或(1，2)．
规律方法求对应元素的一般思路是：若已知 A 中的元素 a，求 B 中与之对应的元素 b，这时只需将元素 a 代入对应法则 f 求解即可；若已知 B 中的元素 b，求 A 中与之对应的元素 a，这时只需构造方程(组)进行求解即可，这里需注意解得的结果可能有多个．
(3)集合 A 中的 0 在 B 中没有元素和它对应，故不是映射．
(4)在 f 的作用下，A 中的 0，1，2，9 分别对应到 B 中的 1，0，1，64，所以是映射．
规律方法判断一个对应是不是映射，应从两个角度去分析： 1．是否是“对于 A 中的每一个元素”． 2．在 B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

小初高教案试题导学案集锦
K12资源汇总，活到老学到老
2.3 映射的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列从P到Q的各对应关系f 中，不是映射的是________．(填序号)
①P＝N，Q＝N*，f ：x→|x－8|；
②P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5}，f ：x→x(x－4)；
③P＝N*，Q＝{－1,1}，f ：x→(－1)x；
④P＝Z，Q＝{有理数}，f ：x→x2.
【解析】 ①P＝N中元素8在Q＝N*中无对应，所以①不是映射．
②P＝{1,2,3,4,5,6}中元素6在Q＝{－4，－3,0,5}中无对应，所以②不是映射．③④
符合映射定义．
【答案】 ①②
2．观察数表：
x －3 －2 －1 1 2
3

f (x) 4 1 －1 －3 3
5

g(x) 1 4 2 3 －2
－4

则f [g(3)－f (－1)]＝________.
【解析】由表中对应数据可知g(3)＝－4，f (－1)＝－1.
∴f [g(3)－f (－1)]＝f (－4＋1)＝f (－3)＝4.
【答案】 4
3．设集合A中的元素(x，y)在映射f 下的对应B中的元素是(2x＋y，x－2y)，则在f 下，
B中元素(2,1)在A
中的对应元素是________．

【解析】令 2x＋y＝2，x－2y＝1，∴ x＝1，y＝0，因此(2,1)在A中的对应元素是(1,0)．
【答案】 (1,0)
4．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f ：x→y＝ax＋b，若5→5，且7→11，若x→20，则
x
＝________.

【解析】由5→5,7→11，得 5a＋b＝5，7a＋b＝11，∴ a＝3，b＝－10.
若x→20，则3x－10＝20，得x＝10.
【答案】 10

5．已知a，b为实数，集合M＝ba，1，N＝{a,0}，f ：x→x表示把集合M中的元素
x
小初高教案试题导学案集锦
K12资源汇总，活到老学到老
映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________．

【解析】由题意知 ba＝0，a＝1，∴ b＝0，a＝1.
∴a＋b＝1.
【答案】 1
6．如图231所示为一个从集合A到集合B的映射，这个映射表示的函数的奇偶性是
________．(填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数又是偶函数”“既不是奇函数也不是偶
函数”)

图231
【解析】该映射表示定义域为{±1，±2}，值域为{1,3}的函数，定义域关于数“0”
对称，且f (1)＝f (－1)＝1，f (2)＝f (－2)＝3，因此这个映射表示的函数为偶函数．
【答案】偶函数
7．设f ：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B可能是________．(填
序号)

①∅；②∅或{1}；③{1}；④∅或{2}．
【解析】若x2＝1，则x＝±1，
若x2＝2，则x＝±2，
所以A中最多含有－2，－1,1，2四个元素，
所以A∩B＝∅或A∩B＝{1}．
【答案】 ②
8．已知A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f ，使f (a)＋f (b)＋f (c)＝
4，则满足条件的映射共有________个.
【解析】 ∵4＝2＋1＋1，∴a，b，c中有一个对应2，另两个只能对应1，共有三种
情况．
【答案】 3
二、解答题
9．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，取适当的对应法则．
(1)以集合A为定义域，B为值域的函数有多少个？
(2)在所有以集合A为定义域，B为值域的函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)
小初高教案试题导学案集锦
K12资源汇总，活到老学到老
的函数有多少个？
【解】 (1)根据映射与函数的定义，集合A中的元素均可与B中的两个元素对应，故
从A到B可建立24＝16个函数，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不
是B，应予以排除，所以集合A为定义域，B为值域的函数有14个．
(2)在上述14个函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数具体为：
f (1)＝5，f (2)＝f (3)＝f
(4)＝6；

f (1)＝f (2)＝5，f (3)＝f
(4)＝6；

f (1)＝f (2)＝f (3)＝5，f
(4)＝6.

所以满足条件的函数共有3个．
10．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}，对应关系f ：x→y＝ax.若在
f
的作用下能够建立从A到B的映射f ：A→B，求实数a的取值范围．
【解】 ①当a≥0时，由－2≤x≤2，得－2a≤ax≤2a.
若能够建立从A到B的映射，
则[－2a,2a]⊆[－1,1]，

即 －2a≥－1，2a≤1，∴0≤a≤12.
②当a<0时，集合A中元素的象满足2a≤ax≤－2a，
若能建立从A到B的映射，
则[2a，－2a]⊆[－1,1]，

即 2a≥－1，－2a≤1，∴－12≤a<0.
综合①②可知－12≤a≤12.
[能力提升]
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列能表示从P到Q的映射的是
________．(填序号)

①f ：x→y＝12x；②f ：x→y＝13x；③f ：x→y＝23x；
④f ：x→y＝x.
【解析】如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照

对应法则f 在Q中有唯一元素和它对应，③中，当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q.
【答案】 ①②④
2．若集合A＝{0,1,2}，f ：x→x2－2x是从A到B的映射，则集合B中至少有________
个元素．
小初高教案试题导学案集锦
K12资源汇总，活到老学到老
【解析】由A＝{0,1,2}，f ：x→x2－2x，分别令x＝0,1,2，
∴x2－2x＝0，－1,0.又根据集合中元素的互异性，
∴B中至少有2个元素．
【答案】 2
3．已知f 是从集合M到N的映射，其中M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f (a)
＋f (b)＋f (c)＝0的映射f 的个数是________.

【解析】  f a＝3，f b＝0，f c＝－3， f a＝－3，f b＝0，f c＝3， f a＝3，f b＝－3，f c＝0，

 f a＝－3，f b＝3，f c＝0， f a＝0，f b＝3，f c＝－3，




f a
＝0，

f b
＝－3，

f c
＝3，






f a
＝0，

f b
＝0，

f c
＝0.

【答案】 7
4．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对
应法则f ：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p，
q，m，n
的值.

【解】由f (1)＝4，f (2)＝7，

列方程组： p＋q＝4，2p＋q＝7⇒ p＝3，q＝1.
故对应法则为f ：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的对应值是n4或n2＋3n.若
n
4
＝10，因为n∈N*，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又
当集合A中的元素m的对应元素是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的
对应元素是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.
故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.