三角函数

三角函数1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x ,＋ ＋ － － sin x ,－ ＋ ＋ － tan x ,x yO xyO x y Oα2α,2α,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角.例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t, r=5)3()4(2222=-+=+t t yx |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==tt rx ,tan α=4343-=-=tt x y ;当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=tt ry ,cos α=5454-=-=t t r x ,tan α=4343-=-=tt x y .综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-;t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin 4m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m =∴=≠∴=故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan 43x y rxθθ∴===-===-当m =,r =P 的坐标为(，cos tan 43x y rxθθ∴===-===例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

)(32cm l π=S S S -=扇弓△＝3sin221232212ππ⨯⨯-⨯⨯＝)332(π（cm 2）扇形周长R R l R C 222+=+= ∴22+=C R∴22)22(2121+⋅=⋅=C R S αα扇1624241244122222CCC≤++⋅=++⋅=ααα当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为162c．变式训练4：扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α 则有⎪⎩⎪⎨⎧==+12142lr l r ∴⎩⎨⎧==21l r由|α|＝rl 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )1．本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系． 2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些?第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ，1＋cot 2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，c otα ＝1 2．诱导公式：规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：0°~90º角的三角函数值． 例1. 已知f(α)=)sin()t an()t an()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;（1）化简f(α);（2）若α是第三象限角，且cos 5123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求f(α)的值.解 ：（1）f （α）=αααααsin tan )tan (cos sin -⋅⋅=-cos α.（2）∵cos ⎪⎭⎫⎝⎛-23πα=-sin α,∴sin α=-51,cos α=-65251522-=-,∴f(α)=652.变式训练1：已知A ＝)(cos )cos(sin )sin(Z k k k ∈+++ααπααπ则A 构成的集合是 ( )A ．{－1, 1, －2, 2}B ．{1, －1}C ．{2, －2}D ．{－2, －1, 01, 2}解：C例2．求值：(1) 已知53)7cos(,2-=-<<παπαπ，求)2cos(απ+的值．2) 已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值．①ααααcos sin cos 3sin +-；②2cos sin sin 2++ααα解：（1）54)22cos(=+π； （2）35cos sin cos 3sin -=+-αααα变式训练2：化简：① )4sin()8cos(tan )5sin(πθθπθπθ---⋅⋅-， ②)4cos()4sin(παπα++-解：①原式＝sin θ ② 原式＝0 例3. 已知－2<<x π，sin x ＋cos x ＝51．（1）求sin x －cos x 的值． （2）求x xx tan 1sin22sin 2-+的值．解：( 1 ) －57，( 2 ) －17524变式训练3：已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π).求值：（1）tan θ;（2）sin θ-cos θ;（3）sin 3θ+cos 3θ.解 方法一 ∵sin θ+cos θ=51,θ∈(0,π),∴(sin θ+cos θ)2=251=1+2sin θcos θ，∴sin θcos θ=-2512＜0.由根与系数的关系知， sin θ,cos θ是方程x 2-51x-2512=0的两根，解方程得x 1=54,x 2=-53.∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ=54,cos θ =-53.∴（1）tan θ=-34.（2）sin θ-cos θ=57.（3）sin3θ+cos3θ=12537.方法二 （1）同方法一. （2）（sin θ-cos θ）2=1-2sin θ·cos θ =1-2×⎪⎭⎫⎝⎛-2512=2549.∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0, ∴sin θ-cos θ=57.（3）sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ) =51×⎪⎭⎫ ⎝⎛+25121=12537.例4．已知tan α=2,求下列各式的值： （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--;（2）αααα2222cos 9sin4cos 3sin 2--;（3）4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α. 解：（1）原式=19243229tan 43tan 2-=-⨯-⨯=--αα.（2）759243229tan 43tan 2cos 9sin4cos 3sin 222222222=-⨯-⨯=--=--αααααα.（3）∵sin 2α+cos 2α=1,∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α =αααααα2222cos sincos 5cos sin 3sin4+--=114523441tan 5tan 3tan 422=+-⨯-⨯=+--ααα.变式训练4：已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:（1）θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-;（2）41sin 2θ+52cos 2θ.解：由已知得cos(θ+k π)≠0,∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）10tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θθθθθθ.（2）41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sincos 52sin 41++=2571tan 52tan 4122=++θθ.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第3课时 两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα-α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)；)4()4(x x ++-ππ＝2π例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值. 解：原式=︒⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2=︒⋅︒︒+︒⨯︒+︒80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2(=︒⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡︒︒+︒⨯︒+︒10cos 210cos 10sin 2310cos 2110sin 250sin 2=︒⋅⎪⎭⎫⎝⎛︒︒︒+︒10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2=︒=︒⋅︒︒60sin 2210cos 210cos 60sin 2=.62322=⨯变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ）A.71 B.7 C.－ 71 D.－7(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） A.－21 B.21 C.－23 D.23解：(1)A (2)B 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．解：∵α－4π＋43π＋β＝α＋β＋2πα∈(43,4ππ) β∈(0,1sin 311≤-≤-x )∴α－4π∈(0,2π) β＋43π∈(43π,π)∴sin(α－4π)＝54cos(βπ+43)＝－1312∴sin(α＋β)＝－cos[2π＋(α＋β)]＝－cos[(α－4π)＋(βπ+43)]＝6556变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π.故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos 2βα+=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=cos ()cos()sin ()sin()2222βαβααβαβ--+--=129339-⨯+⨯27=∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=2227⎛⨯ ⎝⎭-1=－729239. 例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.解 ∵A 、B 均为钝角且sinA=55,sinB=1010，∴cosA=-A2sin 1-=-52=-552， cosB=-B2sin 1-=-103=-10103，∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-552×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10103-55×1010=22 ①又∵2π＜A ＜π,2π＜B ＜π,∴π＜A+B ＜2π ②由①②知，A+B=47π.变式训练3：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +-cos2B=27,求角B 的度数.解 在△ABC 中，A+B+C=180°, 由4sin 22CA +-cos2B=27,得4·2)cos(1C A +--2cos 2B+1=27,所以4cos 2B-4cosB+1=0. 于是cosB=21,B=60°.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1)=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-21(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1)=sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-21=sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-21=sin 2β+cos 2β-21=1-21=21.方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-21cos2α·cos2β=cos 2β-sin 2α (cos 2β-sin 2β)-21cos2α·cos2β=cos 2β-sin 2α·cos2β-21cos2α·cos2β=cos 2β-cos2β·⎪⎭⎫⎝⎛+αα2cos 21sin 2=22cos 1β+-cos2β·⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)sin21(21sin 22αα=22cos 1β+-21cos2β=21.方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 原式=22cos 1α-·22cos 1β-+22cos 1α+·22cos 1β+-21cos2α·cos2β=41(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+41(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-21·cos2α·cos2β=21.方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·sin β·cos α·cos β-21cos2α·cos2β=cos 2(α+β)+21sin2α·sin2β-21cos2α·cos2β=cos 2(α+β)-21·cos(2α+2β)=cos 2(α+β)-21·［2cos 2(α+β)-1］=21.变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π;(2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--απαπα4sin4tan 21cos222.解 （1）原式=22⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 234sin 21ππ=22⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 4cos 6cos 4sin 6sin ππππ=22cos ⎪⎭⎫⎝⎛+-x 46ππ=22cos(x-12π). （2）原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-απααα22cos 1tan 1tan 12cos =)2sin 1(2sin 12cos 2cos αααα++=1.1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。