数学分析第五版
东北师大数学专业招生专业目录及参考书目
数学与统计学院数学与统计学院创建于1948年10月，时称东北大学自然科学系数学科，1950年更名为东北师范大学数学系，2004年1月撤系建院。
学院下设基础数学系、统计系、应用数学系、数学教育研究中心、金融与信息工程研究中心、统计咨询中心、应用数学研究所。
数学与统计学院具有数学一级学科博士学位授予权和课程与教学论（数学）博士学位授予权，可全面招收数学各专业的学历硕士和博士，及学科教学（数学）、应用统计专业的专业学位研究生。
此外，还具有在职攻读教育硕士（数学）专业硕士学位授予权。
学院还建有数学博士后科研流动站和应用统计教育部重点实验室。
至今，学院已培养出博士79名，硕士1000余名。
现有在读博士研究生78名，硕士研究生207名，本科生873名，函授生60名，留学生2名。
近几年，数学与统计学院在科研方面发展迅速，已形成了以中青年教师为主、老中青三结合的强有力的学术梯队。
在学院的教师队伍中，有第三世界科学院院士1人，长江讲座教授1人，教育部科学技术委员会理学部委员1人，国务院学科评议组成员2人，吉林省特聘教授1人，国家级有突出贡献中青年专家1人，国家杰出青年基金1项，教育部新世纪人才培养计划5人，教授16名，博士生导师16名，具有博士学位的教师有59名，另有兼职教授11人。
数学与统计学院的主要的稳定研究方向有统计学及其应用、偏微分方程与系统控制、常微分方程、拓扑学、李代数和课程与教学论。
近五年，数学与统计学院共承担国家自然科学基金项目和省部级项目近60项，经费总额1000余万元。
教师每年发表论文70篇左右，其中SCI检索40余篇。
有关研究结果与提出的方法受到国外同行的关注并被多次引用，有些结果还被写入学术专著和专业教材。
近年来荣获教育部自然科学奖一等奖1项，自然科学奖二等奖2项，钟家庆数学奖1项，关肇直奖1项等。
2008年、2010年我院学生2次获得全国优秀博士学位论文奖和全国优秀博士学位论文提名奖。
联系人：朱嘉熹联系电话：85099589注：我校根据各专业考生考试情况及国家下拨的当年招生计划，在复试前公布各专业招生人数。
学科数学804数学教育概论是哪个学校的自命题
学科数学804数学教育概论是哪个学校的自命题珠海考试科目：（812）专业综合（1）《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出版社（2）《高等代数学》第三版，姚慕生，吴泉水，谢启鸿。
（3）《空间解析几何》（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出版社（4）《解析几何》尤承业，北京大学出版社（5）《解析几何》（第三版），丘维声，北京大学出版社二、首都师范大学考试科目：（873）数学基础（1）《数学分析》高等教育出版社，第二、三版华东师范大学数学系；（2）《高等代数》高等教育出版社，第二、三版北京大学。
三、中央民族大学考试科目：（850）数学（微积分、线性代数）（不招收同等学力考生、双少生）四、天津师范大学考试科目：（904）数学教育理论（1）吴立宝，李春兰主编．《数学学科知识与教学能力（高中）》.北京师范大学出版社.2018；（2）张筱玮，潘超主编．《数学学科知识与教学能力（初中）》.北京师范大学出版社.2018五、河北北方学院考试科目：（904）数学分析与线性代数（1）《数学分析》华东师范大学数学系，高等教育出版社；（2）《线性代数》同济大学数学系，高等教育出版社。
六、太原师范学院考试科目：（824）数学教学论（不招收同等学力考生报名，要求本科阶段具有相同或相近专业背景）考试范围：数学教学论、现代数学教育观、数学教学反思、数学的基本特征、数学的文化价值、数学课程论的研究内容、数学课程的发展、义务教育数学课程标准（2011年版）和普通高中数学课程标准（2017年版）的基本理念及基本结构、数学有意义学习、数学建构主义学习、探究性学习理论、数学教学原则、数学教学方法、数学概念的教学、数学解题的教学、数学思想方法的教学、数学课堂教学的情境创设、数学课堂教学的提问、数学课堂教学语言、数学课的备课与说课、数学教育科研与写作。
七、山西师范大学考试科目：(829)教学技能与方法(只接收具有相同学科专业背景的考生)（1）教学技能（2015年）北京师范大学出版社陈旭远（2）教学技能（2013年）北京师范大学出版社张海珠八、内蒙古科技大学考试科目：（879）数学教学论九、内蒙古师范大学考试科目：(909)中学数学教学论（1）《数学教学论》曹一鸣张生春北京师范大学出版社2010（2）《中学数学教学论》代钦斯钦孟克陕西师范大学出版社2009。
高等数学老版教材推荐用书
高等数学老版教材推荐用书近年来，高等数学教育迎来了许多变革，新版教材层出不穷。
然而，对于一些老师和学生来说，使用老版教材仍然是一种选择。
毕竟，老版教材经过了岁月的洗礼，被广大师生认可和喜爱。
因此，本文对高等数学老版教材进行推荐，旨在帮助读者选择适合自己的教材。
一、《高等数学》（第五版）作者：李正元、郑建中、沈忠实《高等数学（第五版）》是一本经典的高等数学教材，由李正元、郑建中和沈忠实等人合著。
该教材分为上下两册，全面系统地介绍了高等数学的各个分支，内容详实，理论与实践相结合。
书中的例题和习题设计恰到好处，既考查了基础知识的掌握，又兼顾了实际问题的应用。
对于想要巩固基础，并追求深入学习高等数学的读者来说，这本教材是一个理想的选择。
二、《数学分析》（第二版）作者：俞弟麟《数学分析（第二版）》由著名数学教育家俞弟麟编写，是一本具有很高权威性和学术性的教材。
该书讲述了高等数学中的数学分析部分，内容翔实、深入，涵盖了微积分、数学分析等重要内容。
该教材主要适用于工科、理科等相关专业的学生，通过学习，读者可以培养出扎实的数学基础，为进一步研究和应用数学打下坚实的基础。
三、《高等数学》（第六版）作者：黄侃、刘晓霞《高等数学（第六版）》是由黄侃和刘晓霞等联合编写的教材，主要针对理工科专业的学生。
该教材内容扎实、通俗易懂，力求将高等数学的抽象概念以直观的方式呈现给读者。
书中的实例和习题丰富多样，可以帮助学生巩固知识，提高解题能力。
这本教材不仅适合高等数学的初学者，也适用于渴望提升自己数学水平的读者。
四、《高等数学》（第四版）作者：林晖《高等数学（第四版）》是一本由林晖编写的教材，特点是注重基本概念的引入和清晰的逻辑结构。
该教材对于具有一定数学基础的学生来说，是一个很好的选择。
书中的例题和习题设计全面覆盖了各个知识点，有助于读者提高解题的能力和理解数学的深度。
对于希望通过高等数学学习培养自己的逻辑思维和问题解决能力的读者来说，这本教材是一个不错的选择。
高等数学教材大一推荐必修
高等数学教材大一推荐必修高等数学作为大学一年级的必修课程，对于学生们打下扎实的数学基础至关重要。
一个优质的教材可以帮助学生们更好地理解和应用数学知识，在学习中取得良好的成绩。
本文将介绍几本值得推荐的高等数学教材，供大一新生参考。
一、《高等数学》（下册）（第七版）（同济大学教材）这套教材是经过多年实践检验的经典教材之一。
它以同济大学数学系的教学经验为基础编写而成，内容权威且全面。
该教材涵盖了大一学期所需学习的数学内容，包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学等几个主要部分。
这本教材的特点是逻辑性强、讲解详细、实例丰富，对一些抽象概念的解释相对容易理解。
同时，该教材注重数学的应用，通过大量的例题和习题，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提高解题能力。
二、《工科数学分析基础》（上册）（第五版）（同济大学出版社）与前一本教材不同，这本教材聚焦于工科数学，特别是工科学生在大一时需要学习的数学知识。
该教材对数学概念给出了更加详细的定义和证明，适合希望深入了解数学原理的学生。
《工科数学分析基础》强调数学的理论和严谨性，通过精心设计的例题和习题，培养学生的严谨思维和问题解决能力。
尽管该教材的抽象性较高，但它为以后学习更高级的数学课程打下了良好的基础。
三、《高等数学》（上册）（第八版）（北京大学出版社）这本教材是北京大学数学系的教材，学术性和权威性得到了广泛认可。
该教材以数学的发展历程为线索，结构紧凑、逻辑性强，对数学知识的描述十分准确。
《高等数学》（上册）详细讲解了数学基本概念和性质，同时引入了一些新的数学概念和方法。
通过大量的例题和习题，该教材注重培养学生的数学思维和动手能力，使学生能够更好地理解和掌握高等数学的知识。
四、《高等数学分析教程》（第三版）（浙江大学出版社）这本教材是浙江大学数学系的教材，注重基础知识的讲解和应用能力的培养。
教材内容丰富，对数学概念和定理的解释详细，而且内容和例题都有很好的层次感，方便学生逐步深入理解。
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
北建大考研复试班-北京建筑大学应用数学考研复试经验分享
北建大考研复试班-北京建筑大学应用数学考研复试经验分享北京建筑大学是北京市和住房城乡建设部共建高校、教育部“卓越工程师教育培养计划”试点高校和北京市党的建设和思想政治工作先进高校，是一所具有鲜明建筑特色、以工为主的多科性大学，是“北京城市规划、建设、管理的人才培养基地和科技服务基地”、“北京应对气候变化研究和人才培养基地”和“国家建筑遗产保护研究和人才培养基地”，是北京地区唯一一所建筑类高等学校。
2013年4月经教育部批准更名为北京建筑大学。
学校1977年恢复本科招生，1982年被确定为国家首批学士学位授予高校，1986年获准为硕士学位授予单位。
2011年被确定为教育部“卓越工程师教育培养计划”试点高校。
2012年“建筑遗产保护理论与技术”获批服务国家特殊需求博士人才培养项目，成为博士人才培养单位。
2014年获批设立“建筑学”博士后科研流动站。
2015年10月北京市人民政府和住房城乡建设部签署共建协议，学校正式进入省部共建高校行列。
2016年5月，学校“未来城市设计高精尖创新中心”获批“北京高等学校高精尖创新中心”。
2017年获批推荐优秀应届本科毕业生免试攻读研究生资格。
2018年5月，获批博士学位授予单位，建筑学、土木工程获批一级学科博士学位授权点。
理学院数学系承担了全校本科生、研究生和留学生数学课程的教学任务。
主要承担的本科生课程：高等数学A、高等数学B、、高等数学C、高等数学D、线性代数、概率论与数理统计A、概率论与数理统计B、概率论、复变函数与积分变换、计算方法、高等数学提高、工程数学提高、数学分析、高等代数与解析几何、数学建模等。
承担的研究生课程：高等工程数学、矩阵论、数值分析、拓扑学、代数学引论、粘弹性流体力学、高等数理统计学、统计学习理论、常微分方程定性理论、机器学习、生物数学基础、稳定性理论、应用数理统计、偏微分方程理论、计算机实验的设计与分析等。
启道考研复试班根据历年辅导经验，编辑整理以下关于考研复试相关内容，希望能对广大复试学子有所帮助，提前预祝大家复试金榜题名！专业介绍应用数学培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。
数学模型-第03章(第五版)
存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.
分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.
B
分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).
第三章
材料强度最大
简单优化模型
利润最高 风险最小
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 运输费用最低
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析
简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解. 属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 三 章 简 单 优 化 模 型
3.2 森林救火
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.
0.5
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25 a=0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
建立啤酒杯重心模型一
啤酒杯重心模型一
x
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
大学数学系书单推荐
这才是在大学数学系应有的岁月数学专业参考书整理推荐V3.0版(正在撰写中)本文是这个文章的第三个版本，也是最后一个版本，由于时间精力，我不会再重新写这篇文章，最多是在原文上修改部分内容。
文章会注明修改日期，如有转载请注明这个时间。
并且请尽量不要腰斩我的文章，防止读者断章取义。
向指导我大学数学学习的王云峰（数学分析，复变函数），袁进（高等代数），邢志栋（数值代数），温作基（实变函数），曹建荣（微分方程数值解），贾健（数据结构，图形学），方莉（泛函分析，毕业论文），赵宪钟（具体数学），张文鹏（数论），邵勇（泛代数）以及其他没有列出名字的诸位老师致谢。
第0部分：前言关于数学系专业课参考书的帖子很多。
最出名的是复旦大学yjyao（姚一隽？）去巴黎前发表在日月光华BBS站上的《大学数学学习参考书点评》（/bbs/anc?path=/bmt/9/mat/M.984927021.A）（/bbs/viewtopic.php?f=16&t=23）此外还有中国科学技术大学数学系几位学长的建议：《科大学长对数学系学弟学妹的忠告》（/bbs/viewtopic.php?f=16&t=25）《中国科学技术大学数学系教材及参考书目录》（/bbs/viewtopic.php?f=16&t=26）《数学与物理的参考书目》（/bbs/viewtopic.php?f=16&t=24）这几篇文章尤其是前面三篇深深影响了我大学数学的学习，在这里向原作者深深致谢。
另外大家还可以参考《美国数学本科生，研究生基础课程参考书目》（/bbs/viewtopic.php?f=16&t=34）此外，还有我这篇文章的1.0版：几篇零散的分别介绍数学系参考书的帖子。
那样的烂文章居然有人转载，我看了自己都不好意思，故催生出本文章V2.0版数学专业参考书整理推荐(/article.php/706)当然，当时不是这么叫的。
数学建模与数学实验第五版代码
数学建模与数学实验第五版代码数学建模与数学实验是一门重要的学科，它将数学方法应用于实际问题的解决过程中。
通过数学建模与数学实验的学习，我们可以培养创新思维、数学分析能力和计算能力等重要的数学技能。
在数学建模与数学实验第五版中，我们将学习到各种数学建模方法和相关的代码实现。
下面我将介绍一些常用的数学建模方法以及对应的代码示例。
第一种数学建模方法是线性规划，它是一种用于求解线性目标函数的优化问题的方法。
代码示例如下：```pythonfrom scipy.optimize import linprogc = [-1, -1] #目标函数的系数A = [[2, 1], [-1, 2], [0, 1]] #约束条件的系数矩阵b = [6, 4, 3] #约束条件的取值res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)print(res)```第二种数学建模方法是最小二乘法，它是一种用于拟合实验数据的方法。
代码示例如下：```pythonimport numpy as npx = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) #自变量y = np.array([2.1, 3.9, 6.1, 8.2, 9.9]) #因变量#拟合多项式函数coefficients = np.polyfit(x, y, 2)print(coefficients)#拟合指数函数coefficients = np.polyfit(x, np.log(y), 1)print(coefficients)```第三种数学建模方法是蒙特卡洛模拟，它是一种通过随机抽样的方法来估计概率分布或函数值的方法。
代码示例如下：```pythonimport numpy as np#生成服从正态分布的随机数mean = 0std = 1samples = np.random.normal(mean, std, 10000)print(samples)#计算样本均值和方差mean = np.mean(samples)variance = np.var(samples)print(mean, variance)```以上是数学建模与数学实验第五版中介绍的一些数学建模方法和对应的代码示例。
复变函数习题答案第五版
复变函数习题答案第五版
《复变函数习题答案第五版》
复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数域上定义的变量的函数。
复变函数理论在物理学、工程学和数学分析等领域都有着重要的应用。
《复变函数习题答案第五版》是一本为学习者提供习题解答的参考书籍，旨在帮助
学生更好地理解和掌握复变函数的知识。
本书包含了大量的习题和答案，涵盖了复变函数的基本概念、性质和定理，以
及相关的计算和应用题目。
通过学习本书，读者可以更加深入地理解复变函数
的理论，掌握解决相关问题的方法和技巧。
在《复变函数习题答案第五版》中，作者对每个习题的解答都进行了详细的讲解，包括了步骤和推导过程，帮助读者理清思路，加深对复变函数知识的理解。
此外，书中还提供了一些常见问题的解答技巧和注意事项，帮助读者更好地应
对各种类型的习题。
复变函数是一门抽象而又具有深刻内涵的数学学科，它对于学习者来说可能会
有一定的难度。
但是通过认真学习和练习，结合《复变函数习题答案第五版》
的指导和帮助，相信读者们一定能够很好地掌握复变函数的知识，提高解题能力，为将来的学习和研究打下坚实的基础。
总之，《复变函数习题答案第五版》是一本对于学习复变函数的人来说非常有价值的参考书籍，它不仅提供了大量的习题和答案，还通过详细的讲解和解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握复变函数的知识，是学习者不可多得的学习工
具和辅助材料。
希望广大学习者能够认真阅读和使用本书，取得更好的学习成绩，为自己的学习和研究之路铺平道路。
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14.2 曲面积分一．第一型曲面积分第一型曲面积分也是从实际问题中抽象出来的。
例如，物质曲面的质量问题就可归结为第一曲面积分。
设在三维欧式空间错误!未找到引用源。
中有光滑或者逐片光滑的曲面块S，三元函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。
首先，用曲面S 上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：错误!未找到引用源。
，…，错误!未找到引用源。
，将此分法记为T。
设第k个小曲面错误!未找到引用源。
的面积是错误!未找到引用源。
在第k个小曲面错误!未找到引用源。
上任取一点错误!未找到引用源。
，作和错误!未找到引用源。
∑=∆=nkkkkkn fQ1),,(σζηξ(1)称为三元函数f(x,y,x)在曲面S的积分和。
令错误!未找到引用源。
定义设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的曲面S有定义。
若当错误!未找到引用源。
时，三元函数f(x,y,z)在曲面S的积分和（1）存在极限L，即错误!未找到引用源。
=L,则称L是三元函数f(x,y,z)在曲面S的第一型曲面积分，记为L=错误!未找到引用源。
,期中是曲面S的面积微元。
不难得到，如果物质曲面S上任意点P(x,y,z)的面密度是错误!未找到引用源。
，则物质曲面S的质量m是第一型曲面积分，即m=错误!未找到引用源。
,第一曲面积分有类似于第一曲线积分的那些性质，读者可以仿照第一曲线积分的性质写第一曲面积分的性质。
关于第一曲面积分的存在性及其计算方法下面有定理。
定理1 若曲面：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)错误!未找到引用源。
,是光滑的或逐片光滑的，其中D是有界闭区域。
三元函数f(x,y,z)在曲面S连续，则三元函数f(x,y,z)在S的第一曲面积分存在，且错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
(2)其中E=错误!未找到引用源。
F=错误!未找到引用源。
G=错误!未找到引用源。
证法与第一曲面积分相应定理完全相同，从略。
公式（2）指出，求第一曲面积分可以化为二重积分。
曲面的面积微元d错误!未找到引用源。
如果光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)错误!未找到引用源。
D,其中D 是有界闭区域，则错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
(3)例1 计算曲面积分错误!未找到引用源。
，其中S是球面错误!未找到引用源。
被平面z=h（0<h<a）所截的顶部(z>=h).解：曲面S的方程是z=错误!未找到引用源。
曲面S在xy平面上的投影区域D是错误!未找到引用源。
由式（3），有=错误!未找到引用源。
=2a错误!未找到引用源。
例2 计算曲面积分错误!未找到引用源。
，其中曲面S是螺旋面x=rcos错误!未找到引用源。
的一部分。
解：错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
d错误!未找到引用源。
设D(错误!未找到引用源。
),由公式（2）得二．第二型曲面积分第二型曲面积分的定义和计算与第二型曲线积分的完全类似。
已知第二型曲线积分的曲线的方向有关，同样，第二型曲面积分与曲面的方向也有关。
因此要讨论曲面的正向和负向。
在光滑曲面S上任取一点错误!未找到引用源。
，过点错误!未找到引用源。
的法线有2个方向，选定一个方向为正。
当点P在曲面S上连续变动（不越过曲面的边界）时，法线也连续变动。
当动点P从错误!未找到引用源。
出发沿着曲面S上任意一条闭曲线又回到错误!未找到引用源。
点时，如果法线的正方向与出发时的法线正向相同，称这种曲面S是双侧曲面，否则为单侧曲面。
通常所遇到的曲面都是双侧曲面。
单侧曲面也是存在的，例如，将长方形纸条的一端扭转180°，在与另一端粘合起来，就是单侧曲面。
我们只讨论双侧曲面，因为双侧曲面有正向和负向，所以同一块曲面由于方向不同，在坐标面上的投影的面积就带有不同的符号。
首先讨论流量问题。
在三维欧式空间3R有界体W中有流体稳定（也时间无关）流动。
已知流体在任意一点P （x,y,z ）的流速是A （P ），即A （P ）是向量函数A （P ）=(错误!未找到引用源。
其中错误!未找到引用源。
是向量A （P ）分别在x 轴，y 轴，z 轴上的分量，并且都在W 连续，于是，W 构成了流体速度场。
设在W 内有一块光滑双侧曲面S 。
在单位时间内，流体速度场流过曲面S 的流体体积V ，称为流过曲面S 的流量。
下面计算流量。
将曲面S 分为n 个小曲面：nS S S ,,21，将此分法记为T 。
设第k 个小曲面k S 的面积是k σ∆，在第k 个小曲面k S 上任取一定错误!未找到引用源。
，以A(错误!未找到引用源。
)近似代替k S 上每一点的流速，则流体速度场A （P ）通过第k 个小曲面k S 的流量错误!未找到引用源。
近似等于以k S 为底，以向量A(错误!未找到引用源。
)为母线的斜柱体的体积。
已知斜柱体的体积等于同底等高的直柱体的体积，于是其中错误!未找到引用源。
代表点错误!未找到引用源。
的法线正向的单位向量。
设错误!未找到引用源。
与x 轴，y 轴，z 轴的正向夹角分别是错误!未找到引用源。
，则设小曲面k S 在yz 平面，zx 平面，xy 平面投影的面积分别是错误!未找到引用源。
所以不难得到错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
, 错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
从而，流体速度场A （P ）通过曲面S 的流量Q 近似等于于是，流体速度场A （P ）通过曲面S 的流量错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
有抽去上式中的实际意义就是第二型曲面积分。
设三元函数f(x,y,z)在双侧光滑或逐片光滑曲面S 上有定义，选定曲面S 一侧为正。
将曲面S 分成n 个小曲面：n S S S ,,21，将此分法记为T ，用k σ∆表示第k 个小曲面k S 的面积, k S 在xy 平面投影的小区域的面积是错误!未找到引用源。
，在第k 个小曲面k S 上任取一点),,(kk k k P ζηξ。
作和 ∑=∆∆=n k kk k k k n y x f R 1),,(ζηξ(4)称为三元函数f(x,y,z)在曲面S 关于xy 平面的积分和。
令{})(,),(),(max )(21ns d s d s d T =δ 定义 设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑曲面S 有定义。
若当0)(→T δ时，三元函数f(x,y,z)在曲面S 关于xy 的积分和（4）存在极限xy I ，即xy nk k k k k k T n T I y x f R =∆∆=∑=→→10)(0)(),,(lim lim ζηξδδ 则称xy I 是f(x,y,z)dxdy 在曲面S 的第二型曲面积分，记为⎰⎰=Sxy dxdy z y x f I ),,(其中dxdy 是曲面微元错误!未找到引用源。
在xy 平面上投影的面积微元（注意，因为曲面S 的正侧取法不同，它带有正号或负号）。
类似地，设小曲面k S 在yz 平面与zx 平面的投影小区域的面积分别是 k k z y ∆∆ 与 k k x z ∆∆ ，有f(x,y,z)dydz 与f(x,y,z)dzdx 在曲面S 的第二型曲面积分，即⎰⎰S dydz z y x f ),,(＝∑=→∆∆nk k k k k k T z y f 10)(),,(lim ζηξδ ⎰⎰S dzdx z y x f ),,(＝∑=→∆∆nk k k k k k T x z f 10)(),,(lim ζηξδ不难看到，流体速度场A （P ）=(错误!未找到引用源。
通过光滑曲面S 的流量Q 是它的三个分量函数错误!未找到引用源。
关于错误!未找到引用源。
在曲面S 上的第二型曲面积分之和，即通常简写为其中(n,x),(n,y),(n,z)分别是点P处法线n的正向与x轴，y轴，z 轴的正向夹角。
于是，两类曲面积分之间的转换关系是Dydz=cos (n,x)d错误!未找到引用源。
,dzdx=cos (n,y) d错误!未找到引用源。
,dxdy=cos (n,z) d错误!未找到引用源。
如果错误!未找到引用源。
与S表示同一曲面，而方向相反，则如果S是闭曲面，则f(x,y,z)dxdy在S的第二型曲面积分记为除特殊说明外，闭曲面S上的第二型曲面积分都是取S外则为正（或向外的法线方向是正向）。
定理2 若有光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)错误!未找到引用源。
其中D是有界闭区域，三元函数f(x,y,z)在S连续，则f(x,y,z)dxdy 在曲面S的第二型曲面积分存在，且其中符号错误!未找到引用源。
由曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定。
例 3 计算曲面积分⎰⎰xyzdxdy其中曲面S是四分之一球面S2a222x=+)+yz≥yx,取球面外侧为正。
,0(≥解：曲面S 在xy平面的上下两部分的方程分别是曲面错误!未找到引用源。
外法线与z轴正向夹角是锐角。
曲面错误!未找到引用源。
外法线与z轴正向夹角是钝角，而曲面错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
在xy平面上的投影都是扇形区域错误!未找到引用源。
于是错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
dr = 错误!未找到引用源。
例 4 计算曲面积分⎰⎰Sdydzx2，其中S是椭球面1222222=++czbyax的≥x的部分，取椭球面外侧为正侧。
解：当0≥x时，椭球面的方程是错误!未找到引用源。
于是错误!未找到引用源。
dydz=错误!未找到引用源。
rdr=错误!未找到引用源。
(设错误!未找到引用源。
三奥—高公式格林公式给出了平面区域上的二重积分与围成该区域的闭曲线上的曲线积分之间的联系。
奥—高公式是格林公式在三维欧式空间错误!未找到引用源。
的推广，它给出了三维欧式空间错误!未找到引用源。
中有界体上的三重积分与围成该有界体边界的闭曲面上的曲面积分之间的联系。
首先考虑错误!未找到引用源。
中的有界闭体：V={(x,y,z)错误!未找到引用源。
其中错误!未找到引用源。
是V在xy坐标面上的投影，是光滑或逐段光滑闭曲线所围成的有界闭区域。
错误!未找到引用源。
, 错误!未找到引用源。
是光滑或逐片光滑的曲面。
有界闭体V有曲面错误!未找到引用源。
，曲面错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
(错误!未找到引用源。
以及垂直于错误!未找到引用源。
的边界的母线所构成的柱面错误!未找到引用源。
所围成，称这样的V 是xy 型有界闭体。
类似地，有yz 型与zx 型有界闭体。
定理3 设V 是错误!未找到引用源。
中双侧闭曲面S 所围成的xy 型（同时即是yz 型，又是zx 型）有界闭体。
若三元函数P （x ，y ，z ），Q （x ，y ，z ），R （x ，y ，z ）及其偏导数在包含V 的区域上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂=++VS dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz )((5)其中曲面S 的外侧为正，公式（5）为奥—高公式。